पॉइसन वितरण: Difference between revisions

Revision as of 19:54, 14 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना^[1] इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन (/ˈpwɑːsɒn/; French pronunciation: [pwasɔ̃]) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कम संभावना है और बहुत कम संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या है।

इतिहास

वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था।^[2]^: 205-207 इस फलन ने कुछ यादृच्छिक चर पर $N$ ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातबं के अतिरिक्त दी गई लंबाई के समय-अंतराल के समय होने वाली अलग-अलग घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है।^[3]^: 219^[4]^: 14-15^[5]^: 193^[6]^: 157 यह इसे स्टिगलर के नियम का उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।^[7]^[8]

1860 में, साइमन न्यूकॉम्ब ने अंतरिक्ष की इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था।^[9] इस वितरण का और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था;^[10]^: 23-25 इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था ।

परिभाषाएँ

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर $\lambda >0,$ के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन दिया गया है:^[11]^: 60

f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},

जहाँ

$k$ घटनाओं की संख्या ( $k=0,1,2,\ldots$ ) है
$e$ ई (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या ( $e=2.71828\ldots$ ) है|
$!$ भाज्य फलन है.

सकारात्मक वास्तविक संख्या $λ$ $X$ के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।^[12]

\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).

पॉइसन वितरण को बड़ी संख्या में दुर्लभ घटनाओं वाले प्रणाली पर प्रयुक्त किया जा सकता है | इस प्रकार बड़ी संख्या में संभावित घटनाएं, जिनमें से प्रत्येक दुर्लभ है। निश्चित समय अंतराल के समय होने वाली ऐसी घटनाओं की संख्या, सही परिस्थितियों में पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक संख्या होती है।

समीकरण को अनुकूलित किया जा सकता है यदि, घटनाओं की औसत संख्या $\lambda ,$ के अतिरिक्त हमें वह औसत दर $r$ दी जाए जिस पर घटनाएं घटित होती हैं। फिर $\lambda =rt,$ और:^[13]

P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.

उदाहरण

फुटपाथ पर च्युइंग गम चबाना। टाइल पर च्युइंग गम की संख्या लगभग पॉइसन वितरित होती है।

पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है:

एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या हैं|
एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या होती हैं|
किसी परीक्षा में निम्न और उच्च अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या हैं।

मान्यताएँ और वैधता

यदि निम्नलिखित धारणाएँ सत्य हैं तब पॉइसन वितरण उपयुक्त मॉडल होता है|^[14]

$k$ किसी अंतराल में किसी घटना के घटित होने की संख्या है और $k$ मान 0, 1, 2,.. ले सकता है।
एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती हैं। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं।
घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे सामान्यतः स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें बदलाव हो सकता है।
दो घटनाएँ बिल्कुल ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं; इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बहुत छोटे उप-अंतराल पर, या तब बिल्कुल घटना घटती है, या कोई घटना नहीं घटती है।

यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब $k$ पॉइसन यादृच्छिक चर है, और $k$ का वितरण पॉइसन वितरण है।

पॉइसन वितरण भी द्विपद वितरण की सीमा (गणित) है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित $λ$ समान होती है क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक पहुंचती है (या संबंधित वितरण देखें)।

पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण

किसी विशेष नदी पर, अतिप्रवाह बाढ़ औसतन हर 100 वर्ष में एक बार आती है। पोइसन मॉडल को उपयुक्त मानते हुए $k$ = 100 वर्ष के अंतराल में k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, या 6 अतिप्रवाह बाढ़, की संभावना की गणना करें।

चूँकि औसत घटना दर प्रति 100 वर्षों में एक अतिप्रवाह बाढ़ है, $λ$ = 1

{\displaystyle P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\

[1]

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[14]

@@ Line 312: / Line 312: @@
 जब गामा वितरण की मात्राएँ उपलब्ध नहीं होती हैं, तब इस स्पष्ट अंतराल का स्पष्ट अनुमान प्रस्तावित किया गया है| यह (विल्सन-हिल्फ़र्टी परिवर्तन के आधार पर)होता हैं |{{r|Breslow1987}}
 :<math>k \left( 1 - \frac{1}{9k} - \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k}}\right)^3 \le \mu \le (k+1) \left( 1 - \frac{1}{9(k+1)} + \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k+1}}\right)^3, </math>
 जहां <math>z_{\alpha/2}</math> अपर टेल क्षेत्र {{math|α / 2}} के साथ [[मानक सामान्य विचलन]] को दर्शाता है।
-'''उपरोक्त के समान संदर्भ में इन सूत्रों के अनुप्रयोग के लिए (एक प्रतिरूप दिया गया है)। {{mvar|n}} माप मूल्यों {{mvar|k}}<sub>''i''</sub> प्रत्येक माध्य के साथ पॉइसन वितरण से लिया गया है {{mvar|λ}}), समुच्चय होगा'''
+उपरोक्त के समान संदर्भ में इन फ़ार्मुलों के अनुप्रयोग के लिए (माध्य {{mvar|λ}} के साथ पॉइसन वितरण से लिए गए प्रत्येक {{mvar|n}} मापित मानों {{mvar|k}}<sub>''i''</sub> प्रतिरूप दिया गया है),का समुच्चय होता हैं |
 :<math>k=\sum_{i=1}^n k_i ,</math>
-के लिए अंतराल की गणना करें {{nobr| {{mvar|μ}} {{=}} {{mvar|n λ}} ,}} और फिर इसके लिए अंतराल प्राप्त करें {{mvar|λ}}.
+{{nobr| {{mvar|μ}} {{=}} {{mvar|n λ}} ,}}के लिए अंतराल की गणना करें और फिर {{mvar|λ}} इसके लिए अंतराल प्राप्त करें |
 === [[बायेसियन अनुमान]] ===
-बायेसियन अनुमान में, दर पैरामीटर के लिए संयुग्म पूर्व {{mvar|λ}}पॉइसन वितरण का गामा वितरण है।{{r|Fink1976}} होने देना
+बायेसियन अनुमान में, पॉइसन वितरण के दर पैरामीटर {{mvar|λ}} के लिए संयुग्मित पूर्व गामा वितरण होने देना है।{{r|Fink1976}}
 :<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) </math>
-उसे निरूपित करें {{mvar|λ}} को गामा संभाव्यता घनत्व फलन जी के अनुसार [[आकार पैरामीटर]] α और व्युत्क्रम [[स्केल पैरामीटर]] β के संदर्भ में वितरित किया जाता है:
+उसे निरूपित करें कि {{mvar|λ}} को गामा संभाव्यता घनत्व ''g'' के अनुसार [[आकार पैरामीटर]] α और व्युत्क्रम [[स्केल पैरामीटर]] β के संदर्भ में वितरित किया जाता है |
 :<math> g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \text{ for } \lambda>0 \,\!.</math>
-फिर, का वही प्रतिरूप दिया गया {{mvar|n}} माप मूल्यों {{mvar|k}}<sub>''i''</sub> याअधिकतम संभावना, और गामा(α, β) से पहले, पश्च वितरण है
+फिर, पहले की तरह {{mvar|n}} मापा मूल्यों {{mvar|k}}<sub>''i''</sub> का ही प्रतिरूप दिया गया है, और गामा (α, β) से पहले,पश्च वितरण होता है|
 :<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right).</math>
 ध्यान दें कि पिछला माध्य रैखिक है और इसके द्वारा दिया गया है
 :<math> E[ \lambda | k_1, \ldots, k_n ] = \frac{\alpha + \sum_{i=1}^n k_i}{\beta + n}.</math>
-यह दिखाया जा सकता है कि गामा वितरण ही एकमात्र पूर्व है जो सशर्त माध्य की रैखिकता को प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त , विपरीत परिणाम उपस्थित है जो बताता है कि यदि सशर्त माध्य रैखिक फलन के करीब है <math>L_2</math> के पूर्व वितरण की तुलना में दूरी {{mvar|λ}} लेवी मीट्रिक में गामा वितरण के करीब होना चाहिए।<ref>{{cite journal |last1=Dytso |first1=Alex|last2=Poor |first2=H. Vincent |title=Estimation in Poisson noise: Properties of the conditional mean estimator|journal=IEEE Transactions on Information Theory|date=2020|volume=66|issue=7|pages=4304–4323|doi=10.1109/TIT.2020.2979978|s2cid=207853178 |doi-access=free }}</ref>
+यह दिखाया जा सकता है कि गामा वितरण ही एकमात्र पूर्व है जो सशर्त माध्य की रैखिकता को प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त , विपरीत परिणाम उपस्थित है जो बताता है कि यदि सशर्त माध्य <math>L_2</math> दूरी में रैखिक फलन के पास होता है| तब {{mvar|λ}} के पूर्व वितरण की लेवी दूरी में गामा वितरण के पास होना चाहिए।<ref>{{cite journal |last1=Dytso |first1=Alex|last2=Poor |first2=H. Vincent |title=Estimation in Poisson noise: Properties of the conditional mean estimator|journal=IEEE Transactions on Information Theory|date=2020|volume=66|issue=7|pages=4304–4323|doi=10.1109/TIT.2020.2979978|s2cid=207853178 |doi-access=free }}</ref>
-पश्च माध्य E[{{mvar|λ}}] अधिकतम संभावना अनुमान के करीब पहुंचता है <math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}</math> के रूप में सीमा में <math>\alpha\to 0, \beta \to 0,</math> जो गामा वितरण के माध्य की सामान्य अभिव्यक्ति से तुरंत अनुसरण करता है।
+पश्च माध्य E[{{mvar|λ}}] सीमा में <math>\alpha\to 0, \beta \to 0,</math> के रूप में अधिकतम संभावना अनुमान <math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}</math> तक पहुंचता है जो गामा वितरण के माध्य की सामान्य अभिव्यक्ति से तुरंत अनुसरण करता है।
-एकल अतिरिक्त अवलोकन के लिए [[पश्च भविष्य कहनेवाला वितरण]] [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]] है,{{r|Gelman2003|p=53}}कभी-कभी इसे गामा-पॉइसन वितरण भी कहा जाता है।
+एकल अतिरिक्त अवलोकन के लिए [[Index.php?title=पश्च भविष्य कहने वाला वितरण|पश्च भविष्य कहने वाला वितरण]] [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]] है,{{r|Gelman2003|p=53}}जिसे कभी-कभी गामा-पॉइसन वितरण भी कहा जाता है।
 === एकाधिक पॉइसन का साथ अनुमान का अर्थ है ===
-कल्पना करना <math>X_1, X_2, \dots, X_p</math> के समुच्चय से स्वतंत्र यादृच्छिक चर का समुच्चय है <math>p</math> पॉइसन वितरण, प्रत्येक पैरामीटर के साथ <math>\lambda_i,</math> <math>i=1,\dots, p,</math> और हम इन मापदंडों का अनुमान लगाना चाहेंगे। फिर, क्लीवेन्सन और ज़िडेक दिखाते हैं कि सामान्यीकृत वर्ग त्रुटि हानि के अनुसार <math display="inline">L(\lambda,{\hat \lambda})=\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1} ({\hat \lambda}_i-\lambda_i)^2,</math> कब <math>p>1,</math> फिर, सामान्य साधनों के लिए स्टीन के उदाहरण के समान, एमएलई अनुमानक <math>{\hat \lambda}_i = X_i</math> [[स्वीकार्य निर्णय नियम|स्वीफलन निर्णय नियम]] है. {{r|Clevenson1975}}
+'''.0''' <math>X_1, X_2, \dots, X_p</math> '''के समुच्चय से स्वतंत्र यादृच्छिक चर का समुच्चय है <math>p</math> पॉइसन वितरण, प्रत्येक पै'''रामीटर के साथ <math>\lambda_i,</math> <math>i=1,\dots, p,</math> और हम इन मापदंडों का अनुमान लगाना चाहेंगे। फिर, क्लीवेन्सन और ज़िडेक दिखाते हैं कि सामान्यीकृत वर्ग त्रुटि हानि के अनुसार <math display="inline">L(\lambda,{\hat \lambda})=\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1} ({\hat \lambda}_i-\lambda_i)^2,</math> कब <math>p>1,</math> फिर, सामान्य साधनों के लिए स्टीन के उदाहरण के समान, एमएलई अनुमानक <math>{\hat \lambda}_i = X_i</math> [[स्वीकार्य निर्णय नियम|स्वीफलन निर्णय नियम]] है. {{r|Clevenson1975}}
 इस स्थितियों में, किसी के लिए [[मिनिमैक्स अनुमानक]]ों का परिवार दिया गया है <math>0 < c \leq 2(p-1)</math> और <math>b \geq (p-2+p^{-1})</math> जैसा{{r|Berger1985}}
@@ Line 471: / Line 472: @@
    वापसी क − 1.
-STEP का चुनाव अतिप्रवाह की सीमा पर निर्भर करता है। दोहरे परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट प्रारूप के लिए सीमा ''ई'' के करीब है<sup>700</sup>, इसलिए 500 सुरक्षित कदम होना चाहिए।
+STEP का चुनाव अतिप्रवाह की सीमा पर निर्भर करता है। दोहरे परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट प्रारूप के लिए सीमा ''ई'' केपास है<sup>700</sup>, इसलिए 500 सुरक्षित कदम होना चाहिए।
 के बड़े मूल्यों के लिए अन्य समाधान {{mvar|λ}} [[अस्वीकृति नमूनाकरण|अस्वीकृति प्रतिरूपकरण]] और गाऊसी सन्निकटन का उपयोग करना सम्मिलित करें।

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