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Circle
Circle
	File:Circle-withsegments.svg A circle circumference C diameter D radius R center or origin O
प्रकार	Conic section
समरूपता समूह	[[Orthogonal group\|O(2)]]
क्षेत्र	πR2
परिधि	C = 2πR

Latest revision as of 10:21, 25 July 2023

{सामान्य ज्यामिति}} एक सर्कल एक विमान में सभी बिंदुओं से युक्त एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर है,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु से बाहर निकलने वाला वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो।सर्कल और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या होने की आवश्यकता होती है।के साथ एक सर्कल $r=0$ एक पतित मामला है।यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।रोजमर्रा के उपयोग में, शब्द सर्कल का उपयोग या तो आकृति की सीमा को संदर्भित करने के लिए या इसके इंटीरियर सहित पूरे आंकड़े को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है;सख्त तकनीकी उपयोग में, सर्कल केवल सीमा है और पूरे आंकड़े को डिस्क कहा जाता है।

एक सर्कल को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो foci संयोग हैं, सनकीता 0 है, और अर्ध-मेजर और अर्ध-खनिज कुल्हाड़ी समान हैं;या दो-आयामी आकृति प्रति यूनिट परिधि के सबसे अधिक क्षेत्र को घेरने के लिए, भिन्नताओं की पथरी का उपयोग करते हुए।

यूक्लिड की परिभाषा

A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.
— Euclid, Elements, Book I^[1]^: 4

टोपोलॉजिकल परिभाषा

टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है।दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को आर के विरूपण के माध्यम से दूसरे में बदल दिया जा सकता है³खुद पर (एक परिवेशी आइसोटोपी के रूप में जाना जाता है)।^[2]

शब्दावली

एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित सर्कल से बंधे क्षेत्र।
चाप: एक सर्कल का कोई भी जुड़ा हुआ हिस्सा। एक आर्क और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो आर्क्स के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
केंद्र: सर्कल पर सभी बिंदुओं से बिंदु समीकरण।
कॉर्ड: एक लाइन सेगमेंट जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है, इस प्रकार एक सर्कल को दो खंडों में विभाजित करता है।
परिधि: वृत्त के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
व्यास: एक लाइन खंड जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या इस तरह के एक लाइन खंड की लंबाई। यह सर्कल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी है। यह एक कॉर्ड का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए सर्कल के लिए सबसे लंबा राग, और इसकी लंबाई एक त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है।
डिस्क: एक सर्कल से बंधे विमान का क्षेत्र।
लेंस: दो ओवरलैपिंग डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (चौराहा)।
पासेंट: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसका सर्कल के साथ कोई मतलब नहीं है।
RADIUS: एक लाइन सेगमेंट जो सर्कल के किसी भी एक बिंदु के साथ एक सर्कल के केंद्र में शामिल होता है; या इस तरह के एक खंड की लंबाई, जो एक व्यास की आधी (लंबाई) है।
सेक्टर: एक सामान्य केंद्र के साथ समान लंबाई के दो रेडी से घिरा एक क्षेत्र और या तो दो संभावित आर्क्स में से, इस केंद्र और रेडी के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया गया है।
खंड: एक कॉर्ड द्वारा बंधे एक क्षेत्र और कॉर्ड के समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले आर्क्स में से एक। कॉर्ड की लंबाई संभावित आर्क्स के व्यास पर एक कम सीमा थोपती है। कभी -कभी शब्द खंड का उपयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है, जिनमें सर्कल के केंद्र से युक्त नहीं होते हैं, जिनसे उनका चाप होता है।
सेकंट: एक विस्तारित कॉर्ड, एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन, दो बिंदुओं में एक सर्कल को काटता है।
अर्धवृत्त: एक व्यास के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित आर्क्स में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में ले जाता है। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब यह हो सकता है कि एक व्यास और इसके एक आर्क्स से बंधे दो आयामी क्षेत्र का इंटीरियर, जिसे तकनीकी रूप से एक आधा-डिस्क कहा जाता है। एक आधा-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
स्पर्शरेखा: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसमें एक सर्कल के साथ एक ही बिंदु होता है (इस बिंदु पर सर्कल को छूता है)।

सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुले के रूप में माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाओं से युक्त नहीं, या उनके संबंधित सीमाओं सहित बंद के रूप में।

Chord, secant, tangent, radius, and diameter

File:Circle slices.svg

Arc, sector, and segment

इतिहास

File:God the Geometer.jpg

13 वीं शताब्दी की पांडुलिपि में कम्पास ईश्वर के सृजन के कार्य का प्रतीक है।नोट भी प्रभामंडल के परिपत्र आकार।

वर्ड सर्कल ग्रीक κίρ a/ύκκκκκκκλλος (Kirkos/Kuklos) से निकला है, जो स्वयं होमेरिक ग्रीक κρίκος (Krikros) के मेटथेसिस है, जिसका अर्थ है हूप या रिंग^[3] शब्द सर्कस और विकट की उत्पत्ति: सर्किट | सर्किट निकट से संबंधित हैं।

File:IlkhanateSilkCircular.jpg

एक पुराने अरबी खगोलीय ड्राइंग में हलकों।

रिकॉर्ड किए गए इतिहास की शुरुआत से पहले सर्कल को जाना जाता है।प्राकृतिक घेरे देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूरज, और रेत पर हवा में एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक सर्कल आकार बनाता है।सर्कल पहिया के लिए आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी के अधिकांश को संभव बनाता है।गणित में, सर्कल के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और पथरी के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए दिव्य से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि कुछ आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण था जो हलकों में पाया जा सकता था।^[4]^[5]

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:

1700 ईसा पूर्व - Rhind papyrus एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है।परिणाम मेल खाता है 256/81 (3.16049 ...) के अनुमानित मूल्य के रूप में $π$ .^[6]

File:Toghrol Tower looking up.jpg

[अंदर से तुगरुल टॉवर

300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व हलकों के गुणों से संबंधित हैं।
प्लेटो के सातवें पत्र में सर्कल की एक विस्तृत परिभाषा और स्पष्टीकरण है।प्लेटो सही सर्कल की व्याख्या करता है, और यह किसी भी ड्राइंग, शब्दों, परिभाषा या स्पष्टीकरण से अलग कैसे है।
1880 सीई - लिंडमैन साबित करता है $π$ पारलौकिक है, प्रभावी रूप से सर्कल को स्क्वायर करने की सहस्राब्दी-पुरानी समस्या को सुलझा रहा है।^[7]Template:साफ़

विश्लेषणात्मक परिणाम

परिधि

इसके व्यास के लिए एक सर्कल की परिधि का अनुपात है $π$ (पीआई), एक तर्कहीन स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर है।इस प्रकार परिधि c त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:

C=2\pi r=\pi d.\,

क्षेत्र संलग्न

File:Circle Area.svg

एक सर्कल द्वारा संलग्न है =

π

× छायांकित वर्ग का क्षेत्र

जैसा कि आर्किमिडीज द्वारा साबित किया गया है, एक सर्कल के माप में, एक सर्कल द्वारा संलग्न क्षेत्र एक त्रिभुज के बराबर होता है जिसका आधार सर्कल की परिधि की लंबाई है और जिसकी ऊंचाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर है,^[8] जो आता है $π$ त्रिज्या वर्ग द्वारा गुणा:

\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,

समान रूप से, डी द्वारा व्यास को दर्शाते हुए,

\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},

अर्थात्, लगभग 79% परिधीय वर्ग वर्ग (जिसका पक्ष लंबाई डी का है)।

सर्कल एक दिए गए आर्क लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्र को घेरने वाला विमान वक्र है।यह सर्कल को एक समस्या से संबंधित है, जो कि विविधता की गणना में है, अर्थात् isoperimetric असमानता।

समीकरण

कार्टेशियन निर्देशांक

त्रिज्या r & nbsp; = & nbsp; 1, केंद्र (a, & nbsp; b) = & nbsp; (1.2, & nbsp; −0.5)

, एक सर्कल का समीकरण एक एक्स -वाई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (ए, बी) और त्रिज्या आर के साथ सर्कल सभी बिंदुओं (एक्स, वाई) का सेट है

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

यह समीकरण, जिसे सर्कल के समीकरण के रूप में जाना जाता है, पाइथागोरियन प्रमेय से सर्कल पर किसी भी बिंदु पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक दाएं-कोण त्रिकोण का सम्मोहन है, जिसके अन्य पक्ष लंबाई के हैं।- ए |और | y - b |यदि सर्कल मूल (0, & nbsp; 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण को सरल बनाता है

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$
पैरामीट्रिक फॉर्म

समीकरण को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन और कोसाइन के रूप में पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है

x=a+r\,\cos t,

y=b+r\,\sin t,

जहां t 0 से 2 की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर है $π$ , ज्यामितीय रूप से कोण के रूप में व्याख्या की गई है कि किरण से (a, & nbsp; b) से (x, & nbsp; y) सकारात्मक x & nbsp; अक्ष के साथ बनाता है।

सर्कल का एक वैकल्पिक पैरामीटर है

x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},

y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.

इस पैरामीटर में, टी से आर के अनुपात को ज्यामितीय रूप से एक्स & एनबीएसपी के समानांतर केंद्र के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के स्टीरिगोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; अक्ष (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)।हालांकि, यह पैरामीटर केवल तभी काम करता है जब टी को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत के एक बिंदु पर भी बनाया जाता है;अन्यथा, सर्कल के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।

3-बिंदु रूप

तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित सर्कल का समीकरण $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ एक लाइन पर नहीं एक सर्कल समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है:

${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.$
सजातीय रूप

सजातीय निर्देशांक में, एक सर्कल के समीकरण के साथ प्रत्येक शंकु वर्ग का रूप है

x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.

यह साबित किया जा सकता है कि एक शंकुधारी अनुभाग एक सर्कल है जब इसमें शामिल होता है (जब जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन तक विस्तारित होता है) अंक I (1: i: 0) और j (1: & nbsp; −i: & nbsp; 0)।इन बिंदुओं को अनंत पर परिपत्र अंक कहा जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक

ध्रुवीय निर्देशांक में, एक सर्कल का समीकरण है

r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},

जहां एक सर्कल का त्रिज्या है, $(r,\theta )$ सर्कल पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और $(r_{0},\phi )$ सर्कल के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (यानी, आर₀ is the distance from the origin to the centre of the circle, and φ is the anticlockwise angle from the positive x axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e. r₀ = 0, this reduces to simply r = a. When r₀ = a, या जब मूल सर्कल पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है

r=2a\cos(\theta -\phi ).

सामान्य मामले में, समीकरण को आर के लिए हल किया जा सकता है, देते हुए

r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.

ध्यान दें कि, चिन्ह के बिना, समीकरण कुछ मामलों में केवल आधा सर्कल का वर्णन करेगा।

जटिल विमान =

जटिल विमान में, C और RADIUS R के केंद्र के साथ एक सर्कल में समीकरण होता है

|z-c|=r.

पैरामीट्रिक रूप में, इसे के रूप में लिखा जा सकता है

z=re^{it}+c.

थोड़ा सामान्यीकृत समीकरण

pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q

वास्तविक पी के लिए, क्यू और कॉम्प्लेक्स जी को कभी -कभी एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह एक सर्कल के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है $p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}$ , जबसे $|z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}$ ।सभी सामान्यीकृत सर्कल वास्तव में सर्कल नहीं हैं: एक सामान्यीकृत सर्कल या तो एक (सच) सर्कल या एक लाइन है।

स्पर्शरेखा रेखाएँ

सर्कल पर एक बिंदु P के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा पी के माध्यम से गुजरने वाले व्यास के लंबवत है P = (एक्स₁, y₁) and the circle has centre (a, b) and radius r, then the tangent line is perpendicular to the line from (a, b) to (x₁, y₁), so it has the form (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. Evaluating at (x₁, y₁ सी के मूल्य को निर्धारित करता है, और परिणाम यह है कि स्पर्शरेखा का समीकरण है

(x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},

या

(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.

यदि y₁ ≠ b, फिर इस लाइन का ढलान है

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.

यह अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।

जब सर्कल का केंद्र मूल में होता है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण हो जाता है

x_{1}x+y_{1}y=r^{2},

और इसकी ढलान है

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.

गुण

सर्कल परिधि की दी गई लंबाई के लिए सबसे बड़े क्षेत्र के साथ आकार है (देखें isoperimetric असमानता)।
सर्कल एक अत्यधिक सममित आकार है: केंद्र के माध्यम से हर पंक्ति प्रतिबिंब समरूपता की एक पंक्ति बनाती है, और इसमें प्रत्येक कोण के लिए केंद्र के चारों ओर घूर्णी समरूपता होती है।इसका समरूपता समूह ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ (2, आर) है।अकेले घुमाव का समूह सर्कल समूह 'टी' है।
सभी मंडल समान हैं।
- एक सर्कल परिधि और त्रिज्या आनुपातिक हैं।
- संलग्न क्षेत्र और इसके त्रिज्या का वर्ग आनुपातिक हैं।
- आनुपातिकता के स्थिरांक 2 हैं $π$ तथा $π$ क्रमश।
त्रिज्या 1 के साथ मूल में केंद्रित सर्कल को यूनिट सर्कल कहा जाता है।
- यूनिट क्षेत्र के एक महान चक्र के रूप में सोचा, यह रीमैनियन सर्कल बन जाता है।
किसी भी तीन बिंदुओं के माध्यम से, सभी एक ही पंक्ति पर नहीं, एक अद्वितीय सर्कल है।कार्टेशियन निर्देशांक में, तीन दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में सर्कल के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक के लिए स्पष्ट सूत्र देना संभव है।खतना देखें।

कॉर्ड

Chords एक सर्कल के केंद्र से समान हैं यदि और केवल अगर वे लंबाई में बराबर हैं।
एक कॉर्ड का लंबवत द्विभाजक एक सर्कल के केंद्र से होकर गुजरता है; लंबवत द्विभाजक की विशिष्टता से उपजी समकक्ष बयान हैं:
- एक सर्कल के केंद्र से एक लंबवत रेखा कॉर्ड को काटती है।
- एक कॉर्ड को काटने वाले केंद्र के माध्यम से लाइन खंड कॉर्ड के लंबवत है।
यदि एक केंद्रीय कोण और एक सर्कल का एक खुदा हुआ कोण एक ही कॉर्ड द्वारा और कॉर्ड के एक ही तरफ घटाया जाता है, तो केंद्रीय कोण दो बार अंकित कोण है।
यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के एक ही तरफ अंकित किया जाता है, तो वे समान हैं।
यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के विपरीत किनारों पर अंकित किया जाता है, तो वे पूरक हैं।
- एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोण के बराबर है।
एक व्यास द्वारा घटाया एक खुदा हुआ कोण एक समकोण है (देखें थेल्स 'प्रमेय)।
व्यास सर्कल का सबसे लंबा राग है।
- आम तौर पर एक कॉर्ड एब के साथ सभी हलकों में, न्यूनतम त्रिज्या वाला सर्कल व्यास एबी के साथ एक है।
यदि किसी भी दो कॉर्ड्स का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई ए और बी में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई सी और डी में विभाजित करता है, तो ab = सीडी।
यदि किसी भी दो लंबवत chords का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई A और B में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई C और D में विभाजित करता है, तो a² + b² + c² + d² व्यास के वर्ग के बराबर होता है।^[9]
किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर किसी भी दो chords की चुकता लंबाई का योग एक ही बिंदु पर किसी भी अन्य दो लंबवत chords के समान होता है और 8r द्वारा दिया जाता है।² − 4p² जहां आर सर्कल त्रिज्या है, और पी केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है।^[10]
सर्कल पर एक बिंदु से किसी दिए गए कॉर्ड समय तक की दूरी सर्कल का व्यास बिंदु से लेकर कॉर्ड के सिरों तक की दूरी के उत्पाद के बराबर होती है।^[11]^: p.71}

स्पर्शरेखा

सर्कल पर पड़े त्रिज्या के अंत बिंदु के माध्यम से एक त्रिज्या के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा सर्कल के लिए एक स्पर्शरेखा है।
एक सर्कल के केंद्र के माध्यम से गुजरती एक सर्कल के साथ संपर्क के बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा।
दो स्पर्शरेखाओं को हमेशा सर्कल के बाहर किसी भी बिंदु से एक सर्कल में खींचा जा सकता है, और ये स्पर्शरेखा लंबाई में समान हैं।
यदि एक पर एक स्पर्शरेखा और बाहरी बिंदु P पर B प्रतिच्छेदन पर एक स्पर्शरेखा, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाता है, कोण ∠BOA और ∠BPA पूरक हैं।
यदि AD A पर सर्कल के लिए स्पर्शरेखा है और यदि AQ सर्कल का एक कॉर्ड है, तो ∠DAQ = 1/2आर्क (aq)।

प्रमेय

File:Secant-Secant Theorem.svg

एकांत -असंगत प्रमेय

कॉर्ड प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो कॉर्ड, सीडी और ईबी, एक पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो AC × AD = Ab × ae।
यदि दो सेकेंट्स, एई और एडी, भी क्रमशः बी और सी पर सर्कल को काटते हैं, तो AC × AD = Ab × ae (कॉर्ड प्रमेय का कोरोलरी)।
{एंकर | स्पर्शरेखा-धर्मनिरपेक्ष प्रमेय}} एक स्पर्शरेखा को एक सेकेंड का एक सीमित मामला माना जा सकता है जिसके छोर संयोग हैं।यदि किसी बाहरी बिंदु से एक स्पर्शरेखा f पर सर्कल से मिलता है और बाहरी बिंदु से एक सेकंड क्रमशः C और D पर सर्कल से मिलता है, तो AF² = AC × AD (स्पर्शरेखा -असंगत प्रमेय)।
इसके समापन बिंदुओं में से एक कॉर्ड और स्पर्शरेखा के बीच का कोण, कॉर्ड के विपरीत दिशा में, सर्कल के केंद्र में एक आधे कोण के बराबर है (स्पर्शरेखा कॉर्ड कोण)।
यदि केंद्र में कॉर्ड द्वारा घटाया गया कोण 90 ° है, तो {Nowrap | ℓ = r} 2}}, जहां ℓ chord की लंबाई है, और r सर्कल का त्रिज्या है।
यदि दो सेकेंट्स को सर्कल में अंकित किया जाता है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, तो कोण A का माप संलग्न आर्क्स के माप के एक आधे के अंतर के बराबर है ( ${\overset {\frown }{DE}}$ तथा ${\overset {\frown }{BC}}$ )।वह है, $2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}$ , जहां ओ सर्कल का केंद्र है (सेकेंट -कट्टर प्रमेय)।

अंकित कोण

File:Inscribed angle theorem.svg

अंकित कोण प्रमेय

एक उत्कीर्ण कोण (उदाहरण आकृति में नीले और हरे कोण हैं) ठीक आधा केंद्रीय कोण (लाल) है।इसलिए, सभी उत्कीर्ण कोण जो एक ही चाप (गुलाबी) को घटाते हैं, वे समान हैं।चाप (भूरे) पर अंकित कोण पूरक हैं।विशेष रूप से, प्रत्येक उत्कीर्ण कोण जो एक व्यास को घटाता है, एक समकोण है (चूंकि केंद्रीय कोण 180 ° है)।

तीर

File:Circle Sagitta.svg

वह धनु ऊर्ध्वाधर खंड है।

धनु (वर्सिन के रूप में भी जाना जाता है) एक लाइन खंड है जो उस कॉर्ड के मध्य बिंदु और सर्कल के आर्क के बीच एक कॉर्ड के लंबवत खींचा जाता है।

एक कॉर्ड की लंबाई y और धनु की लंबाई x को देखते हुए, पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग अद्वितीय सर्कल के त्रिज्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो दो लाइनों के आसपास फिट होगा:

r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.

इस परिणाम का एक और प्रमाण, जो केवल ऊपर दिए गए दो कॉर्ड गुणों पर निर्भर करता है, इस प्रकार है।लंबाई y और लंबाई x के धनु के साथ एक कॉर्ड को देखते हुए, चूंकि धनु कॉर्ड के मध्य बिंदु को प्रतिच्छेद करता है, हम जानते हैं कि यह सर्कल के व्यास का एक हिस्सा है।चूंकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, व्यास का लापता हिस्सा है (2r − x) लंबाई में।इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक कॉर्ड बार का एक हिस्सा दूसरा भाग एक ही उत्पाद के बराबर होता है, जो पहले कॉर्ड को एक कॉर्ड के साथ लिया जाता है, हम पाते हैं कि2r − x)x = (y / 2)²।आर के लिए हल, हम आवश्यक परिणाम पाते हैं।

कम्पास और स्ट्रेटेज कंस्ट्रक्शन

कई कम्पास-एंड-स्ट्रेटडेज निर्माण हैं, जिसके परिणामस्वरूप सर्कल हैं।

सबसे सरल और सबसे बुनियादी निर्माण सर्कल के केंद्र और सर्कल पर एक बिंदु दिया गया है।केंद्र बिंदु पर कम्पास के निश्चित पैर को, सर्कल पर बिंदु पर चल पैर और कम्पास को घुमाएं।

दिए गए व्यास के साथ निर्माण

मिडपॉइंट का निर्माण करें $M$ व्यास का।
केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें $M$ व्यास के समापन बिंदुओं में से एक से गुजरना (यह अन्य समापन बिंदु से भी गुजर जाएगा)।

[[File:Circunferencia 10.svg|thumb|त्रिभुज (नीला) के किनारों के लंबवत द्विभाजक (छुटकारा) खोजकर अंक ए, बी और सी के माध्यम से एक सर्कल का निर्माण करें।केंद्र को खोजने के लिए तीन में से केवल दो द्विभाजकों की आवश्यकता होती है।]

तीन नॉनकोलिनियर पॉइंट्स के माध्यम से निर्माण

अंक का नाम बताइए $P$ , $Q$ तथा $R$ ,
खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $PQ$ ।
खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $PR$ ।
इन दो लंबवत द्विभाजकों के चौराहे के बिंदु को लेबल करें $M$ ।(वे मिलते हैं क्योंकि अंक कोलेनियर नहीं हैं)।
केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें $M$ बिंदुओं में से एक से गुजरना $P$ , $Q$ या $R$ (यह अन्य दो बिंदुओं से भी गुजरेंगे)।

एपोलोनियस का चक्र

[[Image:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|250px|left|पोलोनियस 'एक सर्कल की परिभाषा: Template:NowRap} स्थिर]] पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें दो निश्चित foci, ए और बी की दूरी के निरंतर अनुपात (1 के अलावा), ए और बी।^[12]<रेफ> सी।स्टेनली ओगिल्वी | ओगिल्वी, सी। स्टेनली, ज्यामिति में भ्रमण, डोवर, 1969, 14-17।</ref>(उन बिंदुओं का सेट जहां दूरियां समान हैं, खंड एबी, एक लाइन के लंबवत द्विभाजक हैं।) उस सर्कल को कभी -कभी दो बिंदुओं के बारे में कहा जाता है।

प्रमाण दो भागों में है।सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि, दो foci a और b और दूरी के अनुपात को देखते हुए, किसी भी बिंदु p को संतुष्ट करने वाले किसी भी स्थान पर एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए।चलो सी एक और बिंदु हो, अनुपात को संतुष्ट करना और खंड एबी पर झूठ बोलना।कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा लाइन सेगमेंट पीसी आंतरिक कोण एपीबी को द्विभाजित करेगा, क्योंकि सेगमेंट समान हैं:

{\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.

अनुरूप रूप से, एबी पर कुछ बिंदु डी के माध्यम से एक लाइन सेगमेंट पीडी इसी बाहरी कोण बीपीक्यू को बढ़ाता है जहां क्यू एपी विस्तारित है।चूंकि आंतरिक और बाहरी कोण 180 डिग्री तक योग करते हैं, एंगल सीपीडी बिल्कुल 90 डिग्री है;वह है, एक समकोण।अंक p का सेट जैसे कि कोण CPD एक समकोण है जो एक सर्कल बनाता है, जिसमें से सीडी एक व्यास है।

दूसरा, देखें^[13]^: p.15 इस प्रमाण के लिए कि संकेतित सर्कल पर हर बिंदु दिए गए अनुपात को संतुष्ट करता है।

क्रॉस-रैटियोस

हलकों की एक निकट से संबंधित संपत्ति में जटिल विमान में बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की ज्यामिति शामिल है।यदि A, B, और C ऊपर के रूप में हैं, तो इन तीन बिंदुओं के लिए Apollonius का चक्र बिंदु P का संग्रह है, जिसके लिए क्रॉस-अनुपात का निरपेक्ष मूल्य एक के बराबर है:

{\big |}[A,B;C,P]{\big |}=1.

एक और तरीका है, पी अपोलोनियस के सर्कल पर एक बिंदु है यदि और केवल अगर क्रॉस-रैटियो [A, B; C, P] जटिल विमान में यूनिट सर्कल पर है।

सामान्यीकृत सर्कल

यदि C सेगमेंट AB का मध्य बिंदु है, तो Apollonius स्थिति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का संग्रह P का संग्रह है

{\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}

एक सर्कल नहीं है, बल्कि एक लाइन है।

इस प्रकार, यदि A, B, और C को विमान में अलग -अलग बिंदु दिए जाते हैं, तो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान को एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह या तो एक सच्चा सर्कल या एक लाइन हो सकती है।इस अर्थ में एक रेखा अनंत त्रिज्या का एक सामान्यीकृत चक्र है।

अन्य आंकड़ों के बारे में या परिधि में शिलालेख

प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय सर्कल, जिसे इंकिरल कहा जाता है, को इस तरह से अंकित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन पक्षों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है।^[14]

हर त्रिभुज को एक अद्वितीय सर्कल, जिसे खतना कहा जाता है, को इस तरह से परिचालित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन वर्टिस में से प्रत्येक से गुजरता है।^[15]

स्पर्शरेखा बहुभुज, जैसे कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज, कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके भीतर एक सर्कल को अंकित किया जा सकता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है।^[16] हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।

एक चक्रीय बहुभुज कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके बारे में एक सर्कल को परिचालित किया जा सकता है, प्रत्येक शीर्ष से गुजरता है।एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण चक्रीय चतुर्भुज है।हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक चक्रीय बहुभुज है।एक बहुभुज जो कि चक्रीय और स्पर्शरेखा दोनों है, को एक बाइसेन्ट्रिक बहुभुज कहा जाता है।

एक हाइपोसाइक्लॉइड एक वक्र है जो किसी दिए गए सर्कल में एक छोटे सर्कल पर एक निश्चित बिंदु को ट्रेस करके अंकित होता है जो दिए गए सर्कल के भीतर और स्पर्शरेखा के भीतर रोल करता है।

अन्य आंकड़ों का सीमित मामला

सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के एक सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:

एक कार्टेशियन अंडाकार बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (FOCI) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिर है।एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें वजन समान है।एक सर्कल शून्य की विलक्षणता के साथ एक दीर्घवृत्त है, जिसका अर्थ है कि दो foci सर्कल के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।एक सर्कल एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला भी है जिसमें वजन में से एक शून्य है।
एक सुपरलिप्स में फॉर्म का एक समीकरण होता है $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए।एक सुपरकिरल है b = एक।एक सर्कल एक सुपरकिरकल का विशेष मामला है जिसमें n = 2।
एक कैसिनी ओवल ऐसे बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का उत्पाद एक स्थिर है।जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक सर्कल का परिणाम होता है।
निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक ऐसा आंकड़ा है, जिसकी चौड़ाई, दो अलग -अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित की जाती है, जो प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को प्रतिच्छेद करती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान है।सर्कल इस प्रकार के आंकड़े का सबसे सरल उदाहरण है।

== अन्य पी-नॉर्म्स == में

File:Vector-p-Norms qtl1.svg

P}})।

एक बिंदु से एक निश्चित दूरी के साथ बिंदुओं के सेट के रूप में एक सर्कल को परिभाषित करते हुए, अलग -अलग आकृतियों को दूरी की विभिन्न परिभाषाओं के तहत हलकों को माना जा सकता है।पी-नॉर्म में | पी-नॉर्म, दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है

\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.

यूक्लिडियन ज्यामिति में, पी = 2, परिचित देना

\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.

टैक्सी ज्यामिति में, पी = 1. टैक्सी मंडलियों को समन्वित अक्षों के लिए 45 ° कोण पर उन्मुख पक्षों के साथ वर्ग होते हैं।जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी ${\sqrt {2}}r$ एक यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करना, जहां आर सर्कल की त्रिज्या है, टैक्सी ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है।इस प्रकार, एक सर्कल की परिधि 8r है।इस प्रकार, एक ज्यामितीय एनालॉग का मूल्य $\pi$ इस ज्यामिति में 4 है।टैक्सी ज्यामिति में यूनिट सर्कल के लिए सूत्र है $|x|+|y|=1$ कार्टेशियन निर्देशांक में और

r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}

ध्रुवीय निर्देशांक में।

त्रिज्या 1 का एक सर्कल (इस दूरी का उपयोग करके) अपने केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।

Chebyshev दूरी (l) के लिए RADIUS R का एक सर्कल_∞ metric]]) on a plane is also a square with side length 2r parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L₁ and L_∞मैट्रिक्स उच्च आयामों को सामान्य नहीं करता है।

निरंतर योग का स्थान

के एक परिमित सेट पर विचार करें $n$ विमान में अंक।बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि दिए गए बिंदुओं के लिए दूरी के वर्गों का योग स्थिर है, एक सर्कल है, जिसका केंद्र दिए गए बिंदुओं के सेंट्रोइड पर है।^[17] दूरी की उच्च शक्तियों के लिए एक सामान्यीकरण प्राप्त किया जाता है अगर के तहत प्राप्त किया जाता है $n$ नियमित बहुभुज के कोने को इंगित करता है $P_{n}$ लिए गए हैं।^[18] बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि योग $(2m)$ दूरियों की शक्ति $d_{i}$ सर्कराडियस के साथ दिए गए नियमित बहुभुज के कोने के लिए $R$ स्थिर है एक सर्कल है, अगर

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m}

, कहाँ पे

m

= 1,2,…,

n

-1;

जिसका केंद्र का केंद्र है $P_{n}$ ।

समबाहु त्रिभुज के मामले में, दूसरी और चौथी शक्तियों के निरंतर रकम के लोकी सर्कल हैं, जबकि वर्ग के लिए, लोकी दूसरे, चौथी और छठी शक्तियों के निरंतर रकम के लिए सर्कल हैं।नियमित पेंटागन के लिए दूरी की आठवीं शक्तियों का निरंतर योग जोड़ा जाएगा और इसके बाद।

सर्कल को स्क्वायर करना

सर्कल को स्क्वायर करना समस्या है, जो प्राचीन जियोमेटरों द्वारा प्रस्तावित है, एक समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग के निर्माण के लिए एक दिए गए सर्कल के रूप में केवल एक परिमित संख्या का उपयोग करके कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ।

1882 में, यह कार्य असंभव साबित हुआ था, लिंडमैन -वेयरस्ट्रास प्रमेय के परिणामस्वरूप, जो कि पीआई को साबित करता है $π$ ) एक बीजीय तर्कहीन संख्या के बजाय एक पारलौकिक संख्या है;यही है, यह तर्कसंगत गुणांक के साथ किसी भी बहुपद की जड़ नहीं है।असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म उत्साही लोगों के लिए रुचि का है।

कला और प्रतीकवाद में महत्व

जल्द से जल्द ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्र के लोग, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के साथ, और शास्त्रीय पुरातनता के दौरान प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं - सर्कल का सीधे उपयोग किया गया है या कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में। हालांकि, विश्वदृष्टि (विश्वासों और संस्कृति) में अंतर कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपने लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य लोगों ने कॉस्मिक एकता की अवधारणा का प्रतीक करने के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, सर्कल मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है। सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंतता, पूर्णता, ब्रह्मांड, दिव्यता, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर में संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिस्किस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरोल, मंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म व्हील, ए इंद्रधनुष, मंडलों, गुलाब की खिड़कियां और आगे।^[19]

यह भी देखें

Affine Sphere
Apeirogon
सर्कल फिटिंग
एक सर्कल में उलटा
सर्कल विषयों की सूची
वृत्त
तीन बिंदु एक सर्कल निर्धारित करते हैं
कुल्हाड़ियों का अनुवाद

विशेष रूप से नामित सर्कल

अपोलोनियन सर्कल
आर्किमेडियन सर्कल
आर्किमिडीज ट्विन सर्कल
बैंकऑफ सर्कल
कार्लाइल सर्कल
क्रोमेटिक सर्कल
एंटीसिमिलिट्यूड का चक्र
फोर्ड सर्कल
जियोडेसिक सर्कल
जॉनसन सर्कल
शोक सर्कल
वू सर्कल

एक त्रिभुज का ==== ====

एक्साइकर्स के अपोलोनियस सर्कल
ब्रोकार्ड सर्कल
Excircle
Incircle
लेमोइन सर्कल
लेस्टर सर्कल
मालफट्टी सर्कल
मंडार्ट सर्कल
नौ-बिंदु सर्कल
Orthocentroidal सर्कल
पैरी सर्कल
ध्रुवीय सर्कल (ज्यामिति)
स्पाइकर सर्कल
वैन लामोएन सर्कल

कुछ चतुर्भुज का

एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के आठ-बिंदु सर्कल

एक शंकु खंड का =

निर्देशक सर्कल
डायरेक्ट्रिक्स सर्कल

एक टोरस का ==== =====

विल्को सर्कल

संदर्भ

↑ Template:OL
↑ Gamelin, Theodore (1999). Introduction to topology. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 0486406806.
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अग्रिम पठन

Pedoe, Dan (1988). Geometry: a comprehensive course. Dover. ISBN 9780486658124.
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बाहरी संबंध

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"Munching on Circles". cut-the-knot

[1] Template:OL

[gamelin-2] Gamelin, Theodore (1999). Introduction to topology. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 0486406806.

[3] rikos Archived 2013-11-06 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[4] Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)

[5] roclus, द सिक्स बुक्स ऑफ प्रोक्लस, प्लेटोनिक उत्तराधिकारी, प्लेटो के धर्मशास्त्र पर Archived 2017-01-23 at the Wayback Machine Tr।थॉमस टेलर (1816) वॉल्यूम।2, ch।2, प्लेटो का

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[8] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, p. 108, ISBN 978-0-321-01618-8

[9] Posamentier and Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.

[10] College Mathematics Journal 29(4), September 1998, p. 331, problem 635.

[11] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007.

[12] Harkness, James (1898). "Introduction to the theory of analytic functions". Nature. 59 (1530): 30. Bibcode:1899Natur..59..386B. doi:10.1038/059386a0. S2CID 4030420. Archived from the original on 2008-10-07.

[13] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007 (orig. 1952).

[14] Incircle – from Wolfram MathWorld Archived 2012-01-21 at the Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Retrieved on 2012-05-03.

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[17] Apostol, Tom; Mnatsakanian, Mamikon (2003). "Sums of squares of distances in m-space". American Mathematical Monthly. 110 (6): 516–526. doi:10.1080/00029890.2003.11919989. S2CID 12641658.

[Mamuka-18] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340.

[19] Abdullahi, Yahya (October 29, 2019). "The Circle from East to West". In Charnier, Jean-François (ed.). The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art. Rizzoli International Publications, Incorporated. ISBN 9782370741004.

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 |name       = Circle
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-|caption    = A circle (black), which is measured by its circumference (''C''), diameter (''D'') in blue, and radius (''R'') in red; its centre (''O'') is in green.
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 {सामान्य ज्यामिति}}
-एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,<!--यह लेख ब्रिटिश अंग्रेजी का उपयोग करते हुए लिखा गया है - देखें WP:ENGVAR, विकिपीडिया लेख मूल संस्करण के साथ रहना चाहिए 'केंद्र' अमेरिकी अंग्रेजी वर्तनी है -->केंद्र।<!--'केंद्र' के बारे में पहले टिप्पणी देखें-->समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त <math>r=0</math> पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।
+एक सर्कल एक विमान में सभी बिंदुओं से युक्त एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर है,<!--यह लेख ब्रिटिश अंग्रेजी का उपयोग करके लिखा गया है - देखें WP: Engvar, विकिपीडिया लेखों को मूल संस्करण 'केंद्र' के साथ रहना चाहिए। अमेरिकी अंग्रेजी वर्तनी है -->केंद्र।<!--'केंद्र' के बारे में पहले टिप्पणी देखें-->समान रूप से, यह एक बिंदु से बाहर निकलने वाला वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो।सर्कल और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या होने की आवश्यकता होती है।के साथ एक सर्कल <math>r=0</math> एक पतित मामला है।यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।
-विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।
+विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।रोजमर्रा के उपयोग में, शब्द सर्कल का उपयोग या तो आकृति की सीमा को संदर्भित करने के लिए या इसके इंटीरियर सहित पूरे आंकड़े को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है;सख्त तकनीकी उपयोग में, सर्कल केवल सीमा है और पूरे आंकड़े को डिस्क कहा जाता है।
-एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।
+एक सर्कल को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो foci संयोग हैं, सनकीता 0 है, और अर्ध-मेजर और अर्ध-खनिज कुल्हाड़ी समान हैं;या दो-आयामी आकृति प्रति यूनिट परिधि के सबसे अधिक क्षेत्र को घेरने के लिए, भिन्नताओं की पथरी का उपयोग करते हुए।
-{{TOC limit|3}}<!--TOC के छिपे होने पर लेआउट टूटने से बचने के लिए-->
+{{TOC limit|3}}<!--TOC छिपे होने पर लेआउट को तोड़ने से बचने के लिए-->
-==यूक्लिड की परिभाषा==
+== यूक्लिड की परिभाषा ==
 {{quotation|A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.|[[Euclid]], ''[[Euclid's Elements|Elements]]'', [[Euclid's Elements#Contents|Book I]]<ref>{{OL|7227282M}}</ref>{{rp|4}}}}
 == टोपोलॉजिकल परिभाषा ==
-टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R . के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है<sup>3</sup>अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।<ref name="gamelin">{{cite book | last = Gamelin | first = Theodore | title = Introduction to topology | url = https://archive.org/details/introductiontoto00game | url-access = registration | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y | year = 1999 | isbn = 0486406806 }}</ref>
+टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है।दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को आर के विरूपण के माध्यम से दूसरे में बदल दिया जा सकता है<sup>3</sup>खुद पर (एक परिवेशी आइसोटोपी के रूप में जाना जाता है)।<ref name="gamelin">{{cite book | last = Gamelin | first = Theodore | title = Introduction to topology | url = https://archive.org/details/introductiontoto00game | url-access = registration | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y | year = 1999 | isbn = 0486406806 }}</ref>
 == शब्दावली ==
-* एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
+* एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित सर्कल से बंधे क्षेत्र।
-* चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
+* चाप: एक सर्कल का कोई भी जुड़ा हुआ हिस्सा। एक आर्क और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो आर्क्स के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
-* केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
+* केंद्र: सर्कल पर सभी बिंदुओं से बिंदु समीकरण।
-* जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
+* कॉर्ड: एक लाइन सेगमेंट जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है, इस प्रकार एक सर्कल को दो खंडों में विभाजित करता है।
-* परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
+* परिधि: वृत्त के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
-* व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
+* व्यास: एक लाइन खंड जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या इस तरह के एक लाइन खंड की लंबाई। यह सर्कल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी है। यह एक कॉर्ड का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए सर्कल के लिए सबसे लंबा राग, और इसकी लंबाई एक त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है।
-* डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
+* डिस्क: एक सर्कल से बंधे विमान का क्षेत्र।
-* लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
+* लेंस: दो ओवरलैपिंग डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (चौराहा)।
-* पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
+* पासेंट: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसका सर्कल के साथ कोई मतलब नहीं है।
-*त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
+* RADIUS: एक लाइन सेगमेंट जो सर्कल के किसी भी एक बिंदु के साथ एक सर्कल के केंद्र में शामिल होता है; या इस तरह के एक खंड की लंबाई, जो एक व्यास की आधी (लंबाई) है।
-* सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
+* सेक्टर: एक सामान्य केंद्र के साथ समान लंबाई के दो रेडी से घिरा एक क्षेत्र और या तो दो संभावित आर्क्स में से, इस केंद्र और रेडी के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया गया है।
-* खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
+* खंड: एक कॉर्ड द्वारा बंधे एक क्षेत्र और कॉर्ड के समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले आर्क्स में से एक। कॉर्ड की लंबाई संभावित आर्क्स के व्यास पर एक कम सीमा थोपती है। कभी -कभी शब्द खंड का उपयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है, जिनमें सर्कल के केंद्र से युक्त नहीं होते हैं, जिनसे उनका चाप होता है।
-* सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
+* सेकंट: एक विस्तारित कॉर्ड, एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन, दो बिंदुओं में एक सर्कल को काटता है।
-* अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
+* अर्धवृत्त: एक व्यास के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित आर्क्स में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में ले जाता है। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब यह हो सकता है कि एक व्यास और इसके एक आर्क्स से बंधे दो आयामी क्षेत्र का इंटीरियर, जिसे तकनीकी रूप से एक आधा-डिस्क कहा जाता है। एक आधा-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
-* स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।
+* स्पर्शरेखा: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसमें एक सर्कल के साथ एक ही बिंदु होता है (इस बिंदु पर सर्कल को छूता है)।
-सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।
+सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुले के रूप में माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाओं से युक्त नहीं, या उनके संबंधित सीमाओं सहित बंद के रूप में।
 {{Clear}}
-{| शैली = फ्लोट: बाएं; सेलस्पेसिंग = 0 सेलपैडिंग = 0
+{| style="float:left;" cellspacing="0" cellpadding="0"
 |-
-|[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb|जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा, त्रिज्या और व्यास]]
+|[[Image:CIRCLE LINES.svg|right|thumb|Chord, secant, tangent, radius, and diameter]]
-|[[Image:Circle slices.svg|right|thumb|चाप, क्षेत्र, और खंड]]
+|[[Image:Circle slices.svg|right|thumb|Arc, sector, and segment]]
 |}
 {{Clear}}
-==इतिहास==
+== इतिहास ==
-[[Image:God the Geometer.jpg|thumb|right|200px|]]
+[[Image:God the Geometer.jpg|thumb|right|200px|13 वीं शताब्दी की पांडुलिपि में कम्पास ईश्वर के सृजन के कार्य का प्रतीक है।नोट भी प्रभामंडल के परिपत्र आकार।]]
-वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें।
+वर्ड सर्कल ग्रीक κίρ a/ύκκκκκκκλλος (Kirkos/Kuklos) से निकला है, जो स्वयं होमेरिक ग्रीक κρίκος (Krikros) के मेटथेसिस है, जिसका अर्थ है हूप या रिंग<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref> शब्द सर्कस और विकट की उत्पत्ति: सर्किट | सर्किट निकट से संबंधित हैं।
-सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।<ref>[http://www.perseus.touts.here/hopper/text?doc=Perseus%xAtext%xA1999.04.0057%xAentry%xDcri%2Fkos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |date=2013-11-06 }}, हेनरी जॉर्ज लिडेल, रॉबर्ट स्कॉट, ए ग्रीक-इंग्लिश लेक्सिकॉन, पर्सियस पर</ref>सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।
+[[Image:IlkhanateSilkCircular.jpg|left|thumb|200px|मंगोल छवि छवि के साथ रेशम का परिपत्र टुकड़ा: शटिर 500.jpg | सही | अंगूठे | 200px | एक पुराने अरबी खगोलीय ड्राइंग में हलकों।]]
-[[Image:IlkhanateSilkCircular.jpg|left|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।]]
+रिकॉर्ड किए गए इतिहास की शुरुआत से पहले सर्कल को जाना जाता है।प्राकृतिक घेरे देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूरज, और रेत पर हवा में एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक सर्कल आकार बनाता है।सर्कल पहिया के लिए आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी के अधिकांश को संभव बनाता है।गणित में, सर्कल के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और पथरी के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।
-r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।
-दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।
-प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।<ref>आर्थर कोएस्टलर, द स्लीपवॉकर्स: ए हिस्ट्री ऑफ़ मैन्स चेंजिंग विज़न ऑफ़ द यूनिवर्स (1959)</ref><ref>प्रोक्लस, [https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ द सिक्स बुक्स ऑफ़ प्रोक्लस, द प्लेटोनिक सक्सेसर, ऑन द थियोलॉजी ऑफ़ प्लेटो] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170123072440/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ |date=2017-01-23 }} ट्र. थॉमस टेलर (1816) वॉल्यूम। 2, चौ. 2, प्लेटो के</ref>
+प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए दिव्य से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि कुछ आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण था जो हलकों में पाया जा सकता था।<ref>[[Arthur Koestler]], ''[[The Sleepwalkers (Koestler book)|The Sleepwalkers]]: A History of Man's Changing Vision of the Universe'' (1959)</ref><Ref> proclus, [https://books.google.com/books?id=e1hyaaaaamaaj द सिक्स बुक्स ऑफ प्रोक्लस, प्लेटोनिक उत्तराधिकारी, प्लेटो के धर्मशास्त्र पर] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170123072440/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ |date=2017-01-23 }} Tr।थॉमस टेलर (1816) वॉल्यूम।2, ch।2, प्लेटो का</ref>
 सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:
-* 1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है {{sfrac|256|81}} (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप में{{pi}}.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html#1700BC कालक्रम 30000 ईसा पूर्व से 500 ईसा पूर्व तक] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080322085509/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html |date=2008-03-22 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>
+* 1700 ईसा पूर्व - Rhind papyrus एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है।परिणाम मेल खाता है {{sfrac|256|81}} (3.16049 ...) के अनुमानित मूल्य के रूप में{{pi}}.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html#1700BC Chronology for 30000 BC to 500 BC] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080322085509/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html |date=2008-03-22 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>
-[[Image:Toghrol Tower looking up.jpg|left|thumb|200px|अंदर से तुगरुल टावर]]
+[[Image:Toghrol Tower looking up.jpg|left|thumb|200px|[अंदर से तुगरुल टॉवर]]
-* 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
+* 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व हलकों के गुणों से संबंधित हैं।
-* प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
+* प्लेटो के सातवें पत्र में सर्कल की एक विस्तृत परिभाषा और स्पष्टीकरण है।प्लेटो सही सर्कल की व्याख्या करता है, और यह किसी भी ड्राइंग, शब्दों, परिभाषा या स्पष्टीकरण से अलग कैसे है।
-* 1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि {{pi}} पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html वृत्त को चुकता करना] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080624144640/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html |date=2008-06-24 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>{{Clear}}
+* 1880 सीई - लिंडमैन साबित करता है {{pi}} पारलौकिक है, प्रभावी रूप से सर्कल को स्क्वायर करने की सहस्राब्दी-पुरानी समस्या को सुलझा रहा है।<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html Squaring the circle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080624144640/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html |date=2008-06-24 }}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>{{साफ़}}
-==विश्लेषणात्मक परिणाम==
+== विश्लेषणात्मक परिणाम ==
-===परिधि ===
+=== परिधि ===
 {{main|Circumference}}
-एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है {{pi}} (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
+इसके व्यास के लिए एक सर्कल की परिधि का अनुपात है {{pi}} (पीआई), एक तर्कहीन स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर है।इस प्रकार परिधि c त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
 :<math>C = 2\pi r = \pi d.\,</math>
-=== संलग्न क्षेत्र ===
+=== क्षेत्र संलग्न ===
-[[Image:Circle Area.svg|thumb|वृत्त से घिरा क्षेत्रफल = {{pi}} × छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल]]
+[[Image:Circle Area.svg|thumb|एक सर्कल द्वारा संलग्न है = {{pi}} × छायांकित वर्ग का क्षेत्र]]
 {{Main article|Area of a circle}}
-जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108}}</ref>जो आता है {{pi}} त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:
+जैसा कि आर्किमिडीज द्वारा साबित किया गया है, एक सर्कल के माप में, एक सर्कल द्वारा संलग्न क्षेत्र एक त्रिभुज के बराबर होता है जिसका आधार सर्कल की परिधि की लंबाई है और जिसकी ऊंचाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर है,<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108}}</ref> जो आता है {{pi}} त्रिज्या वर्ग द्वारा गुणा:
 :<math>\mathrm{Area} = \pi r^2.\,</math>
-समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,
+समान रूप से, डी द्वारा व्यास को दर्शाते हुए,
 :<math>\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,</math>
-यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।
+अर्थात्, लगभग 79% परिधीय वर्ग वर्ग (जिसका पक्ष लंबाई डी का है)।
-वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।
+सर्कल एक दिए गए आर्क लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्र को घेरने वाला विमान वक्र है।यह सर्कल को एक समस्या से संबंधित है, जो कि विविधता की गणना में है, अर्थात् isoperimetric असमानता।
 === समीकरण ===
-==== कार्तीय निर्देशांक ====
+==== कार्टेशियन निर्देशांक ====
-[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|त्रिज्या का वृत्त r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)]]
+[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|त्रिज्या r & nbsp; = & nbsp; 1, केंद्र (a, & nbsp; b) = & nbsp; (1.2, & nbsp; −0.5)]]
-;एक वृत्त का समीकरण
+, एक सर्कल का समीकरण
-एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि
+एक एक्स -वाई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (ए, बी) और त्रिज्या आर के साथ सर्कल सभी बिंदुओं (एक्स, वाई) का सेट है
 : <math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.</math>
-वृत्त के समीकरण के रूप में जाना जाने वाला यह समीकरण, वृत्त के किसी भी बिंदु पर लागू पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी अन्य भुजाएँ लंबाई की हैं |x -ए| और |y - b|। यदि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण सरल हो जाता है
+यह समीकरण, जिसे सर्कल के समीकरण के रूप में जाना जाता है, पाइथागोरियन प्रमेय से सर्कल पर किसी भी बिंदु पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक दाएं-कोण त्रिकोण का सम्मोहन है, जिसके अन्य पक्ष लंबाई के हैं।- ए |और | y - b |यदि सर्कल मूल (0, & nbsp; 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण को सरल बनाता है
 : <math>x^2 + y^2 = r^2.</math>
-;पैरामीट्रिक फॉर्म
+; पैरामीट्रिक फॉर्म
-समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:
+समीकरण को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन और कोसाइन के रूप में पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है
 : <math>x = a + r\,\cos t,</math>
 : <math>y = b + r\,\sin t,</math>
-जहाँ t 0 से 2 . की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर है{{pi}}, ज्यामितीय रूप से उस कोण के रूप में व्याख्या की जाती है जिसे किरण (a, b) से (x, y) तक धनात्मक x अक्ष के साथ बनाती है।
+जहां t 0 से 2 की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर है{{pi}}, ज्यामितीय रूप से कोण के रूप में व्याख्या की गई है कि किरण से (a, & nbsp; b) से (x, & nbsp; y) सकारात्मक x & nbsp; अक्ष के साथ बनाता है।
-वृत्त का एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन है
+सर्कल का एक वैकल्पिक पैरामीटर है
 : <math>x = a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
 : <math>y = b + r \frac{2t}{1 + t^2}.</math>
-इस पैरामीटरकरण में, t से r के अनुपात को ज्यामितीय रूप से x अक्ष के समानांतर केंद्र से गुजरने वाली रेखा के स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)। हालाँकि, यह पैरामीटरकरण केवल तभी काम करता है जब t को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत पर एक बिंदु तक परास के लिए बनाया जाता है; अन्यथा, वृत्त के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।
+इस पैरामीटर में, टी से आर के अनुपात को ज्यामितीय रूप से एक्स & एनबीएसपी के समानांतर केंद्र के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के स्टीरिगोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; अक्ष (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)।हालांकि, यह पैरामीटर केवल तभी काम करता है जब टी को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत के एक बिंदु पर भी बनाया जाता है;अन्यथा, सर्कल के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।
-;3-बिंदु प्रपत्र
+; 3-बिंदु रूप
-तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित वृत्त का समीकरण <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math> नॉट ऑन ए लाइन वृत्त समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण से प्राप्त होता है:
+तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित सर्कल का समीकरण <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math> एक लाइन पर नहीं एक सर्कल समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है:
 : <math>\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}
               {({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\color{green}x} - x_1)} =
          \frac{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_3 - y_2)}
               {(y_3 - y_1)(x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)(x_3 - x_1)}.</math>
-सजातीय रूप
+; सजातीय रूप
-सजातीय निर्देशांक में, वृत्त के समीकरण वाले प्रत्येक शंकु खंड का रूप होता है
+सजातीय निर्देशांक में, एक सर्कल के समीकरण के साथ प्रत्येक शंकु वर्ग का रूप है
 : <math>x^2 + y^2 - 2axz - 2byz + cz^2 = 0.</math>
-यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक शंकु खंड एक वृत्त होता है, जब इसमें बिंदु I(1: i: 0) और J(1: −i: 0) होते हैं (जब जटिल प्रक्षेप्य तल तक बढ़ाया जाता है)। इन बिंदुओं को अनंत पर वृत्ताकार बिंदु कहा जाता है।
+यह साबित किया जा सकता है कि एक शंकुधारी अनुभाग एक सर्कल है जब इसमें शामिल होता है (जब जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन तक विस्तारित होता है) अंक I (1: i: 0) और j (1: & nbsp; −i: & nbsp; 0)।इन बिंदुओं को अनंत पर परिपत्र अंक कहा जाता है।
 ==== ध्रुवीय निर्देशांक ====
-ध्रुवीय निर्देशांक में, एक वृत्त का समीकरण होता है
+ध्रुवीय निर्देशांक में, एक सर्कल का समीकरण है
 : <math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2,</math>
-जहाँ a वृत्त की त्रिज्या है, <math>(r, \theta)</math> वृत्त पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और <math>(r_0, \phi)</math> वृत्त के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (अर्थात, r<sub>0</sub> is the distance from the origin to the centre of the circle, and ''φ'' is the anticlockwise angle from the positive ''x''&nbsp;axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e. {{nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, this reduces to simply {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''}}. When {{nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} a}}, या जब मूल वृत्त पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है
+जहां एक सर्कल का त्रिज्या है, <math>(r, \theta)</math> सर्कल पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और <math>(r_0, \phi)</math> सर्कल के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (यानी, आर<sub>0</sub> is the distance from the origin to the centre of the circle, and ''φ'' is the anticlockwise angle from the positive ''x''&nbsp;axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e. {{nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, this reduces to simply {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''}}. When {{nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} a}}, या जब मूल सर्कल पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है
 : <math>r = 2 a\cos(\theta - \phi).</math>
-सामान्य स्थिति में, समीकरण को r के लिए हल किया जा सकता है, जिससे
+सामान्य मामले में, समीकरण को आर के लिए हल किया जा सकता है, देते हुए
 : <math>r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \phi)}.</math>
-ध्यान दें कि ± चिह्न के बिना, समीकरण कुछ मामलों में केवल आधे वृत्त का वर्णन करेगा।
+ध्यान दें कि, चिन्ह के बिना, समीकरण कुछ मामलों में केवल आधा सर्कल का वर्णन करेगा।
-====जटिल विमान ====
+==== जटिल विमान =====
-सम्मिश्र तल में, एक वृत्त जिसका केंद्र c और त्रिज्या r है, का समीकरण है
+जटिल विमान में, C और RADIUS R के केंद्र के साथ एक सर्कल में समीकरण होता है
 : <math>|z - c| = r.</math>
-पैरामीट्रिक रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+पैरामीट्रिक रूप में, इसे के रूप में लिखा जा सकता है
 : <math>z = re^{it} + c.</math>
 थोड़ा सामान्यीकृत समीकरण
 : <math>pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q</math>
-वास्तविक p, q और सम्मिश्र g के लिए कभी-कभी एक सामान्यीकृत वृत्त कहा जाता है। यह एक वृत्त के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है <math>p = 1,\ g = -\overline{c},\ q = r^2 - |c|^2</math>, जबसे <math>|z - c|^2 = z\overline{z} - \overline{c}z - c\overline{z} + c\overline{c}</math>. सभी सामान्यीकृत वृत्त वास्तव में वृत्त नहीं होते हैं: एक सामान्यीकृत वृत्त या तो एक (सत्य) वृत्त या एक रेखा होता है।
+वास्तविक पी के लिए, क्यू और कॉम्प्लेक्स जी को कभी -कभी एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह एक सर्कल के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है <math>p = 1,\ g = -\overline{c},\ q = r^2 - |c|^2</math>, जबसे <math>|z - c|^2 = z\overline{z} - \overline{c}z - c\overline{z} + c\overline{c}</math>।सभी सामान्यीकृत सर्कल वास्तव में सर्कल नहीं हैं: एक सामान्यीकृत सर्कल या तो एक (सच) सर्कल या एक लाइन है।
-=== स्पर्श रेखाएं ===
+=== स्पर्शरेखा रेखाएँ ===
 {{Main article|Tangent lines to circles}}
-वृत्त पर एक बिंदु P से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा, P से जाने वाले व्यास के लंबवत होती है। यदि {{nowrap|P {{=}} (एक्स<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} and the circle has centre (''a'', ''b'') and radius ''r'', then the tangent line is perpendicular to the line from (''a'', ''b'') to (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), so it has the form {{nowrap|(''x''<sub>1</sub> − ''a'')''x'' + (''y''<sub>1</sub> – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}}. Evaluating at (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub> c का मान निर्धारित करता है, और परिणाम यह है कि स्पर्शरेखा का समीकरण है
+सर्कल पर एक बिंदु P के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा पी के माध्यम से गुजरने वाले व्यास के लंबवत है {{nowrap|P {{=}} (एक्स<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} and the circle has centre (''a'', ''b'') and radius ''r'', then the tangent line is perpendicular to the line from (''a'', ''b'') to (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), so it has the form {{nowrap|(''x''<sub>1</sub> − ''a'')''x'' + (''y''<sub>1</sub> – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}}. Evaluating at (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub> सी के मूल्य को निर्धारित करता है, और परिणाम यह है कि स्पर्शरेखा का समीकरण है
 : <math>(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = (x_1 - a)x_1 + (y_1 - b)y_1,</math>
 या
 : <math>(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2.</math>
-यदि {{nowrap|''y''<sub>1</sub> ≠ ''b''}}, तो इस रेखा का ढाल है
+यदि {{nowrap|''y''<sub>1</sub> ≠ ''b''}}, फिर इस लाइन का ढलान है
 : <math>\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}.</math>
-यह निहित भेदभाव का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।
+यह अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।
-जब वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर होता है, तो स्पर्श रेखा का समीकरण बन जाता है
+जब सर्कल का केंद्र मूल में होता है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण हो जाता है
 : <math>x_1 x + y_1 y = r^2,</math>
-और इसका ढाल है
+और इसकी ढलान है
 : <math>\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.</math>
 == गुण ==
-* वृत्त एक दी गई परिधि की लंबाई के लिए सबसे बड़े क्षेत्रफल वाला आकार है (आइसोपेरिमेट्रिक असमानता देखें)।
+* सर्कल परिधि की दी गई लंबाई के लिए सबसे बड़े क्षेत्र के साथ आकार है (देखें isoperimetric असमानता)।
-* सर्कल एक अत्यधिक सममित आकार है: केंद्र के माध्यम से प्रत्येक रेखा प्रतिबिंब समरूपता की एक रेखा बनाती है, और इसमें प्रत्येक कोण के लिए केंद्र के चारों ओर घूर्णन समरूपता होती है। इसका समरूपता समूह ओर्थोगोनल समूह O(2,R) है। अकेले घूमने का समूह वृत्त समूह 'T' है।
+* सर्कल एक अत्यधिक सममित आकार है: केंद्र के माध्यम से हर पंक्ति प्रतिबिंब समरूपता की एक पंक्ति बनाती है, और इसमें प्रत्येक कोण के लिए केंद्र के चारों ओर घूर्णी समरूपता होती है।इसका समरूपता समूह ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ (2, आर) है।अकेले घुमाव का समूह सर्कल समूह 'टी' है।
 * सभी मंडल समान हैं।
-** एक वृत्त की परिधि और त्रिज्या समानुपाती होती है।
+** एक सर्कल परिधि और त्रिज्या आनुपातिक हैं।
-** संलग्न क्षेत्र और इसकी त्रिज्या का वर्ग आनुपातिक हैं।
+** संलग्न क्षेत्र और इसके त्रिज्या का वर्ग आनुपातिक हैं।
-** आनुपातिकता के स्थिरांक 2 . हैं{{pi}} तथा {{pi}} क्रमश।
+** आनुपातिकता के स्थिरांक 2 हैं{{pi}} तथा {{pi}} क्रमश।
-* वह वृत्त जो मूल बिन्दु पर केन्द्रित होता है जिसकी त्रिज्या 1 होती है, इकाई वृत्त कहलाता है।
+* त्रिज्या 1 के साथ मूल में केंद्रित सर्कल को यूनिट सर्कल कहा जाता है।
-** इकाई क्षेत्र के एक महान वृत्त के रूप में माना जाता है, यह रीमैनियन सर्कल बन जाता है।
+** यूनिट क्षेत्र के एक महान चक्र के रूप में सोचा, यह रीमैनियन सर्कल बन जाता है।
-* किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर, सभी एक ही रेखा पर नहीं, एक अद्वितीय वृत्त होता है। कार्तीय निर्देशांक में, दिए गए तीन बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक के लिए स्पष्ट सूत्र देना संभव है। वृत्ताकार देखें।
+* किसी भी तीन बिंदुओं के माध्यम से, सभी एक ही पंक्ति पर नहीं, एक अद्वितीय सर्कल है।कार्टेशियन निर्देशांक में, तीन दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में सर्कल के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक के लिए स्पष्ट सूत्र देना संभव है।खतना देखें।
-=== तार ===
+=== कॉर्ड ===
-* जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होती हैं यदि और केवल यदि वे लंबाई में बराबर हों।
+* Chords एक सर्कल के केंद्र से समान हैं यदि और केवल अगर वे लंबाई में बराबर हैं।
-* एक जीवा का लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है; लंबवत द्विभाजक की विशिष्टता से उत्पन्न समकक्ष कथन हैं:
+* एक कॉर्ड का लंबवत द्विभाजक एक सर्कल के केंद्र से होकर गुजरता है; लंबवत द्विभाजक की विशिष्टता से उपजी समकक्ष बयान हैं:
-** वृत्त के केंद्र से एक लंब रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।
+** एक सर्कल के केंद्र से एक लंबवत रेखा कॉर्ड को काटती है।
-** केंद्र के माध्यम से एक जीवा को समद्विभाजित करने वाला रेखा खंड जीवा पर लंबवत होता है।
+** एक कॉर्ड को काटने वाले केंद्र के माध्यम से लाइन खंड कॉर्ड के लंबवत है।
-* यदि एक वृत्त का एक केंद्रीय कोण और एक खुदा हुआ कोण एक ही जीवा द्वारा और जीवा के एक ही तरफ अंतरित किया जाता है, तो केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है।
+* यदि एक केंद्रीय कोण और एक सर्कल का एक खुदा हुआ कोण एक ही कॉर्ड द्वारा और कॉर्ड के एक ही तरफ घटाया जाता है, तो केंद्रीय कोण दो बार अंकित कोण है।
-* यदि एक ही जीवा पर और जीवा के एक ही तरफ दो कोण खुदे हों, तो वे बराबर होते हैं।
+* यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के एक ही तरफ अंकित किया जाता है, तो वे समान हैं।
-* यदि दो कोण एक ही जीवा पर और जीवा की सम्मुख भुजाओं पर अंकित हों, तो वे संपूरक होते हैं।
+* यदि दो कोणों को एक ही कॉर्ड पर और कॉर्ड के विपरीत किनारों पर अंकित किया जाता है, तो वे पूरक हैं।
-** चक्रीय चतुर्भुज के लिए, बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोण के बराबर होता है।
+** एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोण के बराबर है।
-* व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है (थेल्स प्रमेय देखें)।
+* एक व्यास द्वारा घटाया एक खुदा हुआ कोण एक समकोण है (देखें थेल्स 'प्रमेय)।
-* व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा है।
+* व्यास सर्कल का सबसे लंबा राग है।
-** उन सभी वृत्तों में जिनमें जीवा AB समान है, न्यूनतम त्रिज्या वाला वृत्त व्यास AB वाला वृत्त है।
+** आम तौर पर एक कॉर्ड एब के साथ सभी हलकों में, न्यूनतम त्रिज्या वाला सर्कल व्यास एबी के साथ एक है।
-* यदि किन्हीं दो जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''ab'' {{=}} सीडी}}.
+* यदि किसी भी दो कॉर्ड्स का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई ए और बी में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई सी और डी में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''ab'' {{=}} सीडी}}।
-* यदि किन्हीं दो लंबवत जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>पोसामेंटियर और साल्किंड, ज्यामिति में चुनौतीपूर्ण समस्याएँ, डोवर, दूसरा संस्करण, 1996: पीपी. 104–105, #4–23।</ref>* किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली अन्य दो जीवाओं के बराबर होता है और 8r द्वारा दिया जाता है<sup>2</sup> − 4''p''<sup>2</sup> जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, और p केंद्र बिंदु से प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी है।<ref>कॉलेज गणित जर्नल 29(4), सितम्बर 1998, पृ. 331, समस्या 635।</ref>* वृत्त पर एक बिंदु से किसी दिए गए जीवा की दूरी वृत्त के व्यास के गुणा के बराबर होती है, उस बिंदु से जीवा के सिरों तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होती है।<ref>जॉनसन, रोजर ए., एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिक., 2007.</ref>{{rp|p.71}}
+* यदि किसी भी दो लंबवत chords का चौराहा एक कॉर्ड को लंबाई A और B में विभाजित करता है और दूसरे कॉर्ड को लंबाई C और D में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर होता है।<ref>Posamentier and Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref>
+* किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर किसी भी दो chords की चुकता लंबाई का योग एक ही बिंदु पर किसी भी अन्य दो लंबवत chords के समान होता है और 8r द्वारा दिया जाता है।<sup>2</sup> − 4''p''<sup>2</sup> जहां आर सर्कल त्रिज्या है, और पी केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है।<ref>''[[College Mathematics Journal]]'' 29(4), September 1998, p. 331, problem 635.</ref>
+* सर्कल पर एक बिंदु से किसी दिए गए कॉर्ड समय तक की दूरी सर्कल का व्यास बिंदु से लेकर कॉर्ड के सिरों तक की दूरी के उत्पाद के बराबर होती है।<ref>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{Rp | p.71}}}
 === स्पर्शरेखा ===
-* वृत्त पर स्थित त्रिज्या के अंतिम बिंदु से होकर त्रिज्या पर लंबवत खींची गई रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
+* सर्कल पर पड़े त्रिज्या के अंत बिंदु के माध्यम से एक त्रिज्या के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा सर्कल के लिए एक स्पर्शरेखा है।
-* वृत्त के संपर्क बिंदु से स्पर्श रेखा पर लंबवत खींची गई रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
+* एक सर्कल के केंद्र के माध्यम से गुजरती एक सर्कल के साथ संपर्क के बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा के लिए लंबवत खींची गई एक रेखा।
-* वृत्त के बाहर किसी भी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हमेशा खींची जा सकती हैं, और ये स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
+* दो स्पर्शरेखाओं को हमेशा सर्कल के बाहर किसी भी बिंदु से एक सर्कल में खींचा जा सकता है, और ये स्पर्शरेखा लंबाई में समान हैं।
-* यदि A पर एक स्पर्श रेखा और B पर एक स्पर्शरेखा बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाते हुए कोण BOA और BPA संपूरक होते हैं।
+* यदि एक पर एक स्पर्शरेखा और बाहरी बिंदु P पर B प्रतिच्छेदन पर एक स्पर्शरेखा, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाता है, कोण ∠BOA और ∠BPA पूरक हैं।
-* यदि AD वृत्त की A पर स्पर्श रेखा है और यदि AQ वृत्त की जीवा है, तो {{nowrap|∠''DAQ'' {{=}} {{sfrac|1|2}}चाप (एक्यू)}}।
+* यदि AD A पर सर्कल के लिए स्पर्शरेखा है और यदि AQ सर्कल का एक कॉर्ड है, तो {{nowrap|∠''DAQ'' {{=}} {{sfrac|1|2}}आर्क (aq)}}।
 === प्रमेय ===
-[[Image:Secant-Secant Theorem.svg|thumb|right|सेकेंट–सेकेन्ट प्रमेय]]
+[[Image:Secant-Secant Theorem.svg|thumb|right|एकांत -असंगत प्रमेय]]
 {{See also|Power of a point}}
-* जीवा प्रमेय कहता है कि यदि दो जीवाएँ, CD और EB, A पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो {{nowrap|''AC'' × ''AD'' {{=}} एबी × एई}}।
+* कॉर्ड प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो कॉर्ड, सीडी और ईबी, एक पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो {{nowrap|''AC'' × ''AD'' {{=}} Ab × ae}}।
-* यदि दो छेदक, AE और AD, भी वृत्त को क्रमशः B और C पर काटते हैं, तो {{nowrap|''AC'' × ''AD'' {{=}} AB × AE}} (जीवा प्रमेय का उपफल)।
+* यदि दो सेकेंट्स, एई और एडी, भी क्रमशः बी और सी पर सर्कल को काटते हैं, तो {{nowrap|''AC'' × ''AD'' {{=}} Ab × ae}} (कॉर्ड प्रमेय का कोरोलरी)।
-*  {एंकर|टेंजेंट-सेकेंट प्रमेय}}एक स्पर्शरेखा को एक छेदक का सीमित मामला माना जा सकता है जिसके सिरे संपाती हों। यदि बाहरी बिंदु A से स्पर्श रेखा F पर वृत्त से मिलती है और बाहरी बिंदु A से एक छेदक क्रमशः C और D पर वृत्त से मिलता है, तो {{nowrap|''AF''<sup>2</sup> {{=}} AC × AD}} (स्पर्शरेखा-पृथक प्रमेय)।
+*  {एंकर | स्पर्शरेखा-धर्मनिरपेक्ष प्रमेय}} एक स्पर्शरेखा को एक सेकेंड का एक सीमित मामला माना जा सकता है जिसके छोर संयोग हैं।यदि किसी बाहरी बिंदु से एक स्पर्शरेखा f पर सर्कल से मिलता है और बाहरी बिंदु से एक सेकंड क्रमशः C और D पर सर्कल से मिलता है, तो {{nowrap|''AF''<sup>2</sup> {{=}} AC × AD}} (स्पर्शरेखा -असंगत प्रमेय)।
-* एक जीवा और उसके किसी एक अंतिम बिंदु पर स्पर्श रेखा के बीच का कोण, वृत्त के केंद्र पर जीवा के विपरीत दिशा (स्पर्शरेखा जीवा कोण) पर अंतरित कोण के आधे के बराबर होता है।
+* इसके समापन बिंदुओं में से एक कॉर्ड और स्पर्शरेखा के बीच का कोण, कॉर्ड के विपरीत दिशा में, सर्कल के केंद्र में एक आधे कोण के बराबर है (स्पर्शरेखा कॉर्ड कोण)।
-* यदि जीवा द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण 90° है, तो  {अब्रैप|ℓ {{=}} r √2}}, जहां जीवा की लंबाई है, और r वृत्त की त्रिज्या है।
+* यदि केंद्र में कॉर्ड द्वारा घटाया गया कोण 90 ° है, तो  {Nowrap | ℓ {{=}} r} 2}}, जहां ℓ chord की लंबाई है, और r सर्कल का त्रिज्या है।
-* {{anchor|Secant-secant theorem}}यदि वृत्त में दायीं ओर दिखाए गए अनुसार दो छेदक अंकित हैं, तो कोण A की माप संलग्न चापों के मापों के अंतर के आधे के बराबर है (<math>\overset{\frown}{DE}</math> तथा <math>\overset{\frown}{BC}</math>) वह है, <math>2\angle{CAB} = \angle{DOE} - \angle{BOC}</math>, जहाँ O वृत्त का केंद्र है (सेकेन्ट-सेकेन्ट प्रमेय)।
+* {{anchor|Secant-secant theorem}}यदि दो सेकेंट्स को सर्कल में अंकित किया जाता है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, तो कोण A का माप संलग्न आर्क्स के माप के एक आधे के अंतर के बराबर है (<math>\overset{\frown}{DE}</math> तथा <math>\overset{\frown}{BC}</math>)।वह है, <math>2\angle{CAB} = \angle{DOE} - \angle{BOC}</math>, जहां ओ सर्कल का केंद्र है (सेकेंट -कट्टर प्रमेय)।
-=== खुदा हुआ कोण ===
+=== अंकित कोण ===
 {{See also|Inscribed angle theorem}}
-[[Image:inscribed angle theorem.svg|thumb|200px|right|उत्कीर्ण कोण प्रमेय]]
+[[Image:inscribed angle theorem.svg|thumb|200px|right|अंकित कोण प्रमेय]]
-एक खुदा हुआ कोण (उदाहरण चित्र में नीले और हरे रंग के कोण हैं) ठीक उसी केंद्रीय कोण (लाल) का आधा है। इसलिए, एक ही चाप (गुलाबी) को अंतरित करने वाले सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं। चाप (भूरा) पर अंकित कोण पूरक हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक खुदा हुआ कोण जो व्यास को घटाता है वह एक समकोण होता है (चूंकि केंद्रीय कोण 180° होता है)।
+एक उत्कीर्ण कोण (उदाहरण आकृति में नीले और हरे कोण हैं) ठीक आधा केंद्रीय कोण (लाल) है।इसलिए, सभी उत्कीर्ण कोण जो एक ही चाप (गुलाबी) को घटाते हैं, वे समान हैं।चाप (भूरे) पर अंकित कोण पूरक हैं।विशेष रूप से, प्रत्येक उत्कीर्ण कोण जो एक व्यास को घटाता है, एक समकोण है (चूंकि केंद्रीय कोण 180 ° है)।
 {{clear}}
-=== तीर
+===तीर ===
-[[Image:circle Sagitta.svg|thumb|277px|right|धनु ऊर्ध्वाधर खंड है।]]
+[[Image:circle Sagitta.svg|thumb|277px|right|वह धनु ऊर्ध्वाधर खंड है।]]
-धनु (जिसे छंद के रूप में भी जाना जाता है) एक रेखा खंड है जो उस जीवा के मध्य बिंदु और वृत्त के चाप के बीच एक जीवा के लंबवत खींचा जाता है।
+धनु (वर्सिन के रूप में भी जाना जाता है) एक लाइन खंड है जो उस कॉर्ड के मध्य बिंदु और सर्कल के आर्क के बीच एक कॉर्ड के लंबवत खींचा जाता है।
-एक जीवा की लंबाई y और धनु की लंबाई x को देखते हुए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग अद्वितीय वृत्त की त्रिज्या की गणना के लिए किया जा सकता है जो दो पंक्तियों के आसपास फिट होगा:
+एक कॉर्ड की लंबाई y और धनु की लंबाई x को देखते हुए, पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग अद्वितीय सर्कल के त्रिज्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो दो लाइनों के आसपास फिट होगा:
 : <math>r = \frac{y^2}{8x} + \frac{x}{2}.</math>
-इस परिणाम का एक और प्रमाण, जो ऊपर दिए गए केवल दो राग गुणों पर निर्भर करता है, इस प्रकार है। लंबाई y की एक जीवा और लंबाई x के धनु के साथ, चूंकि धनु जीवा के मध्य बिंदु को काटता है, हम जानते हैं कि यह वृत्त के व्यास का एक भाग है। चूँकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, व्यास का लुप्त भाग है ({{nowrap|2''r'' − ''x''}}) लंबाई में। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक जीवा का एक भाग दूसरे भाग से गुणा करता है, उसी उत्पाद के बराबर होता है जो एक जीवा के साथ पहली जीवा को प्रतिच्छेद करता है, हम पाते हैं कि ({{nowrap|2''r'' − ''x'')''x'' {{=}} (और / 2)<sup>2</sup>}}. r को हल करने पर हमें वांछित परिणाम प्राप्त होता है।
+इस परिणाम का एक और प्रमाण, जो केवल ऊपर दिए गए दो कॉर्ड गुणों पर निर्भर करता है, इस प्रकार है।लंबाई y और लंबाई x के धनु के साथ एक कॉर्ड को देखते हुए, चूंकि धनु कॉर्ड के मध्य बिंदु को प्रतिच्छेद करता है, हम जानते हैं कि यह सर्कल के व्यास का एक हिस्सा है।चूंकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, व्यास का लापता हिस्सा है ({{nowrap|2''r'' − ''x''}}) लंबाई में।इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक कॉर्ड बार का एक हिस्सा दूसरा भाग एक ही उत्पाद के बराबर होता है, जो पहले कॉर्ड को एक कॉर्ड के साथ लिया जाता है, हम पाते हैं कि{{nowrap|2''r'' − ''x'')''x'' {{=}} (y / 2)<sup>2</sup>}}।आर के लिए हल, हम आवश्यक परिणाम पाते हैं।
-==कम्पास और सीधा निर्माण ==
+== कम्पास और स्ट्रेटेज कंस्ट्रक्शन ==
-कई कंपास-और-सीधे निर्माण होते हैं जिसके परिणामस्वरूप मंडलियां होती हैं।
+कई कम्पास-एंड-स्ट्रेटडेज निर्माण हैं, जिसके परिणामस्वरूप सर्कल हैं।
-वृत्त का केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु दिया गया निर्माण सबसे सरल और सबसे बुनियादी है। कम्पास के स्थिर पैर को केंद्र बिंदु पर, चल पैर को वृत्त पर बिंदु पर रखें और कम्पास को घुमाएं।
+सबसे सरल और सबसे बुनियादी निर्माण सर्कल के केंद्र और सर्कल पर एक बिंदु दिया गया है।केंद्र बिंदु पर कम्पास के निश्चित पैर को, सर्कल पर बिंदु पर चल पैर और कम्पास को घुमाएं।
 === दिए गए व्यास के साथ निर्माण ===
-* मध्य बिंदु का निर्माण करें {{math|'''M'''}} व्यास का।
+* मिडपॉइंट का निर्माण करें {{math|'''M'''}} व्यास का।
-* केंद्र के साथ वृत्त का निर्माण करें {{math|'''M'''}} व्यास के किसी एक अंतिम बिंदु से गुजरते हुए (यह दूसरे समापन बिंदु से भी गुजरेगा)।
+* केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें {{math|'''M'''}} व्यास के समापन बिंदुओं में से एक से गुजरना (यह अन्य समापन बिंदु से भी गुजर जाएगा)।
-[[File:Circunferencia 10.svg|thumb|]]
-त्रिभुज (नीला) की भुजाओं के लंब समद्विभाजक (लाल) ज्ञात करके बिंदु A, B और C से होकर एक वृत्त का निर्माण करें। केंद्र को खोजने के लिए तीन में से केवल दो समद्विभाजक की आवश्यकता होती है।
+[[File:Circunferencia 10.svg|thumb|त्रिभुज (नीला) के किनारों के लंबवत द्विभाजक (छुटकारा) खोजकर अंक ए, बी और सी के माध्यम से एक सर्कल का निर्माण करें।केंद्र को खोजने के लिए तीन में से केवल दो द्विभाजकों की आवश्यकता होती है।]
-=== तीन असंरेखीय बिंदुओं के माध्यम से निर्माण ===
+=== तीन नॉनकोलिनियर पॉइंट्स के माध्यम से निर्माण ===
-*बिंदुओं को नाम दें {{math|'''P'''}}, {{math|'''Q'''}} तथा {{math|'''R'''}},
+* अंक का नाम बताइए {{math|'''P'''}}, {{math|'''Q'''}} तथा {{math|'''R'''}},
-* खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें {{math|{{overline|'''PQ'''}}}}.
+* खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें {{math|{{overline|'''PQ'''}}}}।
-* खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें {{math|{{overline|'''PR'''}}}}.
+* खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें {{math|{{overline|'''PR'''}}}}।
-* इन दो लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें {{math|'''M'''}}. (वे मिलते हैं क्योंकि बिंदु संरेख नहीं हैं)।
+* इन दो लंबवत द्विभाजकों के चौराहे के बिंदु को लेबल करें {{math|'''M'''}}।(वे मिलते हैं क्योंकि अंक कोलेनियर नहीं हैं)।
-* केंद्र के साथ वृत्त का निर्माण करें {{math|'''M'''}} किसी एक बिंदु से गुजरना {{math|'''P'''}}, {{math|'''Q'''}} या {{math|'''R'''}} (यह अन्य दो बिंदुओं से भी गुजरेगा)।
+* केंद्र के साथ सर्कल का निर्माण करें {{math|'''M'''}} बिंदुओं में से एक से गुजरना {{math|'''P'''}}, {{math|'''Q'''}} या {{math|'''R'''}} (यह अन्य दो बिंदुओं से भी गुजरेंगे)।
-== अपोलोनियस का चक्र ==
+== एपोलोनियस का चक्र ==
-<!--यह खंड क्षेत्र से दूसरों के बीच जुड़ा हुआ है-->
+<!--यह खंड दूसरों के बीच क्षेत्र से जुड़ा हुआ है-->
 {{see also|Circles of Apollonius}}
-[[Image:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|250px|left|d<sub>1</sub>/d<sub>2</sub>}} स्थिरांक]]
+[[Image:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|250px|left|पोलोनियस 'एक सर्कल की परिभाषा: {{NowRap | d <सब> 1 </sub>/d <सब> 2 </sub>}}} स्थिर]]
-'<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub>}} लगातार
+पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें दो निश्चित foci, ए और बी की दूरी के निरंतर अनुपात (1 के अलावा), ए और बी।<ref>{{cite journal|author=Harkness, James |title=Introduction to the theory of analytic functions |journal=Nature |volume=59 |issue=1530 |year=1898 |page=30 |url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081007134238/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |url-status=dead |archive-date=2008-10-07 |bibcode=1899Natur..59..386B |doi=10.1038/059386a0 |s2cid=4030420 }}</ref><रेफ> सी।स्टेनली ओगिल्वी | ओगिल्वी, सी। स्टेनली, ज्यामिति में भ्रमण, डोवर, 1969, 14-17।</ref>(उन बिंदुओं का सेट जहां दूरियां समान हैं, खंड एबी, एक लाइन के लंबवत द्विभाजक हैं।) उस सर्कल को कभी -कभी दो बिंदुओं के बारे में कहा जाता है।
-पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो निश्चित फोकस, ए और बी के लिए दूरी का एक स्थिर अनुपात (1 के अलावा अन्य) होता है।<ref>{{cite journal|author=Harkness, James |title=Introduction to the theory of analytic functions |journal=Nature |volume=59 |issue=1530 |year=1898 |page=30 |url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081007134238/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |url-status=dead |archive-date=2008-10-07 |bibcode=1899Natur..59..386B |doi=10.1038/059386a0 |s2cid=4030420 }}</ref><ref>सी. स्टेनली ओगिल्वी|ओगिल्वी, सी. स्टेनली, एक्सर्साइज़ इन ज्योमेट्री, डोवर, 1969, 14-17।</ref>(बिन्दुओं का समुच्चय जहाँ दूरियाँ समान हों, खंड AB का लम्ब समद्विभाजक है, एक रेखा।) उस वृत्त को कभी-कभी दो बिंदुओं के बारे में खींचा हुआ कहा जाता है।
-प्रमाण दो भागों में है। सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि दो फोकस ए और बी और दूरियों के अनुपात को देखते हुए, दूरी के अनुपात को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु पी एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए। मान लें कि C एक और बिंदु है, जो अनुपात को संतुष्ट करता है और खंड AB पर स्थित है। कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा रेखा खंड PC आंतरिक कोण APB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि खंड समान हैं:
+प्रमाण दो भागों में है।सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि, दो foci a और b और दूरी के अनुपात को देखते हुए, किसी भी बिंदु p को संतुष्ट करने वाले किसी भी स्थान पर एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए।चलो सी एक और बिंदु हो, अनुपात को संतुष्ट करना और खंड एबी पर झूठ बोलना।कोण द्विभाजक प्रमेय द्वारा लाइन सेगमेंट पीसी आंतरिक कोण एपीबी को द्विभाजित करेगा, क्योंकि सेगमेंट समान हैं:
 :<math>\frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.</math>
-समान रूप से, AB विस्तारित पर किसी बिंदु D के माध्यम से एक रेखा खंड PD, संगत बाहरी कोण BPQ को समद्विभाजित करता है, जहां Q AP पर विस्तारित होता है। चूँकि आंतरिक और बाह्य कोणों का योग 180 डिग्री है, कोण CPD ठीक 90 डिग्री है; यानी एक समकोण। बिंदु P का समुच्चय इस प्रकार है कि कोण CPD एक समकोण है, एक वृत्त बनाता है, जिसमें से CD एक व्यास है।
+अनुरूप रूप से, एबी पर कुछ बिंदु डी के माध्यम से एक लाइन सेगमेंट पीडी इसी बाहरी कोण बीपीक्यू को बढ़ाता है जहां क्यू एपी विस्तारित है।चूंकि आंतरिक और बाहरी कोण 180 डिग्री तक योग करते हैं, एंगल सीपीडी बिल्कुल 90 डिग्री है;वह है, एक समकोण।अंक p का सेट जैसे कि कोण CPD एक समकोण है जो एक सर्कल बनाता है, जिसमें से सीडी एक व्यास है।
-दूसरा, देखें<ref>अल्टशिलर-कोर्ट, नाथन, कॉलेज ज्योमेट्री, डोवर, 2007 (मूल 1952)।</ref>{{rp|p.15}} इस बात के प्रमाण के लिए कि संकेतित वृत्त का प्रत्येक बिंदु दिए गए अनुपात को संतुष्ट करता है।
+दूसरा, देखें<ref>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1952).</ref>{{rp | p.15}} इस प्रमाण के लिए कि संकेतित सर्कल पर हर बिंदु दिए गए अनुपात को संतुष्ट करता है।
-=== क्रॉस-अनुपात ===
+=== क्रॉस-रैटियोस ===
-मंडलियों की एक निकट संबंधी संपत्ति में जटिल विमान में बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की ज्यामिति शामिल होती है। यदि ए, बी, और सी ऊपर के रूप में हैं, तो इन तीन बिंदुओं के लिए अपोलोनियस का चक्र अंक पी का संग्रह है जिसके लिए क्रॉस-अनुपात का पूर्ण मूल्य एक के बराबर है:
+हलकों की एक निकट से संबंधित संपत्ति में जटिल विमान में बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की ज्यामिति शामिल है।यदि A, B, और C ऊपर के रूप में हैं, तो इन तीन बिंदुओं के लिए Apollonius का चक्र बिंदु P का संग्रह है, जिसके लिए क्रॉस-अनुपात का निरपेक्ष मूल्य एक के बराबर है:
 : <math>\big|[A, B; C, P]\big| = 1.</math>
-दूसरे तरीके से कहा गया है, P अपोलोनियस के वृत्त पर एक बिंदु है यदि और केवल यदि क्रॉस-अनुपात {{nobr|[''A'', ''B''; ''C'', ''P'']}} जटिल तल में इकाई वृत्त पर है।
+एक और तरीका है, पी अपोलोनियस के सर्कल पर एक बिंदु है यदि और केवल अगर क्रॉस-रैटियो {{nobr|[''A'', ''B''; ''C'', ''P'']}} जटिल विमान में यूनिट सर्कल पर है।
-==={{anchor|Generalized circles}} सामान्यीकृत मंडल ===
+==={{anchor|Generalized circles}} सामान्यीकृत सर्कल ===
 {{See also|Generalised circle}}
-यदि C खंड AB का मध्यबिंदु है, तो बिंदु P का संग्रह अपोलोनियस की स्थिति को संतुष्ट करता है
+यदि C सेगमेंट AB का मध्य बिंदु है, तो Apollonius स्थिति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का संग्रह P का संग्रह है
 :<math>\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}</math>{{pad|1em}}
-एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक रेखा है।
+एक सर्कल नहीं है, बल्कि एक लाइन है।
+इस प्रकार, यदि A, B, और C को विमान में अलग -अलग बिंदु दिए जाते हैं, तो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान को एक सामान्यीकृत सर्कल कहा जाता है।यह या तो एक सच्चा सर्कल या एक लाइन हो सकती है।इस अर्थ में एक रेखा अनंत त्रिज्या का एक सामान्यीकृत चक्र है।
-इस प्रकार, यदि A, B, और C को समतल में अलग-अलग बिंदु दिए गए हैं, तो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं P का स्थान सामान्यीकृत वृत्त कहलाता है। यह या तो एक वास्तविक वृत्त या एक रेखा हो सकती है। इस अर्थ में एक रेखा अनंत त्रिज्या का एक सामान्यीकृत वृत्त है।
+== अन्य आंकड़ों के बारे में या परिधि में शिलालेख ==
+प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय सर्कल, जिसे इंकिरल कहा जाता है, को इस तरह से अंकित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन पक्षों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html Incircle – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120121111333/http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html |date=2012-01-21 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Retrieved on 2012-05-03.</ref>
-== अन्य आंकड़ों के बारे में शिलालेख या परिधि ==
-प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय वृत्त, जिसे अंतःवृत्त कहा जाता है, को इस प्रकार अंकित किया जा सकता है कि वह त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की स्पर्शरेखा हो।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html इनसर्कल - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120121111333/http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html |date=2012-01-21 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26)। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>
-प्रत्येक त्रिभुज के बारे में एक अद्वितीय वृत्त, जिसे परिवृत्त कहा जाता है, को इस प्रकार परिबद्ध किया जा सकता है कि वह त्रिभुज के तीनों शीर्षों में से प्रत्येक से होकर जाए।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html सर्कमसर्कल - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120120120814/http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html |date=2012-01-20 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26)। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>
+हर त्रिभुज को एक अद्वितीय सर्कल, जिसे खतना कहा जाता है, को इस तरह से परिचालित किया जा सकता है कि यह त्रिभुज के तीन वर्टिस में से प्रत्येक से गुजरता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html Circumcircle – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120120120814/http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html |date=2012-01-20 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Retrieved on 2012-05-03.</ref>
-एक स्पर्शरेखा बहुभुज, जैसे कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज, कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके भीतर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के स्पर्शरेखा है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html टैंगेंशियल पॉलीगॉन - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130903051014/http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html |date=2013-09-03 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26)। 2012-05-03 को लिया गया।</ref>प्रत्येक नियमित बहुभुज और प्रत्येक त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।
-एक चक्रीय बहुभुज कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, जो प्रत्येक शीर्ष से होकर गुजरता है। एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण चक्रीय चतुर्भुज है। प्रत्येक नियमित बहुभुज और प्रत्येक त्रिभुज एक चक्रीय बहुभुज है। एक बहुभुज जो चक्रीय और स्पर्शरेखा दोनों है, द्विकेन्द्रीय बहुभुज कहलाता है।
+स्पर्शरेखा बहुभुज, जैसे कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज, कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके भीतर एक सर्कल को अंकित किया जा सकता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के लिए स्पर्शरेखा है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130903051014/http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html |date=2013-09-03 }}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Retrieved on 2012-05-03.</ref> हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।
-एक हाइपोसाइक्लोइड एक वक्र है जो किसी दिए गए सर्कल में एक छोटे सर्कल पर एक निश्चित बिंदु को ट्रेस करके अंकित किया जाता है जो दिए गए सर्कल के भीतर और स्पर्शरेखा पर लुढ़कता है।
+एक चक्रीय बहुभुज कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके बारे में एक सर्कल को परिचालित किया जा सकता है, प्रत्येक शीर्ष से गुजरता है।एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण चक्रीय चतुर्भुज है।हर नियमित बहुभुज और हर त्रिभुज एक चक्रीय बहुभुज है।एक बहुभुज जो कि चक्रीय और स्पर्शरेखा दोनों है, को एक बाइसेन्ट्रिक बहुभुज कहा जाता है।
+एक हाइपोसाइक्लॉइड एक वक्र है जो किसी दिए गए सर्कल में एक छोटे सर्कल पर एक निश्चित बिंदु को ट्रेस करके अंकित होता है जो दिए गए सर्कल के भीतर और स्पर्शरेखा के भीतर रोल करता है।
 == अन्य आंकड़ों का सीमित मामला ==
-सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
+सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के एक सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
-* एक कार्तीय अंडाकार बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की एक विलक्षणता होती है, जिसका अर्थ है कि दो केंद्र वृत्त के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
+* एक कार्टेशियन अंडाकार बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (FOCI) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिर है।एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें वजन समान है।एक सर्कल शून्य की विलक्षणता के साथ एक दीर्घवृत्त है, जिसका अर्थ है कि दो foci सर्कल के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।एक सर्कल एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला भी है जिसमें वजन में से एक शून्य है।
-* एक सुपरेलिप्स में फॉर्म का समीकरण होता है <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए। एक सुपरसर्कल है {{nowrap|''b'' {{=}} एक}}। एक वृत्त एक सुपरसर्कल का विशेष मामला है जिसमें {{nowrap|''n'' {{=}} 2}}.
+* एक सुपरलिप्स में फॉर्म का एक समीकरण होता है <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए।एक सुपरकिरल है {{nowrap|''b'' {{=}} एक}}।एक सर्कल एक सुपरकिरकल का विशेष मामला है जिसमें {{nowrap|''n'' {{=}} 2}}।
-* एक कैसिनी अंडाकार बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल एक स्थिर होता है। जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक वृत्त का परिणाम होता है।
+* एक कैसिनी ओवल ऐसे बिंदुओं का एक सेट है जैसे कि अपने किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का उत्पाद एक स्थिर है।जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक सर्कल का परिणाम होता है।
-* स्थिर चौड़ाई का वक्र एक ऐसी आकृति है जिसकी चौड़ाई, दो अलग-अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित होती है, प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को काटती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान होती है। वृत्त इस प्रकार की आकृति का सबसे सरल उदाहरण है।
+* निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक ऐसा आंकड़ा है, जिसकी चौड़ाई, दो अलग -अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित की जाती है, जो प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को प्रतिच्छेद करती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान है।सर्कल इस प्रकार के आंकड़े का सबसे सरल उदाहरण है।
-== अन्य पी-मानदंडों में ==
+== अन्य पी-नॉर्म्स == में
-[[Image:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|right|पी}})।]]
+[[Image:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|right|अलग-अलग {{गणित | p}} में यूनिट सर्कल (Superellipse भी देखें) की llustrations-मानदंड (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक की लंबाई है, लंबाई की गणना इसी {{गणित की लंबाई-औपचारु के साथ की जा रही है {गणित गणित| P}})।]]
-इकाई वृत्तों के s (सुपरइलिप्स भी देखें) भिन्न में {{math|''p''}}-मानदंड (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है {{math|''p''}})
+एक बिंदु से एक निश्चित दूरी के साथ बिंदुओं के सेट के रूप में एक सर्कल को परिभाषित करते हुए, अलग -अलग आकृतियों को दूरी की विभिन्न परिभाषाओं के तहत हलकों को माना जा सकता है।पी-नॉर्म में | पी-नॉर्म, दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है
-एक वृत्त को एक बिंदु से एक निश्चित दूरी वाले बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हुए, विभिन्न आकृतियों को दूरी की विभिन्न परिभाषाओं के तहत वृत्त माना जा सकता है। p-मानदंड|p-मानदंड में, दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है
 :<math> \left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p \right) ^{1/p} .</math>
-यूक्लिडियन ज्यामिति में, p = 2, परिचित दे रहा है
+यूक्लिडियन ज्यामिति में, पी = 2, परिचित देना
 :<math> \left\| x \right\| _2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } .</math>
-टैक्सीकैब ज्यामिति में, p = 1. टैक्सीकैब वृत्त ऐसे वर्ग होते हैं जिनकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों से 45° के कोण पर उन्मुख होती हैं। जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी <math>\sqrt{2}r</math> यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करते हुए, जहां r वृत्त की त्रिज्या है, टैक्सीकैब ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है। इस प्रकार, एक वृत्त की परिधि 8r है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय एनालॉग का मान to <math>\pi </math> इस ज्यामिति में 4 है। टैक्सीकैब ज्यामिति में इकाई वृत्त का सूत्र है <math>|x| + |y| = 1</math> कार्टेशियन निर्देशांक में और
+टैक्सी ज्यामिति में, पी = 1. टैक्सी मंडलियों को समन्वित अक्षों के लिए 45 ° कोण पर उन्मुख पक्षों के साथ वर्ग होते हैं।जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी <math>\sqrt{2}r</math> एक यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करना, जहां आर सर्कल की त्रिज्या है, टैक्सी ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है।इस प्रकार, एक सर्कल की परिधि 8r है।इस प्रकार, एक ज्यामितीय एनालॉग का मूल्य <math>\pi </math> इस ज्यामिति में 4 है।टैक्सी ज्यामिति में यूनिट सर्कल के लिए सूत्र है <math>|x| + |y| = 1</math> कार्टेशियन निर्देशांक में और
 :<math>r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}</math>
 ध्रुवीय निर्देशांक में।
-त्रिज्या 1 का एक चक्र (इस दूरी का उपयोग करके) इसके केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।
+त्रिज्या 1 का एक सर्कल (इस दूरी का उपयोग करके) अपने केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।
-चेबीशेव दूरी (L .) के लिए त्रिज्या r का एक वृत्त<sub>∞</sub> metric]]) on a plane is also a square with side length 2''r'' parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L<sub>1</sub> and L<sub>∞</sub>मेट्रिक्स उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होते हैं।
+Chebyshev दूरी (l) के लिए RADIUS R का एक सर्कल<sub>∞</sub> metric]]) on a plane is also a square with side length 2''r'' parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L<sub>1</sub> and L<sub>∞</sub>मैट्रिक्स उच्च आयामों को सामान्य नहीं करता है।
-==अचर योग का स्थान==
+== निरंतर योग का स्थान ==
-के परिमित समुच्चय पर विचार कीजिए <math>n</math> विमान में अंक। बिंदुओं का स्थान इस प्रकार है कि दिए गए बिंदुओं से दूरियों के वर्गों का योग स्थिर होता है, जिसका केंद्र दिए गए बिंदुओं के केंद्रक पर होता है।<ref>{{cite journal|author=Apostol, Tom|author2=Mnatsakanian, Mamikon|date=2003|title= Sums of squares of distances in m-space |journal= American Mathematical Monthly|volume=110|issue=6|pages=516–526|doi=10.1080/00029890.2003.11919989|s2cid=12641658}}</ref>दूरियों की उच्च शक्तियों के लिए एक सामान्यीकरण प्राप्त किया जाता है यदि <math>n</math> नियमित बहुभुज के शीर्षों को इंगित करता है <math>P_n</math> लिए गए हैं।<ref name=Mamuka>{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि का योग <math>(2m)</math>-दूरियों की शक्ति <math>d_i</math> परिधि के साथ दिए गए नियमित बहुभुज के शीर्षों तक <math>R</math> स्थिर है एक वृत्त है, यदि
+के एक परिमित सेट पर विचार करें <math>n</math> विमान में अंक।बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि दिए गए बिंदुओं के लिए दूरी के वर्गों का योग स्थिर है, एक सर्कल है, जिसका केंद्र दिए गए बिंदुओं के सेंट्रोइड पर है।<ref>{{cite journal|author=Apostol, Tom|author2=Mnatsakanian, Mamikon|date=2003|title= Sums of squares of distances in m-space |journal= American Mathematical Monthly|volume=110|issue=6|pages=516–526|doi=10.1080/00029890.2003.11919989|s2cid=12641658}}</ref>
+दूरी की उच्च शक्तियों के लिए एक सामान्यीकरण प्राप्त किया जाता है अगर के तहत प्राप्त किया जाता है <math>n</math> नियमित बहुभुज के कोने को इंगित करता है <math>P_n</math> लिए गए हैं।<ref name=Mamuka>{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref> बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि योग <math>(2m)</math>दूरियों की शक्ति <math>d_i</math> सर्कराडियस के साथ दिए गए नियमित बहुभुज के कोने के लिए <math>R</math> स्थिर है एक सर्कल है, अगर
-:<math>\sum_{i=1}^n d_i^{2m}> nR^{2m}</math>, कहाँ पे <math>m</math>=1,2,…, <math>n</math>-1;
+:<math>\sum_{i=1}^n d_i^{2m}> nR^{2m}</math>, कहाँ पे <math>m</math>= 1,2,…, <math>n</math>-1;
-जिसका केंद्र का केन्द्रक है <math>P_n</math>.
+जिसका केंद्र का केंद्र है <math>P_n</math>।
-समबाहु त्रिभुज के मामले में, दूसरी और चौथी शक्तियों के निरंतर योगों का स्थान वृत्त होता है, जबकि वर्ग के लिए, लोकी दूसरी, चौथी और छठी शक्तियों के निरंतर योग के लिए वृत्त होते हैं। नियमित पंचकोण के लिए दूरियों की आठवीं शक्तियों का निरंतर योग जोड़ा जाएगा और आगे भी।
+समबाहु त्रिभुज के मामले में, दूसरी और चौथी शक्तियों के निरंतर रकम के लोकी सर्कल हैं, जबकि वर्ग के लिए, लोकी दूसरे, चौथी और छठी शक्तियों के निरंतर रकम के लिए सर्कल हैं।नियमित पेंटागन के लिए दूरी की आठवीं शक्तियों का निरंतर योग जोड़ा जाएगा और इसके बाद।
-== वृत्त का वर्ग करना ==
+== सर्कल को स्क्वायर करना ==
 {{main|Squaring the circle}}
-वृत्त को चौकोर करना समस्या है, जो प्राचीन ज्यामिति द्वारा प्रस्तावित है, कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ केवल एक सीमित संख्या में चरणों का उपयोग करके दिए गए वृत्त के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण करना।
+सर्कल को स्क्वायर करना समस्या है, जो प्राचीन जियोमेटरों द्वारा प्रस्तावित है, एक समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग के निर्माण के लिए एक दिए गए सर्कल के रूप में केवल एक परिमित संख्या का उपयोग करके कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ।
-में, लिंडमैन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के परिणामस्वरूप, कार्य असंभव साबित हुआ, जो साबित करता है कि पाई ({{pi}}) एक बीजीय अपरिमेय संख्या के बजाय एक अनुवांशिक संख्या है; अर्थात् यह परिमेय गुणांक वाले किसी बहुपद का मूल नहीं है। असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म गणित के प्रति उत्साही लोगों के लिए रुचि का बना हुआ है।
+में, यह कार्य असंभव साबित हुआ था, लिंडमैन -वेयरस्ट्रास प्रमेय के परिणामस्वरूप, जो कि पीआई को साबित करता है{{pi}}) एक बीजीय तर्कहीन संख्या के बजाय एक पारलौकिक संख्या है;यही है, यह तर्कसंगत गुणांक के साथ किसी भी बहुपद की जड़ नहीं है।असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म उत्साही लोगों के लिए रुचि का है।
-==कला और प्रतीकवाद में महत्व ==
+== कला और प्रतीकवाद में महत्व ==
 {{seealso|Magic circle}}
-प्राचीनतम ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्रवासी, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के किनारे, और प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं से शास्त्रीय पुरातनता के दौरान - सर्कल का सीधे इस्तेमाल किया गया है या अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए।
+जल्द से जल्द ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्र के लोग, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के साथ, और शास्त्रीय पुरातनता के दौरान प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं - सर्कल का सीधे उपयोग किया गया है या कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में।
-हालाँकि, विश्वदृष्टि (विश्वास और संस्कृति) में अंतर का कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपनी लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य ने ब्रह्मांडीय एकता की अवधारणा के प्रतीक के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, चक्र मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है।
+हालांकि, विश्वदृष्टि (विश्वासों और संस्कृति) में अंतर कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपने लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य लोगों ने कॉस्मिक एकता की अवधारणा का प्रतीक करने के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, सर्कल मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है।
-सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंत, पूर्णता, ब्रह्मांड, देवत्व, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर की संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिसिस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरियोल, मैंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म पहिया, ए इंद्रधनुष, मंडल, गुलाब की खिड़कियां और बहुत कुछ।<ref>{{cite encyclopedia | editor-first=Jean-François | editor-last = Charnier | title = The Circle from East to West | first = Yahya | last = Abdullahi
+सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंतता, पूर्णता, ब्रह्मांड, दिव्यता, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर में संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिस्किस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरोल, मंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म व्हील, ए इंद्रधनुष, मंडलों, गुलाब की खिड़कियां और आगे।<ref>{{cite encyclopedia | editor-first=Jean-François | editor-last = Charnier | title = The Circle from East to West | first = Yahya | last = Abdullahi
 | encyclopedia = The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art | date = October 29, 2019 | isbn=9782370741004 | publisher=Rizzoli International Publications, Incorporated}}</ref>
-==यह भी देखें==
+== यह भी देखें ==
 {{col-begin}}
 {{col-break}}
-* एफ़िन क्षेत्र
+* Affine Sphere
-* एपीरोगोन
+* Apeirogon
-*सर्कल फिटिंग
+* सर्कल फिटिंग
-*एक घेरे में उलटा
+* एक सर्कल में उलटा
 * सर्कल विषयों की सूची
 * वृत्त
-*तीन बिंदु एक वृत्त निर्धारित करते हैं
+* तीन बिंदु एक सर्कल निर्धारित करते हैं
 * कुल्हाड़ियों का अनुवाद
-===Specially named circles===
+=== विशेष रूप से नामित सर्कल ===
-* [[Apollonian circles]]
+* अपोलोनियन सर्कल
-* [[Archimedean circle]]
+* आर्किमेडियन सर्कल
-* [[Archimedes' twin circles]]
+* आर्किमिडीज ट्विन सर्कल
-* [[Bankoff circle]]
+* बैंकऑफ सर्कल
-* [[Carlyle circle]]
+* कार्लाइल सर्कल
-* [[Chromatic circle]]
+* क्रोमेटिक सर्कल
-* [[Circle of antisimilitude]]
+* एंटीसिमिलिट्यूड का चक्र
-* [[Ford circle]]
+* फोर्ड सर्कल
-* [[Geodesic circle]]
+* जियोडेसिक सर्कल
-* [[Johnson circles]]
+* जॉनसन सर्कल
-* [[Schoch circles]]
+* शोक सर्कल
-* [[Woo circles]]
+* वू सर्कल
 {{col-break}}
+एक त्रिभुज का ==== ====
+* एक्साइकर्स के अपोलोनियस सर्कल
+* ब्रोकार्ड सर्कल
+* Excircle
+* Incircle
+* लेमोइन सर्कल
+* लेस्टर सर्कल
+* मालफट्टी सर्कल
+* मंडार्ट सर्कल
+* नौ-बिंदु सर्कल
+* Orthocentroidal सर्कल
+* पैरी सर्कल
+* ध्रुवीय सर्कल (ज्यामिति)
+* स्पाइकर सर्कल
+* वैन लामोएन सर्कल
-====Of a triangle====
+{{col-break}}
-* [[Incircle and excircles of a triangle#Other excircle properties|Apollonius circle of the excircles]]
-* [[Brocard circle]]
-* [[Excircle]]
-* [[Incircle]]
-* [[Lemoine circle]]
-* [[Lester circle]]
-* [[Malfatti circles]]
-* [[Mandart circle]]
-* [[Nine-point circle]]
-* [[Orthocentroidal circle]]
-* [[Parry circle]]
-* [[Polar circle (geometry)]]
-* [[Spieker circle]]
-* [[Van Lamoen circle]]
-{{col-break}}
+==== कुछ चतुर्भुज का ====
+* एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के आठ-बिंदु सर्कल
+==== एक शंकु खंड का =====
+* निर्देशक सर्कल
+* डायरेक्ट्रिक्स सर्कल
+एक टोरस का ==== =====
+* विल्को सर्कल
+{{col-end}}
+==संदर्भ==
+{{Reflist}}
+==अग्रिम पठन==
+* {{cite book |author=Pedoe, Dan |title=Geometry: a comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |url-access=registration |publisher=Dover |year=1988|isbn=9780486658124 }}
+* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Circle.html "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive]
+==बाहरी संबंध==
+{{Commons and category|Circles|Circles}}
+{{wikiquote|Circles}}
+{{EB1911 poster|Circle}}
+* {{springer|title=Circle|id=p/c022260}}
+* {{PlanetMath|urlname=circle |title=Circle}}
+* {{MathWorld |urlname=Circle |title=Circle}}
+* {{cite web| url = http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html   | title = Interactive Java applets | quote = for the properties of and elementary constructions involving circles}}
+* {{cite web| url = http://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/interactive-circle-equation.php  | title = Interactive Standard Form Equation of Circle | quote = Click and drag points to see standard form equation in action}}
+* {{cite web| url = http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml  | title = Munching on Circles | quote =  [[cut-the-knot]]}}
+{{Authority control}}
-====Of certain quadrilaterals====
+[[Category:AC with 0 elements]]
-* [[Eight-point circle]] of an orthodiagonal quadrilaterमैं
+[[Category:Articles with Open Library links]]
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-[[Category: Mathematics]
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Circle
File:Circle-withsegments.svg A circle circumference C diameter D radius R center or origin O
प्रकार	Conic section
समरूपता समूह	[[Orthogonal group\| $O(2)$ ]]
क्षेत्र	$πR 2$
परिधि	$C = 2πR$

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