K3 सतह: Difference between revisions

|quote=Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.<br><br>

''In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of [[Ernst Kummer|Kummer]], [[Erich Kähler|Kähler]], [[Kunihiko Kodaira|Kodaira]] and of the beautiful mountain [[K2]] in [[Kashmir]].''

|source=André {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, describing the reason for the name "K3 surface"

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा,

*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>

डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का सेट [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल है <math>O(\Lambda)</math>, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि की क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी परिवार एन में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में मनमाने ढंग से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।

[[ अवधि मानचित्रण | अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है

अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math>. यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि डी हॉसडॉर्फ है और एन नहीं है)। हालाँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि सेट का भागफल मानचित्र

वस्तुनिष्ठ है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप को संरक्षित करता है और भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math>.<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref>

जीनस ''जी'' की ध्रुवीकृत K3 सतह ''X'' को प्रक्षेपी K3 सतह के साथ पर्याप्त रेखा बंडल ''L'' के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि ''L'' आदिम है (अर्थात, 2 नहीं) या अधिक बार [[पर्याप्त लाइन बंडल]]) और <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. इसे 2''g''−2 डिग्री की ध्रुवीकृत K3 सतह भी कहा जाता है।<ref>Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.</ref>

एल के अनुभागों के वेक्टर स्थान का आयाम जी + 1 है, और इसलिए एल ्स से प्रक्षेप्य स्थान तक रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>. ज्यादातर मामलों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, ताकि ्स डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक हो <math>\mathbf{P}^g</math>.

इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}.

विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>

अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y अपूर्व हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित होती करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>

बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होती हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।

केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।

सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पूर्व सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।

बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(पिक(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(पिक(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(पिक(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>

K3 सतहें [[स्ट्रिंग द्वैत]] में लगभग सर्वव्यापी दिखाई देती हैं और इसे समझने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करती हैं। कॉम्पैक्टीफिकेशन (भौतिकी)#इन सतहों पर स्ट्रिंग सिद्धांत में कॉम्पैक्टीफिकेशन मामूली नहीं है, फिर भी वे अपने अधिकांश गुणों का विस्तार से विश्लेषण करने के लिए काफी सरल हैं। प्रकार IIA स्ट्रिंग, प्रकार IIB स्ट्रिंग, E₈×E₈ हेटेरोटिक स्ट्रिंग, स्पिन(32)/जेड2 हेटेरोटिक स्ट्रिंग, और एम-सिद्धांत K3 सतह पर संघनन द्वारा संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, K3 सतह पर संकुचित प्रकार IIA स्ट्रिंग 4-टोरस पर संकुचित हेटेरोटिक स्ट्रिंग के समान है ({{harvtxt|Aspinwall|1996}}).

चतुर्थक सतहों में <math>\mathbf{P}^3</math> [[गंभीर दुःख]], [[आर्थर केली]], [[फ्रेडरिक शूर]] और अन्य 19वीं सदी के जियोमीटर द्वारा अध्ययन किया गया था। अधिक सामान्यतः, [[फेडरिको एनरिक्स]] ने 1893 में देखा कि विभिन्न संख्याओं g के लिए, डिग्री 2g−2 की सतहें होती हैं <math>\mathbf{P}^g</math> तुच्छ विहित बंडल और अनियमितता शून्य के साथ।<ref>Enriques (1893), section III.6.</ref> 1909 में, एनरिकेज़ ने दिखाया कि ऐसी सतहें सभी के लिए मौजूद हैं <math>g\geq 3</math>, और [[फ्रांसिस सेवेरी]] ने दिखाया कि ऐसी सतहों के मॉड्यूलि स्पेस में प्रत्येक जी के लिए आयाम 19 है।<ref>Enriques (1909); Severi (1909).</ref>

आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958}} ने K3 सतहों को उनका नाम दिया (ऊपर उद्धरण देखें) और उनके वर्गीकरण के सम्बन्ध में कई प्रभावशाली अनुमान लगाए। कुनिहिको कोदैरा ने 1960 के आसपास बुनियादी सिद्धांत पूरा किया, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों का पहला व्यवस्थित अध्ययन किया जो बीजगणितीय नहीं हैं। उन्होंने दिखाया कि कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें विरूपण-समतुल्य हैं और इसलिए भिन्नरूपी हैं, जो बीजगणितीय K3 सतहों के लिए भी नया था। महत्वपूर्ण पश्चात् की प्रगति जटिल बीजीय K3 सतहों के लिए [[इल्या पियाटेत्स्की-शापिरो]] और इगोर शफ़ारेविच (1971) द्वारा टोरेली प्रमेय का प्रमाण था, जिसे डैनियल बर्न्स और [[माइकल रैपोपोर्ट]] (1975) द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों तक विस्तारित किया गया था।

*[[छत्रछाया चांदनी]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।