पॉइसन वितरण: Difference between revisions
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यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब {{mvar|k}} पॉइसन यादृच्छिक चर है, और {{mvar|k}} का वितरण पॉइसन वितरण है। | यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब {{mvar|k}} पॉइसन यादृच्छिक चर है, और {{mvar|k}} का वितरण पॉइसन वितरण है। | ||
पॉइसन वितरण भी [[द्विपद वितरण]] की [[सीमा (गणित)]] है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित {{mvar|λ}} समान होती है | पॉइसन वितरण भी [[द्विपद वितरण]] की [[सीमा (गणित)]] है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित {{mvar|λ}} समान होती है चूँकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक पहुंचती है (या संबंधित वितरण देखें)। | ||
==== पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण ==== | ==== पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण ==== | ||
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=== उदाहरण जो पॉइसन मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं === | === उदाहरण जो पॉइसन मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं === | ||
प्रति मिनट [[छात्र केंद्र]] पर पहुंचने वाले छात्रों की संख्या संभवतः पॉइसन वितरण का पालन नहीं करेगी, | प्रति मिनट [[छात्र केंद्र]] पर पहुंचने वाले छात्रों की संख्या संभवतः पॉइसन वितरण का पालन नहीं करेगी, चूँकि दर स्थिर नहीं है (कक्षा समय के समय कम दर, कक्षा समय के मध्य उच्च दर) और व्यक्तिगत छात्रों का आगमन स्वतंत्र नहीं है (छात्र समूहों में आते हैं)। गैर-निरंतर आगमन दर को [[मिश्रित पॉइसन वितरण]] के रूप में और व्यक्तिगत छात्रों के अतिरिक्त समूहों के आगमन को मिश्रित पॉइसन प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है। | ||
किसी देश में प्रति वर्ष 5 तीव्रता वाले भूकंपों की संख्या पॉइसन वितरण के अनुरूप नहीं हो सकती है, यदि बड़ा भूकंप समान तीव्रता के झटकों की संभावना को बढ़ा देता है। | किसी देश में प्रति वर्ष 5 तीव्रता वाले भूकंपों की संख्या पॉइसन वितरण के अनुरूप नहीं हो सकती है, यदि बड़ा भूकंप समान तीव्रता के झटकों की संभावना को बढ़ा देता है। | ||
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=== अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में === | === अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में === | ||
पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है | पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है चूँकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है और सफलताओं की अपेक्षित मूल्य संख्या निश्चित रहती है - नीचे दुर्लभ घटनाओं का नियम देखें। इसलिए, इसका उपयोग द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है यदि {{mvar|n}} पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है। यदि n कम से कम 20 है और p 0.05 से छोटा या उसके समान है, तब पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का अच्छा सन्निकटन है, और यदि {{mvar|n}} ≥ 100 और {{mvar|n p}} ≤ 10 है तब उत्कृष्ट सन्निकटन है।{{r|NIST2006}} <math display="block">F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)</math> | ||
===सामान्य=== | ===सामान्य=== | ||
* यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, फिर अंतर <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है। | * यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, फिर अंतर <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है। | ||
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*: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में, <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right).</math> | *: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में, <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right).</math> | ||
*यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>और <math>Y</math> का वितरण द्विपद वितरण है, X={{mvar|k}} तब Y का वितरण पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p),</math> वास्तव में, यदि, <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p).</math> <math>\{X = k\},</math> <math>\{Y_i\}</math> पर सशर्त बहुपद वितरण का अनुसरण करता है, <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right),</math> तब प्रत्येक <math>Y_i</math> स्वतंत्र पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0.</math> | *यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>और <math>Y</math> का वितरण द्विपद वितरण है, X={{mvar|k}} तब Y का वितरण पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p),</math> वास्तव में, यदि, <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p).</math> <math>\{X = k\},</math> <math>\{Y_i\}</math> पर सशर्त बहुपद वितरण का अनुसरण करता है, <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right),</math> तब प्रत्येक <math>Y_i</math> स्वतंत्र पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0.</math> | ||
* पॉइसन वितरण | * पॉइसन वितरण सिर्फ पैरामीटर के साथ असतत यौगिक पॉइसन वितरण (या स्तूट्रिंग पॉइसन वितरण) का [[विशेष मामला|विशेष स्थितिया]] है।{{r|Zhang2013|Zhang2016}} असतत [[यौगिक पॉइसन वितरण]] को अविभाज्य बहुपद वितरण के सीमित वितरण से निकाला जा सकता है। यह यौगिक पॉइसन वितरण के विशेष स्थितियों हैं। | ||
* {{mvar|λ}}, (मान लीजिए {{mvar|λ}} >1000) के पर्याप्त बड़े | * {{mvar|λ}}, (मान लीजिए {{mvar|λ}} >1000) के पर्याप्त बड़े मानों के लिए, माध्य, {{mvar|λ}} और विचरण {{mvar|λ}} (मानक विचलन <math>\sqrt{\lambda}</math>) के साथ [[सामान्य वितरण]] पॉइसन वितरण के लिए उत्कृष्ट सन्निकटन है। यदि {{mvar|λ}} से अधिक है, लगभग 10, तब सामान्य वितरण अच्छा सन्निकटन है यदि उचित [[निरंतरता सुधार]] किया जाता है, अर्थात, यदि {{math|P(''X'' ≤ ''x'')}}, जहां x गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, को {{math|P(''X'' ≤ ''x'' + 0.5)}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है . <math display="block">F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)</math> | ||
* [[विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन]]: यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda),</math> तब{{r|Johnson2005|p=168}} <math display="block">Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1),</math> और{{r|McCullagh1989|p=196}} <math display="block">Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4).</math> इस परिवर्तन के अनुसार, सामान्यता की ओर अभिसरण (जैसे <math>\lambda</math> बढ़ता है) अपरिवर्तित चर की तुलना में कहीं अधिक तीव्र होते है। | * [[विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन]]: यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda),</math> तब{{r|Johnson2005|p=168}} <math display="block">Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1),</math> और{{r|McCullagh1989|p=196}} <math display="block">Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4).</math> इस परिवर्तन के अनुसार, सामान्यता की ओर अभिसरण (जैसे <math>\lambda</math> बढ़ता है) अपरिवर्तित चर की तुलना में कहीं अधिक तीव्र होते है। | ||
*अन्य, थोड़े अधिक जटिल, विचरण को स्थिर करने वाले परिवर्तन उपलब्ध हैं,{{r|Johnson2005|p=168}} जिनमें से [[Anscombe परिवर्तन|अन्स्कोम्बे परिवर्तन]] है।{{r|Anscombe1948}} परिवर्तनों के अधिक सामान्य उपयोग के लिए [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] देखें। | *अन्य, थोड़े अधिक जटिल, विचरण को स्थिर करने वाले परिवर्तन उपलब्ध हैं,{{r|Johnson2005|p=168}} जिनमें से [[Anscombe परिवर्तन|अन्स्कोम्बे परिवर्तन]] है।{{r|Anscombe1948}} परिवर्तनों के अधिक सामान्य उपयोग के लिए [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] देखें। | ||
* यदि प्रत्येक t > 0 के लिए समय अंतराल में आगमन की संख्या {{closed-closed|0, ''t''}} माध्य ''λt'' के साथ पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, फिर अंतर-आगमन समय का क्रम स्वतंत्र होता है और समान रूप से वितरित घातीय वितरण यादृच्छिक चर होते हैं जिनका माध्य 1/{{mvar|λ}} होता है| {{r|Ross2010|p=317–319}} | * यदि प्रत्येक t > 0 के लिए समय अंतराल में आगमन की संख्या {{closed-closed|0, ''t''}} माध्य ''λt'' के साथ पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, फिर अंतर-आगमन समय का क्रम स्वतंत्र होता है और समान रूप से वितरित घातीय वितरण यादृच्छिक चर होते हैं जिनका माध्य 1/{{mvar|λ}} होता है| {{r|Ross2010|p=317–319}} | ||
* पॉइसन और [[ची-वर्ग वितरण]] के [[संचयी वितरण कार्य|संचयी वितरण फलन]] निम्नलिखित | * पॉइसन और [[ची-वर्ग वितरण]] के [[संचयी वितरण कार्य|संचयी वितरण फलन]] निम्नलिखित विधियोंं से संबंधित हैं:{{r|Johnson2005|p=167}} <math display="block">F_\text{Poisson}(k;\lambda) = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) \quad\quad \text{ integer } k,</math> और {{r|Johnson2005|p=158}} <math display="block">P(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) -F_{\chi^2}(2\lambda;2k).</math> | ||
=== पॉइसन सन्निकटन === | === पॉइसन सन्निकटन === | ||
मान लीजिए <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> जहाँ <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,</math> तब<ref>{{Cite web | url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ | title=1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson | STAT 504}}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> बहुपद वितरण है <math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> पर वातानुकूलित <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n.</math> इसका कारण यह है{{r|Mitzenmacher2005|p=101-102}}, अन्य | मान लीजिए <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> जहाँ <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,</math> तब<ref>{{Cite web | url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ | title=1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson | STAT 504}}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> बहुपद वितरण है <math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> पर वातानुकूलित <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n.</math> इसका कारण यह है{{r|Mitzenmacher2005|p=101-102}}, अन्य बात के अतिरिक्त , किसी भी गैर-ऋणात्मक फलन के लिए <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math> यदि <math>(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})</math> तब बहुराष्ट्रीय रूप से वितरित किया जाता है| | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)] | \operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)] | ||
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जैसा {{math|''N'' → ∞}}. | जैसा {{math|''N'' → ∞}}. | ||
दूसरे शब्दों में, चलो <math>X_N</math> यादृच्छिक चर बनें ताकि <math>X_N</math> मूल्य है <math>\alpha</math> संभाव्यता के साथ <math display="inline">\frac{\lambda}{N}</math> और शेष प्रायिकता के साथ मान 0 है। यह भी मान लें कि परिवार <math>X_1, X_2, \ldots</math> [[स्वतंत्र स्वतंत्रता]] हैं. फिर सीमा के रूप में <math>N \to \infty</math> के नियम का <math>X_1 + \cdots +X_N</math> फ्री पॉइसन नियम द्वारा मापदंडों के साथ दिया गया है <math>\lambda,\alpha.</math> यह परिभाषा उन | दूसरे शब्दों में, चलो <math>X_N</math> यादृच्छिक चर बनें ताकि <math>X_N</math> मूल्य है <math>\alpha</math> संभाव्यता के साथ <math display="inline">\frac{\lambda}{N}</math> और शेष प्रायिकता के साथ मान 0 है। यह भी मान लें कि परिवार <math>X_1, X_2, \ldots</math> [[स्वतंत्र स्वतंत्रता]] हैं. फिर सीमा के रूप में <math>N \to \infty</math> के नियम का <math>X_1 + \cdots +X_N</math> फ्री पॉइसन नियम द्वारा मापदंडों के साथ दिया गया है <math>\lambda,\alpha.</math> यह परिभाषा उन विधियोंं में से के अनुरूप है जिसमें मौलिक पॉइसन वितरण (मौलिक) पॉइसन प्रक्रिया से प्राप्त किया जाता है। | ||
दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि <math>X_N</math> यादृच्छिक चर है ताकि <math>X_N</math> का मान <math>\alpha</math> हो और संभावना <math display="inline">\frac{\lambda}{N}</math> हो और शेष प्रायिकता के साथ मान 0 हैं। यह भी मान लें कि परिवार <math>X_1, X_2, \ldots</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं। फिर<math>X_1 + \cdots +X_N</math> के नियम की सीमा <math>N \to \infty</math> निःशुक्ल पॉइसन | दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि <math>X_N</math> यादृच्छिक चर है ताकि <math>X_N</math> का मान <math>\alpha</math> हो और संभावना <math display="inline">\frac{\lambda}{N}</math> हो और शेष प्रायिकता के साथ मान 0 हैं। यह भी मान लें कि परिवार <math>X_1, X_2, \ldots</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं। फिर<math>X_1 + \cdots +X_N</math> के नियम की सीमा <math>N \to \infty</math> निःशुक्ल पॉइसन नियम द्वारा पैरामीटर्स <math>\lambda,\alpha.</math> के साथ दी गई है | ||
निःशुल्कपॉइसन नियम से संबंधित माप किसके द्वारा दिया गया है?<ref>Alexandru Nica, Roland Speicher: [https://rolandspeicher.com/literature/nica-speicher/ Lectures on the Combinatorics of Free Probability]. London Mathematical Society Lecture Note Series, Vol. 335, Cambridge University Press, 2006.</ref> | निःशुल्कपॉइसन नियम से संबंधित माप किसके द्वारा दिया गया है?<ref>Alexandru Nica, Roland Speicher: [https://rolandspeicher.com/literature/nica-speicher/ Lectures on the Combinatorics of Free Probability]. London Mathematical Society Lecture Note Series, Vol. 335, Cambridge University Press, 2006.</ref> | ||
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\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
जहाँ <math display="block">\nu = \frac{1}{2\pi\alpha t}\sqrt{4\lambda \alpha^2 - ( t - \alpha (1+\lambda))^2} \, dt</math> और समर्थन है <math>[\alpha (1-\sqrt{\lambda})^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda})^2].</math> | जहाँ <math display="block">\nu = \frac{1}{2\pi\alpha t}\sqrt{4\lambda \alpha^2 - ( t - \alpha (1+\lambda))^2} \, dt</math> और समर्थन है <math>[\alpha (1-\sqrt{\lambda})^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda})^2].</math> | ||
यह | यह नियम मार्चेंको-पास्टूर नियम के रूप में [[यादृच्छिक मैट्रिक्स|यादृच्छिक आव्युह]] सिद्धांत में भी उत्पन्न होता है। इसके निःशुल्क क्यूमुलेंट<math>\kappa_n=\lambda\alpha^n.</math> के समान होते हैं | ||
====इस नियम के कुछ परिवर्तन==== | ====इस नियम के कुछ परिवर्तन==== | ||
हम निःशुल्क पॉइसन नियम के कुछ महत्वपूर्ण परिवर्तनों के मूल्य देते हैं; गणना उदाहरण के लिए पाई जा सकती है A नीका और R स्पीचर द्वारा लिखित पुस्तक लेक्चर्स ऑन द कॉम्बिनेटरिक्स ऑफ फ्री प्रोबेबिलिटी में <ref>[http://rolandspeicher.com/literature/nica-speicher/ Lectures on the Combinatorics of Free Probability] by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006</ref> | हम निःशुल्क पॉइसन नियम के कुछ महत्वपूर्ण परिवर्तनों के मूल्य देते हैं; गणना उदाहरण के लिए पाई जा सकती है A नीका और R स्पीचर द्वारा लिखित पुस्तक लेक्चर्स ऑन द कॉम्बिनेटरिक्स ऑफ फ्री प्रोबेबिलिटी में <ref>[http://rolandspeicher.com/literature/nica-speicher/ Lectures on the Combinatorics of Free Probability] by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006</ref> | ||
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कॉची | कॉची ट्रांसरूप (जो [[स्टिल्टजेस परिवर्तन]] का ऋणात्मक है) द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
G(z) = \frac{ z + \alpha - \lambda \alpha - \sqrt{ (z-\alpha (1+\lambda))^2 - 4 \lambda \alpha^2}}{2\alpha z} | G(z) = \frac{ z + \alpha - \lambda \alpha - \sqrt{ (z-\alpha (1+\lambda))^2 - 4 \lambda \alpha^2}}{2\alpha z} | ||
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=== पैरामीटर अनुमान === | === पैरामीटर अनुमान === | ||
{{nobr| {{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''n''}},}}के लिए {{mvar|n}} मापे गए मानों <math>k_i \in \{0,1,\dots\},</math> के प्रतिरूप को देखते हुए, हम पॉइसन संख्या के पैरामीटर {{mvar|λ}} के मूल्य का अनुमान लगाना चाहते हैं, जहां से प्रतिरूप लिया गया था। अधिकतम संभावना अनुमान है<ref>{{cite web |last=Paszek |first=Ewa |title=Maximum likelihood estimation – examples |website=cnx.org |url = http://cnx.org/content/m13500/latest/?collection=col10343/latest}}</ref> | {{nobr| {{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''n''}},}}के लिए {{mvar|n}} मापे गए मानों <math>k_i \in \{0,1,\dots\},</math> के प्रतिरूप को देखते हुए, हम पॉइसन संख्या के पैरामीटर {{mvar|λ}} के मूल्य का अनुमान लगाना चाहते हैं, जहां से प्रतिरूप लिया गया था। अधिकतम संभावना अनुमान है| <ref>{{cite web |last=Paszek |first=Ewa |title=Maximum likelihood estimation – examples |website=cnx.org |url = http://cnx.org/content/m13500/latest/?collection=col10343/latest}}</ref> | ||
:<math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i\ .</math> | :<math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i\ .</math> | ||
चूँकि प्रत्येक अवलोकन में अपेक्षा λ होती है, इसलिए प्रतिरूप का कारण भी होता है। इसलिए, अधिकतम संभावना अनुमान {{mvar|λ}} का निष्पक्ष अनुमानक भी है। यह कुशल अनुमानक भी है | चूँकि प्रत्येक अवलोकन में अपेक्षा λ होती है, इसलिए प्रतिरूप का कारण भी होता है। इसलिए, अधिकतम संभावना अनुमान {{mvar|λ}} का निष्पक्ष अनुमानक भी है। यह कुशल अनुमानक भी है चूँकि इसका विचरण क्रैमर-राव निचली सीमा (सीआरएलबी) को प्राप्त करता है<ref>{{Cite book |last=Van Trees |first=Harry L. |url=https://www.worldcat.org/oclc/851161356 |title=पता लगाने का अनुमान और मॉड्यूलेशन सिद्धांत।|date=2013|others=Kristine L. Bell, Zhi Tian |isbn=978-1-299-66515-6|edition=Second |location=Hoboken, N.J. |oclc=851161356}}</ref>। इसलिए यह [[न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक]] है। यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि योग (और इसलिए प्रतिरूप का कारण है चूँकि यह योग का एक-से-एक फलन है) {{mvar|λ}} के लिए पूर्ण और पर्याप्त आँकड़ा है। | ||
पर्याप्तता सिद्ध करने के लिए हम गुणनखंडन प्रमेय '''पर्याप्त आँकड़े''' का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिरूप के लिए संयुक्त पॉइसन वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान फलन को दो भागों में विभाजित करने पर विचार करें: जो पूरी तरह से प्रतिरूप <math>\mathbf{x}</math> पर निर्भर करता है (जिसे <math>h(\mathbf{x})</math> कहा जाता है)) और जो पैरामीटर <math>\lambda</math> और प्रतिरूप <math>\mathbf{x}</math> पर निर्भर करता है | पर्याप्तता सिद्ध करने के लिए हम गुणनखंडन प्रमेय '''पर्याप्त आँकड़े''' का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिरूप के लिए संयुक्त पॉइसन वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान फलन को दो भागों में विभाजित करने पर विचार करें: जो पूरी तरह से प्रतिरूप <math>\mathbf{x}</math> पर निर्भर करता है (जिसे <math>h(\mathbf{x})</math> कहा जाता है)) और जो पैरामीटर <math>\lambda</math> और प्रतिरूप <math>\mathbf{x}</math> पर निर्भर करता है सिर्फ फलन <math>T(\mathbf{x}).</math> के माध्यम से <math>T(\mathbf{x}).</math> तब <math>\lambda.</math> के लिए पर्याप्त आँकड़ा है | ||
: <math> P(\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}=\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!} \times \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}e^{-n\lambda} </math> | : <math> P(\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}=\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!} \times \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}e^{-n\lambda} </math> | ||
पहला पद, <math>h(\mathbf{x},</math> | पहला पद, <math>h(\mathbf{x},</math> सिर्फ <math>\mathbf{x}.</math> पर निर्भर करता है दूसरा पद,<math>g(T(\mathbf{x})|\lambda),</math> सिर्फ <math display="inline">T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n x_i.</math>के माध्यम से प्रतिरूप पर निर्भर करता है, इस प्रकार <math>T(\mathbf{x})</math>पर्याप्त है। | ||
पैरामीटर {{mvar|λ}} को खोजने के लिए जो पॉइसन संख्या के लिए संभाव्यता फलन को अधिकतम करता है, हम संभावना फलन के लघुगणक का उपयोग कर सकते हैं: | पैरामीटर {{mvar|λ}} को खोजने के लिए जो पॉइसन संख्या के लिए संभाव्यता फलन को अधिकतम करता है, हम संभावना फलन के लघुगणक का उपयोग कर सकते हैं: | ||
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जो k<sub>i</sub> के औसत के व्युत्क्रम {{mvar|n}} गुना का ऋणात्मक है औसत धनात्मक होने पर यह अभिव्यक्ति नकारात्मक होती है। यदि यह संतुष्ट है, तब स्थिर बिंदु संभाव्यता फलन को अधिकतम करता है। | जो k<sub>i</sub> के औसत के व्युत्क्रम {{mvar|n}} गुना का ऋणात्मक है औसत धनात्मक होने पर यह अभिव्यक्ति नकारात्मक होती है। यदि यह संतुष्ट है, तब स्थिर बिंदु संभाव्यता फलन को अधिकतम करता है। | ||
[[पूर्णता (सांख्यिकी)]] के लिए, वितरण के परिवार को पूर्ण कहा जाता है यदि और | [[पूर्णता (सांख्यिकी)]] के लिए, वितरण के परिवार को पूर्ण कहा जाता है यदि और सिर्फ यदि<math> E(g(T)) = 0</math> का तात्पर्य सभी <math>\lambda.</math> के लिए <math>P_\lambda(g(T) = 0) = 1</math> हो। यदि व्यक्ति <math>X_i</math> आईआईडी <math>\mathrm{Po}(\lambda),</math> हैं तब <math display="inline">T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n X_i\sim \mathrm{Po}(n\lambda).</math> जिस वितरण की हम जांच करना चाहते हैं उसे जानने से, यह देखना सरल है कि आँकड़ा पूरा हो गया है। | ||
:<math>E(g(T))=\sum_{t=0}^\infty g(t)\frac{(n\lambda)^te^{-n\lambda}}{t!} = 0</math> | :<math>E(g(T))=\sum_{t=0}^\infty g(t)\frac{(n\lambda)^te^{-n\lambda}}{t!} = 0</math> | ||
इस समानता को बनाए रखने के लिए, <math>g(t)</math> होना चाहिए| 0 यह इस तथ्य से पता चलता है कि सभी <math>t</math> के योग के लिए और <math>\lambda</math> के सभी संभावित | इस समानता को बनाए रखने के लिए, <math>g(t)</math> होना चाहिए| 0 यह इस तथ्य से पता चलता है कि सभी <math>t</math> के योग के लिए और <math>\lambda</math> के सभी संभावित मानों के लिए अन्य कोई भी पद 0 नहीं होगा, इसलिए, <math>E(g(T)) = 0</math> सभी के लिए <math>\lambda</math> का तात्पर्य है कि<math>P_\lambda(g(T) = 0) = 1,</math> और आँकड़ा पूर्ण दिखाया गया है। | ||
=== आत्म[[विश्वास अंतराल]] === | === आत्म[[विश्वास अंतराल]] === | ||
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:<math> g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \text{ for } \lambda>0 \,\!.</math> | :<math> g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \text{ for } \lambda>0 \,\!.</math> | ||
फिर, पहले की तरह {{mvar|n}} मापा | फिर, पहले की तरह {{mvar|n}} मापा मानों {{mvar|k}}<sub>''i''</sub> का ही प्रतिरूप दिया गया है, और गामा (α, β) से पहले,पश्च वितरण होता है| | ||
:<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right).</math> | :<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right).</math> | ||
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एकल अतिरिक्त अवलोकन के लिए [[Index.php?title=पश्च भविष्य कहने वाला वितरण|पश्च भविष्य कहने वाला वितरण]] [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]] है,{{r|Gelman2003|p=53}}जिसे कभी-कभी गामा-पॉइसन वितरण भी कहा जाता है। | एकल अतिरिक्त अवलोकन के लिए [[Index.php?title=पश्च भविष्य कहने वाला वितरण|पश्च भविष्य कहने वाला वितरण]] [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]] है,{{r|Gelman2003|p=53}}जिसे कभी-कभी गामा-पॉइसन वितरण भी कहा जाता है। | ||
=== एकाधिक पॉइसन का साथ अनुमान का अर्थ है === | === '''एकाधिक पॉइसन का साथ अनुमान का अर्थ है''' === | ||
मान लीजिए <math>X_1, X_2, \dots, X_p</math> <math>p</math> पॉइसन वितरण के समुच्चय से स्वतंत्र यादृच्छिक चर का का समुच्चय है, प्रत्येक पैरामीटर <math>\lambda_i,</math> <math>i=1,\dots, p,</math> के साथ है और हम इन मापदंडों का अनुमान लगाना चाहते हैं। फिर, क्लेवेन्सन और ज़िडेक दिखाते हैं कि सामान्यीकृत वर्ग त्रुटि हानि <math display="inline">L(\lambda,{\hat \lambda})=\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1} ({\hat \lambda}_i-\lambda_i)^2,</math> तब, <math>p>1,</math> फिर सामान्य साधनों के लिए स्टीन के उदाहरण के समान, एमएलई अनुमानक<math>{\hat \lambda}_i = X_i</math> [[स्वीकार्य निर्णय नियम|स्वीफलन निर्णय नियम]] होता है। {{r|Clevenson1975}} | |||
इस | इस स्थिति में, किसी के लिए [[मिनिमैक्स अनुमानक]]ों का परिवार दिया गया है <math>0 < c \leq 2(p-1)</math> और <math>b \geq (p-2+p^{-1})</math> जैसा | ||
इस स्थिति में, किसी भी <math>0 < c \leq 2(p-1)</math>और <math>b \geq (p-2+p^{-1})</math> के लिए [[मिनिमैक्स अनुमानक|मिनिमैक्स अनुमानको]] का परिवार दिया गया है| जैसे {{r|Berger1985}} | |||
:<math>{\hat \lambda}_i = \left(1 - \frac{c}{b + \sum_{i=1}^p X_i}\right) X_i, \qquad i=1,\dots,p.</math> | :<math>{\hat \lambda}_i = \left(1 - \frac{c}{b + \sum_{i=1}^p X_i}\right) X_i, \qquad i=1,\dots,p.</math> | ||
: | |||
== घटना और अनुप्रयोग == | == घटना और अनुप्रयोग == | ||
पॉइसन वितरण के अनुप्रयोग अनेक क्षेत्रों में पाए जा सकते हैं जिनमें सम्मिलित हैं | पॉइसन वितरण के अनुप्रयोग अनेक क्षेत्रों में पाए जा सकते हैं जिनमें सम्मिलित हैं|{{r|Rasch1963}} | ||
* सामान्य रूप से डेटा की गणना करें | * सामान्य रूप से डेटा की गणना करें | ||
* [[दूरसंचार]] उदाहरण: प्रणाली में आने वाली टेलीफोन कॉलें। | * [[दूरसंचार]] उदाहरण: प्रणाली में आने वाली टेलीफोन कॉलें। | ||
*[[खगोल]] विज्ञान उदाहरण: दूरबीन पर आने वाले फोटॉन। | *[[खगोल]] विज्ञान उदाहरण: दूरबीन पर आने वाले फोटॉन। | ||
* [[रसायन विज्ञान]] उदाहरण: | * [[रसायन विज्ञान]] उदाहरण: सजीव पोलीमराइजेशन का [[दाढ़ द्रव्यमान वितरण]]।{{r|Flory1940}} | ||
* [[जीवविज्ञान]] उदाहरण: प्रति इकाई लंबाई [[डीएनए]] के स्ट्रैंड पर उत्परिवर्तन की संख्या। | * [[जीवविज्ञान]] उदाहरण: प्रति इकाई लंबाई [[डीएनए]] के स्ट्रैंड पर उत्परिवर्तन की संख्या। | ||
* [[प्रबंध]]न उदाहरण: | * [[प्रबंध]]न उदाहरण: गणना फलक या कॉल सेंटर पर पहुंचने वाले ग्राहक। | ||
* [[वित्त और बीमा]] उदाहरण: किसी निश्चित समयावधि में होने वाले हानि या दावों की संख्या। | * [[वित्त और बीमा]] उदाहरण: किसी निश्चित समयावधि में होने वाले हानि या दावों की संख्या। | ||
* [[भूकंप भूकंप विज्ञान]] उदाहरण: बड़े भूकंपों के लिए भूकंपीय कठिन परिस्थिति का स्पर्शोन्मुख पॉइसन मॉडल।{{r|Lomnitz1994|p=}} | * [[भूकंप भूकंप विज्ञान]] उदाहरण: बड़े भूकंपों के लिए भूकंपीय कठिन परिस्थिति का स्पर्शोन्मुख पॉइसन मॉडल।{{r|Lomnitz1994|p=}} | ||
* [[रेडियोधर्मिता]] उदाहरण: रेडियोधर्मी | * [[रेडियोधर्मिता]] उदाहरण: रेडियोधर्मी प्रतिरूप में निश्चित समय अंतराल में क्षय की संख्या। | ||
* [[प्रकाशिकी]] उदाहरण: लेजर पल्स में उत्सर्जित फोटॉन की | * [[प्रकाशिकी]] उदाहरण: लेजर पल्स में उत्सर्जित फोटॉन की संख्या हैं। यह अधिकांश [[क्वांटम कुंजी वितरण]] प्रोटोकॉल के लिए प्रमुख भेजता है जिसे फोटॉन नंबर विभाजन (पीएनएस) के रूप में जाना जाता है। | ||
पॉइसन वितरण पॉइसन प्रक्रियाओं के संबंध में उत्पन्न होता है। यह असतत गुणों की विभिन्न घटनाओं पर प्रयुक्त होता है (अर्थात्, जो किसी निश्चित अवधि के समय या किसी दिए गए क्षेत्र में 0, 1, 2, 3, ... बार घटित हो सकती हैं) जब भी घटना के घटित होने की संभावना समय में स्थिर होती है या [[अंतरिक्ष]] | पॉइसन वितरण पॉइसन प्रक्रियाओं के संबंध में उत्पन्न होता है। यह असतत गुणों की विभिन्न घटनाओं पर प्रयुक्त होता है (अर्थात्, जो किसी निश्चित अवधि के समय या किसी दिए गए क्षेत्र में 0, 1, 2, 3, ... बार घटित हो सकती हैं) जब भी घटना के घटित होने की संभावना समय में स्थिर होती है या [[अंतरिक्ष]] घटनाओं के उदाहरण जिन्हें पॉइसन वितरण के रूप में तैयार किया जा सकता है, उनमें सम्मिलित होते हैं| | ||
* [[प्रशिया]] की घुड़सवार सेना में प्रत्येक कोर में हर साल घोड़े की लात से मारे गए सैनिकों की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ (1868-1931) की पुस्तक में किया गया था।{{r|vonBortkiewitsch1898|p=23-25}} | * '''[[प्रशिया]] की घुड़सवार सेना में प्रत्येक कोर में हर साल घोड़े की लात से मारे गए सैनिकों की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ (1868-1931) की पुस्तक में किया गया था।'''{{r|vonBortkiewitsch1898|p=23-25}} | ||
* [[गिनीज]] बियर बनाते समय उपयोग की जाने वाली यीस्ट कोशिकाओं की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग [[विलियम सीली गॉसेट | * [[गिनीज]] बियर बनाते समय उपयोग की जाने वाली यीस्ट कोशिकाओं की संख्या। इस उदाहरण का उपयोग [[विलियम सीली गॉसेट]] (1876-1937) द्वारा किया गया था।{{r|Student1907}}{{r|Boland1984}} | ||
* | *किसी [[कॉल सेंटर]] पर मिनट के भीतर आने वाली फ़ोन कॉल की संख्या। इस उदाहरण का वर्णन ए.के. द्वारा किया गया था। एर्लांग (1878-1929)|{{r|Erlang1909}} | ||
* इंटरनेट ट्रैफिक. | * इंटरनेट ट्रैफिक. | ||
* दो प्रतिस्पर्धी टीमों से जुड़े खेलों में लक्ष्यों की संख्या।{{r|Hornby2014}} | * दो प्रतिस्पर्धी टीमों से जुड़े खेलों में लक्ष्यों की संख्या।{{r|Hornby2014}} | ||
* किसी दिए गए आयु वर्ग में प्रति वर्ष होने वाली | *किसी दिए गए आयु वर्ग में प्रति वर्ष होने वाली मौतों की संख्या। | ||
* एक निश्चित समय अंतराल में | * एक निश्चित समय अंतराल में भंडार मूल्य में उछाल की संख्या। | ||
* पॉइसन | * पॉइसन प्रक्रिया या सजातीय की धारणा के अनुसार, प्रति मिनट [[वेब सर्वर]] तक पहुंचने की संख्या। | ||
* विकिरण की निश्चित मात्रा के पश्चात् डीएनए के निश्चित विस्तार में [[उत्परिवर्तन]] की संख्या। | * विकिरण की निश्चित मात्रा के पश्चात् डीएनए के निश्चित विस्तार में [[उत्परिवर्तन]] की संख्या। | ||
* कोशिकाओं (जीव विज्ञान) का अनुपात जो संक्रमण की दी गई बहुलता पर संक्रमित होगा। | * कोशिकाओं (जीव विज्ञान) का अनुपात जो संक्रमण की दी गई बहुलता पर संक्रमित होगा। | ||
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* एक निश्चित रोशनी और निश्चित समय अवधि में पिक्सेल परिपथ पर फोटॉन का आगमन। | * एक निश्चित रोशनी और निश्चित समय अवधि में पिक्सेल परिपथ पर फोटॉन का आगमन। | ||
* द्वितीय विश्व युद्ध के समय लंदन पर वी-1 उड़ने वाले बमों को निशाना बनाने की जांच 1946 में आर. डी. क्लार्क द्वारा की गई।{{r|Clarke1946}} | * द्वितीय विश्व युद्ध के समय लंदन पर वी-1 उड़ने वाले बमों को निशाना बनाने की जांच 1946 में आर. डी. क्लार्क द्वारा की गई।{{r|Clarke1946}} | ||
गैलाघेर ने 1976 में दिखाया कि छोटे अंतरालों में [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओ]] की गिनती पॉइसन वितरण का पालन करती है|{{r|Gallagher1976}} बशर्ते हार्डी-लिटलवुड के अप्रमाणित अभाज्य आर-ट्यूपल अनुमान कामानोंनिश्चित संस्करण सत्य हैं|{{r|Hardy1923}} | |||
=== दुर्लभ घटनाओं का नियम === | === दुर्लभ घटनाओं का नियम === | ||
{{main| | {{main|पॉइसन सीमा प्रमेय}} | ||
[[File:Binomial versus poisson.svg|right|upright=1.5|thumb |पॉइसन वितरण (काली रेखाएं) और द्विपद वितरण की तुलना {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 10 }} (लाल घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 20 }} (नीले घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 1000 }} (हरे घेरे). सभी वितरणों का माध्य 5 है। क्षैतिज अक्ष घटनाओं की संख्या दर्शाता है{{mvar|k}}. जैसा {{mvar|n}} बड़ा हो जाता है, पॉइसन वितरण समान माध्य के साथ द्विपद वितरण के लिए तेजी से उत्तम सन्निकटन बन जाता है।]]किसी घटना की दर किसी छोटे उपअंतराल (समय, सम्मिस्ट या अन्य) में घटित होने वाली घटना क | |||