मुक्त संवलन: Difference between revisions

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मुक्त संवलन संभाव्यता मापों के संवलन की शास्त्रीय धारणा का मुक्त संभाव्यता एनालॉग है। मुक्त संभाव्यता सिद्धांत की गैर-क्रमविनिमेय प्रकृति के कारण, किसी को योगात्मक और गुणक मुक्त संवलन के बारे में अलग से बात करनी होगी, जो कि मुक्त अनियमित चर के जोड़ और गुणन से उत्पन्न होता है (नीचे देखें, शास्त्रीय मामले में, मुक्त का एनालॉग क्या होगा गुणात्मक संवलन को अनियमित चर के लघुगणक में पास करके योगात्मक संवलन में कम किया जा सकता है)।इन परिचालनों में अनियमित आव्यूह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपायों के संदर्भ में कुछ व्याख्याएं हैं।^[1]

मुक्त संवलन की धारणा डैन-वर्जिल वोइकुलेस्कु द्वारा प्रस्तुत की गई थी।^[2]^[3]

मुक्त योगात्मक संवलन

आज्ञा देना $\mu$ और $\nu$ वास्तविक रेखा पर दो संभाव्यता माप हों, और मान लें कि $X$ नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में एक अनियमित चर है $\mu$ और $Y$ नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है $\nu$ अंततः यही मान लीजिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रत हैं। फिर मुक्त योगात्मक संवलन $\mu \boxplus \nu$ का नियम $X+Y$ है। अनियमित आव्यूह व्याख्या: यदि $A$ और $B$ कुछ स्वतंत्र हैं $n$ द्वारा $n$ हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी एकात्मक (सम्मानित लंबकोणीय) आव्यूह द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय $A$ और $B$ क्रमशः प्रवृत्त होते हैं $\mu$ और $\nu$ जैसा $n$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप $A+B$ की प्रवृत्ति होती है $\mu \boxplus \nu$ ।^[4]

कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है $\mu \boxplus \nu$ स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और उपायों के आर-रूपांतरण का उपयोग करके $\mu$ और $\nu$ ।

आयताकार मुक्त योगात्मक संवलन

आयताकार मुक्त योगात्मक संवलन (अनुपात के साथ सी) $\boxplus _{c}$ इसे बेनायच-जॉर्जेस द्वारा गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता ढांचे में भी परिभाषित किया गया है^[5] और निम्नलिखित अनियमित आव्यूह व्याख्या को स्वीकार करता है। $c\in [0,1]$ , के लिए $A$ और $B$ कुछ स्वतंत्र हैं $n$ द्वारा $p$ जटिल (सम्मानित वास्तविक) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी भी एकात्मक (सम्मानित लंबकोणीय) आव्यूह द्वारा बाईं और दाईं ओर गुणा के तहत और इस तरह कि अनुभवजन्य एकवचन मान वितरण $A$ और $B$ क्रमशः प्रवृत्त होते हैं $\mu$ और $\nu$ जैसा $n$ और $p$ इस प्रकार अनंत की ओर प्रवृत्त होता हैं $n/p$ की प्रवृत्ति होती है $c$ , फिर अनुभवजन्य एकवचन मूल्यों का वितरण $A+B$ की प्रवृत्ति होती है $\mu \boxplus _{c}\nu$ ^[6]

कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है $\mu \boxplus _{c}\nu$ स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और अनुपात के साथ आयताकार आर-रूपांतरण का उपयोग करके $c$ उपायों का $\mu$ और $\nu$ ।

मुक्त गुणात्मक संवलन

होने देना $\mu$ और $\nu$ अंतराल पर दो संभाव्यता माप हों $[0,+\infty )$ , और मान लीजिये $X$ नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है $\mu$ और $Y$ नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है $\nu$ अंततः यही मान लीजिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र रूप से स्वतं

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-'''मुक्त [[कनवल्शन|संवलन]]''' संभाव्यता मापों के संवलन की शास्त्रीय धारणा का मुक्त संभाव्यता एनालॉग है। मुक्त संभाव्यता सिद्धांत की गैर-क्रमविनिमेय प्रकृति के कारण, किसी को योगात्मक और गुणक मुक्त संवलन के बारे में अलग से बात करनी होगी, जो कि मुक्त अनियमित चर के जोड़ और गुणन से उत्पन्न होता है (नीचे देखें, शास्त्रीय मामले में, मुक्त का एनालॉग क्या होगा) गुणात्मक संवलन को अनियमित चर के लघुगणक में पास करके योगात्मक संवलन में कम किया जा सकता है)। [[यादृच्छिक मैट्रिक्स|अनियमित आव्यूह]] के [[अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय|अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपायों]] के संदर्भ में इन परिचालनों की कुछ व्याख्याएं हैं।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
+'''मुक्त [[कनवल्शन|संवलन]]''' संभाव्यता मापों के संवलन की शास्त्रीय धारणा का मुक्त संभाव्यता एनालॉग है। मुक्त संभाव्यता सिद्धांत की गैर-क्रमविनिमेय प्रकृति के कारण, किसी को योगात्मक और गुणक मुक्त संवलन के बारे में अलग से बात करनी होगी, जो कि मुक्त अनियमित चर के जोड़ और गुणन से उत्पन्न होता है (नीचे देखें, शास्त्रीय मामले में, मुक्त का एनालॉग क्या होगा गुणात्मक संवलन को अनियमित चर के लघुगणक में पास करके योगात्मक संवलन में कम किया जा सकता है)।इन परिचालनों में [[यादृच्छिक मैट्रिक्स|अनियमित आव्यूह]] के [[अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय|अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपायों]] के संदर्भ में कुछ व्याख्याएं हैं।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
 मुक्त संवलन की धारणा [[डैन-वर्जिल वोइकुलेस्कु]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी।<ref>Voiculescu, D., Addition of certain non-commuting random variables, J. Funct. Anal. 66 (1986), 323–346</ref><ref>Voiculescu, D., Multiplication of certain noncommuting random variables, J. Operator Theory 18 (1987), 2223–2235</ref>
 == मुक्त योगात्मक संवलन ==
-आज्ञा देना <math>\mu</math> और <math>\nu</math> वास्तविक रेखा पर दो संभाव्यता माप हों, और मान लें कि <math>X</math> नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में एक अनियमित चर है <math>\mu</math> और <math>Y</math> नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\nu</math> अंततः यही मान लीजिए <math>X</math> और <math>Y</math> [[स्वतंत्र स्वतंत्रता|स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रत]] हैं। फिर मुक्त योगात्मक संवलन <math>\mu\boxplus\nu</math> का नियम  <math>X+Y</math> है। अनियमित आव्यूह व्याख्या: यदि <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>n</math> हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी एकात्मक (सम्मानित ऑर्थोगोनल) आव्यूह द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप <math>A+B</math> की प्रवृत्ति होती है <math>\mu\boxplus\nu</math> ।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
+आज्ञा देना <math>\mu</math> और <math>\nu</math> वास्तविक रेखा पर दो संभाव्यता माप हों, और मान लें कि <math>X</math> नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में एक अनियमित चर है <math>\mu</math> और <math>Y</math> नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\nu</math> अंततः यही मान लीजिए <math>X</math> और <math>Y</math> [[स्वतंत्र स्वतंत्रता|स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रत]] हैं। फिर मुक्त योगात्मक संवलन <math>\mu\boxplus\nu</math> का नियम  <math>X+Y</math> है। अनियमित आव्यूह व्याख्या: यदि <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>n</math> हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी एकात्मक (सम्मानित लंबकोणीय) आव्यूह द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप <math>A+B</math> की प्रवृत्ति होती है <math>\mu\boxplus\nu</math> ।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
 कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है <math>\mu\boxplus\nu</math> स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और उपायों के आर-रूपांतरण का उपयोग करके <math>\mu</math> और <math>\nu</math>।
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 == आयताकार मुक्त योगात्मक संवलन ==
-आयताकार मुक्त योगात्मक संवलन (अनुपात के साथ सी) <math>\boxplus_c</math> इसे बेनायच-जॉर्जेस द्वारा गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता ढांचे में भी परिभाषित किया गया है<ref>Benaych-Georges, F., Rectangular random matrices, related convolution, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.</ref> और निम्नलिखित अनियमित आव्यूह व्याख्या को स्वीकार करता है। <math>c\in [0,1]</math>, के लिए  <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>p</math> जटिल (सम्मानित वास्तविक) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी भी एकात्मक (सम्मानित ऑर्थोगोनल) आव्यूह द्वारा बाईं और दाईं ओर गुणा के तहत और इस तरह कि अनुभवजन्य एकवचन मान वितरण <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> और <math>p</math> इस प्रकार अनंत की ओर प्रवृत्त होता हैं <math>n/p</math> की प्रवृत्ति होती है <math>c</math>, फिर अनुभवजन्य एकवचन मूल्यों का वितरण <math>A+B</math> की प्रवृत्ति होती है <math>\mu\boxplus_c\nu</math><ref>Benaych-Georges, F., Rectangular random matrices, related convolution, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.</ref>
+आयताकार मुक्त योगात्मक संवलन (अनुपात के साथ सी) <math>\boxplus_c</math> इसे बेनायच-जॉर्जेस द्वारा गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता ढांचे में भी परिभाषित किया गया है<ref>Benaych-Georges, F., Rectangular random matrices, related convolution, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.</ref> और निम्नलिखित अनियमित आव्यूह व्याख्या को स्वीकार करता है। <math>c\in [0,1]</math>, के लिए  <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>p</math> जटिल (सम्मानित वास्तविक) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी भी एकात्मक (सम्मानित लंबकोणीय) आव्यूह द्वारा बाईं और दाईं ओर गुणा के तहत और इस तरह कि अनुभवजन्य एकवचन मान वितरण <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> और <math>p</math> इस प्रकार अनंत की ओर प्रवृत्त होता हैं <math>n/p</math> की प्रवृत्ति होती है <math>c</math>, फिर अनुभवजन्य एकवचन मूल्यों का वितरण <math>A+B</math> की प्रवृत्ति होती है <math>\mu\boxplus_c\nu</math><ref>Benaych-Georges, F., Rectangular random matrices, related convolution, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.</ref>
 कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है <math>\mu\boxplus_c\nu</math> स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और अनुपात के साथ आयताकार आर-रूपांतरण का उपयोग करके <math>c</math> उपायों का <math>\mu</math> और <math>\nu</math>।
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 == मुक्त गुणात्मक संवलन ==
-होने देना <math>\mu</math> और <math>\nu</math> अंतराल पर दो संभाव्यता माप हों <math>[0,+\infty)</math>, और मान लीजिये <math>X</math> नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\mu</math> और <math>Y</math> नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\nu</math> अंततः यही मान लीजिए <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रता हैं। फिर '''मुक्त गुणात्मक संवलन''' <math>\mu\boxtimes\nu</math> का नियम है <math>X^{1/2}YX^{1/2}</math> (या, समकक्ष, का नियम <math>Y^{1/2}XY^{1/2}</math>. अनियमित आव्यूह व्याख्या: यदि <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>n</math> गैर-नकारात्मक हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी एकात्मक (सम्मानित ऑर्थोगोनल) आव्यूह द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप <math>AB</math> की प्रवृत्ति है <math>\mu\boxtimes\nu</math>।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
+होने देना <math>\mu</math> और <math>\nu</math> अंतराल पर दो संभाव्यता माप हों <math>[0,+\infty)</math>, और मान लीजिये <math>X</math> नियम के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\mu</math> और <math>Y</math> नियम के साथ समान गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में अनियमित चर है <math>\nu</math> अंततः यही मान लीजिए <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रता हैं। फिर '''मुक्त गुणात्मक संवलन''' <math>\mu\boxtimes\nu</math> का नियम है <math>X^{1/2}YX^{1/2}</math> (या, समकक्ष, का नियम <math>Y^{1/2}XY^{1/2}</math>। अनियमित आव्यूह व्याख्या: यदि <math>A</math> और <math>B</math> कुछ स्वतंत्र हैं <math>n</math> द्वारा <math>n</math> गैर-नकारात्मक हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) अनियमित आव्यूह जैसे कि उनमें से कम से कम अपरिवर्तनीय है, नियम में, किसी एकात्मक (सम्मानित लंबकोणीय) आव्यूह द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय <math>A</math> और <math>B</math> क्रमशः प्रवृत्त होते हैं <math>\mu</math> और <math>\nu</math> जैसा <math>n</math> अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप <math>AB</math> की प्रवृत्ति है <math>\mu\boxtimes\nu</math>।<ref>Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press. {{isbn|978-0-521-19452-5}}.</ref>
-नियमों के मामले में भी ऐसी ही परिभाषा बनाई जा सकती है <math>\mu,\nu</math> यूनिट सर्कल पर समर्थित <math>\{z:|z|=1\}</math>, ऑर्थोगोनल या एकात्मक अनियमित आव्यूह व्याख्या के साथ।
+नियमों के मामले में भी ऐसी ही परिभाषा बनाई जा सकती है <math>\mu,\nu</math> यूनिट सर्कल पर समर्थित <math>\{z:|z|=1\}</math>, लंबकोणीय या एकात्मक अनियमित आव्यूह व्याख्या के साथ।
 जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और एस-ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके गुणक मुक्त संवलन की स्पष्ट गणना की जा सकती है।
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 * [https://www.math.uni-sb.de/ag/speicher/speicher_publikationenE.html survey articles] of Roland Speicher on free probability.
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