क्लासेन फलन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ Cl₂(θ)

गणित में, थॉमस क्लाजेंन (1832) द्वारा प्रस्तुत क्लॉजेन फंक्शन, एकल चर का एक विशेष फंक्शन है। इसे विभिन्न प्रकार से एक निश्चित अभिन्न, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला और विभिन्न प्रकारों में व्यक्त किया जा सकता है। यह पॉलीलॉगरिदम, व्युत्क्रम स्पर्शरेखा इंटीग्रल, पॉलीगामा फंक्शन,रीमैन जेटा फंक्शन, डिरिचलेट एटा फंक्शन और डिरिचलेट बीटा फंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है।

क्रम 2 का क्लॉजेन फंक्शन - कई वर्गों में से एक होने के अतिरिक्त भी इसे अक्सर क्लॉजेन फंक्शन के रूप में संदर्भित किया जाता है - इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:$

सीमा में $0<\varphi <2\pi \,$ निरपेक्ष मान चिह्न के अंदर साइन फंक्शन धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान चिह्न छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फंक्शन में फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व भी है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots$

विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों, लॉगरिदमिक और पॉलीलॉगरिदमिक इंटीग्रल्स के कई वर्गों के मूल्यांकन के संबंध में क्लॉजेन फंक्शन, फंक्शन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के योग, केंद्रीय द्विपद गुणांक के व्युत्क्रम से जुड़े योग, पॉलीगामा फंक्शन के योग और डिरिचलेट एल-श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं।

बुनियादी गुण

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन (क्रम 2 के) में $\pi ,\,$सभी (पूर्णांक) गुणकों में सरल शून्य होते हैं यदि $k\in \mathbb {Z} \,$ एक पूर्णांक है, तो $\sin k\pi =0$

$\operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots$

इसमें मैक्सिमा है $\theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots$

और मिनिमा पर $\theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots$

निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के तत्काल परिणाम हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

$\operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

देखना Lu & Perez (1992).

सामान्य परिभाषा

Standard Clausen functions

Glaisher–Clausen functions

अधिक सामान्यतः, कोई दो सामान्यीकृत क्लॉज़ेन फ़ंक्शन को परिभाषित करता है:

$\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$

$\operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}$

जो Re z >1 के साथ जटिल z के लिए मान्य हैं। विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से परिभाषा को पूरे जटिल स्तर तक बढ़ाया जा सकता है।

जब z को एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो 'मानक क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस' को निम्नलिखित फूरियर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}$

एन.बी. एसएल-प्रकार क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस में वैकल्पिक नोटेशन होता है $\operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,$ और कभी-कभी इन्हें ग्लैशर-क्लॉसेन फ़ंक्शंस (जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर के बाद, इसलिए जीएल-नोटेशन) के रूप में जाना जाता है।

बर्नौली बहुपद से संबंध

एसएल-प्रकार क्लॉज़ेन फ़ंक्शन बहुपद हैं $\,\theta \,$, और बर्नौली बहुपद से निकटता से संबंधित हैं। यह संबंध बर्नौली बहुपदों के फूरियर श्रृंखला निरूपण से स्पष्ट है:

$B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.$

$B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.$

सेटिंग $\,x=\theta /2\pi \,$ उपरोक्त में, और फिर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से निम्नलिखित बंद रूप (बहुपद) अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं:

$\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

$\operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

जहां बर्नौली बहुपद $\,B_{n}(x)\,$ बर्नौली संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $\,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,$ संबंध द्वारा:

$B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.$

उपरोक्त से प्राप्त स्पष्ट मूल्यांकन में शामिल हैं:

$\operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},$

$\operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},$

$\operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},$

$\operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.$

दोहराव सूत्र

के लिए $0<\theta <\pi$, दोहराव सूत्र को अभिन्न परिभाषा से सीधे सिद्ध किया जा सकता है (यह भी देखें)। Lu & Perez (1992) परिणाम के लिए - हालाँकि कोई प्रमाण नहीं दिया गया है):

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )$

कैटलन स्थिरांक को द्वारा निरूपित करना $K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)$, दोहराव सूत्र के तत्काल परिणामों में संबंध शामिल हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}$

$2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)$

उच्च क्रम के क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस के लिए, दोहराव सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र से प्राप्त किए जा सकते हैं; बस बदलें $\,\theta \,$ बंधा हुआ चर के साथ $x$, और अंतराल पर एकीकृत करें $\,[0,\theta ].\,$ एक ही प्रक्रिया को बार-बार लागू करने से निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

$\operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )$

और अधिक सामान्यतः, प्रेरण पर $\,m,\;m\geq 1$

$\operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]$

सामान्यीकृत दोहराव सूत्र का उपयोग कैटलन के स्थिरांक को शामिल करते हुए ऑर्डर 2 के क्लॉज़ेन फ़ंक्शन के परिणाम के विस्तार की अनुमति देता है। के लिए $\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)$

कहाँ $\,\beta (x)\,$ डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन है।

दोहराव सूत्र का प्रमाण

अभिन्न परिभाषा से,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

साइन फ़ंक्शन के लिए दोहराव सूत्र लागू करें, $\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}$ प्राप्त करने के लिए

${\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}$

प्रतिस्थापन लागू करें $x=2y,dx=2\,dy$ दोनों अभिन्नों पर:

${\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}$

उस अंतिम अभिन्न पर, सेट करें $y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy$, और त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें $\cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ उसे दिखाने के लिए:

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}$

$\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,$

इसलिए,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box$

सामान्य-क्रम क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न

क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस के लिए फूरियर श्रृंखला विस्तार का प्रत्यक्ष विभेदन देता है:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )$

कैलकुलस के प्रथम मौलिक प्रमेय की अपील करके, हमारे पास यह भी है:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )$

प्रतिलोम स्पर्शरेखा समाकलन से संबंध

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है $0<z<1$ द्वारा

$\operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन के संदर्भ में इसका निम्नलिखित बंद रूप है:

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

प्रतिलोम स्पर्शरेखा अभिन्न संबंध का प्रमाण

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन की समाकलन परिभाषा से, हमारे पास है

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx$

भागों द्वारा एकीकरण करना

$\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=$

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx$

प्रतिस्थापन लागू करें $x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,$ प्राप्त करने के लिए

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy$

उस अंतिम अभिन्न अंग के लिए, परिवर्तन लागू करें:$y=x/2,\,dy=dx/2\,$ पाने के

${\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

अंत में, दोहराव सूत्र के प्रमाण के साथ, प्रतिस्थापन $x=(\pi -y)\,$ उस अंतिम अभिन्न अंग को कम कर देता है

$\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

इस प्रकार

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box$

बार्न्स जी-फंक्शन से संबंध

वास्तव में $0<z<1$, दूसरे क्रम के क्लॉज़ेन फ़ंक्शन को बार्न्स जी-फ़ंक्शन और (यूलर) गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

या समकक्ष

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

देखना Adamchik (2003).

बहुगणित से संबंध

क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस इकाई चक्र पर पॉलीलॉगरिदम के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं:

$\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0$

इसे बहुगणित की श्रृंखला परिभाषा की अपील करके आसानी से देखा जा सकता है।

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}$

यूलर प्रमेय द्वारा,

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

और डी मोइवर के प्रमेय द्वारा (डी मोइवर का सूत्र)

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}$

इस तरह

$\operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

$\operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

बहुविवाह फलन से संबंध

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन बहुविवाह फ़ंक्शन से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं। दरअसल, क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस को साइन फ़ंक्शंस और पॉलीगामा फ़ंक्शंस के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है। ऐसा ही एक संबंध यहां दिखाया गया है, और नीचे सिद्ध किया गया है:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

होने देना $\,p\,$ और $\,q\,$ धनात्मक पूर्णांक हों, जैसे कि $\,q/p\,$ एक परिमेय संख्या है $\,0<q/p<1\,$, फिर, उच्च क्रम क्लॉज़ेन फ़ंक्शन (सम सूचकांक के) के लिए श्रृंखला परिभाषा के अनुसार:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kq\pi /p)}{k^{2m}}}$

हमने इस योग को बिल्कुल पी-भागों में विभाजित किया है, ताकि पहली श्रृंखला में सभी, और केवल, वे पद शामिल हों जो इसके अनुरूप हों $\,kp+1,\,$ दूसरी श्रृंखला में सभी सर्वांगसम पद शामिल हैं $\,kp+2,\,$ आदि, अंतिम पी-वें भाग तक, जिसमें सर्वांगसम सभी पद शामिल हैं $\,kp+p\,$

हम इन राशियों को दोहरा योग बनाने के लिए अनुक्रमित कर सकते हैं:

${\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+j)^{2m}}}\right\}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}\end{aligned}}$

साइन फ़ंक्शन के लिए अतिरिक्त सूत्र लागू करना, $\,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,$ अंश में ज्या पद बन जाता है:

$\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}$

$\sin m\pi \equiv 0,\quad \,\cos m\pi \equiv (-1)^{m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots$

$\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}$

फलस्वरूप,

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}$

दोहरे योग में आंतरिक योग को एक गैर-परिवर्तनीय योग में बदलने के लिए, ठीक उसी तरह से दो भागों में विभाजित करें जैसे पहले योग को पी-भागों में विभाजित किया गया था:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}}}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1+(j/p))^{2m}}}\\={}&{\frac {1}{2^{p}}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+(j/2p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\left({\frac {j+p}{2p}}\right))^{2m}}}\right]\end{aligned}}$

के लिए $\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$, बहुविवाह फ़ंक्शन में श्रृंखला प्रतिनिधित्व है

$\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+z)^{m+1}}}$

तो, बहुविवाह फलन के संदर्भ में, पिछला आंतरिक योग बन जाता है:

${\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

इसे वापस दोहरे योग में जोड़ने से वांछित परिणाम मिलता है:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

सामान्यीकृत लॉगसाइन इंटीग्रल से संबंध

सामान्यीकृत लॉगसाइन इंटीग्रल को इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

इस सामान्यीकृत संकेतन में, क्लॉज़ेन फ़ंक्शन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )$

कुमेर का रिश्ता

गंभीर दुःख और रोजर्स संबंध बताते हैं

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

के लिए मान्य $0\leq \theta \leq 2\pi$.

लोबचेव्स्की फ़ंक्शन से संबंध

लोबचेव्स्की फ़ंक्शन Λ या Л मूल रूप से चर के परिवर्तन के साथ एक ही फ़ंक्शन है:

$\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2$

हालाँकि लोबचेव्स्की फ़ंक्शन का नाम ऐतिहासिक रूप से सटीक नहीं है, क्योंकि हाइपरबोलिक वॉल्यूम के लिए लोबचेव्स्की के सूत्रों ने थोड़ा अलग फ़ंक्शन का उपयोग किया था

$\int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.$

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस से संबंध

के तर्कसंगत मूल्यों के लिए $\theta /\pi$ (अर्थात, के लिए $\theta /\pi =p/q$ कुछ पूर्णांकों p और q के लिए), फ़ंक्शन $\sin(n\theta )$ चक्रीय समूह में किसी तत्व की आवधिक कक्षा का प्रतिनिधित्व करने के लिए समझा जा सकता है, और इस प्रकार $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )$ हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन से जुड़े एक साधारण योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इससे कुछ डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन के बीच संबंधों की आसानी से गणना की जा सकती है।

श्रृंखला त्वरण

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन के लिए एक श्रृंखला त्वरण द्वारा दिया गया है

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$

जो धारण करता है $|\theta |<2\pi$. यहाँ, $\zeta (s)$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है। द्वारा अधिक तेजी से अभिसरण रूप दिया जाता है

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.$

अभिसरण इस तथ्य से सहायता प्राप्त है $\zeta (n)-1$ n के बड़े मानों के लिए तेजी से शून्य की ओर बढ़ता है। दोनों फॉर्म तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला प्राप्त करने के लिए उपयोग की जाने वाली पुनर्संयोजन तकनीकों के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं (Borwein et al. 2000).

विशेष मूल्य

बार्न्स जी-फ़ंक्शन और कैटलन स्थिरांक को याद करें|कैटलन के स्थिरांक K. कुछ विशेष मान शामिल हैं

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)$

सामान्य तौर पर, बार्न्स जी-फंक्शन#रिफ्लेक्शन फॉर्मूला 1.0|बार्न्स जी-फंक्शन रिफ्लेक्शन फॉर्मूला से,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

समान रूप से, गामा फ़ंक्शन के लिए यूलर के प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}$

सामान्यीकृत विशेष मान

उच्च क्रम क्लॉज़ेन फ़ंक्शंस के लिए कुछ विशेष मान शामिल हैं

$\operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0$

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)$

कहाँ $\beta (x)$ डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन है, $\eta (x)$ डिरिचलेट ज़ेटा फ़ंक्शन है (जिसे अल्टरनेटिंग ज़ेटा फ़ंक्शन भी कहा जाता है), और $\zeta (x)$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है।

प्रत्यक्ष फलन के समाकलन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन के श्रृंखला निरूपण से निम्नलिखित इंटीग्रल आसानी से सिद्ध होते हैं:

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

फ़ंक्शन के वर्ग के पहले क्षणों को खोजने के लिए फूरियर-विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है $\operatorname {Cl} _{2}(x)$ अंतराल पर $[0,\pi ]$:

$\int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),$

$\int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),$

$\int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].$

यहाँ $\zeta$ एकाधिक ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है।

प्रत्यक्ष कार्य को शामिल करने वाला अभिन्न मूल्यांकन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन और विभिन्न सामान्य गणितीय स्थिरांक के संदर्भ में बड़ी संख्या में त्रिकोणमितीय और लघुगणक-त्रिकोणमितीय इंटीग्रल का मूल्यांकन किया जा सकता है $\,K\,$ (कैटलन स्थिरांक), $\,\log 2\,$, और जीटा फ़ंक्शन के विशेष मामले, $\,\zeta (2)\,$ और $\,\zeta (3)\,$.

नीचे सूचीबद्ध उदाहरण क्लॉज़ेन फ़ंक्शन के अभिन्न प्रतिनिधित्व से सीधे अनुसरण करते हैं, और प्रमाणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमिति, भागों द्वारा एकीकरण, और क्लॉज़ेन फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला परिभाषाओं के कभी-कभी शब्द-दर-टर्म एकीकरण की आवश्यकता होती है।

$\int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2$

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 27.8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Clausen, Thomas (1832). "Über die Function sin φ + (1/2²) sin 2φ + (1/3²) sin 3φ + etc". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 8: 298–300. ISSN 0075-4102.
• Wood, Van E. (1968). "Efficient calculation of Clausen's integral". Math. Comp. 22 (104): 883–884. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0239733-9. MR 0239733.
• Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2
• Lu, Hung Jung; Perez, Christopher A. (1992). "Massless one-loop scalar three-point integral and associated Clausen, Glaisher, and L-functions" (PDF).
• Kölbig, Kurt Siegfried (1995). "Chebyshev coefficients for the Clausen function Cl₂(x)". J. Comput. Appl. Math. 64 (3): 295–297. doi:10.1016/0377-0427(95)00150-6. MR 1365432.
• Borwein, Jonathan M.; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comput. Appl. Math. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. MR 1780051. Archived from the original (PDF) on 2006-09-25. Retrieved 2005-07-09.
• Adamchik, Viktor. S. (2003). "Contributions to the Theory of the Barnes Function". arXiv:math/0308086v1.
• Kalmykov, Mikahil Yu.; Sheplyakov, A. (2005). "LSJK – a C++ library for arbitrary-precision numeric evaluation of the generalized log-sine integral". Comput. Phys. Commun. 172: 45–59. arXiv:hep-ph/0411100. Bibcode:2005CoPhC.172...45K. doi:10.1016/j.cpc.2005.04.013.
• Borwein, Jonathan M.; Straub, Armin (2013). "Relations for Nielsen Polylogarithms". J. Approx. Theory. Vol. 193. pp. 74–88. doi:10.1016/j.jat.2013.07.003.
• Mathar, R. J. (2013). "A C99 implementation of the Clausen sums". arXiv:1309.7504 [math.NA].