अर्धउत्तल फलन

For विविधताओं के कैलकुलस में उत्तलता के असंबंधित सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है।, see अर्धउत्तल (विविधताओं का कैलकुलस).

एक अर्धउत्तल फलन जो उत्तल नहीं है

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एक फलन जो अर्धउत्तल नहीं है: फलन के डोमेन में बिंदुओं का सेट जिसके लिए फलन मान धराशायी लाल रेखा के नीचे हैं, दो लाल अंतरालों का मिलन है, जो उत्तल सेट नहीं है।

सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन क्वासिकोनकेव है लेकिन अवतल नहीं है।

द्विचर सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन क्वासिकोनकेव है।

गणित में, एक अर्धउत्तल फलन एक वास्तविक सदिश स्थल के अंतराल (गणित) पर या उत्तल सेट पर परिभाषित एक वास्तविक संख्या-मूल्य वाला फलन (गणित) है जो के होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि $(-\infty ,a)$ एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फलन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। अर्धउत्तल फलन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।

सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है। यूनिवेरेट यूनिमोडल फलन अर्धउत्तल या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फलन के एकाधिक तर्क वाले फलन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी रोसेनब्रॉक फलन यूनिमॉडल है, लेकिन अर्धउत्तल नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फलन अर्धउत्तल के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।

परिभाषा और गुण

एक समारोह $f:S\to \mathbb {R}$ उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक सदिश समष्टि $S$ अर्धउत्तल है यदि सभी के लिए, $x,y\in S$ और $\lambda \in [0,1]$ अपने पास

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.$ है।

शब्दों में, यदि $f$ ऐसा है जो यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फलन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो $f$ अर्धउत्तल है। ध्यान दें कि बिंदु $x$ और $y$, और उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु हो सकता है।

File:Monotonicity example2.png

एक क्वासिलिनियर फलन अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है।

File:Quasi-concave-function-graph.png

एक फलन का ग्राफ़ जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर अवतल और अर्ध-उत्तल दोनों है।

अर्ध-उत्तल फलन$f(x)$ को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें) यह आवश्यक है कि प्रत्येक उपस्तरीय सेट

$S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ एक उत्तल समुच्चय है।

यदि इसके अतिरिक्त

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$

$x\neq y$ और $\lambda \in (0,1)$ सभी के लिए, तो $f$ पूरी तरह से अर्धउत्तल है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फलन का कम मूल्य देना चाहिए।

एक क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक अर्धउत्तल है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक सख्ती से अर्धउत्तल है। समान रूप से एक $f$ क्वासिकोनकेव फलन है यदि

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.$

और और पूर्णतया क्वासिकोनकेव यदि

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$

ए (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल ऊपरी समोच्च सेट होते हैं।

एक फलन जो अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है, अर्धरेखीय है।

अर्ध-अवतलता का एक विशेष स्थिति, यदि $S\subset \mathbb {R}$, यूनिमोडिटी फलन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मूल्य होता है।

अनुप्रयोग

अर्धउत्तल फ़ंक्शंस में गणितीय विश्लेषण में, गणितीय अनुकूलन और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग होता है।

गणितीय अनुकूलन

अरेखीय अनुकूलन में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त विधियों का अध्ययन करती है जो अर्धउत्तल कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई उपस्थित है) में परिवर्तित होती है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट दोहरी समस्याओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के अर्धउत्तल समापन प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन लैग्रेंज द्वैत द्वारा प्रदान किए गए उत्तल बंद की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है); हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। डाइवर्जेंट-सीरीज़ नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ फ़िल्टर विधियां।

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय

सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की उत्तल प्राथमिकताएँ हैं। क्वासिकोन्वेक्स फलन गेम थ्योरी, औद्योगिक संगठन और सामान्य संतुलन सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सायन के मिनिमैक्स प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए। जॉन वॉन न्यूमैन के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।