K3 सतह: Difference between revisions

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==बेट्टी संख्या की गणना==
==बेट्टी संख्या की गणना==
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा,
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी|L-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा,
:<math>h^2(X,\mathcal{O}_X)=h^0(X,K_X)=1.</math>
:<math>h^2(X,\mathcal{O}_X)=h^0(X,K_X)=1.</math>
परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या [[होलोमोर्फिक यूलर विशेषता]]) है:
परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या [[होलोमोर्फिक यूलर विशेषता]]) है:
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*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार Lेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका सिग्नेचर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका सिग्नेचर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
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== अवधि मानचित्र ==
== अवधि मानचित्र ==
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का सेट [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल है <math>O(\Lambda)</math>, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि की क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी परिवार एन में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में मनमाने ढंग से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करते है I <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math> चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का समूह [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल <math>O(\Lambda)</math> है, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी समूह N में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में स्वेच्छानुसार उपाय से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।


[[ अवधि मानचित्रण | अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है
[[ अवधि मानचित्रण |अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में प्रेक्षित करती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है
:<math>D=\{u\in P(\Lambda\otimes\Complex): u^2=0,\, u\cdot\overline{u} > 0\}.</math>
:<math>D=\{u\in P(\Lambda\otimes\Complex): u^2=0,\, u\cdot\overline{u} > 0\}.</math>
अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math>. यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि डी हॉसडॉर्फ है और एन नहीं है)। हालाँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि सेट का भागफल मानचित्र
अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर प्रेक्षित करता है I <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math> यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि ''D'' हॉसडॉर्फ है और N नहीं है)। चूँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि समुच्चय का भागफल मानचित्र
:<math>N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)</math>
:<math>N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)</math>
वस्तुनिष्ठ है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप को संरक्षित करता है और भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math>.<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref>
वस्तुनिष्ठ है I इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math> को संरक्षित करता है और प्रेक्षित करता है I<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref>


== प्रक्षेप्य K3 सतहों के मॉड्यूलि स्थान ==
== प्रक्षेप्य K3 सतहों के मॉड्यूलि स्थान ==
जीनस ''जी'' की ध्रुवीकृत K3 सतह ''X'' को प्रक्षेपी K3 सतह के साथ पर्याप्त रेखा बंडल ''L'' के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि ''L'' आदिम है (अर्थात, 2 नहीं) या अधिक बार [[पर्याप्त लाइन बंडल]]) और <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. इसे 2''g''−2 डिग्री की ध्रुवीकृत K3 सतह भी कहा जाता है।<ref>Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.</ref>
जीनस g की ध्रुवीकृत K3 सतह ''X'' को प्रक्षेपी K3 सतह के साथ पर्याप्त रेखा बंडल ''L'' के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि ''L'' प्राथमिक है (अर्थात, 2 नहीं) या अधिक बार [[पर्याप्त लाइन बंडल]]) और <math>c_1(L)^2=2g-2</math> इसे 2''g''−2 डिग्री की ध्रुवीकृत K3 सतह भी कहा जाता है।<ref>Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.</ref>  
इन धारणाओं के तहत, एल आधार-बिंदु-मुक्त है। विशेषता शून्य में, बर्टिनी के प्रमेय का तात्पर्य है कि [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] में स्मूथ वक्र C है |L| ऐसे सभी वक्रों में जीनस g होता है, जो बताता है कि क्यों (X,L) को जीनस g कहा जाता है।


एल के अनुभागों के वेक्टर स्थान का आयाम जी + 1 है, और इसलिए एल ्स से प्रक्षेप्य स्थान तक रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>. ज्यादातर मामलों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, ताकि ्स डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक हो <math>\mathbf{P}^g</math>.
इन धारणाओं के अंतर्गत, L आधार-बिंदु-मुक्त है। विशेषता शून्य में, बर्टिनी के प्रमेय का तात्पर्य है कि [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] |L| में स्मूथ वक्र C है ऐसे, सभी वक्रों में जीनस g होता है, जो बताता है कि क्यों (X,L) को जीनस g कहा जाता है।


इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}.
L के अनुभागों के सदिश स्थान का आयाम g + 1 है, और इसलिए L, ''X'' से प्रक्षेप्य स्थान तक आकारिता <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है I अधिकतर विषयों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, जिससे X डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक <math>\mathbf{P}^g</math> हो I


विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] <math>\mathcal{F}_g</math> है I प्रत्येक के लिए जीनस g की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>, इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक g के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>, इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math> द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}} है I
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y अपूर्व हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित होती करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>
 
विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करते है। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत समूह है I <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2 उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, किन्तु अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं I <math>\mathcal{F}_h</math>, <math>\mathcal{F}_g</math> यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है I <math>\mathcal{F}_g</math> चूँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
 
मान्यतः, जीनस ''g'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है प्राथमिक [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''L'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math> I ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, जिससे X की छवि Y अपूर्व हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र <math>\mathbf{P}^1</math> है,  स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस g की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पूर्व मॉड्यूलि स्पेस को विवृत उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित होती करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना अच्छा काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>


== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होती हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होती हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।


केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।

Revision as of 08:29, 22 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।[2] ( समान तर्क L-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का ) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है: