समनिरंतरता: Difference between revisions

[[गणितीय विश्लेषण]] में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए [[पड़ोस (गणित)|सामीप्य]] पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक समूह '''समसतत्''' होता है।विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट समूहों और इस प्रकार फलनों के ''अनुक्रमों'' पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समसतत्ता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि ''C''(''X'') का एक उपसमुच्चय, एक सघन(कॉम्पैक्ट) हॉसडॉर्फ स्पेस ''X''  पर सतत फलनों का स्थान, सघन है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समसतत् है। एक उपप्रमेय के रूप में, ''C''(''X'') में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समसतत् है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक समष्टि पर या स्थानीय रूप से सतत स्थान पर<ref>More generally, on any [[compactly generated space]]; e.g., a [[first-countable space]].</ref> सतत फलनों ''f_n'' के एक समसतत् बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, ''f_n''[[ होलोमार्फिक | होलोमार्फिक]] हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ समूह समसतत् है।{{sfn|Rudin|1991|p=44 §2.5}}  

==[[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के बीच समसतत्ता ==

मान लीजिए कि ''X'' और ''Y'' दो मीट्रिक समष्टि हैं, और ''F, X'' से ''Y'' तक फलनों का एक समूह है। हम इन स्थानों के संबंधित मैट्रिक्स को ''d'' द्वारा निरूपित करेंगे।

समूह F एक x₀∈ X '''बिंदु पर समसतत्''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ''ƒ''(x)) < ε सभी ''ƒ'' ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि समूह X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह '''बिंदुवार समसंतत''' है।<ref name=RS29>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29; {{harvtxt|Rudin|1987}}, p. 245</ref>

समूह F '''समान रूप से समसतत्''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ''ƒ''(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।<ref>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29</ref>

* ''बिंदुवार समसतत्ता'' के लिए, δ  ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.

* ''एकसमान समसतत्ता'' के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक प्रायः, जब ''X'' एक सांस्थितिक स्पेस होता है, तो ''X'' से ''Y'' तक के फलनों के एक समुच्चय ''F'' को ''x'' पर समसतत् कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, ''x'' में एक निकटवर्ती ''U_x'' होता है जैसे कि     

सभी {{nowrap|''y'' ∈ ''U_x''}}  और ∈F  के लिए है। यह परिभाषा प्रायः [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक वेक्टर स्पेस]] के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब ''X'' संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समसतत् होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समसतत् हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत स्थानों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समसतत्ता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन समष्टि पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समसतत् समुच्चय का समापन पुनः समसतत् है। फलनों  प्रके समान रूप से समसतत् समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समसतत् है।

*एक सामान्य [[लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक]] के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समसतत् है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न  फलन होते हैं।

*समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समसतत् होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है।

*विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक समूह[[ फ़तौ सेट | फ़तौ समुच्चय]] पर समसतत् है।<ref>Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; {{ISBN|0-387-95151-2}}, {{ISBN|978-0-387-95151-5}}; page 49</ref><ref>Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. {{ISBN|0-387-69903-1}}, {{ISBN|978-0-387-69903-5}}; page 22</ref>

*फलनों का अनुक्रम f_n(x) = आर्कटेन(nx), समसतत् नहीं है क्योंकि x₀=0 पर परिभाषा का उल्लंघन होता है।

मान लीजिए कि {{mvar|T}} एक सांस्थितिक स्पेस है और {{mvar|Y}} एक योज्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] है (यानी एक [[समूह (बीजगणित)|समूह]] एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक वेक्टर स्पेस सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित [[एकसमान स्थान|एकरूपता]] होती है।

:'''परिभाषा''':{{sfn | Narici|Beckenstein | 2011 | pp=133-136}} {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक के मानचित्रों के एक समूह {{mvar|H}} को {{math|''t'' ∈ ''T''}}  '''पर समसतत्''' कहा जाता है  यदि {{mvar|Y}} में {{mvar|0}} के प्रत्येक सामीप्य {{mvar|V}} के लिए {{mvar|T}} में {{mvar|t}} के कुछ सामीप्य {{mvar|U}} निहित  जैसे कि प्रत्येक {{math|''h'' ∈ ''H''}} के लिए {{math|''h''(''U'') ⊆ ''h''(''t'') + ''V''}} है। हम कहते हैं कि {{mvar|H}} '''समसतत्''' है यदि यह {{mvar|T}} के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।

ध्यान दें कि यदि {{mvar|H}} एक बिंदु पर समसतत् है {{mvar|H}} में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है।

==समसतत् रैखिक मानचित्र==

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समसतत् समूह की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

===समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन===

दो सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के बीच फॉर्म <math>X \to Y</math> के मानचित्रों के एक समूह <math>H</math> को एक बिंदु <math>x \in X</math> पर समसतत् कहा जाता है यदि <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ सामीप्य <math>U</math> निहित हैं जैसे कि <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी <math>h \in H</math> के लिए है।

मान लीजिए कि  <math>X</math> और <math>Y</math> सांस्थितिक वेक्टर स्पेस (टीवीएस) हैं <math>H</math>  <math>X</math> से <math>Y</math> तक रैखिक ऑपरेटरों का एक समूह है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

<li> <math>H</math> समसतत् है।<li>

<li>  <math>H</math>, <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।<li>

<li> <math>H</math>, <math>X</math> के किसी बिंदु पर समसतत् है।<li>

<li> <math>H</math> मूल बिंदु पर समसतत् है।

<li> <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का बंद होना समसतत् हैl</li>   

* <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है।</li>                                                                                                                                                     <li> <math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समसतत् है।</li>

<li>  <math>H</math> का उत्तल सेट समसतत् है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}</li>

<li>  <math>H</math> का [[बिल्कुल उत्तल सेट|संतुलित उत्तल सेट]]  समसतत् है।{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}</li>

* <math>L_b(X; Y)</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है (अर्थात, <math>X</math> के परिबद्ध उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण)। </li>

जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच स्थान हैं तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<li> <math>\sup \{\|T\| : T \in H\} < \infty</math> (अर्थात, <math>H</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] में समान रूप से बंधा हुआ है)।</li>

====समसतत् रैखिक '''समसतत्''' का लक्षण वर्णन====

मान लीजिए कि <math>X</math> निरंतर दोहरे स्थान <math>X^{\prime}</math> के साथ फ़ील्ड <math>\mathbb{F}</math> पर एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है। <math>X</math> पर रैखिक कार्यात्मकताओं के एक समूह <math>H</math> को ''एक बिंदु''  <math>x \in X</math> पर समसतत् कहा जाता है यदि <math>\mathbb{F}</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ  सामीप्य <math>U</math> निहित हैं। ऐसा कि सभी <math>h \in H</math> के लिए <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी के लिए है।  

किसी भी उपसमुच्चय <math>H \subseteq X^{\prime}</math> के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

<li> <math>H</math> समसतत् है।</li>

<li> <math>H</math> मूल बिंदु पर समसतत् है।</li>

<li> <math>H</math>, <math>X</math> के किसी बिंदु पर समसतत् है। </li>

<li>  <math>X^{\prime}</math> में <math>H</math> का [[कमजोर-* टोपोलॉजी|कमजोर-*]] का बंद होना समसतत् है। </li>

<li>  <math>H</math> का संतुलित सेट समसतत् है। </li>

<li>  <math>H</math> का उत्तल सेट समसतत् है।</li>

<li>  <math>H</math> का उत्तल सेट समसतत् है।{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>

<li> <math>H</math>, <math>X^{\prime}</math> का एक दृढ़ता से परिबद्ध उपसमुच्चय है। {{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>

जबकि यदि <math>X</math> एक बैरल वाला स्थान है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

यदि <math>X</math> कोई स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस है, तो <math>X</math> सभी बैरल वाले स्थानों का समूह और <math>X^{\prime}</math>सभी उपसमुच्चय का समूह जो उत्तल, संतुलित, बंद और <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> में घिरा हुआ हैं,  ध्रुवता द्वारा एक दूसरे के अनुरूप हैं (के संबंध में) <math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>)।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}} इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय रूप से उत्तल टी.वी.एस <math>X</math> को तभी बैरल किया जाता है जब <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> का प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय समसतत् हो।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}}