सतत फलन

गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के मान (गणित) में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे विच्छेदों का वर्गीकरण कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की सहज धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी।

निरंतरता गणना और गणितीय विश्लेषण की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा टोपोलॉजी का आधार है।

निरंतरता का सशक्त रूप एकसमान निरंतरता है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से डोमेन सिद्धांत में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा स्कॉट निरंतरता है।

उदाहरण के लिये, समय t पर बढ़ते फूल की ऊंचाई को दर्शाने वाले फलन H(t) को निरंतर माना जाएगा। इसके विपरीत, समय t पर बैंक खाते में धन की राशि को दर्शाने वाला फलन M(t) संवृत माना जाएगा, क्योंकि जब पैसा जमा किया जाता है या निकाला जाता है तो यह प्रत्येक बिंदु पर "उछलता" है।

इतिहास

निरंतरता की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा का (ε, δ) रूप पहली बार 1817 में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा दिया गया था। ऑगस्टिन-लुई कॉची ने $y=f(x)$ की निरंतरता को इस प्रकार परिभाषित किया: स्वतंत्र वेरिएबल x का एक असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि $\alpha$ हमेशा एक असीम रूप से छोटा उत्पन्न करता है आश्रित वेरिएबल y का $f(x+\alpha )-f(x)$ बदलें (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है (सूक्ष्म निरंतरता देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, किन्तु काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह, कार्ल वीयरस्ट्रैस ने किसी बिंदु c पर किसी फलन की निरंतरता से मना किया जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, किन्तु एडौर्ड गौरसैट ने फलन को केवल सी और केमिली जॉर्डन के तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी। इसकी अनुमति दी गई, तथापि फलन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं। एडवर्ड हेन ने 1872 में समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, किन्तु ये विचार 1854 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।

वास्तविक फलन

परिभाषा

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फलनक्रम $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ अपने डोमेन पर निरंतर है ($\mathbb {R} \setminus \{0\}$), किन्तु असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। $x=0$.फिर भी, कॉची प्रमुख मान को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में ($\mathbb {C}$, विशेष रूप से ${\widehat {\mathbb {C} }}$.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है $x$ जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली लॉरेंट श्रृंखला को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग किन्तु मॉडल के रूप में किया जाता है।

वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, सामान्यतः कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड वक्र है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।

वास्तविक फलनों की निरंतरता को आमतौर पर सीमाओं (गणित) के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। चर x के साथ एक फलन f वास्तविक संख्या c पर निरंतर है, यदि x के c की ओर बढ़ने पर $f(x),$ की सीमा, $f(c)$ के बराबर है।

किसी फलन की (वैश्विक) निरंतरता की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो किसी फलन के डोमेन की प्रकृति पर निर्भर करती हैं।

एक फलन एक खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित होता है, और फलन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। एक फलन जो अंतराल $(-\infty ,+\infty )$ (संपूर्ण वास्तविक रेखा) पर निरंतर होता है, उसे किन्तु एक निरंतर फलन कहा जाता है; एक यह भी कहता है कि ऐसा फलन सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन प्रत्येक स्थान सतत होते हैं।

फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-विवृत या संवृत अंतराल अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन $f(x)={\sqrt {x}}$ अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो संवृत अंतराल $[0,+\infty )$ हैं।

सामान्यतः सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ पृथक बिंदुओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण फलन ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ और $x\mapsto \tan x$ हैं। जब वे अपने क्षेत्र में निरंतर होते हैं, तो कुछ संदर्भों में कहा जाता है कि वे निरंतर हैं, हालांकि वे हर जगह निरंतर नहीं होते हैं। अन्य संदर्भों में, मुख्य रूप से जब कोई असाधारण बिंदुओं के निकट अपने व्यवहार में रुचि रखता है, तो वह कहता है कि वे असंतत हैं।

आंशिक फलन बिंदु पर असंतत होता है, यदि बिंदु उसके डोमेन के टोपोलॉजिकल क्लोजर से संबंधित है, और या तो बिंदु फलन के डोमेन से संबंधित नहीं है, या फलन बिंदु पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, फलन ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ और ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$ पर असंतत 0 हैं, और उन्हें परिभाषित करने के लिए जो भी मान चुना जाता है वह असंतत 0 रहता हैं। वह बिंदु जहां कोई फलन असंतत होता है, असंततता कहलाता है।

गणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, ऊपर उल्लिखित तीन इंद्रियों में से प्रत्येक में निरंतर फलनों को परिभाषित करने के कई विधियाँ हैं।

मान लीजिये

$$f:D\to \mathbb {R}$$

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb {R}$ के उपसमुच्चय $D$ पर परिभाषित एक फलन बनें।

यह उपसमुच्चय $D$, f का डोमेन है। कुछ संभावित विकल्पों में सम्मिलित हैं

• $D=\mathbb {R}$: अर्थात, $D$ वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय है। या a और b वास्तविक संख्याओं के लिए,
• $D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$: $D$ संवृत अंतराल है, या
• $D=(a,b)=\{x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mid <!--\; \mid \; -->a$