K3 सतह: Difference between revisions

|quote=मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति<br><br>

''मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम [[अर्नस्ट कुमेर|कुमेर]], [[एरिच काहलर|काहलर]], [[कुनिहिको कोडैरा|कोडैरा]] और [[कश्मीर]] के सुन्दर पर्वत [[K2]] के सम्मान में रखा गया है।''

|source=आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी|L-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा,

*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार Lेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>

*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका सिग्नेचर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>

*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X स्मूथ सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) I (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ''X'' में विपरीत छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.)

*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म|एबेलियन प्रकार]] A का भागफल <math>a\mapsto -a</math> है I इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के समाधान को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह समाधान K3 सतह है। जब A जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन प्रकार]] है, तो कुमेर ने भागफल प्रदर्शित किया I <math>A/(\pm 1)</math> में <math>\mathbf{P}^3</math>एम्बेड किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता नोड्स के 16 अपूर्व बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में किया जा सकता है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] पिक(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह, बीजीय K3 सतह के लिए, पिक(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA|गागा]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह आदि।

K3 सतह X का पिकार्ड समूह सदैव सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' <math>\rho</math> कहा जाता है I जटिल  सम्बन्ध में, पिक(X) का उपसमूह <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> है I यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई भिन्न-भिन्न पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक  सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ)।

K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह पिक(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math> सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है। K3 सतह का पिकार्ड जाली सदैव सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> है I

[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में सिग्नेचर <math>(1,\rho-1)</math> हैं I K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य शक्तिशाली संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पूर्व उदाहरण के रूप में: जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि कोई <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math> तत्व है I<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref> सामान्यतः, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या <math>\rho</math> के साथ <math>20-\rho</math> आयाम है (सुपरसिंगुलर केस को त्यागकर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं।

K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि सिग्नेचर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम <math>20-\rho</math> होता है I

==दीर्घवृत्तीय K3 सतहें==

K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन|दीर्घवृत्तीय कंपन]] वाली K3 सतहें <math>X\to\mathbf{P}^1</math>सम्मिलित होती हैं I दीर्घवृत्तीय का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के स्मूथ वक्र हैं। अपूर्व फाइबर [[तर्कसंगत वक्र|रैशनल वक्रों]] के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के अपूर्व फाइबर होते हैं। सदैव कुछ अपूर्व फाइबर होते हैं, क्योंकि अपूर्व फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग <math>\chi(X)=24</math> होता है I सामान्य दीर्घवृत्तीय K3 सतह में 24 अपूर्व फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र) आदि I<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref> K3 सतह दीर्घवृत्तीय है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में दीर्घवृत्तीय कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई अन्य-शून्य तत्व <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math> हो I <ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है कोडैरा आयाम 1 की सतहें अर्ध-दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी समूह हैं, और दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।

उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें रेखा L होती है उसमें दीर्घवृत्तीय कंपन होता है I <math>X\to \mathbf{P}^1</math>'', L'' से दूर प्रक्षेपित कर दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।

डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने प्रदर्शित किया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करते है I <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math> चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का समूह [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल <math>O(\Lambda)</math> है, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से संवृत होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी समूह N में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में स्वेच्छानुसार उपाय से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।

[[ अवधि मानचित्रण |अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में प्रेक्षित करती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है

अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर प्रेक्षित करता है I <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math> यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि ''D'' हॉसडॉर्फ है और N नहीं है)। चूँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि समुच्चय का भागफल मानचित्र

वस्तुनिष्ठ है I इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math> को संरक्षित करता है और प्रेक्षित करता है I<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref>

जीनस g की ध्रुवीकृत K3 सतह ''X'' को प्रक्षेपी K3 सतह के साथ पर्याप्त रेखा बंडल ''L'' के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि ''L'' प्राथमिक है (अर्थात, 2 नहीं) या अधिक बार [[पर्याप्त लाइन बंडल]]) और <math>c_1(L)^2=2g-2</math> इसे 2''g''−2 डिग्री की ध्रुवीकृत K3 सतह भी कहा जाता है।<ref>Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.</ref>  

इन धारणाओं के अंतर्गत, L आधार-बिंदु-मुक्त है। विशेषता शून्य में, बर्टिनी के प्रमेय का तात्पर्य है कि [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] |L| में स्मूथ वक्र C है ऐसे, सभी वक्रों में जीनस g होता है, जो बताता है कि क्यों (X,L) को जीनस g कहा जाता है।

L के अनुभागों के सदिश स्थान का आयाम g + 1 है, और इसलिए L, ''X'' से प्रक्षेप्य स्थान तक आकारिता <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है I अधिकतर विषयों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, जिससे X डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक <math>\mathbf{P}^g</math> हो I