एस्चर परिवर्तन

बीमांकिक विज्ञान में, एस्चर परिवर्तन (गर्बर & शिउ 1994) ऐसा परिवर्तन है जो संभाव्यता घनत्व फलन f(x) प्राप्त करता है और इसे पैरामीटर h के साथ नई संभाव्यता घनत्व f(x; h) में परिवर्तित कर देता है। इसे 1932 में एफ. एस्चर द्वारा प्रस्तुत किया गया था (एस्स्चर 1932).

परिभाषा

मान लीजिए f(x) संभाव्यता घनत्व है। इसके एस्चेर परिवर्तन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$f(x;h)={\frac {e^{hx}f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}f(x)dx}}.\,$

अधिक सामान्यतः, यदि μ संभाव्यता माप है, तो μ का एस्चर परिवर्तन नया संभाव्यता माप E_h(μ) है जिसमें घनत्व है:

${\frac {e^{hx}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}d\mu (x)}}$

μ के संबंध में है:

मूल गुण

संयोजन

एस्चर परिवर्तन का एस्चर परिवर्तन फिर से एस्चर परिवर्तन है: E_h1 E_h2 = E_{h1 + h2}

इनवर्स

एस्चर परिवर्तन का व्युत्क्रम ऋणात्मक पैरामीटर के साथ एस्चर परिवर्तन है: E−1h = E_−h

मीन गति

सामान्य वितरण पर एस्चेर परिवर्तन का प्रभाव माध्य को आगे बढ़ा रहा है:

$E_{h}({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))={\mathcal {N}}(\mu +h\sigma ^{2},\,\sigma ^{2}).\,$

उदाहरण

वितरण	एस्चर परिवर्तन
बरनौली बरनौली(p)	$\,{\frac {e^{hk}p^{k}(1-p)^{1-k}}{1-p+pe^{h}}}$
द्विपद B(n, p)	$\,{\frac {{n \choose k}e^{hk}p^{k}(1-p)^{n-k}}{(1-p+pe^{h})^{n}}}$
सामान्य N(μ, σ2)	$\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}h)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
प्वासों पोइस(λ)	$\,{\frac {e^{hk-\lambda e^{h}}\lambda ^{k}}{k!}}$

यह भी देखें

• एस्चर सिद्धांत
• घातीय झुकाव

संदर्भ

• Gerber, Hans U.; Shiu, Elias S. W. (1994). "Option Pricing by Esscher Transforms" (PDF). Transactions of the Society of Actuaries. 46: 99–191.

• Esscher, F. (1932). "On the Probability Function in the Collective Theory of Risk". Skandinavisk Aktuarietidskrift. 15 (3): 175–195. doi:10.1080/03461238.1932.10405883.