कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय)

सांख्यिकीय यांत्रिक में एक कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय) एक सांख्यिकीय समूह है जो एक निश्चित तापमान पर ताप कुण्ड के साथ ऊष्मीय साम्य में एक यांत्रिक तंत्र की संभावित स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है। तंत्र ताप कुण्ड के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है, जिससे तंत्र की स्थिति कुल ऊर्जा में भिन्न होगी।

अवस्थाओ के प्रायिकता वितरण को निर्धारित करने वाले कैनोनिकल एन्सेम्बल का प्रमुख ऊष्मागतिक चर, परम ताप (प्रतीक, T) है। समूह सामान्यतः यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे तंत्र में कणों की संख्या (प्रतीक, N) और तंत्र की मात्रा (प्रतीक, V), जिनमें से यह प्रत्येक तंत्र की आंतरिक स्थितियों की प्रकृति को प्रभावित करता है। इन तीन मापदंडों वाले समूह को कभी-कभी NVT समूह कहा जाता है

कैनोनिकल एन्सेम्बल निम्नलिखित घातांक द्वारा दिए गए प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था को एक प्रायिकता P प्रदान करता है,

$P=e^{(F-E)/(kT)},$

जहाँ E सूक्ष्म अवस्था की कुल ऊर्जा है और k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है

संख्या F मुक्त ऊर्जा है (विशेष रूप से हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा) और समूह के लिए एक स्थिरांक है। हालाँकि, यदि अलग-अलग N, V, T का चयन किया जाता है तो संभावनाएँ और F अलग-अलग होंगे। मुक्त ऊर्जा F दो भूमिकाएँ निभाती है, पहला, यह प्रायिकता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है (सूक्ष्म अवस्था के पूरे समूह पर संभावनाओं का योग एक होना चाहिए), दूसरा कई महत्वपूर्ण समूह औसतों की गणना सीधे फलन F(N, V, T) से की जा सकती है।

समान अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक समतुल्य सूत्रीकरण, मुक्त ऊर्जा के बजाय विहित विभाजन फलन

$\textstyle Z=e^{-F/(kT)}$

का उपयोग करते हुए, संभावना को

$\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},$ के रूप में लिखता है

नीचे दिए गए समीकरणों (मुक्त ऊर्जा के संदर्भ में) को सरल गणितीय परिचालन द्वारा विहित विभाजन फलन के संदर्भ में पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से कैनोनिकल एन्सेम्बल का वर्णन पहली बार बोल्ट्ज़मान (जिन्होंने इसे होलोड कहा था) द्वारा 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में किया गया था। बाद में 1902 में गिब्स द्वारा इसका पुनर्निर्माण किया गया और व्यापक जांच की गई।

कैनोनिकल एन्सेम्बल की प्रयोज्यता

कैनोनिकल एन्सेम्बल वह समूह है जो एक तंत्र की संभावित स्थितियों का वर्णन करता है जो ताप कुण्ड के साथ तापीय संतुलन में है (इस तथ्य की व्युत्पत्ति गिब्स में पाई जा सकती है।

कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी आकार की प्रणालियों पर लागू होता है, जबकि यह मानना ​​आवश्यक है कि ताप कुण्ड बहुत बड़ा है (अर्थात, एक स्थूल सीमा लें), और तंत्र स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है।

यह शर्त कि तंत्र यांत्रिक रूप से पृथक है, यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह ताप कुण्ड के अलावा किसी भी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है। सामान्य तौर पर उन प्रणालियों पर कैनोनिकल एन्सेम्बल लागू करना वांछनीय है जो ताप कुण्ड के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है। व्यावहारिक स्थितियों में कैनोनिकल एन्सेम्बल का उपयोग सामान्यतः या तो उचित है (1 यह मानकर कि संपर्क यांत्रिक रूप से कमजोर है, या 2) जो विश्लेषण के तहत तंत्र में ताप कुण्ड संबन्ध का एक उपयुक्त भाग सम्मिलित करके संबन्ध का यांत्रिक प्रभाव तंत्र के भीतर प्रारूपित कर सकता है।

जब कुल ऊर्जा निश्चित होती है लेकिन सिस्टम की आंतरिक स्थिति अन्यथा अज्ञात होती है, तो उचित विवरण कैनोनिकल एन्सेम्बल नहीं बल्कि सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल होता है। उन प्रणालियों के लिए कण संख्या परिवर्तनशील है (कण भंडार के संपर्क के कारण), सही विवरण उच्च कैनोनिकल एन्सेम्बल है। कण प्रणालियों की परस्पर क्रिया के लिए सांख्यिकीय भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में तीन समूहों को ऊष्मागतिक रूप से समतुल्य माना जाता है, उनके औसत मूल्य के आसपास स्थूल मात्राओं का उतार-चढ़ाव छोटा हो जाता है और, जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत हो जाती है, वे गायब हो जाते हैं। बाद की सीमा में जिसे ऊष्मागतिक सीमा कहा जाता है उसमें औसत बाधाएं प्रभावी रूप से कठिन बाधाएं बन जाती हैं। संयोजन तुल्यता की धारणा गिब्स के समय से चली आ रही है और इसे भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूपों के लिए छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं और छोटी संख्या में सूक्ष्म बाधाओं के अधीन सत्यापित किया गया है। इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि समूह तुल्यता सभी भौतिक प्रणालियों के लिए होती है तथा पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए समूह तुल्यता का टूटना भी होता है।

गुण

• विशिष्टता, कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी दिए गए भौतिक तंत्र के लिए तथा किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और समन्वय तंत्र (चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी), या आधार (क्वांटम यांत्रिकी), या ऊर्जा के शून्य के विकल्प जैसे यादृच्छिक विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल निरंतर N , V और T के साथ एकमात्र समूह है जो मौलिक ऊष्मागतिक संबंध को पुन: उत्पन्न करता है ।
• सांख्यिकीय संतुलन, एक कैनोनिकल एन्सेम्बल समय के साथ विकसित नहीं होता है, इस तथ्य कि अंतर्निहित तंत्र निरंतर गति में है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समूह केवल तंत्र ऊर्जा की संरक्षित मात्रा का एक फलन है।
• अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन: दो प्रणालियाँ जिनमें से प्रत्येक को समान तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया गया है, तथा इसे तापीय संपर्क में लाया गया है प्रत्येक एक ही समूह को बनाए रखेगा और परिणामी संयुक्त प्रणाली को उसी तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाएगा।
• अधिकतम एन्ट्रापी,: किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित N , V ) के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत −⟨log P ⟩ ( एन्ट्रापी ) समान ⟨E ⟩ के साथ किसी भी समूह के लिए अधिकतम संभव है ।
• न्यूनतम मुक्त ऊर्जा, किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित N , V )और T के दिए गए मान के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत ⟨ E + kT log P ⟩ (हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा) किसी भी समूह की तुलना में में सबसे कम संभव है। इसे आसानी से एन्ट्रापी को अधिकतम करने के बराबर देखा जा सकता है।

मुक्त ऊर्जा, सामुदायिक औसत और सटीक अंतर

• फलन F(N, V, T) के आंशिक व्युत्पन्न महत्वपूर्ण विहित संयोजन औसत मात्राएँ देते हैं,
  • औसत दबाव
    $$\langle p\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial V}},$$
    है,
  • गिब्स एन्ट्रापी
    $$S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial T}},$$
    है,
  • आंशिक व्युत्पन्न ∂F/∂N लगभग रासायनिक क्षमता से संबंधित है, हालांकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटी प्रणालियों के विहित संयोजनों पर बिल्कुल लागू नहीं होती है।
  • और औसत ऊर्जा
    $$\langle E\rangle =F+ST.$$
    है।
• सटीक अंतर, उपरोक्त अभिव्यक्तियों से यह देखा जा सकता है कि दिए गए N के लिए फलन F(V, T), में सटीक अंतर सटीक अंतर
  $$dF=-S\,dT-\langle p\rangle \,dV.$$
  है।
• ऊष्मागतिकी का पहला नियम, ⟨E⟩ के लिए उपरोक्त संबंध को F के सटीक अंतर में प्रतिस्थापित करने पर, ऊष्मागतिकी के पहले नियम के समान, कुछ मात्राओं पर औसत संकेतों को छोड़कर: एक समीकरण मिलता है,
  $$d\langle E\rangle =T\,dS-\langle p\rangle \,dV.$$
• ऊर्जा उच्चावचन, तंत्र में ऊर्जा के कैनोनिकल एन्सेम्बल में अनिश्चितता है। ऊर्जा का विचरण
  $$\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}.$$
  है।

उदाहरण समूह

"हम एक ही प्रकृति की बड़ी संख्या में प्रणालियों की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन एक निश्चित समय पर उनके विन्यास और वेग में भिन्नता होती है, और न केवल अनन्त रूप से भिन्न, बल्कि यह इस प्रकार हो सकता है कि विन्यास और वेगों के हर कल्पनीय संयोजन को समाविष्ट कर सके..." जे. डब्ल्यू. गिब्स (1903)-

बोल्ट्ज़मैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

यदि एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है (ऐसा तब होता है जब विभिन्न भाग परस्पर क्रिया नहीं करते हैं), और उनमें से प्रत्येक भाग की एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तथा प्रत्येक भाग को अपने आप में एक तंत्र के रूप में देखा जा सकता है और पूरे के समान तापमान वाले एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाता है। इसके अलावा, यदि तंत्र कई समान भागों से बना है, तो प्रत्येक भाग का वितरण अन्य भागों के समान ही होता है।

इस तरह कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी संख्या में कणों की प्रणाली के लिए बिल्कुल बोल्ट्ज़मैन वितरण (जिसे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में भी जाना जाता है) प्रदान करता है। इसकी तुलना में सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल से बोल्ट्ज़मैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों (अर्थात ऊष्मागतिक सीमा में) वाले तंत्र के लिए लागू होता है।

बोल्ट्ज़मैन वितरण स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी को वास्तविक प्रणालियों पर लागू करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है, क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल बनाता है जिन्हें स्वतंत्र भागों (उदाहरण के लिए, गैस में कण, गुहा में विद्युत चुम्बकीय मोड, बहुलक में आणविक बंधन) में विभाजित किया जा सकता है।

आइसिंग निदर्श (दृढ़ता से अन्योन्यकारी तंत्र)

Main article: आइसिंग निदर्श

एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले टुकड़ों से बने तंत्र में, सामान्यतः तंत्र को स्वतंत्र उपप्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्ज़मैन वितरण में किया गया है। इन प्रणालियों में जब तंत्र को ताप कुण्ड के लिए तापस्थापी किया जाता है तो उसके ऊष्मागतिकी का वर्णन करने के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल सामान्यतः सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए सबसे सीधी संरचना है और यहां तक ​​कि कुछ अन्योन्यकारी प्रारूप तंत्र में सही समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है

इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण एकीकृत प्रारूप है जो लौह चुम्बकत्व और स्वयंजोड़ित एकस्तरी गठन की घटनाओं के लिए एक व्यापक रूप से चर्चित प्टॉय रारूप है जो सबसे सरल प्रारूपों में से एक है एक प्रावस्था संक्रमण दिखाता है। लार्स ऑनसागर ने कैनोनिकल एन्सेम्बल में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत आकार के वर्ग-जाली आइसिंग प्रारूप की मुक्त ऊर्जा की गणना की।

समूह के लिए सटीक व्यंजक

एक सांख्यिकीय समूह के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है - क्वांटम या चिरप्रतिष्ठित- क्योंकि इन दोनों स्थितियों में "सूक्ष्म अवस्था" की धारणा काफी भिन्न है। क्वांटम यांत्रिकी में, कैनोनिकल एन्सेम्बल एक सरल विवरण प्रदान करता है क्योंकि विकर्णीकरण विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ सूक्ष्म अवस्थाओ का एक अलग समूह प्रदान करता है। चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक स्थिति अधिक जटिल है क्योंकि इसमें विहित प्रावस्था समष्टि पर एक समाकल सम्मिलित है, और प्रावस्था समष्टि में सूक्ष्म अवस्थाओ का आकार कुछ हद तक स्वेच्छतः रूप से चुना जा सकता है।

क्वान्टम यांत्रिकी

Example of canonical ensemble for a quantum system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available stationary states displayed as horizontal bars of varying darkness according to |ψ_i(x)|².

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

The particle's Hamiltonian is Schrödinger-type, Ĥ = U(x) + p²/2m (the potential U(x) is plotted as a red curve). Each panel shows an energy-position plot with the various stationary states, along with a side plot showing the distribution of states in energy.

Further information on क्वांटम यांत्रिकी में समुच्चय का प्रतिनिधित्व: सांख्यिकीय समूह (गणितीय भौतिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समूह को घनत्व आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है जिसे ${\hat {\rho }}$ द्वारा भी दर्शाया जाता है। आधार मुक्त संकेतन में कैनोनिकल एन्सेम्बल घनत्व आव्यूह

${\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),$

है जहां Ĥ तंत्र की कुल ऊर्जा संचालक (हैमिल्टनियन) है और exp()आव्यूह चरघातांकी संकारक है।मुक्त ऊर्जा F प्रायिकता सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें घनत्व आव्यूह का एक चिन्ह होता है, $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$,

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).$।

यदि तंत्र की ऊर्जा आइजन अवस्था और ऊर्जा आइजनमान ​​​​ज्ञात हैं, तो कैनोनिकल एन्सेम्बल को वैकल्पिक रूप से ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करके सरल रूप में लिखा जा सकता है।

पूर्ण ऊर्जा आइजन अवस्थाओ |ψ_i⟩i⟩ का एक संपूर्ण आधार दिया गया है, जिसे i से चिन्हित किया जाता है, जो कैनोनिकल एन्सेम्बल इस प्रकार है,

${\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {F-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {-E_{i}}{kT}}.$

जहां E_i Ĥ|ψ_i⟩ = E_i|ψ_i⟩ द्वारा निर्धारित ऊर्जा आइजनमान ​​​​हैं। तथा दूसरे शब्दों में क्वांटम यांत्रिकी में सूक्ष्म अवस्थाओ का एक समूह जो स्थिर अवस्थाओ के एक पूरे समुच्चय द्वारा दिया जाता है। इस आधार पर घनत्व आव्यूह विकर्ण है, जिससे विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रत्येक सीधे अंश पर एक प्रायिकता देती हैं।

चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक

एक संभावित कुएं में एक कण से युक्त शास्त्रीय प्रणाली के लिए विहित समूह का उदाहरण।

File:समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF सभी अवस्थाए.png

इस प्रणाली की सभी संभावित स्थितियों का प्लॉट उपलब्ध भौतिक अवस्थाएँ चरण स्थान में समान रूप से वितरित हैं, लेकिन ऊर्जा में असमान वितरण के साथ, साइड-प्लॉट प्रदर्शित करता है dv/dE.

File:समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF canonical.png

दिखाए गए तापमान के लिए, इस प्रणाली के लिए एक विहित समूह। अवस्थाओ को ऊर्जा में तेजी से भारित किया जाता है।

प्रत्येक पैनल प्रावस्था समष्टि (ऊपरी ग्राफ़) और ऊर्जा-स्थिति समष्टि (निचला ग्राफ़) दिखाता है। कण का हैमिल्टनियन math|H = U(x) + p²/2m}} है, जिसकी क्षमता U(x) को लाल वक्र के रूप में दिखाया गया है। साइड प्लॉट ऊर्जा में अवस्थाओ के वितरण को दर्शाता है।

Further information on चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में समुच्चयों का प्रतिनिधित्व: सांख्यिकीय समूह (गणितीय भौतिकी)

चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय समूह को तंत्र के प्रावस्था समष्टि

ρ(p₁, … p_n, q₁, … q_n) में एक संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा दर्शाया जाता है, जहां p₁, … p_n और q₁, … q_n तंत्र की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के विहित निर्देशांक (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं। कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री n कणों की संख्या N पर एक ऐसे तरीके से निर्भर करती है जो भौतिक परिस्थिति पर निर्भर करता है। एक त्रिआयामी गैस के लिए (जिसमें मोलेक्यूलेस नहीं, बल्कि केवल एक परमाणु के कण होते हैं), स्वतंत्रता की संख्या n = 3N होती है।

द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनात्मक डिग्री भी होंगी।

कैनोनिकल एन्सेम्बल के लिए संप्रायिकता घनत्व फलन है

$\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}},$

जहॉं

• E तंत्र की ऊर्जा है तथा चरण का एक फलन (p₁, … q_n) है
• h ऊर्जा × समय की इकाइयों के साथ एक यादृच्छिक लेकिन पूर्व निर्धारित स्थिरांक है, जो एक सूक्ष्म अवस्था की सीमा निर्धारित करता है और ρ को सही आयाम प्रदान करता है।
• C एक अधिकर्तन सुधार कारक है जिसका उपयोग सामान्यतः कण प्रणालियों के लिए किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ स्थान बदलने में सक्षम होते हैं।
• F एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट अवस्था फलन मुक्त ऊर्जा भी है।

फिर से, F का मान यह मांग करके निर्धारित किया जाता है कि ρ एक सामान्यीकृत प्रायिकता घनत्व फलन है,

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\int \ldots \int {\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {-E}{kT}}\,dp_{1}\ldots dq_{n}$

यह समाकल पूरे प्रावस्था समष्टि पर लिया गया है

दूसरे शब्दों में चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में एक सूक्ष्म सूक्ष्म प्रावस्था समष्टि है और इस क्षेत्र में आयतन hⁿC है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म विहित ऊर्जा की एक सीमा तक फैला हुआ है हालांकि h को बहुत छोटा चुनकर इस सीमा को स्वेच्छतः से संकीर्ण बनाया जा सकता है। जैसे ही प्रावस्था समष्टि को पर्याप्त डिग्री तक सुक्ष्म विभाजित किया जाता है, वैसे ही प्रावस्था समष्टि समाकल को सूक्ष्म अवस्थाओ पर एक योग में परिवर्तित कर देता है।