समनिरंतरता: Difference between revisions

[[गणितीय विश्लेषण]] में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए [[पड़ोस (गणित)|सामीप्य]] पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक समूह '''समनिरंतर''' होता है। विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट समूहों और इस प्रकार फलनों के ''अनुक्रमों'' पर अनप्रयुक्‍त होती है।  

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि ''C''(''X'') का एक अर्धसमुच्चय, एक सघन(कॉम्पैक्ट) हॉसडॉर्फ समष्टि  ''X'' पर सतत फलनों की समष्टि, सघन है यदि और केवल यदि यह विवृत है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, ''C''(''X'') में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक समष्टि पर या स्थानीय रूप से सतत समष्टि पर<ref>More generally, on any [[compactly generated space]]; e.g., a [[first-countable space]].</ref> सतत फलनों ''f_n'' के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, ''f_n''[[ होलोमार्फिक | पूर्णसममितिक]] हैं, तो सीमा भी पूर्णसममितिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच समष्टियों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार विवृत समूह समनिरंतर है।{{sfn|Rudin|1991|p=44 §2.5}}  

==[[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के बीच समनिरंतरता ==

मान लीजिए कि ''X'' और ''Y'' दो मीट्रिक समष्टि हैं, और ''F, X'' से ''Y'' तक फलनों का एक समूह है। हम इन समष्टियों के संबंधित मैट्रिक्स को ''d'' द्वारा निरूपित करेंगे।

समूह F एक x₀∈ X '''बिंदु पर समनिरंतर''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ''ƒ''(x)) < ε सभी ''ƒ'' ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि समूह X के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है, तो वह '''बिंदुवार समनिरंतर''' है।<ref name=RS29>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29; {{harvtxt|Rudin|1987}}, p. 245</ref>

समूह F '''समान रूप से समनिरंतर''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ''ƒ''(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।<ref>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29</ref>

 

 

अधिक प्रायः, जब ''X'' एक सांस्थितिक समष्टि होता है, तो ''X'' से ''Y'' तक के फलनों के एक समुच्चय ''F'' को ''x'' पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, ''x'' में एक निकटवर्ती ''U_x'' होता है जैसे कि  

सभी {{nowrap|''y'' ∈ ''U_x''}} और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब ''X'' संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत समष्टियों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन समष्टि पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समनिरंतर है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। फलनों  प्रके समान रूप से समनिरंतर समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समनिरंतर है।

*एक सामान्य [[लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक]] के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न  फलन होते हैं।

*समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समनिरंतर होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है।

*विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक समूह[[ फ़तौ सेट | फ़तौ समुच्चय]] पर समनिरंतर है।<ref>Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; {{ISBN|0-387-95151-2}}, {{ISBN|978-0-387-95151-5}}; page 49</ref><ref>Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. {{ISBN|0-387-69903-1}}, {{ISBN|978-0-387-69903-5}}; page 22</ref>

 

 

 

 

==समनिरंतर रैखिक मानचित्र==

===समनिरंतर रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन===

दो सांस्थितिक सदिश समष्टि के बीच फॉर्म <math>X \to Y</math> के मानचित्रों के एक समूह <math>H</math> को एक बिंदु <math>x \in X</math> पर समनिरंतर कहा जाता है यदि <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ सामीप्य <math>U</math> निहित हैं जैसे कि <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी <math>h \in H</math> के लिए है।

यदि <math>H</math> मानचित्रों का एक समूह है और <math>U</math> एक समुच्चय है तो मान लीजिए <math>H(U) := \bigcup_{h \in H} h(U)</math> है। संकेतन के साथ, यदि  <math>U</math> और <math>V</math> तो समुच्चय हैं तो सभी <math>h \in H</math> के लिए <math>h(U) \subseteq V</math> यदि केवल <math>H(U) \subseteq V</math> है।

मान लीजिए कि  <math>X</math> और <math>Y</math> सांस्थितिक सदिश समष्टि (टीवीएस) हैं <math>H</math>  <math>X</math> से <math>Y</math> तक रैखिक ऑपरेटरों का एक समूह है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

<li> <math>H</math> समनिरंतर है।<li>

<li>  <math>H</math>, <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर है।<li>

* अर्थात्  <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य  <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}<li>  <math>Y</math> में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)</math>, <math>X</math>  में मूल बिंदु का सामीप्य है।</li>

<li> <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का विवृत होना समनिरंतर हैl</li> 

* <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है।                                                                                                                                                      <li> <math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समनिरंतर है।</li>

जबकि यदि <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol start=8>

<li> <math>H</math> का उत्तल सेट समनिरंतर है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}</li>

 

<li> <math>H</math> का [[बिल्कुल उत्तल सेट|संतुलित उत्तल सेट]]  समनिरंतर है।{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}</li>

जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल हैं तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol start=10>

 

<li> <math>Y</math> पर प्रत्येक सतत [[ सेमिनोर्म |सेमिनोर्म]] <math>q</math> के लिए, <math>X</math> पर एक सतत सेमिनॉर्म <math>p</math> निहित है, पर जैसे कि सभी <math>h \in H</math> सभी के लिए <math>q \circ h \leq p</math> है।  {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}  

* यहाँ, <math>q \circ h \leq p</math> का अर्थ है कि <math>x \in X</math> के लिए <math>q(h(x)) \leq p(x)</math> है।</li>

जबकि यदि <math>X</math> को [[बैरल वाली जगह|बैरल]] किया गया है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol start="11">

<li> <math>H</math>, <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में परिबद्ध है;{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}<li>

<li> <math>H</math>, <math>L_b(X; Y)</math> में परिबद्ध है।  {{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}

* <math>L_b(X; Y)</math> परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है (अर्थात, <math>X</math> के परिबद्ध अर्धसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण)। </li>

जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच समष्टि हैं तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol start=13>

<li> <math>\sup \{\|T\| : T \in H\} < \infty</math> (अर्थात, <math>H</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] में समान रूप से विवृत है)।</li>

====समनिरंतर रैखिक '''समनिरंतर''' का लक्षण वर्णन====

 

<li>  <math>X^{\prime}</math> में <math>H</math> का [[कमजोर-* टोपोलॉजी|कमजोर-*]] का विवृत होना समनिरंतर है। </li>

<li>  <math>H</math> का उत्तल सेट समनिरंतर है।{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>

जबकि यदि <math>X</math> को मानकीकृत किया गया है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol start="10">

<li> <math>H</math>, <math>X^{\prime}</math> का एक दृढ़ता से परिबद्ध अर्धसमुच्चय है। {{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>

जबकि यदि <math>X</math> एक बैरल वाली समष्टि है तो इस सूची को इसमें सम्मिल