विश्लेषणात्मक विविधता: Difference between revisions
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गणित में, '''विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड''', जिसे <math>C^\omega</math> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है, विश्लेषणात्मक संक्रमण मानचित्रों के साथ एक अवकलनीय मैनिफोल्ड है।<ref name=":0">{{Citation|last=Varadarajan|first=V. S.|title=Differentiable and Analytic Manifolds|date=1984|work=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|pages=1–40|editor-last=Varadarajan|editor-first=V. S.|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=102|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-1126-6_1|isbn=978-1-4612-1126-6}}</ref> यह शब्द सामान्यतः वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्डों को संदर्भित करता है, हालांकि समकोण मैनिफोल्ड भी विश्लेषणात्मक होते हैं।<ref>{{citation|last=Vaughn|first=Michael T.|title=Introduction to Mathematical Physics|url=https://books.google.com/books?id=3Mnk63iqUc4C&pg=PA98|page=98|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9783527618866}}.</ref> बीजगणितीय ज्यामिति में, [[विश्लेषणात्मक स्थान]] विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि विलक्षणताओं (सिंगुलैरिटी) की अनुमति है। | |||
गणित में, विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड, जिसे <math>C^\omega</math> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है, विश्लेषणात्मक संक्रमण मानचित्रों के साथ एक अवकलनीय मैनिफोल्ड है।<ref name=":0">{{Citation|last=Varadarajan|first=V. S.|title=Differentiable and Analytic Manifolds|date=1984|work=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|pages=1–40|editor-last=Varadarajan|editor-first=V. S.|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=102|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-1126-6_1|isbn=978-1-4612-1126-6}}</ref> यह शब्द सामान्यतः वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्डों को संदर्भित करता है, हालांकि समकोण मैनिफोल्ड भी विश्लेषणात्मक होते हैं।<ref>{{citation|last=Vaughn|first=Michael T.|title=Introduction to Mathematical Physics|url=https://books.google.com/books?id=3Mnk63iqUc4C&pg=PA98|page=98|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9783527618866}}.</ref> बीजगणितीय ज्यामिति में, [[विश्लेषणात्मक स्थान]] विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि विलक्षणताओं (सिंगुलैरिटी) की अनुमति है। | |||
<math>U \subseteq \R^n</math> के लिए, विश्लेषणात्मक फलनों का स्थान, <math>C^{\omega}(U)</math>, अनंत रूप से अवकलनीय फलनों <math>f:U \to \R </math> से युक्त है, जैसे कि टेलर श्रेणी | <math>U \subseteq \R^n</math> के लिए, विश्लेषणात्मक फलनों का स्थान, <math>C^{\omega}(U)</math>, अनंत रूप से अवकलनीय फलनों <math>f:U \to \R </math> से युक्त है, जैसे कि टेलर श्रेणी | ||
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<math>T_f(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{D^\alpha f(\mathbf{x_0})}{\alpha!} (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^\alpha</math> | <math>T_f(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{D^\alpha f(\mathbf{x_0})}{\alpha!} (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^\alpha</math> | ||
सभी <math>\mathbf{x_0} \in U</math> के लिए <math>\mathbf{x_0}</math> के निकटवर्ती में <math>f(\mathbf{x})</math> पर कनवर्ज होता है। संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता उनके असीम रूप से अवकलनीय होने की तुलना में कुछ अधिक प्रतिबंधात्मक है; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड समग्र मैनिफोल्डों के एक उपयुक्त उपसमुच्चय होते हैं, अर्थात् <math>C^\infty</math> मैनिफोल्डों।<ref name=":0" /> विश्लेषणात्मक और समग्र मैनिफोल्ड के सिद्धांत में कई समानताएं होती हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड में विश्लेषणात्मक एकताओं की स्वीकृति नहीं होती है, जबकि समग्र एकताओं की स्वीकृति समग्र मैनिफोल्डों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण उपकरण होती है।<ref>{{Cite book|last=Tu|first=Loring W.|title=मैनिफोल्ड्स का एक परिचय|date=2011|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4419-7399-3|series=Universitext|location=New York, NY|doi=10.1007/978-1-4419-7400-6}}</ref> परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक स्थितियों के लिए, भिन्न-भिन्न रूपों में और | सभी <math>\mathbf{x_0} \in U</math> के लिए <math>\mathbf{x_0}</math> के निकटवर्ती में <math>f(\mathbf{x})</math> पर कनवर्ज होता है। संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता उनके असीम रूप से अवकलनीय होने की तुलना में कुछ अधिक प्रतिबंधात्मक है; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड समग्र मैनिफोल्डों के एक उपयुक्त उपसमुच्चय होते हैं, अर्थात् <math>C^\infty</math> मैनिफोल्डों।<ref name=":0" /> विश्लेषणात्मक और समग्र मैनिफोल्ड के सिद्धांत में कई समानताएं होती हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड में विश्लेषणात्मक एकताओं की स्वीकृति नहीं होती है, जबकि समग्र एकताओं की स्वीकृति समग्र मैनिफोल्डों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण उपकरण होती है।<ref>{{Cite book|last=Tu|first=Loring W.|title=मैनिफोल्ड्स का एक परिचय|date=2011|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4419-7399-3|series=Universitext|location=New York, NY|doi=10.1007/978-1-4419-7400-6}}</ref> परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक स्थितियों के लिए, भिन्न-भिन्न रूपों में और सम्मिश्र स्थितियों के लिए, सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स में पाया जा सकता है। | ||
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Latest revision as of 15:41, 31 July 2023
गणित में, विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड, जिसे मैनिफोल्ड भी कहा जाता है, विश्लेषणात्मक संक्रमण मानचित्रों के साथ एक अवकलनीय मैनिफोल्ड है।[1] यह शब्द सामान्यतः वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्डों को संदर्भित करता है, हालांकि समकोण मैनिफोल्ड भी विश्लेषणात्मक होते हैं।[2] बीजगणितीय ज्यामिति में, विश्लेषणात्मक स्थान विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि विलक्षणताओं (सिंगुलैरिटी) की अनुमति है।
के लिए, विश्लेषणात्मक फलनों का स्थान, , अनंत रूप से अवकलनीय फलनों से युक्त है, जैसे कि टेलर श्रेणी
सभी के लिए के निकटवर्ती में पर कनवर्ज होता है। संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता उनके असीम रूप से अवकलनीय होने की तुलना में कुछ अधिक प्रतिबंधात्मक है; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड समग्र मैनिफोल्डों के एक उपयुक्त उपसमुच्चय होते हैं, अर्थात् मैनिफोल्डों।[1] विश्लेषणात्मक और समग्र मैनिफोल्ड के सिद्धांत में कई समानताएं होती हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड में विश्लेषणात्मक एकताओं की स्वीकृति नहीं होती है, जबकि समग्र एकताओं की स्वीकृति समग्र मैनिफोल्डों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण उपकरण होती है।[3] परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक स्थितियों के लिए, भिन्न-भिन्न रूपों में और सम्मिश्र स्थितियों के लिए, सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स में पाया जा सकता है।
यह भी देखें
- सम्मिश्र मैनिफोल्ड
- विश्लेषणात्मक विविधता
- बीजीय ज्यामिति § विश्लेषणात्मक ज्यामिति
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Varadarajan, V. S. (1984), Varadarajan, V. S. (ed.), "Differentiable and Analytic Manifolds", Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, Graduate Texts in Mathematics (in English), Springer, vol. 102, pp. 1–40, doi:10.1007/978-1-4612-1126-6_1, ISBN 978-1-4612-1126-6
- ↑ Vaughn, Michael T. (2008), Introduction to Mathematical Physics, John Wiley & Sons, p. 98, ISBN 9783527618866.
- ↑ Tu, Loring W. (2011). मैनिफोल्ड्स का एक परिचय. Universitext. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6. ISBN 978-1-4419-7399-3.
