K3 सतह: Difference between revisions

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*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका सिग्नेचर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं किन्तु K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है।
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं किन्तु K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है।


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== पिकार्ड जाली ==
== पिकार्ड जाली ==
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] पिक(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह बीजीय K3 सतह के लिए, पिक(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] पिक(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह, बीजीय K3 सतह के लिए, पिक(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA|गागा]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह आदि।


K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल  सम्बन्ध में, पिक(X) का उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक  सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ।
K3 सतह X का पिकार्ड समूह सदैव सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' <math>\rho</math> कहा जाता है I जटिल  सम्बन्ध में, पिक(X) का उपसमूह <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> है I यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई भिन्न-भिन्न पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक  सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ)।


K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह पिक(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>. सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>.
K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह पिक(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math> सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है। K3 सतह का पिकार्ड जाली सदैव सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> है I


[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य मजबूत संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पहले उदाहरण के रूप में: जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि और केवल यदि कोई तत्व है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math>.<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref>
[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में सिग्नेचर <math>(1,\rho-1)</math> हैं I K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य शक्तिशाली संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पूर्व उदाहरण के रूप में: जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि कोई <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math> तत्व है I<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref> सामान्यतः, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या <math>\rho</math> के साथ <math>20-\rho</math> आयाम है (सुपरसिंगुलर केस को त्यागकर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं।
मोटे तौर पर, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या के साथ है <math>\rho</math> आयाम है <math>20-\rho</math> (सुपरसिंगुलर केस को छोड़कर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं।


K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि हस्ताक्षर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम होता है <math>20-\rho</math>.
K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि सिग्नेचर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम <math>20-\rho</math> होता है I


==अण्डाकार K3 सतहें==
==अण्डाकार K3 सतहें==
K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। हमेशा कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>. सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref>
K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। सदैव कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>. सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref>
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।


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==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है; अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ्स में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः वचन) का बड़ा असतत सेट होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि ्स पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref>
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है; अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ्स में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः वचन) का बड़ा असतत सेट होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि ्स पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref>
नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X हमेशा अण्डाकार वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में वचन हैं, जब तक कि X अण्डाकार K3 सतह न हो।) मजबूत प्रश्न जो खुला रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह गैर-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र को स्वीकार करती है <math>\C^2</math> (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>
नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव अण्डाकार वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में वचन हैं, जब तक कि X अण्डाकार K3 सतह न हो।) मजबूत प्रश्न जो खुला रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह गैर-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र को स्वीकार करती है <math>\C^2</math> (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>


== अवधि मानचित्र ==
== अवधि मानचित्र ==
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इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}.
इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}.


विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई अलग-अलग डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y वचन हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y वचन हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>


== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) शामिल हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> हस्ताक्षर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) शामिल हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।


केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।


केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] शामिल है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] शामिल है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पहले सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पूर्व सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।


==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
==ऑटोमोर्फिज्म समूह==

Revision as of 07:45, 22 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।[2] ( समान तर्क एल-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का