हॉफ फिब्रेशन: Difference between revisions
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{{short description|Fiber bundle of the 3-sphere over the 2-sphere, with 1-spheres as fibers}} | {{short description|Fiber bundle of the 3-sphere over the 2-sphere, with 1-spheres as fibers}} | ||
[[File:Hopf Fibration.png|right|250px|thumb| | [[File:Hopf Fibration.png|right|250px|thumb|हॉपफ फ़िब्रेशन को ''S''<sup>3</sup> से '''R'''<sup>3</sup> के [[स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण]] का उपयोग करके और फिर ''R''<sup>3</sup> को एक गेंद में संपीड़ित करके देखा जा सकता है। यह छवि ''S''<sup>2</sup> और उनके संगत फाइबरों पर समान रंग के बिंदु दिखाती है।]] | ||
[[Image:Hopfkeyrings.jpg|right|250px|thumb| | [[Image:Hopfkeyrings.jpg|right|250px|thumb|युग्मानूसार रूप से जुड़े हुए कीरिंग्स हॉफ फ़िब्रेशन के भाग की नकल करते हैं।]][[ अंतर टोपोलॉजी | अवकलन सांस्थिति]] के [[अति क्षेत्र|गणितीय क्षेत्र]] में, '''हॉपफ फ़िब्रेशन''' (जिसे '''हॉपफ बंडल''' या हॉपफ प्रतिचित्र के रूप में भी जाना जाता है) [[वृत्तों]] और एक साधारण गोले के संदर्भ में एक [[3-गोले]] ([[चार-आयामी समष्टि]] में एक अति गोला) का वर्णन करता है। | ||
तकनीकी रूप से | 1931 में [[हेंज हॉपफ]] द्वारा खोजा गया, यह [[फाइबर बंडल]] का एक प्रबल प्रारंभिक उदाहरण है। तकनीकी रूप से, होपफ ने 3-गोले से 2-गोले तक एक अनेक-से-एक [[सतत फलन]] (या "मानचित्र") पाया, जैसे कि 2-गोले के प्रत्येक विशिष्ट बिंदु को 3-गोले के एक [[अलग विशेष]] वृत्त से प्रतिचित्रित किया जाता है। ([[हॉपफ 1931)]]। | ||
इस | इस फाइबर बंडल संरचना को दर्शाया गया है | ||
:<math>S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2, </math> | :<math>S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2, </math> | ||
जिसका अर्थ है कि फाइबर | जिसका अर्थ है कि फाइबर समष्टि ''S''<sup>1</sup> (एक वृत्त) कुल समष्टि ''S''<sup>3</sup> (3-गोले) में [[अंतःस्थापित]] है, और ''p'': ''S''<sup>3</sup> → ''S''<sup>2</sup> (हॉपफ का मानचित्र) ''S''<sup>3</sup> को आधार समष्टि ''S''<sup>2</sup> (साधारण 2-गोले) पर प्रक्षिप्त करता है। हॉपफ फ़िब्रेशन, किसी भी फ़ाइबर बंडल के जैसा, यह महत्वपूर्ण गुण रखता है कि यह [[स्थानीय रूप]] से एक [[गुणन समष्टि]] है। हालाँकि, यह एक साधारण फाइबर बंडल नहीं है, यानी, ''S''<sup>3</sup> ''विश्व स्तर पर'' ''S''<sup>2</sup> और ''S''<sup>1</sup> का गुणनफल नहीं है | | ||
इसके कई | इसके कई तात्पर्य हैं उदाहरण के लिए इस बंडल की स्थिति से पता चलता है कि [[गोले के उच्च होमोटॉपी समूह]] सामान्य रूप से लघु नहीं हैं| यह [[वृत्त समूह]] के साथ फाइबर की पहचान करके, एक [[प्रमुख बंडल]] का मूल उदाहरण भी प्रदान करता है। | ||
हॉपफ फिब्रेशन का [[स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण]] {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर एक विशिष्ट संरचना उत्पन्न करता है जिसमें z-अक्ष के अलावा सभी 3-विमीय समष्टि, [[विलाआरसीयू वृत्तों]] को शृंखलन करने से बने नेस्टेड [[टोरी]] से भरे हुए हैं। यहाँ प्रत्येक फाइबर समष्टि में एक वृत्त की ओर प्रक्षेपित होता है (जिनमें से एक एक रेखा है, जिसे "अनंत के माध्यम से [[वृत्त]]" के रूप में माना जाता है)। प्रत्येक टोरस 2-गोले के अक्षांश के एक वृत्त के व्युत्क्रम प्रतिबिंब के स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण है। (सांस्थितिकी, एक टोरस दो वृत्तों का गुणनफल है।) ये टोरी दाईं ओर के प्रतिबिम्बों में चित्रित हैं। जब '''R'''<sup>3</sup> को एक गेंद की सीमा तक संपीड़ित किया जाता है, तो कुछ ज्यामितीय संरचना लुप्त हो जाती है, हालांकि सांस्थितिकी संरचना पूर्ण बनी रहती है [[(सांस्थिति और ज्यामिति]] देखें)। लूप (पाश) वृत्तों के समरूप हैं, हालाँकि वे ज्यामितीय वृत्त नहीं हैं। | |||
हॉफ फिब्रेशन के कई सामान्यीकरण | हॉफ फिब्रेशन के कई सामान्यीकरण हैं | इकाई गोलक [[सम्मिश्र निर्देशक समष्टि]] {{math|'''C'''<sup>''n''+1</sup>}} फाइबरों में स्वाभाविक रूप से [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|सम्मिश्र प्रक्षेप्य]] [[समष्टि]] {{math|'''CP'''<sup>''n''</sup>}} पर फाइबरों के रूप में वृत्तों के साथ होते हैं, और इन फाइबरों के [[वास्तविक]], [[चतुर्धातुक]] और [[ऑक्टोनियोनिक]] संस्करण भी होते हैं। <ref name="quaternionic Hopf Fibration on nLab">quaternionic Hopf Fibration, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration</ref> विशेष रूप से हॉपफ, हॉपफ फ़िब्रेशन चार फाइबर बंडलों के एक समूह से संबंधित है जिसमें कुल समष्टि, आधार समष्टि और फाइबर समष्टि सभी गोले हैं, | ||
:<math>S^0\hookrightarrow S^1 \to S^1,</math> | :<math>S^0\hookrightarrow S^1 \to S^1,</math> | ||
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:<math>S^3\hookrightarrow S^7 \to S^4,</math> | :<math>S^3\hookrightarrow S^7 \to S^4,</math> | ||
:<math>S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8.</math> | :<math>S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8.</math> | ||
[[एडम्स प्रमेय]] के अनुसार ऐसे फ़िब्रेशन केवल इन आयामों में ही हो सकते हैं। | |||
[[ ट्विस्टर सिद्धांत ]] में हॉफ फिब्रेशन महत्वपूर्ण है।{{clarify|date=December 2022}} | [[ ट्विस्टर सिद्धांत |ट्विस्टर सिद्धांत]] में हॉफ फिब्रेशन महत्वपूर्ण है।{{clarify|date=December 2022}} | ||
== परिभाषा और निर्माण == | == परिभाषा और निर्माण == | ||
किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] n के लिए, एक n- | किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] ''n'' के लिए, एक ''n''-विमीय गोले या n-गोले, को <math>(n+1)</math>-विमीय [[समष्टि]] में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो एक केंद्रीय [[बिंदु]] से एक निश्चित दूरी पर हैं। ठोसता के लिए, केंद्रीय बिंदु को [[मूल]] बिंदु माना जा सकता है, और इस मूल बिंदु से गोले के बिंदुओं की दूरी को एक इकाई लंबाई माना जा सकता है। इस कन्वेंशन के साथ, n-गोला, <math>S^n</math>, <math>\R^{n+1}</math> में <sub>x1</sub><sup>2</sup> + x<sub>2</sub><sup>2</sup> + ⋯+ x<sub>''n'' + 1</sub><sup>2</sup> = 1 के साथ बिंदुओं <math>(x_1, x_2,\ldots , x_{n+ 1})</math> से बना है। | ||
उदाहरण के लिए, 3-गोले में '''R'''<sup>4</sup> में ''x''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>3</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>4</sub><sup>2</sup> = 1 के साथ बिंदु (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>) सम्मिलित हैं। | |||
2-गोले पर 3-गोले के हॉपफ फ़िब्रेशन p: ''S''<sup>3</sup> → ''S''<sup>2</sup> को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। | |||
=== प्रत्यक्ष निर्माण === | === प्रत्यक्ष निर्माण === | ||
{{math|'''R'''<sup>4</sup>}} को {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} से और {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} को {{math|'''C''' × '''R'''}} से पहचाने (जहाँ C सम्मिश्र संख्याओं को दर्शाता है) लिखकर: | |||
:<math>(x_1, x_2, x_3, x_4) \leftrightarrow (z_0, z_1) = (x_1 + ix_2, x_3+ix_4)</math> | :<math>(x_1, x_2, x_3, x_4) \leftrightarrow (z_0, z_1) = (x_1 + ix_2, x_3+ix_4)</math> | ||
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:<math>(x_1, x_2, x_3) \leftrightarrow (z, x) = (x_1 + ix_2, x_3)</math>. | :<math>(x_1, x_2, x_3) \leftrightarrow (z, x) = (x_1 + ix_2, x_3)</math>. | ||
इस प्रकार {{math|''S''<sup>3</sup>}} | इस प्रकार {{math|''S''<sup>3</sup>}} को {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} में सभी (''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) के [[उपसमुच्चय]] के साथ पहचाना जाता है, जैसे कि |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup> + |''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup> = 1 और ''S''<sup>2</sup> को '''C'''×'''R''' में सभी (''z'', ''x'') के उपसमुच्चय के साथ पहचाना जाता है, जैसे कि |''z''|<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> = 1 | (यहां, एक सम्मिश्र संख्या ''z'' = ''x'' + i''y'' के लिए, |''z''|<sup>2</sup> = ''z'' ''z''<sup>∗</sup> = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>, जहां स्टार (तारा) [[सम्मिश्र संयुग्म]] को दर्शाता है।) | ||
<math>p(z_0,z_1) = (2z_0z_1^{\ast}, \left|z_0 \right|^2-\left|z_1 \right|^2).</math> | |||
पहला घटक एक सम्मिश्र संख्या है, जबकि दूसरा घटक वास्तविक है। {{math|3}}-गोले के किसी भी बिंदु में यह गुण होना चाहिए कि {{math|{{!}}''z''<sub>0</sub>{{!}}<sup>2</sup> + {{!}}''z''<sub>1</sub>{{!}}<sup>2</sup> {{=}} 1}}| यदि ऐसा है, तो {{math|''p''(''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>)}} '''C''' × '''R''' में इकाई 2-गोले पर स्थित है, जैसा कि ''p'' के सम्मिश्र और वास्तविक घटकों का वर्ग करके दिखाया जा सकता है | |||
पहला घटक एक सम्मिश्र संख्या है, जबकि दूसरा घटक वास्तविक है। | |||
:<math>2 z_{0} z_{1}^{\ast} \cdot 2 z_{0}^{\ast} z_{1} + | :<math>2 z_{0} z_{1}^{\ast} \cdot 2 z_{0}^{\ast} z_{1} + | ||
| Line 51: | Line 52: | ||
\left| z_{0} \right|^{4} - 2 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{4} = | \left| z_{0} \right|^{4} - 2 \left| z_{0} \right|^{2} \left| z_{1} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{4} = | ||
\left( \left| z_{0} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 1</math> | \left( \left| z_{0} \right|^{2} + \left| z_{1} \right|^{2} \right)^{2} = 1</math> | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, यदि 3-गोले मानचित्र पर दो बिंदु 2-गोले पर एक ही बिंदु पर हैं, अर्थात, यदि {{math|1=''p''(''z''<sub>0</sub>, ''z''<sub>1</sub>) = ''p''(''w''<sub>0</sub>, ''w''<sub>1</sub>)}}, तो {{math|(''w''<sub>0</sub>, ''w''<sub>1</sub>)}} को |''λ''|<sup>2</sup> = 1 के साथ कुछ सम्मिश्र संख्या λ के लिए (''λ'' ''z''<sub>0</sub>, ''λ'' ''z''<sub>1</sub>) के बराबर होना चाहिए। इसका विलोम भी सत्य है; 3-गोलों पर कोई भी दो बिंदु जो एक सामान्य सम्मिश्र घटक λ से भिन्न होते हैं, 2-गोलों पर एक ही बिंदु पर मानचित्र बनाते हैं। ये निष्कर्ष अनुकरण करते हैं, क्योंकि सम्मिश्र घटक ''λ'' अपने सम्मिश्र संयुग्म ''λ''<sup>∗</sup> के साथ ''p'' के दोनों भागों में रद्द हो जाता है: सम्मिश्र 2''z''<sub>0</sub>''z''<sub>1</sub><sup>∗</sup> घटक में और वास्तविक घटक में |''z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup> − |''z''<sub>1</sub>|<sup>2</sup> | | ||
'''चूंकि सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय λ | के साथ है λ | 2 = 1 और जटिल तल में इकाई वृत्त बनाता है यह इस प्रकार है कि S''' 2 में प्रत्येक बिंदु m के लिए व्युत्क्रम छवि p −1 ( m ) एक वृत्त है अर्थात p −1 m ≅ S 1 इस प्रकार 3 -गोले को इन गोलाकार तंतुओं के असंयुक्त संघ के रूप में साकार किया जाता है। | |||
का | हॉपफ मानचित्र का उपयोग करते हुए 3 - गोले का प्रत्यक्ष पैरामीट्रिजेशन इस प्रकार है<ref>{{cite web|url=http://www.math.mcgill.ca/bsmith/HopfFibration.pdf|title=बेंजामिन एच. स्मिथ के हॉफ फिब्रेशन नोट्स|last1=Smith|first1=Benjamin|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20160914093230/http://www.math.mcgill.ca/bsmith/HopfFibration.pdf|archive-date=September 14, 2016}}</ref> | ||
:<math>z_0 = e^{i\,\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}\sin\eta </math> | :<math>z_0 = e^{i\,\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}\sin\eta </math> | ||
:<math>z_1 = e^{i\,\frac{\xi_2-\xi_1}{2}}\cos\eta. </math> | :<math>z_1 = e^{i\,\frac{\xi_2-\xi_1}{2}}\cos\eta. </math> | ||
या यूक्लिडियन | या यूक्लिडियन {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} में | ||
:<math>x_1 = \cos\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta</math> | :<math>x_1 = \cos\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta</math> | ||
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:<math>x_3 = \cos\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta </math> | :<math>x_3 = \cos\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta </math> | ||
:<math>x_4 = \sin\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta </math> | :<math>x_4 = \sin\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta </math> | ||
जहां η 0 से π /2 की सीमा पर चलता है ξ 1 0 और 2 π की सीमा पर चलता है तथा ξ 2 0 और 4 π के बीच कोई भी मान ले सकता है और η का प्रत्येक मान 0 और π /2 को छोड़कर जो वृत्त निर्दिष्ट करता है वह 3 -गोले में एक अलग सपाट टोरस निर्दिष्ट करता है तथा ξ 1 या ξ 2 में से एक राउंड ट्रिप निर्दिष्ट करता है जो आपको टोरस के दोनों अंगों का एक पूरा घेरा बनाने का कारण बनाता है। | |||
उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन | 2 - गोले में उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन का प्रतिचित्रण और ''ξ'' <sub>2</sub> द्वारा पैरामीरिज्ड गोले पर बिंदुओं का साथ इस प्रकार है | ||
:<math>z = \cos(2\eta)</math> | :<math>z = \cos(2\eta)</math> | ||
| Line 73: | Line 74: | ||
जटिल प्रक्षेपी रेखा का उपयोग करके | जटिल प्रक्षेपी रेखा का उपयोग करके ज्यामितीय व्याख्या | ||
जटिल {{math|'''CP'''<sup>1</sup>}} प्रक्षेप्य रेखा का उपयोग करके फाइब्रेशन की एक ज्यामितीय व्याख्या प्राप्त की जा सकती है जिसे {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} के सभी जटिल आयामी उप-स्थानों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है समान रूप से CP 1 समतुल्य संबंध द्वारा C2 \{0} का भागफल है जो किसी भी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या λ के लिए ( z 0 , z 1 ) को ( λ z 0 , λ z 1 ) से पहचानता है C2 में किसी भी जटिल रेखा पर इकाई मानदंड का एक चक्र होता है और इसलिए इकाई मानदंड के बिंदुओं पर भागफल मानचित्र का प्रतिबंध CP 1 पर S 3 का कंपन होता है। | |||
{{math|'''CP'''<sup>1</sup>}} | {{math|'''CP'''<sup>1</sup>}} {{math|2}}-गोले से भिन्न है वास्तव में इसे [[रीमैन क्षेत्र]] {{math|1='''C'''<sub>∞</sub> = '''C''' ∪ {∞}<nowiki/>}} से पहचाना जा सकता है जो कि {{math|'''C'''}} का एक बिन्दु संघनन है ऊपर {{math|''p''}} के लिए दिया गया सूत्र प्रक्षेप्य रेखा और 3-आयामी समष्टि में साधारण 2 -गोले के बीच एक स्पष्ट भिन्नता को परिभाषित करता है और वैकल्पिक रूप से बिंदु ( z 0 , z 1 ) को रीमैन क्षेत्र में z 0 C ∞ z 1 / के अनुपात में प्रतिचित्रित किया जा सकता है । | ||
==== फाइबर बंडल संरचना ==== | ==== फाइबर बंडल संरचना ==== | ||
बंडल प्रक्षेपण P के साथ हॉपफ फ़िब्रेशन एक फाइबर बंडल को परिभाषित करता है और जिसका अर्थ यह है कि इसकी एक स्थानीय उत्पाद संरचना है जो कि प्रत्येक बिंदु {{math|2}}-गोले का मेल है तथा {{math|''U''}} जिसकी उलटी छवि में {{math|3}}-गोले के उत्पाद समष्टिके साथ [[होमियोमोर्फिज्म|पहचाना]] जा सकता है वह {{math|''U''}} और एक वृत्त: {{math|''p''<sup>−1</sup>(''U'') ≅ ''U'' × ''S''<sup>1</sup>}} है इस तरह के कंपन को स्थानीय रूप से तुच्छ कहा जाता है। | |||