समनिरंतरता: Difference between revisions
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{{Short description|Relation among continuous functions}} | {{Short description|Relation among continuous functions}} | ||
[[गणितीय विश्लेषण]] में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए [[पड़ोस (गणित)|सामीप्य]] पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक | [[गणितीय विश्लेषण]] में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए [[पड़ोस (गणित)|सामीप्य]] पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक समूह '''समनिरंतर''' होता है। विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट समूहों और इस प्रकार फलनों के ''अनुक्रमों'' पर अनप्रयुक्त होती है। | ||
एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि ''C''(''X'') का एक | एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि ''C''(''X'') का एक अर्धसमुच्चय, एक सघन(कॉम्पैक्ट) हॉसडॉर्फ समष्टि ''X'' पर सतत फलनों की समष्टि, सघन है यदि और केवल यदि यह विवृत है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, ''C''(''X'') में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक समष्टि पर या स्थानीय रूप से सतत समष्टि पर<ref>More generally, on any [[compactly generated space]]; e.g., a [[first-countable space]].</ref> सतत फलनों ''f<sub>n</sub>'' के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, ''f<sub>n</sub>''[[ होलोमार्फिक | पूर्णसममितिक]] हैं, तो सीमा भी पूर्णसममितिक है। | ||
एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच | एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच समष्टियों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार विवृत समूह समनिरंतर है।{{sfn|Rudin|1991|p=44 §2.5}} | ||
==[[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक | ==[[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के बीच समनिरंतरता == | ||
मान लीजिए कि ''X'' और ''Y'' दो मीट्रिक | मान लीजिए कि ''X'' और ''Y'' दो मीट्रिक समष्टि हैं, और ''F, X'' से ''Y'' तक फलनों का एक समूह है। हम इन समष्टियों के संबंधित मैट्रिक्स को ''d'' द्वारा निरूपित करेंगे। | ||
समूह F एक x<sub>0</sub>∈ X '''बिंदु पर समनिरंतर''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)<sub>0</sub>), ''ƒ''(x)) < ε सभी ''ƒ'' ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)<sub>0</sub>, x) < δ है। यदि समूह X के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है, तो वह '''बिंदुवार समनिरंतर''' है।<ref name=RS29>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29; {{harvtxt|Rudin|1987}}, p. 245</ref> | |||
समूह F '''समान रूप से समनिरंतर''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)<sub>1</sub>), ''ƒ''(x<sub>2</sub>)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>के लिए,∈ X जैसे कि d(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) <δ है।<ref>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29</ref> | |||
तुलना के लिए, कथन ''F'' में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ''ƒ'' ∈ F, और प्रत्येक x<sub>0</sub> ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x<sub>0</sub>), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x<sub>0</sub>, x) < δ है। | तुलना के लिए, कथन ''F'' में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ''ƒ'' ∈ F, और प्रत्येक x<sub>0</sub> ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x<sub>0</sub>), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x<sub>0</sub>, x) < δ है। | ||
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* ''एकसमान समनिरंतरता'' के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है। | * ''एकसमान समनिरंतरता'' के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है। | ||
अधिक प्रायः, जब ''X'' एक सांस्थितिक | अधिक प्रायः, जब ''X'' एक सांस्थितिक समष्टि होता है, तो ''X'' से ''Y'' तक के फलनों के एक समुच्चय ''F'' को ''x'' पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, ''x'' में एक निकटवर्ती ''U<sub>x</sub>'' होता है जैसे कि | ||
: <math>d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon </math> | : <math>d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon </math> | ||
सभी {{nowrap|''y'' ∈ ''U<sub>x</sub>''}} और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक | सभी {{nowrap|''y'' ∈ ''U<sub>x</sub>''}} और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] के संदर्भ में दिखाई देती है। | ||
जब ''X'' संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत | जब ''X'' संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत समष्टियों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन समष्टि पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं। | ||
कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय | कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समनिरंतर है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। फलनों प्रके समान रूप से समनिरंतर समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समनिरंतर है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
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*एक सामान्य [[लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक]] के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न फलन होते हैं। | *एक सामान्य [[लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक]] के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न फलन होते हैं। | ||
*समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समनिरंतर होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है। | *समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समनिरंतर होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है। | ||
*विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक | *विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक समूह[[ फ़तौ सेट | फ़तौ समुच्चय]] पर समनिरंतर है।<ref>Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; {{ISBN|0-387-95151-2}}, {{ISBN|978-0-387-95151-5}}; page 49</ref><ref>Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. {{ISBN|0-387-69903-1}}, {{ISBN|978-0-387-69903-5}}; page 22</ref> | ||
===प्रतिउदाहरण === | ===प्रतिउदाहरण === | ||
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== सांस्थितिक समूहों में मानचित्रों मानों की समरूपता == | == सांस्थितिक समूहों में मानचित्रों मानों की समरूपता == | ||
मान लीजिए कि {{mvar|T}} एक सांस्थितिक | मान लीजिए कि {{mvar|T}} एक सांस्थितिक समष्टि है और {{mvar|Y}} एक योज्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] है (यानी एक [[समूह (बीजगणित)|समूह]] एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक सदिश समष्टि सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित [[एकसमान स्थान|एकरूपता]] होती है। | ||
:'''परिभाषा''':{{sfn | Narici|Beckenstein | 2011 | pp=133-136}} {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक के मानचित्रों के एक | :'''परिभाषा''':{{sfn | Narici|Beckenstein | 2011 | pp=133-136}} {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक के मानचित्रों के एक समूह {{mvar|H}} को {{math|''t'' ∈ ''T''}} '''पर समनिरंतर''' कहा जाता है यदि {{mvar|Y}} में {{mvar|0}} के प्रत्येक सामीप्य {{mvar|V}} के लिए {{mvar|T}} में {{mvar|t}} के कुछ सामीप्य {{mvar|U}} निहित जैसे कि प्रत्येक {{math|''h'' ∈ ''H''}} के लिए {{math|''h''(''U'') ⊆ ''h''(''t'') + ''V''}} है। हम कहते हैं कि {{mvar|H}} '''समनिरंतर''' है यदि यह {{mvar|T}} के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है। | ||
ध्यान दें कि यदि {{mvar|H}} एक बिंदु पर | ध्यान दें कि यदि {{mvar|H}} एक बिंदु पर समनिरंतर है {{mvar|H}} में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समनिरंतर है। | ||
== | ==समनिरंतर रैखिक मानचित्र== | ||
क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल | क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समनिरंतर समूह की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है। | ||
=== | ===समनिरंतर रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन=== | ||
दो सांस्थितिक | दो सांस्थितिक सदिश समष्टि के बीच फॉर्म <math>X \to Y</math> के मानचित्रों के एक समूह <math>H</math> को एक बिंदु <math>x \in X</math> पर समनिरंतर कहा जाता है यदि <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ सामीप्य <math>U</math> निहित हैं जैसे कि <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी <math>h \in H</math> के लिए है। | ||
यदि <math>H</math> मानचित्रों का एक | यदि <math>H</math> मानचित्रों का एक समूह है और <math>U</math> एक समुच्चय है तो मान लीजिए <math>H(U) := \bigcup_{h \in H} h(U)</math> है। संकेतन के साथ, यदि <math>U</math> और <math>V</math> तो समुच्चय हैं तो सभी <math>h \in H</math> के लिए <math>h(U) \subseteq V</math> यदि केवल <math>H(U) \subseteq V</math> है। | ||
मान लीजिए कि <math>X</math> और <math>Y</math> सांस्थितिक | मान लीजिए कि <math>X</math> और <math>Y</math> सांस्थितिक सदिश समष्टि (टीवीएस) हैं <math>H</math> <math>X</math> से <math>Y</math> तक रैखिक ऑपरेटरों का एक समूह है। उसके बाद निम्न बराबर हैं: | ||
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<li> <math>H</math> | <li> <math>H</math> समनिरंतर है।<li> | ||
<li> <math>H</math>, <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर | <li> <math>H</math>, <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है।<li> | ||
<li> <math>H</math>, <math>X</math> के किसी बिंदु पर | <li> <math>H</math>, <math>X</math> के किसी बिंदु पर समनिरंतर है।<li> | ||
<li> <math>H</math> मूल बिंदु पर | <li> <math>H</math> मूल बिंदु पर समनिरंतर है। | ||
* अर्थात् <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}<li> <math>Y</math> में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)</math>, <math>X</math> में मूल बिंदु का सामीप्य है।</li> | * अर्थात् <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}<li> <math>Y</math> में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)</math>, <math>X</math> में मूल बिंदु का सामीप्य है।</li> | ||
<li> <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का | <li> <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का विवृत होना समनिरंतर हैl</li> | ||
* <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है। | * <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है। <li> <math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समनिरंतर है।</li> | ||
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<li> <math>H</math>, <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में परिबद्ध है;{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}<li> | <li> <math>H</math>, <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में परिबद्ध है;{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}<li> | ||
<li> <math>H</math>, <math>L_b(X; Y)</math> में परिबद्ध है। {{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}} | <li> <math>H</math>, <math>L_b(X; Y)</math> में परिबद्ध है। {{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}} | ||
* <math>L_b(X; Y)</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है (अर्थात, <math>X</math> के परिबद्ध | * <math>L_b(X; Y)</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है (अर्थात, <math>X</math> के परिबद्ध अर्धसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण)। </li> | ||
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जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच | जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच समष्टि हैं तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: | ||
<ol start=13> | <ol start=13> | ||
<li> <math>\sup \{\|T\| : T \in H\} < \infty</math> (अर्थात, <math>H</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] में समान रूप से | <li> <math>\sup \{\|T\| : T \in H\} < \infty</math> (अर्थात, <math>H</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] में समान रूप से विवृत है)।</li> | ||
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====समनिरंतर रैखिक ''' | ====समनिरंतर रैखिक '''समनिरंतर''' का लक्षण वर्णन==== | ||
मान लीजिए कि <math>X</math> निरंतर | मान लीजिए कि <math>X</math> निरंतर दोहरी समष्टि <math>X^{\prime}</math> के साथ फ़ील्ड <math>\mathbb{F}</math> पर एक टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि (टीवीएस) है। <math>X</math> पर रैखिक कार्यात्मकताओं के एक समूह <math>H</math> को ''एक बिंदु'' <math>x \in X</math> पर समनिरंतर कहा जाता है यदि <math>\mathbb{F}</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ सामीप्य <math>U</math> निहित हैं। ऐसा कि सभी <math>h \in H</math> के लिए <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी के लिए है। | ||
किसी भी अर्धसमुच्चय <math>H \subseteq X^{\prime}</math> के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} | |||
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<li> <math>H</math> | <li> <math>H</math> समनिरंतर है।</li> | ||
<li> <math>H</math> मूल पर | <li> <math>H</math> मूल बिंदु पर समनिरंतर है।</li> | ||
<li> <math>H</math> | <li> <math>H</math>, <math>X</math> के किसी बिंदु पर समनिरंतर है। </li> | ||
<li> <math>H</math> मूल के कुछ सामीप्य के [[ध्रुवीय सेट]] में समाहित | <li> <math>H</math>, <math>X</math> मूल के कुछ सामीप्य के [[ध्रुवीय सेट]] में समाहित है। {{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li> | ||
<li> | <li> <math>H</math> का (पूर्व)ध्रुवीय, <math>X</math> में मूल बिंदु का सामीप्य है। </li> | ||
<li> | <li> <math>X^{\prime}</math> में <math>H</math> का [[कमजोर-* टोपोलॉजी|कमजोर-*]] का विवृत होना समनिरंतर है। </li> | ||
<li> | <li> <math>H</math> का संतुलित सेट समनिरंतर है। </li> | ||
<li> | <li> <math>H</math> का उत्तल सेट समनिरंतर है।</li> | ||
<li> | <li> <math>H</math> का उत्तल सेट समनिरंतर है।{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li> | ||
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जबकि यदि <math>X</math> | जबकि यदि <math>X</math> को मानकीकृत किया गया है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: | ||
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<li> <math>H</math> | <li> <math>H</math>, <math>X^{\prime}</math> का एक दृढ़ता से परिबद्ध अर्धसमुच्चय है। {{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li> | ||
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जबकि यदि <math>X</math> | जबकि यदि <math>X</math> एक बैरल वाली समष्टि है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: | ||
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<li> <math> | <li> <math>X^{\prime}</math> [[कमज़ोर* टोपोलॉजी]] में <math>H</math> अपेक्षाकृत सघन है। {{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}</li> | ||
<li> <math>H</math> कमजोर* | <li> <math>H</math> कमजोर* परिबद्ध है (अर्थात्, <math>H</math>, <math>\sigma\left(X^{\prime}, X\right)-</math><math>X^{\prime}</math> में परिबद्ध है।)</li>{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}} | ||
<li> <math>H</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी में | <li> <math>H</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी में परिबद्ध है (अर्थात्, <math>H</math> <math>b\left(X^{\prime}, X\right)-</math> <math>X^{\prime}</math> में परिबद्ध है।){{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}</li> | ||
</ol> | </ol> | ||
{{Math theorem|name= | |||
===समनिरंतर रैखिक मानचित्रों के गुण=== | |||
एकसमान सीमा सिद्धांत (जिसे बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) में कहा गया है कि बानाच समष्टियों के बीच रैखिक मानचित्रों का एक सेट <math>H</math> समनिरंतर है यदि यह बिंदुवार घिरा हुआ है; अर्थात्, प्रत्येक <math>x \in X</math> के लिए <math>\sup_{h \in H} \|h(x)\| < \infty</math> है। परिणाम को ऐसे स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जब <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल हो और <math>X</math> एक बैरल वाली समष्टि हो।{{sfn|Schaefer|1966|loc= Theorem 4.2}} | |||
====समनिरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के गुण==== | |||
अलाओग्लू के प्रमेय का तात्पर्य है कि <math>X^{\prime}</math> के एक समनिरंतर अर्धसमुच्चय का कमजोर-* विवृत होना कमज़ोर है-* सघन है; इस प्रकार प्रत्येक समनिरंतर अर्धसमुच्चय कमजोर-* अपेक्षाकृत सघन होता है।{{sfn|Schaefer|1966|loc= Corollary 4.3}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}} | |||
यदि <math>X</math> कोई स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस है, तो <math>X</math> सभी बैरल वाले समष्टियों का समूह और <math>X^{\prime}</math>सभी अर्धसमुच्चय का समूह जो उत्तल, संतुलित, विवृत और <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> में घिरा हुआ हैं, ध्रुवता द्वारा एक दूसरे के अनुरूप हैं (के संबंध में) <math>\left\langle X, X^{\#} \right\rangle</math>)।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}} इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय रूप से उत्तल टी.वी.एस <math>X</math> को तभी बैरल किया जाता है जब <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> का प्रत्येक परिबद्ध अर्धसमुच्चय समनिरंतर हो।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}} | |||
{{Math theorem|name=प्रमेय|math_statement= | |||
Suppose that <math>X</math> is a [[Separable space|separable]] TVS. Then every closed equicontinuous subset of <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> is a compact metrizable space (under the subspace topology). If in addition <math>X</math> is metrizable then <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> is separable.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}} | Suppose that <math>X</math> is a [[Separable space|separable]] TVS. Then every closed equicontinuous subset of <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> is a compact metrizable space (under the subspace topology). If in addition <math>X</math> is metrizable then <math>X^{\prime}_{\sigma}</math> is separable.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=123–128}} | ||
}} | }} | ||
==समान निरंतरता और एकसमान अभिसरण== | ==समान निरंतरता और एकसमान अभिसरण== | ||
मान लीजिए कि फिर अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय बताता है कि C(X) का एक | मान लीजिए कि फिर अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय बताता है कि C(X) का एक अर्धसमुच्चय सघन है यदि और केवल तभी जब वह विवृत हो, जब समान रूप से घिरा हुआ हो और समनिरंतर हो। {{sfn|Rudin|1991|p=394 Appendix A5}} यह हेइन-बोरेल प्रमेय के अनुरूप है, जो बताता है कि '''R'''<sup>''n''</sup> के अर्धसमुच्चय संहत होते हैं यदि और केवल तभी जब वे विवृत और | ||