एस्चर परिवर्तन

बीमांकिक विज्ञान में, एस्चर परिवर्तन (Gerber & Shiu 1994) एक परिवर्तन है जो संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(x) लेता है और इसे पैरामीटर h के साथ एक नई संभाव्यता घनत्व f(x; h) में बदल देता है। इसे 1932 में एफ. एस्चर द्वारा पेश किया गया था (Esscher 1932).

परिभाषा

मान लीजिए f(x) एक संभाव्यता घनत्व है। इसके एस्चेर ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$f(x;h)={\frac {e^{hx}f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}f(x)dx}}.\,$

अधिक सामान्यतः, यदि μ एक संभाव्यता माप है, तो μ का Esscher परिवर्तन एक नया संभाव्यता माप E है_h(μ) जिसमें रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है

${\frac {e^{hx}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}d\mu (x)}}$

μ के संबंध में.

मूल गुण

संयोजन

Esscher ट्रांसफॉर्म का Esscher ट्रांसफॉर्म फिर से एक Esscher ट्रांसफॉर्म है: ई_h1 ठीक है_h2 = ठीक है_{h1+ एच2</उप>.}

श्लोक में

Esscher परिवर्तन का व्युत्क्रम नकारात्मक पैरामीटर के साथ Esscher परिवर्तन है: E⁻¹
_h=ई_−h

मतलब चाल

सामान्य वितरण पर एस्चेर परिवर्तन का प्रभाव माध्य को आगे बढ़ा रहा है:

$E_{h}({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))={\mathcal {N}}(\mu +h\sigma ^{2},\,\sigma ^{2}).\,$

उदाहरण

Distribution	Esscher transform
Bernoulli Bernoulli(p)	$\,{\frac {e^{hk}p^{k}(1-p)^{1-k}}{1-p+pe^{h}}}$
Binomial B(n, p)	$\,{\frac {{n \choose k}e^{hk}p^{k}(1-p)^{n-k}}{(1-p+pe^{h})^{n}}}$
Normal N(μ, σ2)	$\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}h)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Poisson Pois(λ)	$\,{\frac {e^{hk-\lambda e^{h}}\lambda ^{k}}{k!}}$

यह भी देखें

• एस्चर सिद्धांत
• घातीय झुकाव

संदर्भ

• Gerber, Hans U.; Shiu, Elias S. W. (1994). "Option Pricing by Esscher Transforms" (PDF). Transactions of the Society of Actuaries. 46: 99–191.

• Esscher, F. (1932). "On the Probability Function in the Collective Theory of Risk". Skandinavisk Aktuarietidskrift. 15 (3): 175–195. doi:10.1080/03461238.1932.10405883.