K3 सतह: Difference between revisions

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[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।
[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।


जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
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==उदाहरण==
==उदाहरण==
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) I (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ''X'' में विपरीत छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.)
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X स्मूथ सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) I (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ''X'' में विपरीत छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.)
*स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है।
*स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है।
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म|एबेलियन प्रकार]] A का भागफल <math>a\mapsto -a</math> है I इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के समाधान को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह समाधान K3 सतह है। जब A जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन प्रकार]] है, तो कुमेर ने भागफल प्रदर्शित किया I <math>A/(\pm 1)</math> में <math>\mathbf{P}^3</math>एम्बेड किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में किया जा सकता है।
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म|एबेलियन प्रकार]] A का भागफल <math>a\mapsto -a</math> है I इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के समाधान को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह समाधान K3 सतह है। जब A जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन प्रकार]] है, तो कुमेर ने भागफल प्रदर्शित किया I <math>A/(\pm 1)</math> में <math>\mathbf{P}^3</math>एम्बेड किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता नोड्स के 16 अपूर्व बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में किया जा सकता है।
*अधिक सामान्यतः डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम समाधान बीजगणितीय K3 सतह है।
*अधिक सामान्यतः डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम समाधान बीजगणितीय K3 सतह है।
*[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और घन का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^4</math> जीनस 4 (अर्थात्, डिग्री 6) की K3 सतह है।
*[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और घन का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^4</math> जीनस 4 (अर्थात्, डिग्री 6) की K3 सतह है।
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K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि सिग्नेचर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम <math>20-\rho</math> होता है I
K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि सिग्नेचर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम <math>20-\rho</math> होता है I


==अण्डाकार K3 सतहें==
==दीर्घवृत्तीय K3 सतहें==
K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। सदैव कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>. सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref>
K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन|दीर्घवृत्तीय कंपन]] वाली K3 सतहें <math>X\to\mathbf{P}^1</math>सम्मिलित होती हैं I दीर्घवृत्तीय का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के स्मूथ वक्र हैं। अपूर्व फाइबर [[तर्कसंगत वक्र|रैशनल वक्रों]] के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के अपूर्व फाइबर होते हैं। सदैव कुछ अपूर्व फाइबर होते हैं, क्योंकि अपूर्व फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग <math>\chi(X)=24</math> होता है I सामान्य दीर्घवृत्तीय K3 सतह में 24 अपूर्व फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र) आदि I<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref> K3 सतह दीर्घवृत्तीय है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में दीर्घवृत्तीय कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई अन्य-शून्य तत्व <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math> हो I <ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है कोडैरा आयाम 1 की सतहें अर्ध-दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी समूह हैं, और दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।


उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें रेखा L होती है उसमें अण्डाकार कंपन होता है <math>X\to \mathbf{P}^1</math>, एल से दूर प्रक्षेपित करके दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।
उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें रेखा L होती है उसमें दीर्घवृत्तीय कंपन होता है I <math>X\to \mathbf{P}^1</math>'', L'' से दूर प्रक्षेपित कर दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।


==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है; अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ्स में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः वचन) का बड़ा असतत सेट होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि ्स पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref>
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>
नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव अण्डाकार वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में वचन हैं, जब तक कि X अण्डाकार K3 सतह न हो।) मजबूत प्रश्न जो खुला रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह गैर-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र को स्वीकार करती है <math>\C^2</math> (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>


== अवधि मानचित्र ==
== अवधि मानचित्र ==
Line 94: Line 92:


विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y वचन हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y अपूर्व हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित होती करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>


== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) शामिल हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होती हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।


केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।


केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] शामिल है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] सम्मिलित होती है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पूर्व  सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पूर्व  सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।


Revision as of 08:03, 22 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।[2] ( समान तर्क एल-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का ) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है: