सतत फलन: Difference between revisions

निरंतरता [[ गणना |गणना]] और [[गणितीय विश्लेषण]] की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा [[टोपोलॉजी]] का आधार है।

निरंतरता का सशक्त रूप [[एकसमान निरंतरता]] है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से [[डोमेन सिद्धांत]] में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा [[स्कॉट निरंतरता]] है।

==इतिहास==

===परिभाषा===

[[File:Function-1 x.svg|thumb|फलनक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), किन्तु असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग किन्तु मॉडल के रूप में किया जाता है।]]वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, सामान्यतः कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref>

किसी फलन की (वैश्विक) निरंतरता की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो किसी फलन के डोमेन की प्रकृति पर निर्भर करती हैं।

फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-विवृत या [[बंद अंतराल|संवृत अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो संवृत अंतराल <math>[0,+\infty)</math> हैं।  

गणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, ऊपर उल्लिखित तीन इंद्रियों में से प्रत्येक में निरंतर फलनों को परिभाषित करने के कई विधियाँ हैं।

यह उपसमुच्चय <math>D</math>, {{math|''f''}} का डोमेन है। कुछ संभावित विकल्पों में सम्मिलित हैं

====फलनों की सीमा के संदर्भ में परिभाषा====

<math display="block">\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c).</math>

====निकटतम के संदर्भ में परिभाषा====

जैसा कि निकटतम को किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में परिभाषित किया जाता है, सतत फलन की यह परिभाषा न केवल वास्तविक फलनों के लिए लागू होती है, किन्तु तब भी लागू होती है जब डोमेन और [[कोडोमेन]] टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं, और इस प्रकार यह सबसे सामान्य परिभाषा है। इसका तात्पर्य यह है कि फलन अपने डोमेन के प्रत्येक पृथक बिंदु पर स्वचालित रूप से निरंतर होता है। विशिष्ट उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों पर प्रत्येक वास्तविक मानवान फलन निरंतर है।

फलन <math>x_0</math> निरंतर है यदि यह कुछ नियंत्रण फलन C के लिए C-निरंतर है।

<math display="block">\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C : C(\delta) = K|\delta| ,\  K > 0\}</math> क्रमश:

   <math display="block">\mathcal{C}_{\text{Hölder}-\alpha} = \{C : C(\delta) = K |\delta|^\alpha, \ K > 0\}.</math>

[[File:Rapid Oscillation.svg|thumb|किसी फलन के किसी बिंदु पर निरंतर होने में विफलता को उसके [[दोलन (गणित)]] द्वारा निर्धारित किया जाता है।]]निरंतरता को दोलन (गणित) के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है: फलन f बिंदु पर निरंतर है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उस बिंदु पर इसका दोलन शून्य है;<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172</ref> प्रतीकों में, <math>\omega_f(x_0) = 0.</math> इस परिभाषा का एक लाभ यह है कि यह असंततता की मात्रा निर्धारित करती है: दोलन बताता है कि किसी बिंदु पर कार्य कितना असंतत है।

दोलन एक सरल पुनर्व्यवस्था द्वारा <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा के बराबर है, और दोलन को परिभाषित करने के लिए एक सीमा ([[लिम सूप]], [[लिम इंफ]]) का उपयोग करके: यदि (किसी दिए गए बिंदु पर) किसी दिए गए <math>\varepsilon_0</math> के लिए कोई <math>\delta</math> नहीं है <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा को संतुष्ट करता है, तो दोलन कम से कम <math>\varepsilon_0,</math> होता है, और इसके विपरीत यदि प्रत्येक <math>\varepsilon</math> के लिए एक वांछित <math>\delta,</math> होता है, तो दोलन 0 होता है। दोलन परिभाषा को टोपोलॉजिकल स्पेस से [[मीट्रिक स्थान]] तक के मानचित्रों के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

[[File:Si cos.svg|thumb|सिन और कॉस फलन करते हैं]]चूंकि फलन साइन सभी वास्तविकताओं पर निरंतर है, इसलिए [[सिन फ़ंक्शन|साइन फलन]] <math>G(x) = \sin(x)/x,</math> सभी वास्तविक <math>x \neq 0.</math> के लिए परिभाषित और निरंतर है। चूँकि, पिछले उदाहरण के विपरीत, <math>G(0)</math> के मान को 1 परिभाषित करके, G को सभी वास्तविक संख्याओं पर एक सतत फलन तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि <math>G(x),</math> की सीमा है, जब x 0 के निकट पहुंचता है, अर्थात्,

<math display="block">G(0) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.</math>

:<math>

G(x) =  

\end{cases}

</math>

   \sin\left(x^{-2}\right)&\text{ if }x \neq 0\\

   0&\text{ if }x = 0

   0&\text{ if }x\text{ is irrational}.

\end{cases}</math>

<math display="block">D(x)=\begin{cases}

   0&\text{ if }x\text{  is irrational } (\in \R \setminus \Q)\\

मध्यवर्ती मान प्रमेय [[अस्तित्व प्रमेय]] है, जो वास्तविक संख्या#पूर्णता की वास्तविक संख्या गुण पर आधारित है, और बताता है:

उदाहरण के लिए, यदि कोई बच्चा दो से छह साल की उम्र के बीच 1 मीटर से 1.5 मीटर तक बढ़ता है, तो, दो से छह साल की उम्र के बीच किसी समय, बच्चे की ऊंचाई 1.25 मीटर होनी चाहिए।

====चरम मान प्रमेय====

====विभिन्नता और अभिन्नता से संबंध====

प्रत्येक स्थान निरंतर है। चूँकि, <math>x = 0</math> (किन्तु ऐसा हर जगह है) में भिन्नता नहीं है। वीयरस्ट्रैस फलन|वीयरस्ट्रैस का फलन भी हर जगह निरंतर है किन्तु कहीं भी भिन्न नहीं है।

<math display="block">f : \Omega \to \R</math>

(खुले अंतराल से (या खुले उपसमुच्चय से) <math>\R</math>) <math>\Omega</math> वास्तविक के लिए) जैसे कि एफ है <math>n</math> समय अलग-अलग है और ऐसा है कि <math>n</math>-f का वां अवकलज सतत् है, इसे निरूपित किया जाता है <math>C^n(\Omega).</math> [[भिन्नता वर्ग]] देखें. कंप्यूटर ग्राफ़िक्स के क्षेत्र में, गुण संबंधित (किन्तु समान नहीं)। <math>C^0, C^1, C^2</math> कभी-कभी कहा जाता है <math>G^0</math> (स्थिति की निरंतरता), <math>G^1</math> (स्पर्शरेखा की निरंतरता), और <math>G^2</math> (वक्रता की निरंतरता); चिकनापन#वक्रों और सतहों की चिकनाई देखें।

==मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच सतत फलन==

<math display="block">d_X : X \times X \to \R</math>

जो कई आवश्यकताओं को पूरा करता है, विशेषकर त्रिकोण असमानता को। दो मीट्रिक स्थान <math>\left(X, d_X\right)</math> और <math>\left(Y, d_Y\right)</math> दिए गए हैं और फलन

तब <math>f</math> बिंदु पर निरंतर है <math>c \in X</math> (दिए गए मेट्रिक्स के संबंध में) यदि किसी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसे कि सब <math>x \in X</math> संतुष्टि देने वाला <math>d_X(x, c) < \delta</math> संतुष्ट भी करेगा <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon.</math> जैसा कि उपरोक्त वास्तविक फलनों के स्थिति में है, यह प्रत्येक अनुक्रम के लिए इस शर्त के बराबर है <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा के साथ <math>\lim x_n = c,</math> अपने पास <math>\lim f\left(x_n\right) = f(c).</math> बाद की स्थिति को इस प्रकार कमजोर किया जा सकता है: <math>f</math> बिंदु पर निरंतर है <math>c</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम के लिए <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा के साथ <math>c</math>, क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> [[कॉची अनुक्रम]] है, और <math>c</math> के क्षेत्र में है <math>f</math>.

निरंतरता की यह धारणा, उदाहरण के लिए, [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनात्मक विश्लेषण]] में लागू की जाती है। इस क्षेत्र में प्रमुख कथन कहता है कि [[रैखिक ऑपरेटर]]

===यूनिफ़ॉर्म, होल्डर और लिप्सचिट्ज़ निरंतरता===

फलन होल्डर निरंतरता है|होल्डर घातांक α (वास्तविक संख्या) के साथ निरंतर है यदि कोई स्थिरांक K है जैसे कि सभी <math>b, c \in X,</math> के लिए असमानता

<math display="block">d_Y (f(b), f(c)) \leq K \cdot (d_X (b, c))^\alpha</math>

==टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर फलन ==

फलन

<math display="block">f : X \to Y</math>