समनिरंतरता: Difference between revisions

Revision as of 12:46, 13 July 2023

गणितीय विश्लेषण में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए सामीप्य पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक परिवार समनिरंतर होता है।विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट परिवारों और इस प्रकार फलनों के अनुक्रमों पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि C(X) का एक उपसमुच्चय, एक सघन हॉसडॉर्फ स्पेस X पर सतत फलनों का स्थान, सघन है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, C(X) में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक स्थान पर या स्थानीय रूप से सतत स्थान पर^[1] सतत फलनों f_n के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, f_n होलोमार्फिक हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ परिवार समनिरंतर है।^[2]

मीट्रिक स्थानों के बीच समनिरंतरता

मान लीजिए कि X और Y दो मीट्रिक स्थान हैं, और F, X से Y तक फलनों का एक परिवार है। हम इन स्थानों के संबंधित मैट्रिक्स को d द्वारा निरूपित करेंगे।

परिवार F एक x₀∈ X बिंदु पर समसतत् है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ƒ(x)) < ε सभी ƒ ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि परिवार X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह बिंदुवार समसंतत है।^[3]

परिवार F समान रूप से समनिरंतर है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ƒ(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।^[4]

तुलना के लिए, कथन F में सभी फलन सतत हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ƒ ∈ F, और प्रत्येक x₀ ∈ X के लिए, वहाँ एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε सभी x ∈ X के लिए जैसे कि d(x₀, x) < δ है।

निरंतरता के लिए, δ ε, ƒ, और x₀ पर निर्भर हो सकता है.
एकसमान निरंतरता के लिए, δ ε और ƒ पर निर्भर हो सकता है।
बिंदुवार समनिरंतरता के लिए, δ ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.
एकसमान समनिरंतरता के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक प्रायः, जब X एक सांस्थितिक स्पेस होता है, तो X से Y तक के फलनों के एक समुच्चय F को x पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, x में एक निकटवर्ती U_x होता है जैसे कि

d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon

सभी y ∈ U_x और ∈F के लिए है। यह परिभाषा प्रायः सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब X संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत स्थानों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन स्थान पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। फलनों प्रके समान रूप से समनिरंतर समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समनिरंतर है।

उदाहरण

एक सामान्य लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ फलनों का एक समुच्चय (समान रूप से) समनिरंतर है। विशेष रूप से, यह स्थिति है यदि समुच्चय में समान स्थिरांक से घिरे व्युत्पन्न फलन होते हैं।
समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक समुच्चय के लिए समनिरंतर होने के लिए पर्याप्त परिस्थिति देता है।
विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक परिवार फ़तौ समुच्चय पर समनिरंतर है।^[5]^[6]

प्रतिउदाहरण

फलनों का अनुक्रम f_n(x) = आर्कटेन(nx), समनिरंतर नहीं है क्योंकि x₀=0 पर परिभाषा का उल्लंघन होता है।

सांस्थितिक समूहों में मानचित्रों मानों की समरूपता

मान लीजिए कि $T$ एक सांस्थितिक स्पेस है और $Y$ एक योज्य सांस्थितिक समूह है (यानी एक समूह एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक वेक्टर स्पेस सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित एकरूपता होती है।

परिभाषा:^[7]

T

से

Y

तक के मानचित्रों के एक परिवार

H

को

t \in T

पर समसतत् कहा जाता है यदि

Y

में

0

के प्रत्येक सामीप्य

V

के लिए

T

में

t

के कुछ सामीप्य

U

निहित जैसे कि प्रत्येक

h \in H

के लिए

h (U) \subseteq h (t) + V

है। हम कहते हैं कि

H

समसतत् है यदि यह

T

के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।

ध्यान दें कि यदि $H$ एक बिंदु पर समसतत् है $H$ में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, $T$ से $Y$ तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है।

समसतत् रैखिक मानचित्र

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समनिरंतर परिवार की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन

दो सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के बीच फॉर्म $X\to Y$ के मानचित्रों के एक परिवार $H$ को एक बिंदु $x\in X$ पर समनिरंतर कहा जाता है यदि $Y$ में मूल के प्रत्येक सामीप्य $V$ के लिए $X$ में मूल के कुछ सामीप्य $U$ निहित हैं जैसे कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी $h\in H$ के लिए है।

यदि $H$ मानचित्रों का एक परिवार है और $U$ एक समुच्चय है तो मान लीजिए $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U)$ है। संकेतन के साथ, यदि $U$ और $V$ तो समुच्चय हैं तो सभी $h\in H$ के लिए $h(U)\subseteq V$ यदि केवल $H(U)\subseteq V$ है।

मान लीजिए कि $X$ और $Y$ सांस्थितिक वेक्टर स्पेस (टीवीएस) हैं $H$ $X$ से $Y$ तक रैखिक ऑपरेटरों का एक परिवार है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

$H$ समसतत् है।
$H$ $X$ के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।
$H$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 64: / Line 64: @@
 # <math>H</math> <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।
 # <math>H</math> <math>X</math> के किसी बिंदु पर समसतत् है।
-# <math>H</math> मूल बिंदु पर समसतत् है।                                                                                                                                अर्थात् <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य  <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}
+# <math>H</math> मूल बिंदु पर समसतत् है।                                                                                                                                                                      अर्थात् <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य  <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}
 #<math>Y</math> में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)</math>, <math>X</math>  में मूल बिंदु का सामीप्य है।
 #<math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का बंद होना समसतत् है।
-#* <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है।
+<math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है।                                                                                                                                                      7. <math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समसतत् है।
-<li><math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समसतत् है।</li>
-जबकि यदि <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] है तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ="8">
 <li>का उत्तल पतवार <math>H</math> समनिरंतर है.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}</li>
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 </ol>
-जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल हैं तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल हैं तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ="10">
 <li>प्रत्येक सतत [[ सेमिनोर्म | सेमिनोर्म]] के लिए <math>q</math> पर <math>Y,</math> वहाँ एक सतत सेमिनोर्म निहित है <math>p</math> पर <math>X</math> ऐसा है कि <math>q \circ h \leq p</math> सभी के लिए <math>h \in H.</math> {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}
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 </ol>
-जबकि यदि <math>X</math> [[बैरल वाली जगह]] है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>X</math> [[बैरल वाली जगह]] है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ="11">
 <ली><math>H</math> में घिरा हुआ है <math>L_{\sigma}(X; Y)</math>;{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}
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 </ol>
-जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच स्थान हैं तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> यदि बानाच स्थान हैं तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ="13">
 <ली><math>\sup \{\|T\| : T \in H\} < \infty</math> (वह है, <math>H</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] में समान रूप से बंधा हुआ है)।
@@ Line 108: / Line 108: @@
 <li>बिल्कुल उत्तल सेट <math>H</math> समनिरंतर है.{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>
-जबकि यदि <math>X</math> [[सामान्य स्थान]] है तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>X</math> [[सामान्य स्थान]] है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ=10>
 <ली><math>H</math> का एक दृढ़ता से घिरा हुआ उपसमुच्चय है <math>X^{\prime}.</math>{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}</li>
 </ol>
-जबकि यदि <math>X</math> यदि यह एक बैरल वाली जगह है तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
+जबकि यदि <math>X</math> यदि यह एक बैरल वाली जगह है तो इस सूची को इसमें सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:
 <ol प्रारंभ="11">
 <ली><math>H</math> कमजोर[[कमज़ोर* टोपोलॉजी]] में अपेक्षाकृत सघन है <math>X^{\prime}.</math>{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}
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 यह देखने के लिए, 'R' पर g(0)= 1 के साथ एक सघन रूप से समर्थित निरंतर फलन g पर विचार करें, और फ़ंक्शंस के समनिरंतर अनुक्रम पर विचार करें {{mset|''ƒ''<sub>''n''</sub>}}'''' द्वारा परिभाषित आर पर<sub>''n''</sub>(x)= {{nowrap|''g''(''x'' − ''n'')}}. फिर,<sub>''n''</sub> बिंदुवार 0 पर अभिसरित होता है लेकिन समान रूप से 0 पर अभिसरित नहीं होता।
-एकसमान अभिसरण का यह मानदंड अक्सर वास्तविक और जटिल विश्लेषण में उपयोगी होता है। मान लीजिए कि हमें निरंतर फलनों का एक क्रम दिया गया है जो 'आर' के कुछ खुले उपसमुच्चय जी पर बिंदुवार परिवर्तित होता है।<sup>n</sup>. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह वास्तव में जी के एक सघन उपसमुच्चय पर समान रूप से परिवर्तित होता है यदि यह सघन सेट पर समान है। व्यवहार में, सम-निरंतरता दिखाना अक्सर इतना कठिन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम में कुछ नियमितता के साथ अलग-अलग फलन या फलन शामिल हैं (उदाहरण के लिए, फलन एक अंतर समीकरण के समाधान हैं), तो अनुक्रम को समतुल्य दिखाने के लिए औसत मूल्य प्रमेय या कुछ अन्य प्रकार के अनुमानों का उपयोग किया जा सकता है। इसके बाद यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुक्रम की सीमा G के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर निरंतर है; इस प्रकार, जी पर निरंतर। एक समान तर्क तब दिया जा सकता है जब फलन होलोमोर्फिक हों। उदाहरण के लिए, कोई समसंगति (संक्षिप्त उपसमुच्चय पर) दिखाने के लिए कॉची के अनुमान का उपयोग कर सकता है और यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि सीमा होलोमोर्फिक है। ध्यान दें कि यहां समनिरंतरता आवश्यक है। उदाहरण के लिए,<sub>''n''</sub>(x)= {{nowrap|arctan ''n''&thinsp;''x''}} असंतुलित [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] के गुणक में परिवर्तित हो जाता है।
+एकसमान अभिसरण का यह मानदंड अक्सर वास्तविक और जटिल विश्लेषण में उपयोगी होता है। मान लीजिए कि हमें निरंतर फलनों का एक क्रम दिया गया है जो 'आर' के कुछ खुले उपसमुच्चय जी पर बिंदुवार परिवर्तित होता है।<sup>n</sup>. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह वास्तव में जी के एक सघन उपसमुच्चय पर समान रूप से परिवर्तित होता है यदि यह सघन सेट पर समान है। व्यवहार में, सम-निरंतरता दिखाना अक्सर इतना कठिन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम में कुछ नियमितता के साथ अलग-अलग फलन या फलन सम्मिलित हैं (उदाहरण के लिए, फलन एक अंतर समीकरण के समाधान हैं), तो अनुक्रम को समतुल्य दिखाने के लिए औसत मूल्य प्रमेय या कुछ अन्य प्रकार के अनुमानों का उपयोग किया जा सकता है। इसके बाद यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुक्रम की सीमा G के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर निरंतर है; इस प्रकार, जी पर निरंतर। एक समान तर्क तब दिया जा सकता है जब फलन होलोमोर्फिक हों। उदाहरण के लिए, कोई समसंगति (संक्षिप्त उपसमुच्चय पर) दिखाने के लिए कॉची के अनुमान का उपयोग कर सकता है और यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि सीमा होलोमोर्फिक है। ध्यान दें कि यहां समनिरंतरता आवश्यक है। उदाहरण के लिए,<sub>''n''</sub>(x)= {{nowrap|arctan ''n''&thinsp;''x''}} असंतुलित [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] के गुणक में परिवर्तित हो जाता है।
 ==सामान्यीकरण==
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 अब हम एकरूपता में अंतर्निहित मूल विचार का संक्षेप में वर्णन करते हैं।
-एकरूपता {{mvar|𝒱}} के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त संग्रह है {{math|''Y'' &times; ''Y''}} जहां, कई अन्य संपत्तियों के बीच, प्रत्येक {{math|''V'' &isin; 𝒱}}, {{mvar|V}} का विकर्ण शामिल है {{mvar|Y}} (अर्थात {{math|{{(}}(''y'', ''y'') &isin; ''Y''{{)}}}}).
+एकरूपता {{mvar|𝒱}} के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त संग्रह है {{math|''Y'' &times; ''Y''}} जहां, कई अन्य संपत्तियों के बीच, प्रत्येक {{math|''V'' &isin; 𝒱}}, {{mvar|V}} का विकर्ण सम्मिलित है {{mvar|Y}} (अर्थात {{math|{{(}}(''y'', ''y'') &isin; ''Y''{{)}}}}).
 का प्रत्येक तत्व {{mvar|𝒱}} को प्रतिवेश कहा जाता है.

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