क्यू-फलन: Difference between revisions

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[[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.]]आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन सामान्य वितरण#मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन#पूरक संचयी वितरण फ़ंक्शन (पूंछ वितरण) है।<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ The Q-function], from [[cnx.org]]</ref><ref name="jo">[http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Basic properties of the Q-function] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf |date=March 25, 2009 }}</ref> दूसरे शब्दों में, <math>Q(x)</math> संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर इससे बड़ा मान प्राप्त करेगा <math>x</math> मानक विचलन। समान रूप से, <math>Q(x)</math> यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर इससे बड़ा मान लेता है <math>x</math>.
[[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू-फलन का प्लॉट]]आंकड़ों में, '''क्यू''-फलन''''' मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (पूंछ वितरण फलन) है।<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ The Q-function], from [[cnx.org]]</ref><ref name="jo">[http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Basic properties of the Q-function] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf |date=March 25, 2009 }}</ref> दूसरे शब्दों में <math>Q(x)</math> संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से <math>Q(x)</math> यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर <math>x</math> से बड़ा मान लेता है।


अगर <math>Y</math> माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर है <math>\mu</math> और विचरण <math>\sigma^2</math>, तब <math>X = \frac{Y-\mu}{\sigma}</math> सामान्य वितरण है#मानक सामान्य वितरण और
अगर <math>Y</math> माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर <math>\mu</math> हैं और विचरण <math>\sigma^2</math>, तो <math>X = \frac{Y-\mu}{\sigma}</math> मानक सामान्य वितरण हैं और


:<math>P(Y > y) = P(X > x) = Q(x)</math>
:<math>P(Y > y) = P(X > x) = Q(x)</math>
कहाँ <math>x = \frac{y-\mu}{\sigma}</math>.
<math>x = \frac{y-\mu}{\sigma}</math> जहाँ


क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन हैं, का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function – from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
'''क्यू-फलन''' की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फलन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function – from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को [[त्रुटि फ़ंक्शन]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।
 
सामान्य वितरण के संचयी वितरण फलन से इसके संबंध के कारण '''क्यू-फलन''' को [[त्रुटि फ़ंक्शन|त्रुटि फलन]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फलन है।


== परिभाषा और बुनियादी गुण ==
== परिभाषा और बुनियादी गुण ==
औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
औपचारिक रूप से, क्यू-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


:<math>Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.</math>
:<math>Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.</math>
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:<math>Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,</math>
:<math>Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,</math>
कहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन है।
जहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फलन है।


क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन, या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name="jo"/>
क्यू-फलन को त्रुटि फलन या पूरक त्रुटि फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name="jo"/>


:<math>
:<math>
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\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप, जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:<ref>{{cite book |doi=10.1109/MILCOM.1991.258319 |chapter-url=http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf|chapter=A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations|title=MILCOM 91 - Conference record|pages=571–575|year=1991|last1=Craig|first1=J.W.|isbn=0-87942-691-8|s2cid=16034807}}</ref>
क्यू-फलन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:<ref>{{cite book |doi=10.1109/MILCOM.1991.258319 |chapter-url=http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf|chapter=A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations|title=MILCOM 91 - Conference record|pages=571–575|year=1991|last1=Craig|first1=J.W.|isbn=0-87942-691-8|s2cid=16034807}}</ref>
:<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math>
:<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math>
यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।
यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।


क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा विस्तारित किया गया<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.2986209 |title=क्रेग के क्यू-फंक्शन फॉर्मूला का एक नया विस्तार और दोहरे-शाखा ईजीसी प्रदर्शन विश्लेषण में इसका अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Communications |volume=68|issue=7|pages=4117–4125|year=2020|last1=Behnad|first1=Aydin|s2cid=216500014}}</ref> दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए, निम्नानुसार:
क्रेग के सूत्र को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा <ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.2986209 |title=क्रेग के क्यू-फंक्शन फॉर्मूला का एक नया विस्तार और दोहरे-शाखा ईजीसी प्रदर्शन विश्लेषण में इसका अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Communications |volume=68|issue=7|pages=4117–4125|year=2020|last1=Behnad|first1=Aydin|s2cid=216500014}}</ref> दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फलन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:
   
   
  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-फ़ंक्शन को जटिल तल में प्लॉट किया गया|अंगूठे|क्यू-फ़ंक्शन को जटिल विमान में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|क्यू-फलन को सम्मिश्र सतह में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




==सीमाएँ और सन्निकटन==
==सीमाएँ और सन्निकटन==
*क्यू-फ़ंक्शन कोई प्राथमिक फ़ंक्शन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा, जहाँ <math>\phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का घनत्व फलन है,<ref name = "Borjesson">{{Cite journal |doi = 10.1109/TCOM.1979.1094433|title = संचार अनुप्रयोगों के लिए त्रुटि फ़ंक्शन Q(x) का सरल अनुमान|journal = IEEE Transactions on Communications|volume = 27|issue = 3|pages = 639–643|year = 1979|last1 = Borjesson|first1 = P.|last2 = Sundberg|first2 = C.-E.}}</ref>
*क्यू-फलन कोई प्राथमिक फलन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा जहाँ <math>\phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का घनत्व फलन है,<ref name = "Borjesson">{{Cite journal |doi = 10.1109/TCOM.1979.1094433|title = संचार अनुप्रयोगों के लिए त्रुटि फ़ंक्शन Q(x) का सरल अनुमान|journal = IEEE Transactions on Communications|volume = 27|issue = 3|pages = 639–643|year = 1979|last1 = Borjesson|first1 = P.|last2 = Sundberg|first2 = C.-E.}}</ref>
::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math>
::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math>
:बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं, और अक्सर उपयोगी होते हैं।
:बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अधिकतर उपयोगी होते हैं।


:[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] का उपयोग करना v =u<sup>2</sup>/2, ऊपरी सीमा इस प्रकार निकाली गई है:
:[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण|प्रतिस्थापन]] v =u<sup>2</sup>/2 का उपयोग करके ऊपरी सीमा इस प्रकार प्राप्त की जाती है:


::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math>
::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math>
:इसी प्रकार, उपयोग करना <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> और [[भागफल नियम]],
:इसी प्रकार, <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> [[भागफल नियम|भागफल नियम का उपयोग करके]]


::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty
::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty
Line 52: Line 63:
:Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है।
:Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है।


:ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य इसके लिए उपयुक्त अनुमान देता है <math>Q(x)</math>:
:ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य <math>Q(x)</math> के लिए उपयुक्त सन्निकटन देता है:


::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math>
::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math>
* की सख्त सीमाएँ और सन्निकटन <math>Q(x)</math> निम्नलिखित अभिव्यक्ति को अनुकूलित करके भी प्राप्त किया जा सकता है <ref name = "Borjesson"/>
* निम्नलिखित अभिव्यक्ति को अनुकूलित करके <math>Q(x)</math> की सख्त सीमाएँ और सन्निकटन भी प्राप्त किए जा सकते हैं: <ref name = "Borjesson"/>


:: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math>
:: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math>
:के लिए <math>x \geq 0</math>, सर्वोत्तम ऊपरी सीमा किसके द्वारा दी गई है <math>a = 0.344</math> और <math>b = 5.334</math> 0.44% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। इसी प्रकार, सर्वोत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है <math>a = 0.339</math> और <math>b = 5.510</math> 0.27% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। अंत में, सबसे अच्छी निचली सीमा दी गई है  <math>a = 1/\pi</math> और <math>b = 2 \pi</math> 1.17% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ।
:के लिए <math>x \geq 0</math>, सर्वोत्तम ऊपरी सीमा किसके द्वारा दी गई है <math>a = 0.344</math> और <math>b = 5.334</math> 0.44% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। इसी प्रकार, सर्वोत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है <math>a = 0.339</math> और <math>b = 5.510</math> 0.27% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। अंत में, सबसे अच्छी निचली सीमा दी गई है  <math>a = 1/\pi</math> और <math>b = 2 \pi</math> 1.17% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ।


* क्यू-फ़ंक्शन का [[चेर्नॉफ़ बाध्य]] है
* क्यू-फलन का [[चेर्नॉफ़ बाध्य]] है


::<math>Q(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math>
::<math>Q(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math>
*बेहतर घातीय सीमाएँ और एक शुद्ध घातीय सन्निकटन हैं <ref>{{cite journal |url=http://campus.unibo.it/85943/1/mcddmsTranWIR2003.pdf |doi=10.1109/TWC.2003.814350|title=फ़ेडिंग चैनलों में त्रुटि संभावना की गणना के लिए नई घातीय सीमाएँ और सन्निकटन|journal=IEEE Transactions on Wireless Communications|volume=24|issue=5|pages=840–845|year=2003|last1=Chiani|first1=M.|last2=Dardari|first2=D.|last3=Simon|first3=M.K.}}</ref>
*बेहतर घातीय सीमाएँ और शुद्ध घातीय सन्निकटन हैं <ref>{{cite journal |url=http://campus.unibo.it/85943/1/mcddmsTranWIR2003.pdf |doi=10.1109/TWC.2003.814350|title=फ़ेडिंग चैनलों में त्रुटि संभावना की गणना के लिए नई घातीय सीमाएँ और सन्निकटन|journal=IEEE Transactions on Wireless Communications|volume=24|issue=5|pages=840–845|year=2003|last1=Chiani|first1=M.|last2=Dardari|first2=D.|last3=Simon|first3=M.K.}}</ref>
::<math>Q(x)\leq \tfrac{1}{4}e^{-x^2}+\tfrac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{2}} \leq \tfrac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math>
::<math>Q(x)\leq \tfrac{1}{4}e^{-x^2}+\tfrac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{2}} \leq \tfrac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math>
:: <math>Q(x)\approx \frac{1}{12}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{4}e^{-\frac{2}{3} x^2}, \qquad x>0 </math>
:: <math>Q(x)\approx \frac{1}{12}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{4}e^{-\frac{2}{3} x^2}, \qquad x>0 </math>
*उपरोक्त को तनाश और रिइहोनेन (2020) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.3006902|title=घातांक के योग द्वारा गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए वैश्विक न्यूनतम अनुमान और सीमाएँ|journal=IEEE Transactions on Communications|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=68|issue=10|pages=6514–6524|arxiv=2007.06939|s2cid=220514754}}</ref> वो किसने दिखाया <math>Q(x)</math> सटीक रूप से अनुमान लगाया जा सकता है या सीमाबद्ध किया जा सकता है
*उपरोक्त को तनाश और रिइहोनेन (2020) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.3006902|title=घातांक के योग द्वारा गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए वैश्विक न्यूनतम अनुमान और सीमाएँ|journal=IEEE Transactions on Communications|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=68|issue=10|pages=6514–6524|arxiv=2007.06939|s2cid=220514754}}</ref> जिन्होंने दिखाया कि <math>Q(x)</math> का उचित अनुमान लगाया जा सकता है या सीमाबद्ध किया जा सकता है


::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math>
::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math>
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन एल्गोरिथ्म सन्निकटन या बाउंड उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math>, या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. पेपर में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math>, सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math>, क्रमश। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में ओपन एक्सेस के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref>
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math> या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. लेख्य में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math> सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math> क्रमश से कम हैं। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref>
*का एक और अनुमान <math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> करागियानिडिस और लिउबास द्वारा दिया गया है (2007)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने मापदंडों के उचित चयन के लिए प्रदर्शन किया <math>\{A, B\}</math> वह
*<math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> का एक और सन्निकटन कारागियानिडिस और लिओमपास (2007) द्वारा दिया गया है,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने पैरामीटर्स के उचित चयन के लिए <math>\{A, B\}</math> प्रदर्शन किया


:: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math>
:: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math>
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:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math>
:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math>
: प्रयोग करना <math>R = 20</math> और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर, उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि कब हुई <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान दिया <math>\forall x \ge 0.</math>
: <math>R = 20</math> का उपयोग करते हुए और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि तब हुई जब <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान <math>\forall x \ge 0.</math>दिया
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और इनके बीच संबंध का उपयोग करना <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ऊपर से देता है
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और ऊपर से <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> के बीच संबंध का उपयोग करने से प्राप्त होता है


:: <math> Q(x)\approx\frac{\left(  1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right)  e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math>
:: <math> Q(x)\approx\frac{\left(  1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right)  e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math>
: किसी विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए सटीकता को तैयार करने या इसे एक तंग सीमा में बदलने के लिए उपरोक्त 'कारागियानिडिस-लिओमपास सन्निकटन' के लिए वैकल्पिक गुणांक भी उपलब्ध हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2021.3052257|title=Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function|journal=IEEE Communications Letters|year=2021|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=25|issue=5|pages=1468–1471|arxiv=2101.07631|s2cid=231639206}}</ref>
: किसी विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए सटीकता को तैयार करने या इसे एक तंग सीमा में बदलने के लिए उपरोक्त 'कारागियानिडिस-लिओमपास सन्निकटन' के लिए वैकल्पिक गुणांक भी उपलब्ध हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2021.3052257|title=Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function|journal=IEEE Communications Letters|year=2021|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=25|issue=5|pages=1468–1471|arxiv=2101.07631|s2cid=231639206}}</ref>
*एक सख्त और अधिक सुव्यवस्थित सन्निकटन <math>Q(x)</math> सकारात्मक तर्कों के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> लोपेज़-बेनिटेज़ और कैसादेवल द्वारा दिया गया है (2011)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2011.012711.100105 |url=http://www.lopezbenitez.es/journals/IEEE_TCOM_2011.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए बहुमुखी, सटीक और विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल अनुमान|journal=IEEE Transactions on Communications|volume=59|issue=4|pages=917–922|year=2011|last1=Lopez-Benitez|first1=Miguel|last2=Casadevall|first2=Fernando|s2cid=1145101}}</ref> दूसरे क्रम के घातीय फ़ंक्शन के आधार पर:
*एक सख्त और अधिक सुव्यवस्थित सन्निकटन <math>Q(x)</math> सकारात्मक तर्कों के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> लोपेज़-बेनिटेज़ और कैसादेवल द्वारा दिया गया है (2011)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2011.012711.100105 |url=http://www.lopezbenitez.es/journals/IEEE_TCOM_2011.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए बहुमुखी, सटीक और विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल अनुमान|journal=IEEE Transactions on Communications|volume=59|issue=4|pages=917–922|year=2011|last1=Lopez-Benitez|first1=Miguel|last2=Casadevall|first2=Fernando|s2cid=1145101}}</ref> दूसरे क्रम के घातीय फलन के आधार पर:


:: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math>
:: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math>
: फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बीच एक अच्छा व्यापार-बंद (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।
: फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक शिक्षणीयता के बीच एक अच्छा व्यापार-संवृत (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।


==उलटा Q==
==विपरीत Q==


व्युत्क्रम Q-फ़ंक्शन त्रुटि फ़ंक्शन#व्युत्क्रम फ़ंक्शंस से संबंधित हो सकता है:
व्युत्क्रम Q-फलन व्युत्क्रम त्रुटि फलन से संबंधित हो सकता है:


:<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y)  = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math>
:<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y)  = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math>
कार्यक्रम <math>Q^{-1}(y)</math> डिजिटल संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे आमतौर पर डेसीबल#फ़ील्ड मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और आम तौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है:
फलन <math>Q^{-1}(y)</math> अंकीय संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल क्षेत्र मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है:


:<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math>
:<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math>
जहां y विश्लेषण के तहत डिजिटल रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, एडिटिव व्हाइट गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन#क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए, ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात#डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो थोड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है दर y के बराबर.
जहां y विश्लेषण के अंतर्गत अंकीय रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, योगात्मक सफेद गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो y के बराबर त्रुटि दर उत्पन्न करता है।
   [[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]]
   [[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]]


== मान ==
== मान ==
क्यू-फ़ंक्शन अच्छी तरह से सारणीबद्ध है और इसे अधिकांश गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों जैसे कि [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]], मैटलैब और [[वोल्फ्राम मैथमैटिका]] में उपलब्ध लोगों में सीधे गणना की जा सकती है। क्यू-फ़ंक्शन के कुछ मान संदर्भ के लिए नीचे दिए गए हैं।
क्यू-फलन अच्छी तरह से सारणीबद्ध है और अधिकांश गणितीय सॉफ़्टवेयर संकुल जैसे कि [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]], मैटलैब और [[वोल्फ्राम मैथमैटिका]] में उपलब्ध संकुल में सीधे गणना की जा सकती है। क्यू-फलन के कुछ मान संदर्भ के लिए नीचे दिए गए हैं।


<!-- This table was calculated in Matlab as follows:
<!-- This table was calculated in Matlab as follows:
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== उच्च आयामों का सामान्यीकरण ==
== उच्च आयामों का सामान्यीकरण ==
Q-फ़ंक्शन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref>
क्यू-फलन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref>
:<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math>
:<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math>
कहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज रूप की है
जहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज प्रकार की होती है
<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक वेक्टर के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी मामले में, क्यू-फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी, Q-फ़ंक्शन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I.  |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L.  |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }}
<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक सदिश के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फलन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी क्यू-फलन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 अव्यवस्थित रूप से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I.  |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L.  |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }}
</ref>
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
<references />
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Latest revision as of 16:09, 25 July 2023

For the phase-space function representing a quantum state, see Husimi Q representation.
क्यू-फलन का प्लॉट

आंकड़ों में, क्यू-फलन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (पूंछ वितरण फलन) है।[1][2] दूसरे शब्दों में संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर से बड़ा मान लेता है।

अगर माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर