वृत्त: Difference between revisions

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|caption    = A circle (black), which is measured by its circumference (''C''), diameter (''D'') in blue, and radius (''R'') in red; its centre (''O'') is in green.
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{सामान्य ज्यामिति}}
{सामान्य ज्यामिति}}
एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,<!--यह लेख ब्रिटिश अंग्रेजी का उपयोग करते हुए लिखा गया है - देखें WP:ENGVAR, विकिपीडिया लेख मूल संस्करण के साथ रहना चाहिए 'केंद्र' अमेरिकी अंग्रेजी वर्तनी है -->केंद्र।<!--'केंद्र' के बारे में पहले टिप्पणी देखें-->समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त <math>r=0</math> पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।
एक सर्कल एक विमान में सभी बिंदुओं से युक्त एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर है,<!--यह लेख ब्रिटिश अंग्रेजी का उपयोग करके लिखा गया है - देखें WP: Engvar, विकिपीडिया लेखों को मूल संस्करण 'केंद्र' के साथ रहना चाहिए। अमेरिकी अंग्रेजी वर्तनी है -->केंद्र।<!--'केंद्र' के बारे में पहले टिप्पणी देखें-->समान रूप से, यह एक बिंदु से बाहर निकलने वाला वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो।सर्कल और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या होने की आवश्यकता होती है।के साथ एक सर्कल <math>r=0</math> एक पतित मामला है।यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।


विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।
विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।रोजमर्रा के उपयोग में, शब्द सर्कल का उपयोग या तो आकृति की सीमा को संदर्भित करने के लिए या इसके इंटीरियर सहित पूरे आंकड़े को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है;सख्त तकनीकी उपयोग में, सर्कल केवल सीमा है और पूरे आंकड़े को डिस्क कहा जाता है।


एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।
एक सर्कल को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो foci संयोग हैं, सनकीता 0 है, और अर्ध-मेजर और अर्ध-खनिज कुल्हाड़ी समान हैं;या दो-आयामी आकृति प्रति यूनिट परिधि के सबसे अधिक क्षेत्र को घेरने के लिए, भिन्नताओं की पथरी का उपयोग करते हुए।
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==यूक्लिड की परिभाषा==
== यूक्लिड की परिभाषा ==
{{quotation|A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.|[[Euclid]], ''[[Euclid's Elements|Elements]]'', [[Euclid's Elements#Contents|Book I]]<ref>{{OL|7227282M}}</ref>{{rp|4}}}}
{{quotation|A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.|[[Euclid]], ''[[Euclid's Elements|Elements]]'', [[Euclid's Elements#Contents|Book I]]<ref>{{OL|7227282M}}</ref>{{rp|4}}}}


== टोपोलॉजिकल परिभाषा ==
== टोपोलॉजिकल परिभाषा ==
टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R . के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है<sup>3</sup>अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।<ref name="gamelin">{{cite book | last = Gamelin | first = Theodore | title = Introduction to topology | url = https://archive.org/details/introductiontoto00game | url-access = registration | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y | year = 1999 | isbn = 0486406806 }}</ref>
टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है।दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को आर के विरूपण के माध्यम से दूसरे में बदल दिया जा सकता है<sup>3</sup>खुद पर (एक परिवेशी आइसोटोपी के रूप में जाना जाता है)।<ref name="gamelin">{{cite book | last = Gamelin | first = Theodore | title = Introduction to topology | url = https://archive.org/details/introductiontoto00game | url-access = registration | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y | year = 1999 | isbn = 0486406806 }}</ref>


== शब्दावली ==
== शब्दावली ==
* एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
* एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित सर्कल से बंधे क्षेत्र।
* चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
* चाप: एक सर्कल का कोई भी जुड़ा हुआ हिस्सा। एक आर्क और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो आर्क्स के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
* केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
* केंद्र: सर्कल पर सभी बिंदुओं से बिंदु समीकरण।
* जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
* कॉर्ड: एक लाइन सेगमेंट जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है, इस प्रकार एक सर्कल को दो खंडों में विभाजित करता है।
* परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
* परिधि: वृत्त के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
* व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
* व्यास: एक लाइन खंड जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या इस तरह के एक लाइन खंड की लंबाई। यह सर्कल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी है। यह एक कॉर्ड का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए सर्कल के लिए सबसे लंबा राग, और इसकी लंबाई एक त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है।
* डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
* डिस्क: एक सर्कल से बंधे विमान का क्षेत्र।
* लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
* लेंस: दो ओवरलैपिंग डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (चौराहा)।
* पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
* पासेंट: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसका सर्कल के साथ कोई मतलब नहीं है।
*त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
* RADIUS: एक लाइन सेगमेंट जो सर्कल के किसी भी एक बिंदु के साथ एक सर्कल के केंद्र में शामिल होता है; या इस तरह के एक खंड की लंबाई, जो एक व्यास की आधी (लंबाई) है।
* सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
* सेक्टर: एक सामान्य केंद्र के साथ समान लंबाई के दो रेडी से घिरा एक क्षेत्र और या तो दो संभावित आर्क्स में से, इस केंद्र और रेडी के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया गया है।
* खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
* खंड: एक कॉर्ड द्वारा बंधे एक क्षेत्र और कॉर्ड के समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले आर्क्स में से एक। कॉर्ड की लंबाई संभावित आर्क्स के व्यास पर एक कम सीमा थोपती है। कभी -कभी शब्द खंड का उपयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है, जिनमें सर्कल के केंद्र से युक्त नहीं होते हैं, जिनसे उनका चाप होता है।
* सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
* सेकंट: एक विस्तारित कॉर्ड, एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन, दो बिंदुओं में एक सर्कल को काटता है।
* अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
* अर्धवृत्त: एक व्यास के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित आर्क्स में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में ले जाता है। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब यह हो सकता है कि एक व्यास और इसके एक आर्क्स से बंधे दो आयामी क्षेत्र का इंटीरियर, जिसे तकनीकी रूप से एक आधा-डिस्क कहा जाता है। एक आधा-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
* स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।
* स्पर्शरेखा: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसमें एक सर्कल के साथ एक ही बिंदु होता है (इस बिंदु पर सर्कल को छूता है)।
सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।
सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुले के रूप में माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाओं से युक्त नहीं, या उनके संबंधित सीमाओं सहित बंद के रूप में।
{{Clear}}
{{Clear}}
{| शैली = फ्लोट: बाएं; सेलस्पेसिंग = 0 सेलपैडिंग = 0
{| style="float:left;" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-
|-
|[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb|जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा, त्रिज्या और व्यास]]
|[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb|Chord, secant, tangent, radius, and diameter]]
|[[Image:Circle slices.svg|right|thumb|चाप, क्षेत्र, और खंड]]
|[[Image:Circle slices.svg|right|thumb|Arc, sector, and segment]]
|}
|}
{{Clear}}
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==इतिहास==
== इतिहास ==
[[Image:God the Geometer.jpg|thumb|right|200px|]]
[[Image:God the Geometer.jpg|thumb|right|200px|13 वीं शताब्दी की पांडुलिपि में कम्पास ईश्वर के सृजन के कार्य का प्रतीक है।नोट भी प्रभामंडल के परिपत्र आकार।]]
13वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें।
वर्ड सर्कल ग्रीक κίρ a/ύκκκκκκκλλος (Kirkos/Kuklos) से निकला है, जो स्वयं होमेरिक ग्रीक κρίκος (Krikros) के मेटथेसिस है, जिसका अर्थ है हूप या रिंग<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref> शब्द सर्कस और विकट की उत्पत्ति: सर्किट | सर्किट निकट से संबंधित हैं।
सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।<ref>[http://www.perseus.touts.here/hopper/text?doc=Perseus%xAtext%xA1999.04.0057%xAentry%xDcri%2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, हेनरी जॉर्ज लिडेल, रॉबर्ट स्कॉट, ए ग्रीक-इंग्लिश लेक्सिकॉन, पर्सियस पर</ref>सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।
[[Image:IlkhanateSilkCircular.jpg|left|thumb|200px|मंगोल छवि छवि के साथ रेशम का परिपत्र टुकड़ा: शटिर 500.jpg | सही | अंगूठे | 200px | एक पुराने अरबी खगोलीय ड्राइंग में हलकों।]]
[[Image:IlkhanateSilkCircular.jpg|left|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।]]
रिकॉर्ड किए गए इतिहास की शुरुआत से पहले सर्कल को जाना जाता है।प्राकृतिक घेरे देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूरज, और रेत पर हवा में एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक सर्कल आकार बनाता है।सर्कल पहिया के लिए आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी के अधिकांश को संभव बनाता है।गणित में, सर्कल के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और पथरी के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।
r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।
दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।


प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना ​​​​था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।<ref>आर्थर कोएस्टलर, द स्लीपवॉकर्स: ए हिस्ट्री ऑफ़ मैन्स चेंजिंग विज़न ऑफ़ द यूनिवर्स (1959)</ref><ref>प्रोक्लस, [https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ द सिक्स बुक्स ऑफ़ प्रोक्लस, द प्लेटोनिक सक्सेसर, ऑन द थियोलॉजी ऑफ़ प्लेटो] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170123072440/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ |date=2017-01-23 }} ट्र. थॉमस टेलर (1816) वॉल्यूम। 2, चौ. 2, प्लेटो के</ref>
प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए दिव्य से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि कुछ आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण था जो हलकों में पाया जा सकता था।<ref>[[Arthur Koestler]], ''[[The Sleepwalkers (Koestler book)|The Sleepwalkers]]: A History of Man's Changing Vision of the Universe'' (1959)</ref><Ref> proclus, [https://books.google.com/books?id=e1hyaaaaamaaj द सिक्स बुक्स ऑफ प्रोक्लस, प्लेटोनिक उत्तराधिकारी, प्लेटो के धर्मशास्त्र पर] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170123072440/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ |date=2017-01-23 }} Tr।थॉमस टेलर (1816) वॉल्यूम।2, ch।2, प्लेटो का</ref>


सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:
सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:
* 1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है {{sfrac|256|81}} (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप में{{pi}}.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html#1700BC कालक्रम 30000 ईसा पूर्व से 500 ईसा पूर्व तक] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080322085509/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html |date=2008-03-22 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>
* 1700 ईसा पूर्व - Rhind papyrus एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है।परिणाम मेल खाता है {{sfrac|256|81}} (3.16049 ...) के अनुमानित मूल्य के रूप में{{pi}}.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html#1700BC Chronology for 30000 BC to 500 BC] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080322085509/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html |date=2008-03-22 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>
[[Image:Toghrol Tower looking up.jpg|left|thumb|200px|अंदर से तुगरुल टावर]]
[[Image:Toghrol Tower looking up.jpg|left|thumb|200px|[अंदर से तुगरुल टॉवर]]
* 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
* 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व हलकों के गुणों से संबंधित हैं।
* प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
* प्लेटो के सातवें पत्र में सर्कल की एक विस्तृत परिभाषा और स्पष्टीकरण है।प्लेटो सही सर्कल की व्याख्या करता है, और यह किसी भी ड्राइंग, शब्दों, परिभाषा या स्पष्टीकरण से अलग कैसे है।
* 1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि {{pi}} पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html वृत्त को चुकता करना] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080624144640/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html |date=2008-06-24 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>{{Clear}}
* 1880 सीई - लिंडमैन साबित करता है {{pi}} पारलौकिक है, प्रभावी रूप से सर्कल को स्क्वायर करने की सहस्राब्दी-पुरानी समस्या को सुलझा रहा है।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html Squaring the circle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080624144640/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html |date=2008-06-24 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>{{साफ़}}


==विश्लेषणात्मक परिणाम==
== विश्लेषणात्मक परिणाम ==


===परिधि ===
=== परिधि ===
{{main|Circumference}}
{{main|Circumference}}
एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है {{pi}} (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
इसके व्यास के लिए एक सर्कल की परिधि का अनुपात है {{pi}} (पीआई), एक तर्कहीन स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर है।इस प्रकार परिधि c त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
:<math>C = 2\pi r = \pi d.\,</math>
:<math>C = 2\pi r = \pi d.\,</math>


=== संलग्न क्षेत्र ===
=== क्षेत्र संलग्न ===
[[Image:Circle Area.svg|thumb|वृत्त से घिरा क्षेत्रफल = {{pi}} × छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल]]
[[Image:Circle Area.svg|thumb|एक सर्कल द्वारा संलग्न है = {{pi}} × छायांकित वर्ग का क्षेत्र]]
 
{{Main article|Area of a circle}}
{{Main article|Area of a circle}}
जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108}}</ref>जो आता है {{pi}} त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:
जैसा कि आर्किमिडीज द्वारा साबित किया गया है, एक सर्कल के माप में, एक सर्कल द्वारा संलग्न क्षेत्र एक त्रिभुज के बराबर होता है जिसका आधार सर्कल की परिधि की लंबाई है और जिसकी ऊंचाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर है,<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108}}</ref> जो आता है {{pi}} त्रिज्या वर्ग द्वारा गुणा:
:<math>\mathrm{Area} = \pi r^2.\,</math>
:<math>\mathrm{Area} = \pi r^2.\,</math>
समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,
समान रूप से, डी द्वारा व्यास को दर्शाते हुए,
:<math>\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,</math>
:<math>\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,</math>
यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।
अर्थात्, लगभग 79% परिधीय वर्ग वर्ग (जिसका पक्ष लंबाई डी का है)।


वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।
सर्कल एक दिए गए आर्क लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्र को घेरने वाला विमान वक्र है।यह सर्कल को एक समस्या से संबंधित है, जो कि विविधता की गणना में है, अर्थात् isoperimetric असमानता।


=== समीकरण ===
=== समीकरण ===


==== कार्तीय निर्देशांक ====
==== कार्टेशियन निर्देशांक ====
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|त्रिज्या का वृत्त r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)]]
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|त्रिज्या r & nbsp; = & nbsp; 1, केंद्र (a, & nbsp; b) = & nbsp; (1.2, & nbsp; −0.5)]]
;एक वृत्त का समीकरण
, एक सर्कल का समीकरण
एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि
एक एक्स -वाई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (ए, बी) और त्रिज्या आर के साथ सर्कल सभी बिंदुओं (एक्स, वाई) का सेट है
: <math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.</math>
: <math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.</math>
वृत्त के समीकरण के रूप में जाना जाने वाला यह समीकरण, वृत्त के किसी भी बिंदु पर लागू पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी अन्य भुजाएँ लंबाई की हैं |x -ए| और |y - b|। यदि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण सरल हो जाता है
यह समीकरण, जिसे सर्कल के समीकरण के रूप में जाना जाता है, पाइथागोरियन प्रमेय से सर्कल पर किसी भी बिंदु पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक दाएं-कोण त्रिकोण का सम्मोहन है, जिसके अन्य पक्ष लंबाई के हैं।- ए |और | y - b |यदि सर्कल मूल (0, & nbsp; 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण को सरल बनाता है
: <math>x^2 + y^2 = r^2.</math>
: <math>x^2 + y^2 = r^2.</math>
;पैरामीट्रिक फॉर्म
; पैरामीट्रिक फॉर्म
समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:
समीकरण को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन और कोसाइन के रूप में पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है
: <math>x = a + r\,\cos t,</math>
: <math>x = a + r\,\cos t,</math>
: <math>y = b + r\,\sin t,</math>
: <math>y = b + r\,\sin t,</math>
जहाँ t 0 से 2 . की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर है{{pi}}, ज्यामितीय रूप से उस कोण के रूप में व्याख्या की जाती है जिसे किरण (a, b) से (x, y) तक धनात्मक x अक्ष के साथ बनाती है।
जहां t 0 से 2 की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर है{{pi}}, ज्यामितीय रूप से कोण के रूप में व्याख्या की गई है कि किरण से (a, & nbsp; b) से (x, & nbsp; y) सकारात्मक x & nbsp; अक्ष के साथ बनाता है।


वृत्त का एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन है
सर्कल का एक वैकल्पिक पैरामीटर है
: <math>x = a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
: <math>x = a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
: <math>y = b + r \frac{2t}{1 + t^2}.</math>
: <math>y = b + r \frac{2t}{1 + t^2}.</math>
इस पैरामीटरकरण में, t से r के अनुपात को ज्यामितीय रूप से x अक्ष के समानांतर केंद्र से गुजरने वाली रेखा के स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)। हालाँकि, यह पैरामीटरकरण केवल तभी काम करता है जब t को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत पर एक बिंदु तक परास के लिए बनाया जाता है; अन्यथा, वृत्त के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।
इस पैरामीटर में, टी से आर के अनुपात को ज्यामितीय रूप से एक्स & एनबीएसपी के समानांतर केंद्र के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के स्टीरिगोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; अक्ष (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)।हालांकि, यह पैरामीटर केवल तभी काम करता है जब टी को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत के एक बिंदु पर भी बनाया जाता है;अन्यथा, सर्कल के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।


;3-बिंदु प्रपत्र
; 3-बिंदु रूप
तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित वृत्त का समीकरण <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math> नॉट ऑन ए लाइन वृत्त समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण से प्राप्त होता है:
तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित सर्कल का समीकरण <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math> एक लाइन पर नहीं एक सर्कल समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है:
: <math>\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}
: <math>\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}
             {({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\