क्वांटम समूह: Difference between revisions

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गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है,  यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।
गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "'''क्वांटम समूह'''" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है,  यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।


"क्वांटम समूह" शब्द पहले क्वांटम एकीकरणीय प्रणालियों के सिद्धांत में प्रकट हुआ था, जिसे फिर [[व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड]] और [[मिचियो जिम्बो]] ने एक विशेष प्रकार के हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में सार्वजनिक बनाया गया। यही शब्द दूसरी भी हॉप्फ़ बीजगणितओं के लिए उपयोग किया जाता है जो गणितीय लिए समान्तर रूप से या क्लासिकल ली समूहों या ली बीजगणितओं के निग्रानीयता से अलग होते हैं, जैसे एक "बाईक्रॉसप्रोडक्ट" क्वांटम समूह जिसे शाहन मजिद ने ड्रिंफेल्ड और जिम्बो के काम के बाद थोड़ी देर बाद प्रस्तुत किया गया था।
शब्द "क्वांटम समूह" पहली बार क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में दिखाई दिया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो द्वारा हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया गया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं  या ली बीजगणित के नज़दीक हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद शाहन माजिद द्वारा शुरू किए गए क्वांटम समूहों का "बाइक्रॉसप्रोडक्ट" वर्ग।


ड्रिंफेल्ड के दृष्टिकोण से, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित|सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित]] बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित सेमीसिम्पल बीजगणितीय बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।
ड्रिनफेल्ड के दृष्टिकोण में, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित|सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित]] बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित अर्धसरल बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।


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====केस 1: ''q'' एकता की जड़ नहीं है====
====केस 1: ''q'' एकता की जड़ नहीं है====
एक महत्वपूर्ण प्रकार की प्रतिनिधि है एक भार प्रतिनिधि, और इससे संबंधित अनुखण्ड   को भार अनुखण्ड   कहते हैं। भार  अनुखण्ड  एक अनुखण्ड  है जिसमें भार सदिशो के आधार से बना होता है। भार सदिश एक गैर-शून्य सदिश v है जिसके लिए सभी भार λ के लिए kλ · v = dλv होता है, जहां dλ सभी भार λ के लिए एक मिश्रित संख्या होता है, जैसा कि dλ के सभी भार λ के लिए होता है।
एक महत्वपूर्ण प्रकार की प्रतिनिधि है एक भार प्रतिनिधि, और इससे संबंधित अनुखण्ड को भार अनुखण्ड कहते हैं। भार  अनुखण्ड  एक अनुखण्ड  है जिसमें भार सदिशो के आधार से बना होता है। भार सदिश एक गैर-शून्य सदिश v है जिसके लिए सभी भार λ के लिए kλ · v = dλv होता है, जहां dλ सभी भार λ के लिए एक मिश्रित संख्या होता है, जैसा कि dλ के सभी भार λ के लिए होता है।


:<math>d_0 = 1,</math>
:<math>d_0 = 1,</math>
:<math>d_\lambda d_\mu = d_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ।
:<math>d_\lambda d_\mu = d_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ।


वजन मॉड्यूल को "संयुक्त" कहा जाता है यदि ''e<sub>i</sub>'' और ''f<sub>i</sub>'' के क्रियाएँ स्थानिक शून्य हों (यानी मॉड्यूल में किसी भी वेक्टर ''v'' के लिए, ''v'' पर निर्भर करते हुए एक सकारात्मक पूर्णांक ''k'' होता है, जो संभवतः ''v'' पर निर्भर करता है, ऐसा कि <math>e_i^k.v = f_i^k.v = 0</math> होता है सभी ''i'' के लिए)। संयुक्त मॉड्यूल के मामूले में, वजन वेक्टर के साथ जुड़े जटिल संख्याएँ ''d<sub>λ</sub>'' निम्नलिखित रूप में होती हैं:
भार  अनुखण्ड को "संयुक्त" कहा जाता है यदि ''e<sub>i</sub>'' और ''f<sub>i</sub>'' के क्रियाएँ स्थानिक शून्य हों अर्थात अनुखण्ड में किसी भी सदिश ''v'' के लिए, ''v'' पर निर्भर करते हुए एक सकारात्मक पूर्णांक ''k'' होता है, जो संभवतः ''v'' पर निर्भर करता है, ऐसा कि <math>e_i^k.v = f_i^k.v = 0</math> होता है सभी ''i'' के लिए। संयुक्त अनुखण्ड के विषय में, भार सदिश के साथ जुड़े जटिल संख्याएँ ''d<sub>λ</sub>'' निम्नलिखित रूप में होती हैं:
 


:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> सबके लिए मैं
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> सभी के लिए ''i''.
 
 
 
विशेष रूप से [[उच्चतम-वजन प्रतिनिधित्व|उच्चतम-भार  प्रतिनिधित्व]] और उससे संबंधित उच्चतम-भार अनुखंड बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। एक उच्चतम-भार अनुखंड  एक अनुखंड होता है जो भार  सदिश ''v'' द्वारा उत्पन्न किया गया होता है, जो सभी भार ''μ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub>'' · ''v'' = 0 को पूरा करता हो। इसी तरह, क्वांटम समूह के पास एक निम्नतम-भार प्रतिनिधित्व और उससे संबंधित निम्नतम-भार अनुखंड हो सकता है, जो एक भार सदिश ''v'' द्वारा उत्पन्न किया जाता है, जो सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' और सभी ''i'' के लिए ''f<sub>i</sub>'' · ''v'' = 0 को पूरा करता है।
 


विशेष रुचि के उच्चतम-भार वाले अभ्यावेदन और संबंधित उच्चतम-भार वाले अनुखण्ड  हैं। उच्चतम भार अनुखण्ड  एक भार  सदिश v द्वारा उत्पन्न अनुखण्ड  है, जो k के अधीन है<sub>''λ''</sub> · में = डी<sub>λ</sub>v सभी भारों के लिए μ, और e<sub>i</sub>· सभी i के लिए v = 0. इसी तरह, एक क्वांटम समूह में सबसे कम भार प्रतिनिधित्व और सबसे कम भार अनुखण्ड  हो सकता है, यानी एक भार  सदिश वी द्वारा उत्पन्न अनुखण्ड  , के अधीन<sub>λ</sub>· में = डी<sub>λ</sub>v सभी भारों के लिए λ, और f<sub>i</sub>· सभी i के लिए v = 0.


यदि भार ν हो तो एक सदिश v को परिभाषित करें <math>k_\lambda\cdot v = q^{(\lambda,\nu)} v</math> भार जाली में सभी λ के लिए।
एक सदिश ''v'' को भार  ''ν'' रखा जाता है यदि सभी भार  ''λ'' के लिए <math>k_\lambda\cdot v = q^{(\lambda,\nu)} v</math> हो। यहां, ''ν'' भार जाली का एक तत्व है और ''q'' एक गैर-शून्य जटिल संख्या है।


यदि G एक Kac-Moody बीजगणित है, तो U के किसी भी अघुलनशील उच्चतम भार प्रतिनिधित्व में<sub>''q''</sub>(जी), उच्चतम भार ν के साथ, भार की बहुलता समान उच्चतम भार के साथ यू (जी) के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में उनकी बहुलता के बराबर होती है। यदि उच्चतम भार प्रमुख और अभिन्न है (एक भार μ प्रमुख और अभिन्न है यदि μ इस शर्त को पूरा करता है कि <math>2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)</math> सभी i के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है), तो जी के लिए [[वेइल समूह]] के तहत अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का भार स्पेक्ट्रम अपरिवर्तनीय है, और प्रतिनिधित्व पूर्णांक है।
यदि G एक काक-मूडी बीजगणित है, तो U के किसी भी अघुलनशील उच्चतम भार प्रतिनिधित्व में <sub>''q''</sub>(G), उच्चतम भार ν के साथ, भार की बहुलता समान उच्चतम भार के साथ ''U''(''G'') के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में उनकी बहुलता के बराबर होती है। यदि उच्चतम भार प्रमुख और अभिन्न है एक भार μ प्रमुख और अभिन्न है यदि μ इस शर्त को पूरा करता है कि <math>2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)</math> सभी i के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, तो ''G'' के लिए [[वेइल समूह]] के तहत अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का भार स्पेक्ट्रम अपरिवर्तनीय है, और प्रतिनिधित्व पूर्णांक है।


इसके विपरीत, यदि उच्चतम भार अनुखण्ड   पूर्णांकीय है, तो इसका उच्चतम भार सदिश v संतुष्ट करता है <math>k_\lambda\cdot v = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)} v</math>, जहां सी<sub>''λ''</sub> · में = डी<sub>''λ''</sub>v ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं
इसके विपरीत, यदि उच्चतम भार अनुखण्ड पूर्णांकीय है, तो इसका उच्चतम भार सदिश v संतुष्ट करता है <math>k_\lambda\cdot v = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)} v</math>, जहां ''c<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' ऐसी सम्मिश्रत संख्याएँ हैं


:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> मैं सबके लिए,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> ''i''  सभी लिए,


और ν प्रमुख और अभिन्न है।
और ν प्रमुख और अभिन्न है।


जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के मामले में है, दो अनुखण्ड   का [[टेंसर उत्पाद]] एक अन्य अनुखण्ड   है। U के एक तत्व x के लिए<sub>q</sub>(जी), और संबंधित अनुखण्ड   में वैक्टर वी और डब्ल्यू के लिए, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), ताकि <math>k_\lambda\cdot(v \otimes w) = k_\lambda\cdot v \otimes k_\lambda.w</math>, और सहउत्पाद के मामले में Δ<sub>1</sub>, <math>e_i\cdot(v \otimes w) = k_i\cdot v \otimes e_i\cdot w + e_i\cdot v \otimes w</math> और <math>f_i\cdot(v \otimes w) = v \otimes f_i\cdot w + f_i\cdot v \otimes k_i^{-1}\cdot w.</math>
जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के स्थिति में है, दो अनुखण्ड का [[टेंसर उत्पाद]] एक अन्य अनुखण्ड है। U के एक तत्व x के लिए <sub>q</sub>(G), और संबंधित अनुखण्ड में वैक्टर ''v और''  ''w''  के लिए, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), जिससे 
ऊपर वर्णित एकीकृत उच्चतम भार अनुखण्ड  एक-आयामी अनुखण्ड  का एक टेंसर उत्पाद है (जिस पर k<sub>λ</sub> = सी<sub>''λ''</sub> सभी λ के लिए, और ई<sub>i</sub>= एफ<sub>i</sub>= 0 सभी के लिए i) और एक गैर-शून्य  सदिश v द्वारा उत्पन्न उच्चतम भार अनुखण्ड <sub>0</sub>, का विषय है <math>k_\lambda\cdot v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> सभी भारों के लिए λ, और <math>e_i\cdot v_0 = 0</math> सबके लिए मैं
 
<math>k_\lambda\cdot(v \otimes w) = k_\lambda\cdot v \otimes k_\lambda.w</math>, और सहउत्पाद के विषय में Δ<sub>1</sub>, <math>e_i\cdot(v \otimes w) = k_i\cdot v \otimes e_i\cdot w + e_i\cdot v \otimes w</math> और <math>f_i\cdot(v \otimes w) = v \otimes f_i\cdot w + f_i\cdot v \otimes k_i^{-1}\cdot w.</math>
 
ऊपर वर्णित संयुक्त उच्चतम-भार अनुखंड एक एक-आयामीअनुखंड का एक टेंसर गुणन है (जिसमें सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub> = c<sub>λ</sub>'' है, और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub> = f<sub>i</sub> = 0'' है) और एक उच्चतम-भार अनुखंड जो एक गैर शून्य सदिश ''v<sub>0</sub>'' द्वारा उत्पन्न किया गया है, जो सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>⋅v<sub>0</sub> = q<sup>(λ,ν)</sup>⋅v<sub>0</sub>'' और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub>⋅v<sub>0</sub> = 0'' को पूरा करता है।
 
विशेष रूप से, जब ''G'' एक सीमित-आयामी ली बीजगणित है , तो अधिकतम अवशेष पूर्णांशी उच्चतम-भार के अपूर्णिय रूपांतरण भी सीमित-आयामी होते हैं।
 
उच्चतम-भार अनुखंण्डो के एक टेंसर गुणन के विषय में, उनके उप-अनुखंण्डो में विभाजन का वही समान होता है जो कैक-मूडी बीजगणित के संबंधितअनुखंण्डों के टेंसर गुणन के विषय में होता है उच्चतम-भार  समान होते हैं, उनकी अधिकतमता भी समान होती है।
 
 
 
 
 
 
 


विशिष्ट मामले में जहां G एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित है (Kac-Moody बीजगणित के एक विशेष मामले के रूप में), तो प्रमुख अभिन्न उच्चतम भार के साथ अघुलनशील प्रतिनिधित्व भी परिमित-आयामी हैं।


उच्चतम भार वाले अनुखण्ड  के टेंसर उत्पाद के मामले में, सबअनुखण्ड  में इसका अपघटन केएसी-मूडी बीजगणित के संबंधित अनुखण्ड  के टेंसर उत्पाद के समान होता है (उच्चतम भार समान होते हैं, जैसे उनकी बहुलताएं होती हैं)।


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====केस 2: क्यू एकता की जड़ है====
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====केस 2: q एकता की जड़ है====


===अर्धत्रिकोणीयता===
== अर्धत्रिकोणीयता ==
'''केस 1''': '''q एकता की जड़ नहीं है'''


====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है====
यद्यपि क्वांटम समूह Uq(G) नियमित त्रिकोणीय नहीं है, लेकिन इसे "लगभग त्रिकोणीय" समझा जा सकता है क्योंकि एक अनंत औपचारिक योग होता है जो आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। इस अनंत औपचारिक योग को उत्पन्न करने के लिए उत्पन्नकर्ता ei और fi, और कार्टन उत्पन्नकर्ता tλ के आधार पर अभिव्यक्ति किया जा सकता है, जहां kλ को औपचारिक रूप से qtλ के साथ खोला जा सकता है। इस अनंत औपचारिक योग को दो अंशों का गुणा करके प्रस्तुत किया जा सकता है।
सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, परंतु  इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर-आव्यूह|आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। यह अनंत औपचारिक योग जेनरेटर ई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>, और कार्टन जनरेटर टी<sub>''λ''</sub>, जहां के<sub>λ</sub>औपचारिक रूप से q से पहचाना जाता है<sup>t<sub>''λ''</sub></सुपर>. अनंत औपचारिक योग दो कारकों का गुणनफल है,{{citation needed|reason=I could not find this in references or anywhere else. Chari-Pressley has a different formula.|date=July 2016}}
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math>
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math>
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1.
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λj कार्टन उपसमघ के प्रतियोगी स्थान के लिए एक आधार है, और μj इसके प्रतियोगी आधार हैं, और एक स्थिर चिह्न η = ±1 है।
 


औपचारिक अनंत योग जो आर-आव्यूह | आर-आव्यूह का हिस्सा निभाता है, दो अपरिवर्तनीय उच्चतम भार अनुखण्ड  के टेंसर उत्पाद पर और दो सबसे कम भार वाले अनुखण्ड  के टेंसर उत्पाद पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्रवाई करता है। विशेष रूप से, यदि v का भार α है और w का भार β है, तो
यदि v का भार α है और w का भार β है, तो यह औपचारिक अनंत योग दो अविभाज्य उच्चतम भार अनुखंडों के अथवा दो निम्नतम भार अनुखंडों के टेंसर गुणक पर विशेष रूप से प्रभावी होगा।
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math>
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math>
और तथ्य यह है कि अनुखण्ड  दोनों उच्चतम भार वाले अनुखण्ड  हैं या दोनों सबसे कम भार वाले अनुखण्ड  v ⊗ W पर अन्य कारक की कार्रवाई को एक सीमित योग तक कम कर देते हैं।
यदि अनुखंड दोनों ही उच्चतम भार अनुखंड हैं या दोनों ही निम्नतम भार अनुखंड हैं, तो दूसरे फैक्टर का v ⊗ W पर प्रभाव एक सीमित योग के रूप में कम हो जाएगा।
 
विशेष रूप से, यदि V एक उच्चतम वजन मॉड्यूल है, तो औपचारिक अनंत योग R, V ⊗ V पर एक स्पष्ट परिभाषित और परिवर्तनीय प्रभाव रखता है। और यह R का मान यांग-बैक्स्टर समीकरण को पूरा करता है, इससे हमें एक ब्रेड समूह के प्रतिनिधित्व को निर्धारित करने की अनुमति होती है, और कॉनट्स, लिंक्स और ब्रेड के लिए क्वासी-अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति होती है।


विशेष रूप से, यदि वी एक उच्चतम भार अनुखण्ड  है, तो औपचारिक अनंत योग, आर, में वी ⊗ वी पर एक अच्छी तरह से परिभाषित, और उलटा कार्रवाई है, और आर का यह मान (अंत के एक तत्व के रूप में (वी ⊗ वी)) यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करता है, और इसलिए हमें ब्रैड समूह का प्रतिनिधित्व निर्धारित करने और [[गाँठ (गणित)]], [[लिंक (गाँठ सिद्धांत)]] और ब्रैड सिद्धांत के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
====केस 2: ''q''  एकता की जड़ है====


====केस 2: क्यू एकता की जड़ है====
<!--- This subsubsection is waiting for input --->




===क्वांटम समूह q = 0=== पर
== q = 0 पर क्वांटम समूह ==
{{main|Crystal base}}
{{main|क्रिस्टल आधार}}


[[मसाकी काशीवारा]] ने क्यू → 0 के रूप में क्वांटम समूहों के सीमित व्यवहार पर शोध किया है, और एक विशेष रूप से अच्छा व्यवहार वाला आधार पाया है जिसे [[क्रिस्टल आधार]] कहा जाता है।
[[मसाकी काशीवारा]] ने क्वांटम समूहों के q → 0 के सीमित व्यवहार का अध्ययन किया है, और उन्होंने एक विशेष रूप से सुव्यवहृत आधार को "[[क्रिस्टल आधार]]" के रूप में पाया है।


===रूट-सिस्टम और डायनकिन आरेख द्वारा विवरण और वर्गीकरण===
===रूट-प्रणाली और डायनकिन आरेख द्वारा विवरण और वर्गीकरण===
उपरोक्त यू जैसे क्वांटम समूहों के परिमित भागफल का वर्णन करने में काफी प्रगति हुई है<sub>q</sub>('जी') क्यू के लिए<sup>n</sup> = 1; कोई सामान्यतः 'नुकीले' [[हॉपफ बीजगणित]] के वर्ग पर विचार करता है, जिसका अर्थ है कि सभी उप-आकार 1-आयामी हैं और इस प्रकार उनका योग एक समूह बनता है जिसे 'कोरैडिकल' कहा जाता है:
ऊपर उल्लिखित Uq(g) जैसे क्वांटम समूहों के अंतिम अंश का विवरण करने में काफी प्रगति हुई है; सामान्यतः एक त्रुटियों के कक्ष का  विचार किया जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी उप-सहायक उपनिर्माता 1-आयामी होते हैं और इस तरह उनका योग एक समूह बनाता है, जिसे "कोराडिकल" कहते हैं।


* 2002 में एच.-जे. श्नाइडर और एन. एंड्रुस्किवित्च <ref>Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.</ref> एबेलियन सह-कट्टरपंथी समूह (अभाज्य 2, 3, 5, 7 को छोड़कर) के साथ नुकीले हॉपफ बीजगणित के अपने वर्गीकरण को समाप्त किया, विशेष रूप से यू के उपरोक्त परिमित भागफल के रूप में<sub>q</sub>('g') सामान्य सेमीसिम्पल लाई बीजगणित की तरह E′s (बोरेल भाग), दोहरे F′s और K′s (कार्टन बीजगणित) में विघटित होता है:
*2002 में एच.-जे. श्नाइडर और एन. एंड्रुस्किवित्च <ref>Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras, New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.</ref> ने अवेनेलियन सहायक बीजगणित समूह वाले विचारित होप्फ़ बीजगणितीय के अपने वर्गीकरण के वर्गीकरण को पूरा किया।,विशेष रूप से, उपर्युक्त सीमित व्यक्ति Uq(g) के अंतिम भागों का विभाजन E′s , पुनर्विलोम F′s और K′s में होता है, ठीक साधारण अर्धसरल ली बीजगणितीय की तरह विघटित होता है
::<math>\left(\mathfrak{B}(V)\otimes k[\mathbf{Z}^n]\otimes\mathfrak{B}(V^*)\right)^\sigma</math>
::<math>\left(\mathfrak{B}(V)\otimes k[\mathbf{Z}^n]\otimes\mathfrak{B}(V^*)\right)^\sigma</math>
:यहां, जैसा कि शास्त्रीय सिद्धांत में V, E's द्वारा फैलाए गए आयाम n का एक [[ब्रेडेड वेक्टर स्पेस|ब्रेडेड सदिश स्पेस]] है, और σ (एक तथाकथित कोसिलस ट्विस्ट) E's और F's के बीच गैर-तुच्छ 'लिंकिंग' बनाता है। ध्यान दें कि शास्त्रीय सिद्धांत के विपरीत, दो से अधिक जुड़े हुए घटक प्रकट हो सकते हैं। 'क्वांटम बोरेल बीजगणित' की भूमिका निकोलस बीजगणित द्वारा ली गई है <math>\mathfrak{B}(V)</math> of the braided vectorspace. [[File:Dynkin4A3lift.png|thumb|चार A3 प्रतियों को जोड़ने वाले नुकीले हॉपफ बीजगणित के लिए सामान्यीकृत डायनकिन आरेख]]* सामान्यीकृत डायनकिन आरेखों के संदर्भ में एबेलियन समूहों के लिए आई. हेकेनबर्गर का निकोल्स बीजगणित एक महत्वपूर्ण घटक था।<ref>Heckenberger: Nichols algebras of diagonal type and arithmetic root systems, Habilitation thesis 2005.</ref> जब छोटे अभाज्य संख्याएँ मौजूद होती हैं, तो कुछ विदेशी उदाहरण, जैसे कि त्रिभुज, घटित होते हैं (रैंक 3 डंकिन आरेख का चित्र भी देखें)।
:यहां, जैसा कि पारंपरिक सिद्धांत में, V एक [[ब्रेडेड वेक्टर स्पेस|ब्रेडेड सदिश स्पेस]] जिसका आयाम n है, जिसमें E′s द्वारा छापे गए हैं, और σ नानातत्विक संबंध को उत्पन्न करता है जो E′s और F′s के बीच लिंकिंग को सृजित करता है। ध्यान दें कि प्राचीन सिद्धांत के विपरीत, दो से अधिक लिंकिंग के घटक प्रकट हो सकते हैं। क्वांटम बोरेल बीजगणित सदिश स्पेस के निकोल्स बीजगणित सदिश स्पेस <math>\mathfrak{B}(V)</math>के रूप में काम करता है। [[File:Dynkin4A3lift.png|thumb|चार A3 प्रतियों को जोड़ने वाले नुकीले हॉपफ बीजगणित के लिए सामान्यीकृत डायनकिन आरेख]]* एक महत्वपूर्ण तत्व था I हेकेनबर्गर के द्वारा अवेनेलियन समूहों के लिए एक सामान्यीकृत डिंकिन आरेखनों के माध्यम से एक सीमित निकोल्स बीजगणित के वर्गीकरण का तत्व <ref>Heckenberger: Nichols algebras of diagonal type and arithmetic root systems, Habilitation thesis 2005.</ref>। छोटे प्रधान संख्याएं  उपस्थित होने पर, कुछ विचित्र उदाहरण, जैसे एक त्रिकोण, पाया जाता है (रैंक 3 डैंकिन आरेखन डायग्राम की चित्रित भी देखें)।
[[File:Dynkin Diagram Triangle.jpg|thumb|एक परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित से संबंधित रैंक 3 डायनकिन आरेख]]* इस बीच, श्नाइडर और हेकेनबर्गर<ref>Heckenberger, Schneider: Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras, 2008.</ref> आम तौर पर नॉनबेलियन मामले में भी एक अंकगणितीय जड़ प्रणाली के अस्तित्व को साबित किया है, जिससे पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का निर्माण होता है, जैसा कि एबेलियन मामले में खारचेको द्वारा सिद्ध किया गया है (परिमित आयाम पर धारणा के बिना)। इसका उपयोग किया जा सकता है<ref>Heckenberger, Schneider: Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid, 2009.</ref> विशिष्ट मामलों पर यू<sub>q</sub>('जी') और उदाहरण के लिए समझाता है इन क्वांटम समूहों के कुछ सहबद्ध उपबीजगणित और ली बीजगणित 'जी' के वेइल समूह के क्रम के बीच संख्यात्मक संयोग।
:साथ ही, श्नाइडर और हेकेनबर्गर ने अवेनेलियन विषय में भी एक अंकगणितीय रूट प्रणाली की अस्तित्व को सामान्य रूप से सिद्ध किया है,<ref>Heckenberger, Schneider: Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras, 2008.</ref> जिसे खारचेंको ने अवेनेलियन विषय में प्रमाणित किया है इसे विशेष स्थितियों पर Uq(g) पर लागू किया जा सकता है और यह उदाहरण के रूप में समझाता है कि क्यों इन क्वांटम समूहों के कुछ कोइडील उप-बीजगणित उप-बीजगणित समूह और ली बीजगणित g के वेयल समूह के आदेश के बीच संख्यात्मक संयोजन होता है।<ref>Heckenberger, Schneider: Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid, 2009.</ref>
[[File:Dynkin Diagram Triangle.jpg|thumb|एक परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित से संबंधित रैंक 3 डायनकिन आरेख]]
 
==संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह==
{{Main| संक्षिप्त [ क्वांटम समूह}}


==कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह==
एस. एल. वोरोनोविच ने संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह का परिचय दिया। संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह अर्थात एक संघटनशील संरचना है जिसमें संरचना के "निरंतर संख्याएँ" को  C* -बीजगणित के तत्वों के रूप में दिया जाता है। संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह की ज्यामिति एक गैरसंवर्ती ज्यामिति के विशेष स्थितियों में से एक है।
{{Main|Compact quantum group}}


एस. एल. वोरोनोविज़ ने कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूहों की शुरुआत की। कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह अमूर्त संरचनाएं हैं जिन पर संरचना पर निरंतर कार्य C*-बीजगणित के तत्वों द्वारा दिए जाते हैं। एक कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह की ज्यामिति एक गैर-अनुवांशिक ज्यामिति का एक विशेष मामला है।
संक्षिप्त  हॉसडॉर्फ़ संस्थानिक स्पेस पर निरंतर जटिल संख्यात्मक फलन एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के समान होते हैं। [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] के अनुसार, एक कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित एक संक्षिप्त  हॉसडॉर्फ संस्थानिक स्पेस पर निरंतर जटिल संख्यात्मक वाले कार्यों के C*-बीजगणित के लिए  समरूपी है, और संस्थानिक स्पेस को [[होमियोमोर्फिज्म|समरूपी]] तक C*-बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।


कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित बनाते हैं। [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] के अनुसार, एक कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्य वाले कार्यों के सी*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है, और टोपोलॉजिकल स्पेस को [[होमियोमोर्फिज्म]] तक सी*-बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।
एक संक्षिप्त [[टोपोलॉजिकल समूह|संस्थानिक समूह]] G के लिए, एक C*-बीजगणित समरूपता Δ: C(G) → C(G) ⊗ C(G) (जहां C(G) ⊗ C(G) C*-बीजगणित समरूपता है - C(G) और C(G) के सामान्य बीजगणित का पूर्णन्त है), ऐसा होता है जिसके लिए Δ(f)(x, y) = f(xy) सभी f ∈ C(G) के लिए ह