विरूपण (गणित): Difference between revisions

गणित में, '''विरूपण''' सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान ''P''_ε में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां [[बाधा (गणित)]] के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक कैलकुलस के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए [[विरूपण ([[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]])]] करता है।

कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, [[संख्याओं की ज्यामिति]] में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा ([[समूह क्रिया (गणित)]]) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः [[ऑपरेटर (गणित)]] की विकृतियों पर भी ध्यान देता है।

गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल मैनिफोल्ड्स एवं बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे [[कुनिहिको कोदैरा]] एवं डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] को मापांक स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।

जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। उसी शीफ के ''H''² में रुकावट है;; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H¹भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम [[हॉज नंबर]] ''h''^1,0 है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में ''y''² = ''x''³ + ''ax'' + ''b'' के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a एवं b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a एवं b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए ''b''²''a''⁻³ का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a एवं b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय ''y''² = ''x''³ + ''ax'' + ''b है'', परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं।

H¹ से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस g > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है,

ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित  [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के कार्य की ठोस व्याख्या हुई; एवं अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है।

विरूपण सिद्धांत के उपयोगी एवं सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड]], कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता से आता है।<ref name=":0" />ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स एवं जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं<math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math>, जहाँ <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math> अभिसम्पूर्ण शक्ति-श्रृंखला का वलय है एवं <math>I</math> आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित <math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math> समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के ऐसे रोगाणु का विरूपण <math>X_0</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित <math>f:X \to S</math> के रोगाणुओं के समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है, जहाँ <math>S</math> विशिष्ट बिंदु <math>0</math> है ऐसे कि <math>X_0</math> पुलबैक वर्ग में उचित होता है,<math>\begin{matrix}

कैलकुलस में अन्य-कठोर तर्कों के लिए गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से अतिसूक्ष्म का उपयोग किया जाता रहा है। विचार यह है कि यदि हम बहुपदों <math>F(x,\varepsilon)</math> पर अतिसूक्ष्म <math>\varepsilon</math> के साथ विचार करें, तभी केवल प्रथम क्रम का अनुबंध वास्तव में आवश्यक हैं; अर्थात् विचार कर सकते हैं कि

  <math>\varepsilon</math> इस शब्द में एकपदी का व्युत्पन्न सम्मिलित है, जो कैलकुलस में इसके उपयोग को प्रदर्शित करता है। हम इस समीकरण की व्याख्या एकपदी के टेलर विस्तार के पनिवारणे दो पदों के रूप में भी कर सकते हैं। स्थानीय आर्टिन बीजगणित में निलपोटेंट तत्वों का उपयोग करके अतिसूक्ष्म को कठोर बनाया जा सकता है। रिंग में <math>k[y]/(y^2)</math> हम देखते हैं कि अतिसूक्ष्म के साथ तर्क कार्य कर सकते हैं। यह अंकन <math>k[\varepsilon] = k[y]/(y^2)</math> को प्रेरित करता है, जिसे दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है।

जहाँ <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math> है। फिर, दाहिने हाथ के कोने पर स्थित स्थान अतिसूक्ष्म विरूपण का उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> (जो स्थलाकृतिक रूप से बिंदु है) इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए अपने पूर्वविरूपण फ़ैक्टर को वस्तुओं पर इस प्रकार परिभाषित करने देंगे

किसी भी प्रक्षेपण के लिए पूर्व-विरूपण फ़ैक्टर को चौरस कहा जाता है <math>A' \to A</math> जैसे कि कर्नेल में किसी भी तत्व का वर्ग शून्य है, यह अनुमान है

:<math>F(A') \to F(A)</math>,

चौरस नाम योजनाओं के चौरस रूपवाद को उठाने की कसौटी से आया है।

जहां स्रोत दोहरी संख्याओं की रिंग है। चूँकि हम कुछ मापांक स्पेस के बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान पर विचार कर रहे हैं, हम अपने (पूर्व)-विरूपण फ़ैनक्टर के स्पर्शरेखा स्थान को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं,

\end{align}</math>है एवं  नकारात्मक डिग्री के लाइन बंडलों के लिए<math>h^0(L) = 0</math> है। इसलिए मापांक स्पेस का आयाम <math>3g - 3</math> है।  

=== मोड़ना एवं तोड़ना ===

बीजीय विविधता पर [[तर्कसंगत वक्र|तर्कसंगत वक्रों]] के अस्तित्व का अध्ययन करने के लिए विरूपण सिद्धांत को [[ महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी |महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी]] द्वारा [[द्विवार्षिक ज्यामिति]] में प्रसिद्ध रूप से प्रस्तावित किया गया था।<ref>{{cite book| first=Olivier|last = Debarre | author-link = Olivier Debarre|  title = Higher-Dimensional Algebraic Geometry|year = 2001 | publisher= Springer| chapter = 3. Bend-and-Break Lemmas | series = Universitext}}</ref> फ़ानो किस्म के धनात्कमक आयाम के लिए मोरी ने दिखाया कि प्रत्येक बिंदु से निकलने वाला तर्कसंगत वक्र है। प्रमाण की विधि को पश्चात में मोरी के मोड़ एवं तोड़ के नाम से जाना जाने लगा। विचार यह है कि चयन किये गए बिंदु के माध्यम से कुछ वक्र ''सी'' से शुरू किया जाए एवं इसे तब तक विकृत किया जाए जब तक कि यह कई अपरिवर्तनीय घटकों में खंडित न हो जाए। घटकों में से किसी  द्वारा ''सी'' को प्रतिस्थापित करने से वक्र के जीनस या ''सी'' की [[बीजगणितीय विविधता की डिग्री]] में कमी का प्रभाव पड़ता है। इसलिए प्रक्रिया के कई दोहराव के पश्चात, अंततः हम जीनस 0 का वक्र प्राप्त करेंगे, अर्थात् तर्कसंगत वक्र ''सी'' की विकृतियों के अस्तित्व एवं गुणों के लिए विरूपण सिद्धांत से तर्क एवं [[सकारात्मक विशेषता|धनात्कमक विशेषता]] में कमी की आवश्यकता होती है।

{{further|Deformation ring}}

बीजगणित (एवं [[होशचाइल्ड कोहोमोलॉजी]]) के संदर्भ में उत्पन्न होने वाले तथाकथित [[डेलिग्ने अनुमान]] ने स्ट्रिंग सिद्धांत के संबंध में विरूपण सिद्धांत में बहुत रुचि पैदा की (मोटे तौर पर, इस विचार को औपचारिक रूप देने के लिए कि एक स्ट्रिंग सिद्धांत को एक बिंदु के विरूपण के रूप में माना जा सकता है- कण सिद्धांत){{Citation needed|date=July 2021}}. प्रारंभिक घोषणाओं में कुछ