फलन संरचना: Difference between revisions

Latest revision as of 10:48, 24 July 2023

गणित में फलन संरचना ऐसी प्रक्रिया है ऐसी प्रक्रिया हैं जो दो फलनों $f$ और $g$ को इस प्रकार उत्पन्न करती है कि $h = g \circ f$ के समान मान प्राप्त होता हैं। इस प्रकार यह मान इस प्रकार हैं कि $h (x) = g (f (x))$ मान इस प्रक्रिया में, फलन $g$ के लिए फलन पर लागू होने के अतिरिक्त इसके परिणाम के लिए फलन अनुप्रयोग $f$ को $x$ को प्राप्त करता है, अर्ताथ फलन $f : X \to Y$ और $g : Y \to Z$ फलन उत्पन्न करने के लिए बनाए गए हैं जो $x$ को मैप करने में सहायक है, इस प्रकार किसी फलन के डोमेन में $X$ को $g (f (x))$ कोडोमेन में $Z$ के रूप में प्राप्त होता हैं। इस प्रकार सहज रूप से यदि $z$ का फलन $y$ हैं, और $y$ का फलन $x$ हैं, तब $z$ का फलन $x$ प्राप्त होता हैं। इसके परिणामी समग्र फलन को $g \circ f : X \to Z$ द्वारा दर्शाया गया है, जिसके द्वारा परिभाषित $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ सभी के लिए $x$ में $X$ के समान हैं।^{[nb 1]}

इसके संकेतन के लिए $g \circ f$ के रूप में पढ़ा जाता है, इस प्रकार $g$ का $f$ मान, $g$ के बाद $f$ का मान , $g$ से संयोजित $f$ का मान , $g$ के लिए $f$ का मान , $g$ के बारे में $f$ , $g$ के साथ रचित $f$ का मान , $g$ अगले $f$ , $f$ तब $g$ , या $g$ पर $f$ , या की रचना $g$ और $f$ में सहजता से, फलन की रचना श्रृंखलाबद्ध प्रक्रिया है जिसमें फलन का आउटपुट होता है, जिसके लिए $f$ फलन का इनपुट $g$ फ़ीड करता है।

इस प्रकार उक्त फलन की संरचना संबंधों की संरचना की विशेष स्थिति को प्रस्तुत करती है, जिसे कभी-कभी $\circ$ के द्वारा भी दर्शाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप, संबंधों की संरचना के सभी गुण कार्यों की संरचना के समान होते हैं,^[1] जैसे ये गुण इसके मान को प्रदर्शित करते हैं।

फलन की संरचना फलन के उत्पाद फलन यदि परिभाषित हो तो यह इससे भिन्न होती है, और इसमें कुछ बिल्कुल भिन्न गुण होते हैं, विशेष रूप से, कार्यों की संरचना क्रमविनिमेय मान नहीं है।^[2]

उदाहरण

दो कार्यों की संरचना के लिए ठोस उदाहरण.

* परिमित समुच्चय पर फलनों की संरचना: यदि $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , और $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , तब $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

अनंत समु्च्चय पर फलन की संरचना इस प्रकार है कि यदि $f : R \to R$ जहाँ $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके द्वारा दिया गया है $f (x) = 2 x + 4$ और $g : R \to R$ द्वारा दिया गया है $g (x) = x 3$ , तब:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , and

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
यदि किसी हवाई जहाज की समय $t$ पर ऊंचाई $a (t)$ है , और इस प्रकार ऊंचाई पर हवा का दबाव $x$ $p (x)$ है, तब इस स्थिति में $(p \circ a)(t)$ समय पर विमान के चारों ओर दबाव $t$ है।

गुण

कार्यों की संरचना सदैव साहचर्य होती है, इस प्रकार के संबंधों की संरचना से मिलने वाले मान के तुल्य हैं।^[1]अर्थात यदि $f$ , $g$ , और $h$ तो रचना योग्य हैं $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ ^[3] के समान होगा। चूँकि कोष्ठक परिणाम नहीं बदलते हैं, इसलिए इस प्रकार उन्हें सामान्यतः छोड़ दिया जाता है।

एक सख्त अर्थ में, रचना $g \circ f$ केवल तभी सार्थक है जब का कोडोमेन $f$ के डोमेन $g$ के बराबर है, इसका व्यापक अर्थ पर्याप्त है कि पहले और बाद वाले का अनुचित उपसमुच्चय उपयोग होता हैं।^{[nb 2]}इसके अतिरिक्त के डोमेन को प्रतिबंधित करना $f$ के लिए अधिकांशतः सुविधाजनक होता है, इस प्रकार यह मान इस प्रकार है कि $f$ के क्षेत्र में केवल $g$ का मान उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, रचना $g \circ f$ कार्यों का $f : R \to (-\infty,+9]$ द्वारा परिभाषित $f (x) = 9 - x 2$ और $g : [0,+\infty) \to R$ द्वारा परिभाषित $g(x)={\sqrt {x}}$ अंतराल $[-3,+3]$ पर परिभाषित किया जा सकता है।

दो वास्तविक संख्या फलनों, निरपेक्ष मान और घन फलन की संरचनाएं, अलग-अलग क्रम में, संरचना की गैर-अनुक्रमणात्मकता दर्शाती हैं।

फलन $g$ और $f$ को दूसरे के साथ क्रम विनिमेय कहा जाता है, इसके आधार पर यदि $g \circ f = f \circ g$ के समान हैं तो क्रमपरिवर्तनशीलता विशेष मान को प्रदर्शित करता है, जो केवल विशेष कार्यों द्वारा और अधिकांशतः विशेष परिस्थितियों में ही प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, $| x | + 3 = | x + 3 |$ केवल जब $x \geq 0$ . चित्र और उदाहरण दिखाता है।

वन-टू-वन फलन मुख्य रूप से इंजेक्टिव फलन की संरचना को सदैव वन-टू-वन होती है। इसी प्रकार, फलन पर (विशेषण) फलन की संरचना सदैव ऑन होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो आक्षेपों की रचना भी आक्षेप है। किसी रचना के व्युत्क्रम फलन व्युत्क्रम माना जाता है, जिसमें $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ का गुण होता है .^[4]

भिन्न-भिन्न कार्यों को सम्मिलित करने वाली रचनाओं के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। इस प्रकार ऐसे कार्यों के उच्च व्युत्पन्न फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा दिए गए हैं।^[3]

संरचना मोनोइड्स

मान लीजिए कि किसी के दो (या अधिक) फलन $f : X \to X,$ $g : X \to X$ हैं, जो समान डोमेन और कोडोमेन के हैं, इन्हें अधिकांशतः परिवर्तन (फलन) कहा जाता है। फिर कोई साथ मिलकर परिवर्तनों की श्रृंखला बना सकता है, जैसे $f \circ f \circ g \circ f$ . ऐसी श्रृंखलाओं में मोनॉइड की बीजगणितीय संरचना होती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन मोनॉइड या (बहुत कम ही) परिवर्तन मोनॉयड कहा जाता है। सामान्यतः इस प्रकार के ट्रांसफॉर्मेशन मोनोइड में उल्लेखनीय रूप से जटिल संरचना हो सकती है। विशेष उल्लेखनीय उदाहरण डी राम वक्र है। इस प्रकार सभी कार्यों के समु्च्चय के लिए $f : X \to X$ को पूर्ण परिवर्तन अर्धसमूह कहा जाता है^[5]या सममित अर्धसमूह^[6]पर $X$ प्राप्त होता हैं। इसके लिए वास्तव में दो अर्धसमूहों को परिभाषित कर सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई अर्धसमूह संचालन को कार्यों की बाईं या दाईं संरचना के रूप में कैसे परिभाषित करता है।^[7]

घूर्णन के अंतर्गत A की छवि

R

U है, जिसे लिखा जा सकता है

R

(A) = U. And

H

(U) = B का अर्थ है कि मानचित्र (गणित)

H

परिवर्तन करता है U into B. Thus

H (R

(A)) =

(H \circ R)

(A) = B.

यदि परिवर्तन विशेषणात्मक और इस प्रकार व्युत्क्रमणीय हैं, तो इन कार्यों के सभी संभावित संयोजनों का समु्च्चय परिवर्तन समूह बनाता है, और कोई कहता है कि समूह इन कार्यों द्वारा समूह उत्पादित करता है। इस प्रकार समूह सिद्धांत में मौलिक परिणाम, केली का प्रमेय, अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी समूह वास्तव में क्रमपरिवर्तन समूह समाकृतिकता का उपसमूह है।^[8]

सभी विशेषण कार्यों का समुच्चय $f : X \to X$ जिसे क्रमपरिवर्तन कहा जाता है, इसके फलन की संरचना के संबंध में यह समूह बनाता है। यह सममित समूह है, जिसे कभी-कभी रचना समूह भी कहा जाता है।

सममित अर्धसमूह (सभी परिवर्तनों में से) में व्युत्क्रम की कमजोर, गैर-अद्वितीय धारणा भी पाई जाती है (जिसे छद्म व्युत्क्रम कहा जाता है) क्योंकि सममित अर्धसमूह नियमित अर्धसमूह है।^[9]

कार्यात्मक पावरयाँ

अगर $Y \subseteq X$ , तब $f : X \to Y$ स्वयं से रचना कर सकता है, इसे कभी-कभी $f 2$ से दर्शाया जाता है, इस प्रकार:

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

अधिक सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $n \geq 2$ , द $n$ वें कार्यात्मक घातांक को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ , हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत संकेतन^[10]^[11]और इस प्रकार जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल.^[12]^[10]^[13]^[11]ऐसे फलन की स्वयं के साथ बार-बार रचना को पुनरावृत्त फलन कहा जाता है।

इसके सन्दर्भ मे, $f 0$ को पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका मान $f$ के डोमेन $id X$ पर निर्भर करता हैं।
इस प्रकार यदि यहाँ तक कि $Y = X$ और $f : X \to X$ व्युत्क्रम फलन $f -1$ को स्वीकार करता है, इस प्रकार ऋणात्मक कार्यात्मक पावर $f - n$ के लिए $n > 0$ पर परिभाषित की गयी हैं, जिसके लिए व्युत्क्रम फलन की योगात्मक व्युत्क्रम पावर के रूप में: $f - n = (f -1) n$ हैं।^[12]^[10]^[11]

नोट: यदि $f$ अपने मूल्यों को रिंग (गणित) में लेता है, विशेष रूप से वास्तविक या जटिल-मूल्य के लिए $f$ , भ्रम का खतरा है, जैसे $f n$ के लिए भी खड़ा हो सकता है $n$ -गुना उत्पाद का $f$ , उदा. $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ .^[11]त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, सामान्यतः उत्तरार्द्ध का अर्थ होता है, कम से कम धनात्मक घातांक के लिए इसका मान प्रयुक्त होता हैं।^[11]उदाहरण के लिए, त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय कार्य के साथ उपयोग किए जाने पर यह सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन मानक घातांक का प्रतिनिधित्व करता है:

$sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ .

चूंकि, ऋणात्मक घातांक (विशेषकर −1) के लिए, यह सामान्यतः व्युत्क्रम फलन को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

कुछ स्थितियों में, जब, किसी दिए गए फलन के लिए $f$ , समीकरण $g \circ g = f$ का विचित्र समाधान है $g$ , उस फलन को कार्यात्मक वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f$ , फिर इस प्रकार लिखा गया $g = f 1/2$ .

अधिक सामान्यतः, जब $g n = f$ के पास कुछ प्राकृतिक संख्या $n > 0$ के लिए समाधान है, तब $f m / n$ को $g m$ के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है।

अतिरिक्त प्रतिबंधों के अनुसार, इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे कि पुनरावृत्त फलन सतत पैरामीटर बन जाए, इस स्थिति में, ऐसी प्रणाली को प्रवाह (गणित) कहा जाता है, जो श्रोडर के समीकरण के समाधान के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। इस प्रकार किसी भग्न और गतिशील प्रणालियाँ के अध्ययन में पुनरावृत्त कार्य और प्रवाह स्वाभाविक रूप से होते हैं।

अस्पष्टता से बचने के लिए, कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $\circ$ रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $f \circ n (x)$ के लिए $n$ -फलन का पुनरावृत्त $f (x)$ , जैसे, उदाहरण के लिए, $f \circ3 (x)$ अर्थ $f (f (f (x)))$ हैं। इसी उद्देश्य से, $f [n] (x)$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स द्वारा किया गया था^[14]^[11]जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने $n f (x)$ फलन का सुझाव दिया था।^[15]^[11]^{[nb 3]}

वैकल्पिक संकेतन

कई गणितज्ञ, विशेषकर समूह सिद्धांत में, रचना चिह्न, लेखन को छोड़ देते हैं, जो $gf$ के लिए $g \circ f$ .का मान प्रदर्शित करता हैं।^[16]

20वीं सदी के मध्य में कुछ गणितज्ञों ने लेखन का निर्णय लिया $g \circ f$ का अर्थ है जो पहले $f$ के लिए आवेदन करता हैं, फिर आवेदन करने के बाद $g$ और उसने नोटेशन परिवर्तित करने का निर्णय लिया था। वे लिखते हैं $xf$ के लिए $f (x)$ और $(xf) g$ के लिए $g (f (x))$ का मान प्रयुक्त होता हैं।^[17] यह कुछ क्षेत्रों में उपसर्ग संकेतन लिखने की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सरल लग सकता है - उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित में, जब $x$ पंक्ति सदिश है और $f$ और $g$ मैट्रिक्स (गणित) को निरूपित करें और संरचना आव्यूह गुणन द्वारा प्राप्त होती है। इस वैकल्पिक नोटेशन को उपसर्ग संकेतन कहा जाता है। क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि फलन संरचना आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है जैसे आव्यूह गुणन के लिए इसका उपयोग होता हैं। इसके दायीं ओर लागू होने वाले और रचना करने वाले क्रमिक परिवर्तन बाएँ से दाएँ पढ़ने के क्रम से सहमत होते हैं।

गणितज्ञ जो पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं, वे लिख सकते हैं कि $fg$ से यहाँ पर यह अर्थ हैं कि इसे $f$ के लिए पहले अप्लाई करते हैं और फिर $g$ द्वारा आवेदन करते हैं, इस क्रम को ध्यान में रखते हुए प्रतीक पोस्टफिक्स नोटेशन में होते हैं, इस प्रकार नोटेशन बनता है, जो $fg$ को अस्पष्ट करता हैं। इस प्रकार कंप्यूटर वैज्ञानिक लिखते हैं कि $f; g$ के लिए,^[18]जिससे रचना का क्रम स्पष्ट नहीं हो पाता। किसी पाठ अर्धविराम से बाएँ रचना संचालक को अलग करने के लिए, Z अंकन में बाएँ संबंध रचना के लिए ⨾ वर्ण का उपयोग किया जाता है।^[19] चूँकि सभी फलन बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध हैं, इसलिए फलन संरचना के लिए भी [वसा] अर्धविराम का उपयोग करना सही है, जिसके लिए इस नोटेशन पर अधिक जानकारी के लिए संबंधों की संरचना पर लेख देखें।

संरचना संचालक

किसी फलन द्वारा दिये गये $g$ का मान रचना संचालक $C g$ को उस ऑपरेटर (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों को कार्यों के रूप में मैप करता है

C_{g}f=f\circ g.

कंपोजीशन ऑपरेटरों का अध्ययन ऑपरेटर सिद्धांत के क्षेत्र में किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में

फलन संरचना अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में किसी न किसी रूप में प्रकट होती है।

बहुभिन्नरूपी कार्य

बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए आंशिक संरचना संभव है। कुछ तर्क होने पर परिणामी फलन $x i$ फलन का $f$ को फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $g$ की रचना कहलाती है $f$ और $g$ कुछ कंप्यूटर इंजीनियरिंग संदर्भों में, और $f | x i = g$ द्वारा इसे दर्शाया गया है।

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

जब

g

साधारण स्थिरांक है, जो

b

रचना के आंशिक मूल्यांकन में परिवर्तित कर दी जाती है, जिसके परिणाम को प्रतिबंध (गणित) या सह-कारक के रूप में भी जाना जाता है।^[20]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

सामान्यतः बहुभिन्नरूपी कार्यों की संरचना में तर्क के रूप में कई अन्य कार्य सम्मिलित हो सकते हैं, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती फलन की परिभाषा में दिया गया

f

, ए

n

-एरी फलन, और

n

m

-एरी फलन

g 1, ..., g n

, की रचना

f

साथ

g 1, ..., g n

, है

m

-एरी फलन को प्रकट करता हैं।

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).

इसे कभी-कभी एफ का सामान्यीकृत सम्मिश्रण या सुपरपोजिशन

g 1, ..., g n

भी कहा जाता है,^[21] इसके पहले उल्लिखित केवल तर्क में आंशिक संरचना को उपयुक्त रूप से चुने गए प्रक्षेपण कार्यों को छोड़कर सभी तर्क कार्यों को समु्च्चय करके इस अधिक सामान्य योजना से त्वरित किया जा सकता है। यहाँ

g 1, ..., g n

को इस सामान्यीकृत योजना में एकल सदिश/टपल के मान के फलन के रूप में देखा जा सकता है, इस स्थिति में यह फलन संरचना की बिल्कुल मानक परिभाषा है।^[22]

कुछ बेस समु्च्चय ध्यान दें कि क्लोन में सामान्यतः विभिन्न प्रकार के प्रक्रिया होते हैं।^[21]रूपान्तरण की धारणा को बहुभिन्नरूपी स्थिति में सामान्यीकरण भी मिलता है, इस प्रकार यह कहा जाता है कि arity n का फलन f, arity m के फलन g के साथ परिवर्तित होता है यदि f समरूपता है जो g को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत अर्थात:^[21]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).

एक यूनरी प्रक्रिया सदैव अपने साथ ही चलता है, लेकिन बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) प्रक्रिया की स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। इस प्रकार बाइनरी या उच्चतर एरीटी प्रक्रिया जो स्वयं के साथ संचार करता है, जिसे औसत दर्जे का मैग्मा कहा जाता है।^[21]

सामान्यीकरण

संबंधों की संरचना को इस विधि से द्विआधारी संबंध के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके आधार पर यदि $R \subseteq X \times Y$ और $S \subseteq Y \times Z$ दो द्विआधारी संबंध हैं, फिर उनकी रचना $R \circ S$ संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, कि ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ को प्रकट करती हैं। इस प्रकार इस फलन को द्विआधारी संबंध अर्थात् कार्यात्मक संबंध की विशेष स्थिति के रूप में मानते हुए, फलन संरचना संबंध संरचना की परिभाषा को संतुष्ट करती है। इस प्रकार किसी छोटे वृत्त $R \circ S$ का उपयोग संबंधों की रचना के लिए सांकेतिक विविधताओं के साथ ही कार्यों के लिए किया गया है। जब कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$ समीकरण प्राप्त होता हैं। चूंकि इस प्रकार की अलग-अलग प्रक्रिया अनुक्रमों को तदनुसार दर्शाने के लिए पाठ अनुक्रम को व्युत्क्रम कर दिया गया है।

रचना को आंशिक कार्यों के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया गया है और केली के प्रमेय का एनालॉग वैगनर-प्रेस्टन प्रमेय कहा जाता है।^[23]

आकारिकी के रूप में कार्यों वाले समु्च्चयों की श्रेणी प्रोटोटाइपिक श्रेणी (गणित) है। किसी श्रेणी के अभिगृहीत वास्तव में फलन संरचना के गुणों (और परिभाषा) से प्रेरित होते हैं।^[24]संरचना द्वारा दी गई संरचनाएं कार्यों के श्रेणी-सैद्धांतिक प्रतिस्थापन के रूप में रूपवाद की अवधारणा के साथ श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत हैं। सूत्र में रचना का उलटा क्रम $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ विपरीत संबंधों का उपयोग करके संबंधों की संरचना के लिए लागू होता है, और इस प्रकार समूह सिद्धांत में प्रयुक्त किया जाता हैं। ये संरचनाएँ युनीकोड श्रेणी बनाती हैं।

टाइपोग्राफी

रचना चिन्ह $\circ$ के रूप में एन्कोड किया गया है, इसके आधार पर U+2218 ∘ RING OPERATOR (&compfn;, &SmallCircle;), समान दिखने वाले यूनिकोड वर्णों के लिए डिग्री प्रतीक#लुकलाइक्स लेख देखें। TeX में \circ. लिखा है।

यह भी देखें

काॅबवेब प्लाट - जिसे कार्यात्मक संरचना के लिए ग्राफिकल तकनीक के रूप में उपयोग किया जाता हैं।
संयोजन तर्क
संरचना वलय, संरचना संचालन का औपचारिक स्वयंसिद्धीकरण
प्रवाह
फलन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)
यादृच्छिक वैरियेबल के कार्य, यादृच्छिक वैरियेबल के फलन का वितरण
कार्यात्मक अपघटन
कार्यात्मक वर्गमूल
उच्च-क्रम का कार्य
विश्लेषणात्मक कार्यों की रचनाएँ
पुनरावृत्त फलन
लैम्ब्डा कैलकुलस

↑ Some authors use $f \circ g : X \to Z$ , defined by $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ instead. This is common when a postfix notation is used, especially if functions are represented by exponents, as, for instance, in the study of group actions. See Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Springer. p. 5. ISBN 0-387-94599-7.
↑ The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.
↑ Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

संदर्भ

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↑ ^12.0 ^12.1 Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.
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↑ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
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बाहरी संबंध

"Composite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[NB_Dixon_1996-1] Some authors use $f \circ g : X \to Z$ , defined by $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ instead. This is common when a postfix notation is used, especially if functions are represented by exponents, as, for instance, in the study of group actions. See Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Springer. p. 5. ISBN 0-387-94599-7.

[NB_Strict-5] The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

[NB_Rucker-18] Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

[Velleman_2006-2] 1.0 ^1.1 Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. p. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[3] "3.4: Composition of Functions". Mathematics LibreTexts (in English). 2020-01-16. Retrieved 2020-08-28.

[:0-4] 3.0 ^3.1 Weisstein, Eric W. "संघटन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-28.

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[Herschel_1820-12] 10.0 ^10.1 ^10.2 Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)

[Cajori_1929-13] 11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 ^11.4 ^11.5 ^11.6 Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."^[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,^[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […] (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)

[Herschel_1813-14] 12.0 ^12.1 Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.

[Peano_1903-15] Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (in français). Vol. IV. p. 229.

[Peirce_1852-16] Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. Vol. I (new ed.). Boston, USA. p. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[Pringsheim-Molk_1907-17] Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in français). Vol. I. p. 195. Part I.

[Ivanov_2009-19] Ivanov, Oleg A. (2009-01-01). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Society. pp. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.

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[Barr-Wells_1990-21] Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). p. 6. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2014-08-23. (NB. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.)

[ISOIEC13568-22] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[Bryant_1986-23] Bryant, R. E. (August 1986). "Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis" (PDF). IEEE Transactions on Computers. C-35 (8): 677–691. doi:10.1109/tc.1986.1676819. S2CID 10385726.

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[Tourlakis_2012-25] Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. p. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

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[Hilton-Wu_1989-27] Hilton, Peter; Wu, Yel-Chiang (1989). A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. p. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

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 {{short description|Operation on mathematical functions}}
-{{about|the mathematical concept|the computer science concept|Function composition (computer science)}}
+{{about|गणितीय अवधारणा|कंप्यूटर विज्ञान की अवधारणा|फ़ंक्शन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)}}
-{{redirect-distinguish|Ring operator|operator ring|operator assistance}}
+{{redirect-distinguish|रिंग ऑपरेटर|ऑपरेटर रिंग|ऑपरेटर सहायता}}
 {{Functions}}
-गणित में, फ़ंक्शन संरचना ऑपरेशन है {{math| ∘ }} जो दो कार्य करता है (गणित) {{math|''f''}} और {{math|''g''}}, और फ़ंक्शन उत्पन्न करता है {{math|1=''h'' = ''g''  ∘  ''f''}} ऐसा है कि {{math|1=''h''(''x'') = ''g''(''f''(''x''))}}. इस ऑपरेशन में, function {{math|''g''}} फ़ंक्शन को लागू करने के परिणाम के लिए [[फ़ंक्शन अनुप्रयोग]] है {{math|''f''}} को {{math|''x''}}. यानी कार्य {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} और {{math|''g'' : ''Y'' → ''Z''}} फ़ंक्शन उत्पन्न करने के लिए बनाए गए हैं जो मैप करता है {{math|''x''}} किसी फ़ंक्शन के डोमेन में {{math|''X''}} को {{math|''g''(''f''(''x''))}} [[कोडोमेन]] में {{math|''Z''}}.
+गणित में '''फलन संरचना''' ऐसी प्रक्रिया है ऐसी प्रक्रिया हैं जो दो फलनों  {{math|''f''}} और {{math|''g''}} को इस प्रकार उत्पन्न करती है कि {{math|1=''h'' = ''g''  ∘  ''f''}}  के समान मान प्राप्त होता हैं। इस प्रकार यह मान इस प्रकार हैं कि {{math|1=''h''(''x'') = ''g''(''f''(''x''))}} मान इस प्रक्रिया में, फलन {{math|''g''}} के लिए फलन पर लागू होने के अतिरिक्त इसके परिणाम के लिए [[फ़ंक्शन अनुप्रयोग|फलन अनुप्रयोग]] {{math|''f''}} को {{math|''x''}} को प्राप्त करता है, अर्ताथ फलन {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} और {{math|''g'' : ''Y'' → ''Z''}} फलन उत्पन्न करने के लिए बनाए गए हैं जो {{math|''x''}} को मैप करने में सहायक है, इस प्रकार किसी फलन के डोमेन में {{math|''X''}} को {{math|''g''(''f''(''x''))}} [[कोडोमेन]] में {{math|''Z''}} के रूप में प्राप्त होता हैं। इस प्रकार सहज रूप से यदि {{math|''z''}} का फलन {{math|''y''}} हैं, और {{math|''y''}} का फलन {{math|''x''}} हैं, तब {{math|''z''}} का फलन {{math|''x''}} प्राप्त होता हैं। इसके परिणामी समग्र फलन को {{math|''g'' ∘ ''f'' : ''X'' → ''Z''}} द्वारा दर्शाया गया है, जिसके द्वारा परिभाषित {{math|1=(''g'' ∘ ''f'' )(''x'') = ''g''(''f''(''x''))}} सभी के लिए {{math|''x''}} में{{math|''X''}} के समान हैं।<ref group="nb" name="NB_Dixon_1996"/>
-सहज रूप से, यदि {{math|''z''}} का कार्य है {{math|''y''}}, और {{math|''y''}} का कार्य है {{math|''x''}}, तब {{math|''z''}} का कार्य है {{math|''x''}}. परिणामी समग्र फ़ंक्शन को दर्शाया गया है {{math|''g'' ∘ ''f'' : ''X'' → ''Z''}}, द्वारा परिभाषित {{math|1=(''g'' ∘ ''f'' )(''x'') = ''g''(''f''(''x''))}} सभी के लिए {{math|''x''}} में{{math|''X''}}.<ref group="nb" name="NB_Dixon_1996"/>
-संकेतन {{math|''g'' ∘ ''f''}} के रूप में पढ़ा जाता है{{math|''g''}} का {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} बाद {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} घेरा {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} गोल {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} के बारे में {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} के साथ रचित {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} अगले {{math|''f''}} ,{{math|''f''}} तब {{math|''g''}} , या{{math|''g''}} पर {{math|''f''}} , या की रचना {{math|''g''}} और {{math|''f''}} . सहज रूप से, फ़ंक्शंस की रचना श्रृंखलाबद्ध प्रक्रिया है जिसमें फ़ंक्शन का आउटपुट होता है {{math|''f''}} फ़ंक्शन का इनपुट फ़ीड करता है {{math|''g''}}.
+इसके संकेतन के लिए {{math|''g'' ∘ ''f''}} के रूप में पढ़ा जाता है, इस प्रकार {{math|''g''}} का {{math|''f''}} मान, {{math|''g''}} के बाद {{math|''f''}} का मान ,{{math|''g''}} से संयोजित {{math|''f''}} का मान ,{{math|''g''}} के लिए {{math|''f''}} का मान ,{{math|''g''}} के बारे में {{math|''f''}} ,{{math|''g''}} के साथ रचित {{math|''f''}} का मान ,{{math|''g''}} अगले {{math|''f''}} ,{{math|''f''}} तब {{math|''g''}} , या{{math|''g''}} पर {{math|''f''}} , या की रचना {{math|''g''}} और {{math|''f''}} में सहजता से, फलन की रचना श्रृंखलाबद्ध प्रक्रिया है जिसमें फलन का आउटपुट होता है, जिसके लिए {{math|''f''}} फलन का इनपुट {{math|''g''}} फ़ीड करता है।
-कार्यों की संरचना [[संबंधों की संरचना]] का विशेष मामला है, जिसे कभी-कभी इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है <math>\circ</math>. परिणामस्वरूप, संबंधों की संरचना के सभी गुण कार्यों की संरचना के समान होते हैं,<ref name="Velleman_2006"/>जैसे Properties की संपत्ति.
+इस प्रकार उक्त फलन की संरचना [[संबंधों की संरचना]] की विशेष स्थिति को प्रस्तुत करती है, जिसे कभी-कभी <math>\circ</math> के द्वारा भी दर्शाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप, संबंधों की संरचना के सभी गुण कार्यों की संरचना के समान होते हैं,<ref name="Velleman_2006"/> जैसे ये गुण इसके मान को प्रदर्शित करते हैं।
-फ़ंक्शंस की संरचना फ़ंक्शंस के उत्पाद फ़ंक्शन (यदि परिभाषित हो) से भिन्न होती है, और इसमें कुछ बिल्कुल भिन्न गुण होते हैं; विशेष रूप से, कार्यों की संरचना क्रमविनिमेय संपत्ति नहीं है।<ref>{{Cite web|date=2020-01-16|title=3.4: Composition of Functions|url=https://math.libretexts.org/Courses/Western_Connecticut_State_University/Draft_Custom_Version_MAT_131_College_Algebra/03%3A_Functions/3.04%3A_Composition_of_Functions| access-date=2020-08-28 | website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
+फलन की संरचना फलन के उत्पाद फलन यदि परिभाषित हो तो यह इससे भिन्न होती है, और इसमें कुछ बिल्कुल भिन्न गुण होते हैं, विशेष रूप से, कार्यों की संरचना क्रमविनिमेय मान नहीं है।<ref>{{Cite web|date=2020-01-16|title=3.4: Composition of Functions|url=https://math.libretexts.org/Courses/Western_Connecticut_State_University/Draft_Custom_Version_MAT_131_College_Algebra/03%3A_Functions/3.04%3A_Composition_of_Functions| access-date=2020-08-28 | website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
 ==उदाहरण==
 [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb|दो कार्यों की संरचना के लिए ठोस उदाहरण.]]* परिमित समुच्चय पर फलनों की संरचना: यदि {{math|1=''f'' = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} }}, और {{math|1=''g'' = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} }}, तब {{math|1=''g'' ∘ ''f'' = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} }}, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
-* [[अनंत सेट]] पर फ़ंक्शंस की संरचना: यदि {{math|''f'': '''R''' → '''R'''}} (कहाँ {{math|'''R'''}} सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय है) द्वारा दिया गया है {{math|1=''f''(''x'') = 2''x'' + 4}} और {{math|''g'': '''R''' → '''R'''}} द्वारा दिया गया है {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>}}, तब: {{block indent|text={{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) = ''f''(''x''<sup>3</sup>) = 2''x''<sup>3</sup> + 4}}, and}} {{block indent|text={{math|1=(''g'' ∘ ''f'')(''x'') = ''g''(''f''(''x'')) = ''g''(2''x'' + 4) = (2''x'' + 4)<sup>3</sup>}}.}}
+* [[अनंत सेट|अनंत समु्च्चय]] पर फलन की संरचना इस प्रकार है कि यदि {{math|''f'': '''R''' → '''R'''}} जहाँ {{math|'''R'''}} सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय है, जिसके द्वारा दिया गया है {{math|1=''f''(''x'') = 2''x'' + 4}} और {{math|''g'': '''R''' → '''R'''}} द्वारा दिया गया है {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>}}, तब: {{block indent|text={{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) = ''f''(''x''<sup>3</sup>) = 2''x''<sup>3</sup> + 4}}, and}} {{block indent|text={{math|1=(''g'' ∘ ''f'')(''x'') = ''g''(''f''(''x'')) = ''g''(2''x'' + 4) = (2''x'' + 4)<sup>3</sup>}}.}}
-* यदि किसी हवाई जहाज की समय पर ऊंचाई है{{mvar|t}} है {{math|''a''(''t'')}}, और ऊंचाई पर हवा का दबाव {{mvar|x}} है {{math|''p''(''x'')}}, तब {{math|(''p'' ∘ ''a'')(''t'')}} समय पर विमान के चारों ओर दबाव है{{mvar|t}}.
+* यदि किसी हवाई जहाज की समय {{mvar|t}} पर ऊंचाई {{math|''a''(''t'')}} है , और इस प्रकार ऊंचाई पर हवा का दबाव {{mvar|x}} {{math|''p''(''x'')}} है, तब इस स्थिति में {{math|(''p'' ∘ ''a'')(''t'')}} समय पर विमान के चारों ओर दबाव {{mvar|t}} है।
 ==गुण==
-कार्यों की संरचना हमेशा साहचर्य होती है - संबंधों की संरचना से विरासत में मिली संपत्ति।<ref name="Velleman_2006"/>अर्थात यदि {{mvar|f}}, {{mvar|g}}, और {{mvar|h}} तो रचना योग्य हैं {{math|1=''f'' ∘ (''g'' ∘ ''h'') = (''f'' ∘ ''g'') ∘ ''h''}}.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=संघटन|url=https://mathworld.wolfram.com/संघटन.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> चूँकि कोष्ठक परिणाम नहीं बदलते हैं, इसलिए उन्हें आम तौर पर छोड़ दिया जाता है।
+कार्यों की संरचना सदैव साहचर्य होती है, इस प्रकार के संबंधों की संरचना से मिलने वाले मान के तुल्य हैं।<ref name="Velleman_2006"/>अर्थात यदि {{mvar|f}}, {{mvar|g}}, और {{mvar|h}} तो रचना योग्य हैं {{math|1=''f'' ∘ (''g'' ∘ ''h'') = (''f'' ∘ ''g'') ∘ ''h''}}<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=संघटन|url=https://mathworld.wolfram.com/संघटन.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> के समान होगा। चूँकि कोष्ठक परिणाम नहीं बदलते हैं, इसलिए इस प्रकार उन्हें सामान्यतः छोड़ दिया जाता है।
-एक सख्त अर्थ में, रचना {{math|1=''g'' ∘ ''f''}} केवल तभी सार्थक है जब का कोडोमेन {{mvar|f}} के डोमेन के बराबर है {{mvar|g}}; व्यापक अर्थ में, यह पर्याप्त है कि पहला, बाद वाले का अनुचित उपसमुच्चय हो।<ref group="nb" name="NB_Strict"/>इसके अलावा, के डोमेन को चुपचाप प्रतिबंधित करना अक्सर सुविधाजनक होता है {{mvar|f}}, ऐसा है कि {{mvar|f}} के क्षेत्र में केवल मान उत्पन्न करता है {{mvar|g}}. उदाहरण के लिए, रचना {{math|1=''g'' ∘ ''f''}} कार्यों का {{math|''f'' : [[real number|'''R''']] → [[interval (mathematics)#Infinite endpoints|(−∞,+9] ]]}} द्वारा परिभाषित {{math|1=''f''(''x'') = 9 − ''x''<sup>2</sup>}} और {{math|''g'' : [[interval (mathematics)#Infinite endpoints|[0,+∞)]] → '''R'''}} द्वारा परिभाषित <math>g(x) = \sqrt x</math> अंतराल पर परिभाषित किया जा सकता है (गणित) {{math|[−3,+3]}}.
+एक सख्त अर्थ में, रचना {{math|1=''g'' ∘ ''f''}} केवल तभी सार्थक है जब का कोडोमेन {{mvar|f}} के डोमेन {{mvar|g}} के बराबर है, इसका व्यापक अर्थ पर्याप्त है कि पहले और बाद वाले का अनुचित उपसमुच्चय उपयोग होता हैं।<ref group="nb" name="NB_Strict"/>इसके अतिरिक्त के डोमेन को प्रतिबंधित करना {{mvar|f}} के लिए अधिकांशतः सुविधाजनक होता है, इस प्रकार यह मान इस प्रकार है कि {{mvar|f}} के क्षेत्र में केवल {{mvar|g}} का मान उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, रचना {{math|1=''g'' ∘ ''f''}} कार्यों का {{math|''f'' : [[real number|'''R''']] → [[interval (mathematics)#Infinite endpoints|(−∞,+9] ]]}} द्वारा परिभाषित {{math|1=''f''(''x'') = 9 − ''x''<sup>2</sup>}} और {{math|''g'' : [[interval (mathematics)#Infinite endpoints|[0,+∞)]] → '''R'''}} द्वारा परिभाषित <math>g(x) = \sqrt x</math> अंतराल {{math|[−3,+3]}} पर परिभाषित किया जा सकता है।
-[[Image:Absolute value composition.svg|thumb|upright=1|दो वास्तविक संख्या फलनों, निरपेक्ष मान और [[घन फलन]] की संरचनाएं, अलग-अलग क्रम में, संरचना की गैर-अनुक्रमणात्मकता दर्शाती हैं।]]कार्य {{mvar|g}} और {{mvar|f}} को दूसरे के साथ क्रम[[विनिमेय]] कहा जाता है यदि {{math|1=''g'' ∘ ''f'' = ''f'' ∘ ''g''}}. क्रमपरिवर्तनशीलता विशेष संपत्ति है, जो केवल विशेष कार्यों द्वारा और अक्सर विशेष परिस्थितियों में ही प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, {{math|1={{abs|''x''}} + 3 = {{abs|''x'' + 3}}}} केवल जब {{math|''x'' ≥ 0}}. चित्र और उदाहरण दिखाता है.
+[[Image:Absolute value composition.svg|thumb|upright=1|दो वास्तविक संख्या फलनों, निरपेक्ष मान और [[घन फलन]] की संरचनाएं, अलग-अलग क्रम में, संरचना की गैर-अनुक्रमणात्मकता दर्शाती हैं।]]फलन {{mvar|g}} और {{mvar|f}} को दूसरे के साथ [[विनिमेय|क्रम विनिमेय]] कहा जाता है, इसके आधार पर यदि {{math|1=''g'' ∘ ''f'' = ''f'' ∘ ''g''}} के समान हैं तो क्रमपरिवर्तनशीलता विशेष मान को प्रदर्शित करता है, जो केवल विशेष कार्यों द्वारा और अधिकांशतः विशेष परिस्थितियों में ही प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, {{math|1={{abs|''x''}} + 3 = {{abs|''x'' + 3}}}} केवल जब {{math|''x'' ≥ 0}}. चित्र और उदाहरण दिखाता है।
-वन-टू-वन फ़ंक्शन|वन-टू-वन (इंजेक्टिव) फ़ंक्शंस की संरचना हमेशा वन-टू-वन होती है। इसी प्रकार, [[कार्य पर]] (विशेषण) फ़ंक्शंस की संरचना हमेशा ऑन होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो आक्षेपों की रचना भी आक्षेप है। किसी रचना के व्युत्क्रम फलन (उलटा माना जाता है) में वह गुण होता है {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')<sup>−1</sup> = ''g''<sup>−1</sup>∘ ''f''<sup>−1</sup>}}.<ref name="Rodgers_2000"/>
+वन-टू-वन फलन मुख्य रूप से इंजेक्टिव फलन की संरचना को सदैव वन-टू-वन होती है। इसी प्रकार, [[कार्य पर|फलन पर]] (विशेषण) फलन की संरचना सदैव ऑन होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो आक्षेपों की रचना भी आक्षेप है। किसी रचना के व्युत्क्रम फलन व्युत्क्रम माना जाता है, जिसमें {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')<sup>−1</sup> = ''g''<sup>−1</sup>∘ ''f''<sup>−1</sup>}} का गुण होता है .<ref name="Rodgers_2000"/>
-भिन्न-भिन्न कार्यों को शामिल करने वाली रचनाओं के व्युत्पन्न [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। ऐसे कार्यों के उच्च व्युत्पन्न फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा दिए गए हैं।<ref name=":0" />
+भिन्न-भिन्न कार्यों को सम्मिलित करने वाली रचनाओं के व्युत्पन्न [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। इस प्रकार ऐसे कार्यों के उच्च व्युत्पन्न फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा दिए गए हैं।<ref name=":0" />
 ==संरचना मोनोइड्स==
-{{main|Transformation monoid}}
+{{main|संरचना मोनोइड्स}}
-मान लीजिए कि किसी के दो (या अधिक) कार्य हैं {{math|''f'': ''X'' → ''X'',}} {{math|''g'': ''X'' → ''X''}}समान डोमेन और कोडोमेन होना; इन्हें अक्सर परिवर्तन (फ़ंक्शन) कहा जाता है। फिर कोई साथ मिलकर परिवर्तनों की श्रृंखला बना सकता है, जैसे {{math|''f'' ∘ ''f'' ∘ ''g'' ∘ ''f''}}. ऐसी श्रृंखलाओं में मोनॉइड की [[बीजगणितीय संरचना]] होती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन मोनॉइड या (बहुत कम ही) [[परिवर्तन मोनॉयड]] कहा जाता है। सामान्य तौर पर, ट्रांसफॉर्मेशन [[मोनोइड]]्स में उल्लेखनीय रूप से जटिल संरचना हो सकती है। विशेष उल्लेखनीय उदाहरण डी राम वक्र है। सभी कार्यों का सेट {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} को [[पूर्ण परिवर्तन अर्धसमूह]] कहा जाता है<ref name="Hollings_2014"/>या सममित अर्धसमूह<ref name="Grillet_1995"/>पर{{mvar|X}}. (कोई वास्तव में दो अर्धसमूहों को परिभाषित कर सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई अर्धसमूह संचालन को कार्यों की बाईं या दाईं संरचना के रूप में कैसे परिभाषित करता है।<ref name="Dömösi-Nehaniv_2005"/>
-[[File:Academ Example of similarity with ratio square root of 2.svg|thumb|upright=1.2|[[समानता (ज्यामिति)]] जो त्रिभुज EFA को त्रिभुज ATB में बदल देती है, एक समरूप परिवर्तन की संरचना है {{mvar|H}} और एक रोटेशन (गणित){{mvar|R}}, जिसका उभयनिष्ठ केंद्र S है। उदाहरण के लिए, छवि (गणित)|घूर्णन के अंतर्गत A की छवि{{math|''R''}} U है, जिसे लिखा जा सकता है {{nowrap|1={{math|''R ''}}(''A'') = ''U.&nbsp;''}} {{nowrap|1=And&nbsp; {{mvar|H}}(''U'') = ''B''}} का अर्थ है कि [[मानचित्र (गणित)]]{{math|''H''}}परिवर्तन करता है {{Nowrap|''U''&nbsp; into ''B.&nbsp;''}} {{nowrap|1=Thus&nbsp; {{math|''H''(''R'' }}(''A'')) = {{math|(''H ∘ R '')}}(''A'') = ''B''}}.]]यदि परिवर्तन विशेषणात्मक (और इस प्रकार व्युत्क्रमणीय) हैं, तो इन कार्यों के सभी संभावित संयोजनों का सेट [[परिवर्तन समूह]] बनाता है; और कोई कहता है कि समूह इन कार्यों द्वारा [[समूह जनरेटर]] है। समूह सिद्धांत में मौलिक परिणाम, केली का प्रमेय, अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी समूह वास्तव में क्रमपरिवर्तन समूह ([[ समाकृतिकता | समाकृतिकता]] तक) का उपसमूह है।<ref name="Carter_2009"/>
-सभी विशेषण कार्यों का समुच्चय {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} (क्रम[[परिवर्तन]] कहा जाता है) कार्य संरचना के संबंध में समूह बनाता है। यह [[सममित समूह]] है, जिसे कभी-कभी रचना समूह भी कहा जाता है।
+मान लीजिए कि किसी के दो (या अधिक) फलन {{math|''f'': ''X'' → ''X'',}} {{math|''g'': ''X'' → ''X''}} हैं, जो समान डोमेन और कोडोमेन के हैं, इन्हें अधिकांशतः परिवर्तन (फलन) कहा जाता है। फिर कोई साथ मिलकर परिवर्तनों की श्रृंखला बना सकता है, जैसे {{math|''f'' ∘ ''f'' ∘ ''g'' ∘ ''f''}}. ऐसी श्रृंखलाओं में मोनॉइड की [[बीजगणितीय संरचना]] होती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन मोनॉइड या (बहुत कम ही) [[परिवर्तन मोनॉयड]] कहा जाता है। सामान्यतः इस प्रकार के ट्रांसफॉर्मेशन [[मोनोइड]] में उल्लेखनीय रूप से जटिल संरचना हो सकती है। विशेष उल्लेखनीय उदाहरण डी राम वक्र है। इस प्रकार सभी कार्यों के समु्च्चय के लिए {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} को [[पूर्ण परिवर्तन अर्धसमूह]] कहा जाता है<ref name="Hollings_2014"/>या सममित अर्धसमूह<ref name="Grillet_1995"/>पर{{mvar|X}} प्राप्त होता हैं। इसके लिए वास्तव में दो अर्धसमूहों को परिभाषित कर सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई अर्धसमूह संचालन को कार्यों की बाईं या दाईं संरचना के रूप में कैसे परिभाषित करता है।<ref name="Dömösi-Nehaniv_2005"/>
+[[File:Academ Example of similarity with ratio square root of 2.svg|thumb|upright=1.2|[[समानता (ज्यामिति)]] जो त्रिभुज EFA को त्रिभुज ATB में बदल देती है, एक समरूप परिवर्तन की संरचना है {{mvar|H}} और एक रोटेशन (गणित){{mvar|R}}, जिसका उभयनिष्ठ केंद्र S है। उदाहरण के लिए, छवि (गणित)|घूर्णन के अंतर्गत A की छवि{{math|''R''}} U है, जिसे लिखा जा सकता है {{nowrap|1={{math|''R ''}}(''A'') = ''U.&nbsp;''}} {{nowrap|1=And&nbsp; {{mvar|H}}(''U'') = ''B''}} का अर्थ है कि [[मानचित्र (गणित)]]{{math|''H''}}परिवर्तन करता है {{Nowrap|''U''&nbsp; into ''B.&nbsp;''}} {{nowrap|1=Thus&nbsp; {{math|''H''(''R'' }}(''A'')) = {{math|(''H ∘ R '')}}(''A'') = ''B''}}.]]यदि परिवर्तन विशेषणात्मक और इस प्रकार व्युत्क्रमणीय हैं, तो इन कार्यों के सभी संभावित संयोजनों का समु्च्चय [[परिवर्तन समूह]] बनाता है, और कोई कहता है कि समूह इन कार्यों द्वारा [[समूह जनरेटर|समूह उत्पादित]] करता है। इस प्रकार समूह सिद्धांत में मौलिक परिणाम, केली का प्रमेय, अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी समूह वास्तव में क्रमपरिवर्तन समूह[[ समाकृतिकता | समाकृतिकता]] का उपसमूह है।<ref name="Carter_2009"/>
+सभी विशेषण कार्यों का समुच्चय {{math|''f'': ''X'' → ''X''}}  जिसे क्रम[[परिवर्तन]] कहा जाता है, इसके फलन की संरचना के संबंध में यह समूह बनाता है। यह [[सममित समूह]] है, जिसे कभी-कभी रचना समूह भी कहा जाता है।
 सममित अर्धसमूह (सभी परिवर्तनों में से) में व्युत्क्रम की कमजोर, गैर-अद्वितीय धारणा भी पाई जाती है (जिसे छद्म व्युत्क्रम कहा जाता है) क्योंकि सममित अर्धसमूह [[नियमित अर्धसमूह]] है।<ref name="Ganyushkin-Mazorchuk_2008"/>
-==कार्यात्मक शक्तियाँ==
+==कार्यात्मक पावरयाँ==
-{{main|Iterated function}}
+{{main|पुनरावृत्त फ़ंक्शन}}
-अगर {{math|''Y'' [[subset|⊆]] ''X''}}, तब {{math|''f'': ''X''→''Y''}} स्वयं से रचना कर सकता है; इसे कभी-कभी इस रूप में दर्शाया जाता है {{math|''f''<sup> 2</sup>}}. वह है:
+अगर {{math|''Y'' [[subset|⊆]] ''X''}}, तब {{math|''f'': ''X''→''Y''}} स्वयं से रचना कर सकता है, इसे कभी-कभी {{math|''f''<sup> 2</sup>}} से दर्शाया जाता है, इस प्रकार:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(''f'' ∘ ''f'')(x) = ''f''(''f''(''x'')) = ''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x'')}}}}
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(''f'' ∘ ''f'' ∘ ''f'')(x) = ''f''(''f''(''f''(''x''))) = ''f''&thinsp;<sup>3</sup>(''x'')}}}}
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(''f'' ∘ ''f'' ∘ ''f'' ∘ ''f'')(x) = ''f''(''f''(''f''(''f''(''x'')))) = ''f''&thinsp;<sup>4</sup>(''x'')}}}}
-अधिक सामान्यतः, किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए {{math|''n'' ≥ 2}}, द {{mvar|n}}वें कार्यात्मक [[घातांक]] को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''f''&thinsp;<sup>''n''</sup> = ''f'' ∘ ''f''&thinsp;<sup>''n''−1</sup> = ''f''&thinsp;<sup>''n''−1</sup> ∘ ''f''}}, हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत संकेतन<ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>और [[जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल]].<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Peano_1903"/><ref name="Cajori_1929"/>ऐसे फ़ंक्शन की स्वयं के साथ बार-बार रचना को [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन]] कहा जाता है।
+अधिक सामान्यतः, किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए {{math|''n'' ≥ 2}}, द {{mvar|n}}वें कार्यात्मक [[घातांक]] को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''f''&thinsp;<sup>''n''</sup> = ''f'' ∘ ''f''&thinsp;<sup>''n''−1</sup> = ''f''&thinsp;<sup>''n''−1</sup> ∘ ''f''}}, हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत संकेतन<ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>और इस प्रकार [[जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल]].<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Peano_1903"/><ref name="Cajori_1929"/>ऐसे फलन की स्वयं के साथ बार-बार रचना को [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन|पुनरावृत्त फलन]] कहा जाता है।
-* रिवाज के सन्दर्भ मे, {{math|''f''&thinsp;<sup>0</sup>}} को पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''f''&thinsp;}} का डोमेन, {{math|id<sub>''X''</sub>}}.
+* इसके सन्दर्भ मे, {{math|''f''&thinsp;<sup>0</sup>}} को पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका मान {{math|''f''&thinsp;}} के डोमेन  {{math|id<sub>''X''</sub>}} पर निर्भर करता हैं।
-* अगर यहाँ तक कि {{math|1=''Y'' = ''X''}} और {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} व्युत्क्रम फलन स्वीकार करता है {{math|''f''&thinsp;<sup>−1</sup>}}, नकारात्मक कार्यात्मक शक्तियां {{math|''f''&thinsp;<sup>−''n''</sup>}} के लिए परिभाषित हैं {{math|''n'' > 0}} व्युत्क्रम फलन की योगात्मक व्युत्क्रम शक्ति के रूप में: {{math|1=''f''&thinsp;<sup>−''n''</sup> = (''f''&thinsp;<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup>}}.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
+* इस प्रकार यदि यहाँ तक कि {{math|1=''Y'' = ''X''}} और {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} व्युत्क्रम फलन {{math|''f''&thinsp;<sup>−1</sup>}} को स्वीकार करता है, इस प्रकार ऋणात्मक कार्यात्मक पावर {{math|''f''&thinsp;<sup>−''n''</sup>}} के लिए {{math|''n'' > 0}} पर परिभाषित की गयी हैं, जिसके लिए व्युत्क्रम फलन की योगात्मक व्युत्क्रम पावर के रूप में: {{math|1=''f''&thinsp;<sup>−''n''</sup> = (''f''&thinsp;<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup>}} हैं।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
+नोट: यदि {{mvar|f}} अपने मूल्यों को रिंग (गणित) में लेता है, विशेष रूप से वास्तविक या जटिल-मूल्य के लिए {{math|''f''&thinsp;}}, भ्रम का खतरा है, जैसे {{math|''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>}} के लिए भी खड़ा हो सकता है {{mvar|n}}-गुना उत्पाद का {{mvar|f}}, उदा. {{math|1=''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x'') = ''f''(''x'') · ''f''(''x'')}}.<ref name="Cajori_1929"/>त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, सामान्यतः उत्तरार्द्ध का अर्थ होता है, कम से कम धनात्मक घातांक के लिए इसका मान प्रयुक्त होता हैं।<ref name="Cajori_1929"/>उदाहरण के लिए, [[त्रिकोणमिति]] में, [[त्रिकोणमितीय कार्य]] के साथ उपयोग किए जाने पर यह सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन मानक घातांक का प्रतिनिधित्व करता है:
-नोट: यदि {{mvar|f}} अपने मूल्यों को रिंग (गणित) में लेता है (विशेष रूप से वास्तविक या जटिल-मूल्य के लिए {{math|''f''&thinsp;}}), भ्रम का खतरा है, जैसे {{math|''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>}} के लिए भी खड़ा हो सकता है {{mvar|n}}-गुना उत्पाद का{{mvar|f}}, उदा. {{math|1=''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x'') = ''f''(''x'') · ''f''(''x'')}}.<ref name="Cajori_1929"/>त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, आमतौर पर उत्तरार्द्ध का मतलब होता है, कम से कम सकारात्मक घातांक के लिए।<ref name="Cajori_1929"/>उदाहरण के लिए, [[त्रिकोणमिति]] में, [[त्रिकोणमितीय कार्य]]ों के साथ उपयोग किए जाने पर यह सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन मानक घातांक का प्रतिनिधित्व करता है:
 {{math|1=sin<sup>2</sup>(''x'') = sin(''x'') · sin(''x'')}}.
-हालाँकि, नकारात्मक घातांक (विशेषकर −1) के लिए, यह आमतौर पर व्युत्क्रम फलन को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, {{math|1=tan<sup>−1</sup> = arctan ≠ 1/tan}}.
-कुछ मामलों में, जब, किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए {{mvar|f}}, समीकरण {{math|1=''g'' ∘ ''g'' = ''f''}} का अनोखा समाधान है {{mvar|g}}, उस फ़ंक्शन को [[कार्यात्मक वर्गमूल]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|f}}, फिर इस प्रकार लिखा गया {{math|1=''g'' = ''f''&thinsp;<sup>1/2</sup>}}.
+चूंकि, ऋणात्मक घातांक (विशेषकर −1) के लिए, यह सामान्यतः व्युत्क्रम फलन को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, {{math|1=tan<sup>−1</sup> = arctan ≠ 1/tan}} इसका प्रमुख उदाहरण हैं।
+कुछ स्थितियों में, जब, किसी दिए गए फलन के लिए {{mvar|f}}, समीकरण {{math|1=''g'' ∘ ''g'' = ''f''}} का विचित्र समाधान है {{mvar|g}}, उस फलन को [[कार्यात्मक वर्गमूल]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|f}}, फिर इस प्रकार लिखा गया {{math|1=''g'' = ''f''&thinsp;<sup>1/2</sup>}}.
-अधिक सामान्यतः, जब {{math|1=''g''<sup>''n''</sup> = ''f''}} के पास कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए अनूठा समाधान है {{math|''n'' > 0}}, तब {{math|''f''&thinsp;<sup>''m''/''n''</sup>}} को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है {{math|''g''<sup>''m''</sup>}}.
+अधिक सामान्यतः, जब {{math|1=''g''<sup>''n''</sup> = ''f''}} के पास कुछ प्राकृतिक संख्या {{math|''n'' > 0}} के लिए समाधान है, तब {{math|''f''&thinsp;<sup>''m''/''n''</sup>}} को {{math|''g''<sup>''m''</sup>}} के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है।
-अतिरिक्त प्रतिबंधों के तहत, इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्त फ़ंक्शन सतत पैरामीटर बन जाए; इस मामले में, ऐसी प्रणाली को [[प्रवाह (गणित)]] कहा जाता है, जो श्रोडर के समीकरण के समाधान के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। [[भग्न]] और [[गतिशील प्रणालियाँ]] के अध्ययन में पुनरावृत्त कार्य और प्रवाह स्वाभाविक रूप से होते हैं।
+अतिरिक्त प्रतिबंधों के अनुसार, इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे कि पुनरावृत्त फलन सतत पैरामीटर बन जाए, इस स्थिति में, ऐसी प्रणाली को [[प्रवाह (गणित)]] कहा जाता है, जो श्रोडर के समीकरण के समाधान के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। इस प्रकार किसी [[भग्न]] और [[गतिशील प्रणालियाँ]] के अध्ययन में पुनरावृत्त कार्य और प्रवाह स्वाभाविक रूप से होते हैं।
-अस्पष्टता से बचने के लिए, कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें {{math|∘}}रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} के लिए {{mvar|n}}-फ़ंक्शन का पुनरावृत्त {{math|''f''(''x'')}}, जैसे, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}}. इसी उद्देश्य से, {{math|''f''{{i sup|[''n'']}}(''x'')}} का प्रयोग [[ बेंजामिन पियर्स |बेंजामिन पियर्स]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852"/><ref name="Cajori_1929"/>जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने सुझाव दिया था {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} बजाय।<ref name="Pringsheim-Molk_1907"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb" name="NB_Rucker"/>
+अस्पष्टता से बचने के लिए, कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें {{math|∘}}रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} के लिए {{mvar|n}}-फलन का पुनरावृत्त {{math|''f''(''x'')}}, जैसे, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}} हैं। इसी उद्देश्य से, {{math|''f''{{i sup|[''n'']}}(''x'')}} का प्रयोग [[ बेंजामिन पियर्स |बेंजामिन पियर्स]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852" /><ref name="Cajori_1929" />जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} फलन का सुझाव दिया था।<ref name="Pringsheim-Molk_1907" /><ref name="Cajori_1929" /><ref group="nb" name="NB_Rucker" />
 ==वैकल्पिक संकेतन==
-कई गणितज्ञ, विशेषकर [[समूह सिद्धांत]] में, रचना चिह्न, लेखन को छोड़ देते हैं {{math|''gf''}} के लिए {{math|''g'' ∘ ''f''}}.<ref name="Ivanov_2009"/>
+कई गणितज्ञ, विशेषकर [[समूह सिद्धांत]] में, रचना चिह्न, लेखन को छोड़ देते हैं, जो {{math|''gf''}} के लिए {{math|''g'' ∘ ''f''}} .का मान प्रदर्शित करता हैं।<ref name="Ivanov_2009"/>
-वीं सदी के मध्य में कुछ गणितज्ञों ने लेखन का निर्णय लिया{{math|''g'' ∘ ''f'' }} का अर्थ है पहले आवेदन करें {{mvar|f}}, फिर आवेदन करें {{mvar|g}} बहुत भ्रमित करने वाला था और उसने नोटेशन बदलने का निर्णय लिया। वे लिखते हैं{{math|''xf''&thinsp;}} के लिए{{math|''f''(''x'')}} और{{math|(''xf'')''g''}} के लिए{{math|''g''(''f''(''x''))}} .<ref name="Gallier_2011"/>यह कुछ क्षेत्रों में [[उपसर्ग संकेतन]] लिखने की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सरल लग सकता है - उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित में, जब {{mvar|x}} [[पंक्ति सदिश]] है और {{mvar|f}} और {{mvar|g}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] को निरूपित करें और संरचना [[मैट्रिक्स गुणन]] द्वारा है। इस वैकल्पिक नोटेशन को [[ उपसर्ग संकेतन |उपसर्ग संकेतन]] कहा जाता है। क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि फ़ंक्शन संरचना आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है (जैसे मैट्रिक्स गुणन)। दायीं ओर लागू होने वाले और रचना करने वाले क्रमिक परिवर्तन बाएँ से दाएँ पढ़ने के क्रम से सहमत होते हैं।
+वीं सदी के मध्य में कुछ गणितज्ञों ने लेखन का निर्णय लिया{{math|''g'' ∘ ''f'' }} का अर्थ है जो पहले {{mvar|f}} के लिए आवेदन करता हैं, फिर आवेदन करने के बाद {{mvar|g}} और उसने नोटेशन परिवर्तित करने का निर्णय लिया था। वे लिखते हैं{{math|''xf''&thinsp;}} के लिए{{math|''f''(''x'')}} और{{math|(''xf'')''g''}} के लिए{{math|''g''(''f''(''x''))}} का मान प्रयुक्त होता हैं।<ref name="Gallier_2011"/> यह कुछ क्षेत्रों में [[उपसर्ग संकेतन]] लिखने की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सरल लग सकता है - उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित में, जब {{mvar|x}} [[पंक्ति सदिश]] है और {{mvar|f}} और {{mvar|g}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] को निरूपित करें और संरचना [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] द्वारा प्राप्त होती है। इस वैकल्पिक नोटेशन को [[ उपसर्ग संकेतन |उपसर्ग संकेतन]] कहा जाता है। क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि फलन संरचना आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है जैसे आव्यूह गुणन के लिए इसका उपयोग होता हैं। इसके दायीं ओर लागू होने वाले और रचना करने वाले क्रमिक परिवर्तन बाएँ से दाएँ पढ़ने के क्रम से सहमत होते हैं।
-गणितज्ञ जो पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं वे लिख सकते हैं{{math|''fg''}} , मतलब पहले अप्लाई करें {{mvar|f}} और फिर आवेदन करें {{mvar|g}}, क्रम को ध्यान में रखते हुए प्रतीक पोस्टफिक्स नोटेशन में होते हैं, इस प्रकार नोटेशन बनता है{{math|''fg''}} अस्पष्ट। कंप्यूटर वैज्ञानिक लिख सकते हैं{{math|''f'' ; ''g''}} इसके लिए,<ref name="Barr-Wells_1990"/>जिससे रचना का क्रम स्पष्ट नहीं हो पाता। किसी पाठ अर्धविराम से बाएँ रचना संचालक को अलग करने के लिए, [[Z अंकन]] में बाएँ [[संबंध रचना]] के लिए ⨾ वर्ण का उपयोग किया जाता है।<ref name="ISOIEC13568"/>चूँकि सभी फ़ंक्शन बाइनरी रिलेशन#विशेष प्रकार के बाइनरी रिलेशन हैं, इसलिए फ़ंक्शन संरचना के लिए भी [वसा] अर्धविराम का उपयोग करना सही है (इस नोटेशन पर अधिक जानकारी के लिए संबंधों की संरचना पर लेख देखें)।
+गणितज्ञ जो पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं, वे लिख सकते हैं कि {{math|''fg''}} से यहाँ पर यह अर्थ हैं कि इसे {{mvar|f}} के लिए पहले अप्लाई करते हैं और फिर {{mvar|g}} द्वारा आवेदन करते हैं, इस क्रम को ध्यान में रखते हुए प्रतीक पोस्टफिक्स नोटेशन में होते हैं, इस प्रकार नोटेशन बनता है, जो {{math|''fg''}} को अस्पष्ट करता हैं। इस प्रकार कंप्यूटर वैज्ञानिक लिखते हैं कि {{math|''f'' ; ''g''}} के लिए,<ref name="Barr-Wells_1990"/>जिससे रचना का क्रम स्पष्ट नहीं हो पाता। किसी पाठ अर्धविराम से बाएँ रचना संचालक को अलग करने के लिए, [[Z अंकन]] में बाएँ [[संबंध रचना]] के लिए ⨾ वर्ण का उपयोग किया जाता है।<ref name="ISOIEC13568"/> चूँकि सभी फलन बाइनरी संबंध#विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध हैं, इसलिए फलन संरचना के लिए भी [वसा] अर्धविराम का उपयोग करना सही है, जिसके लिए इस नोटेशन पर अधिक जानकारी के लिए संबंधों की संरचना पर लेख देखें।
 ==संरचना संचालक==
-{{main|Composition operator}}
+{{main|रचना संचालक}}
-एक फ़ंक्शन दिया गया{{math|''g''}}, रचना संचालक {{math|''C''<sub>''g''</sub>}} को उस [[ऑपरेटर (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों को कार्यों के रूप में मैप करता है <math display="block">C_g f = f \circ g.</math>
+किसी फलन द्वारा दिये गये {{math|''g''}} का मान रचना संचालक {{math|''C''<sub>''g''</sub>}} को उस [[ऑपरेटर (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों को कार्यों के रूप में मैप करता है <math display="block">C_g f = f \circ g.</math>
 कंपोजीशन ऑपरेटरों का अध्ययन [[ऑपरेटर सिद्धांत]] के क्षेत्र में किया जाता है।
 ==प्रोग्रामिंग भाषाओं में==
-{{main|Function composition (computer science)}}
+{{main|फ़ंक्शन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)}}
-फ़ंक्शन संरचना अनेक [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में किसी न किसी रूप में प्रकट होती है।
+फलन संरचना अनेक [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में किसी न किसी रूप में प्रकट होती है।
 ==[[बहुभिन्नरूपी कार्य]]==
-बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए आंशिक संरचना संभव है। कुछ तर्क होने पर परिणामी फ़ंक्शन {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} फ़ंक्शन का {{mvar|f}} को फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{mvar|g}} की रचना कहलाती है {{mvar|f}} और {{mvar|g}} कुछ कंप्यूटर इंजीनियरिंग संदर्भों में, और दर्शाया गया है {{math|1=''f'' {{!}}<sub>''x''<sub>''i''</sub> = ''g''</sub>}}
+बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए आंशिक संरचना संभव है। कुछ तर्क होने पर परिणामी फलन {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} फलन का {{mvar|f}} को फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{mvar|g}} की रचना कहलाती है {{mvar|f}} और {{mvar|g}} कुछ कंप्यूटर इंजीनियरिंग संदर्भों में, और {{math|1=''f'' {{!}}<sub>''x''<sub>''i''</sub> = ''g''</sub>}} द्वारा इसे दर्शाया गया है।
 <math display="block">f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).</math>
-कब {{mvar|g}} साधारण स्थिरांक है {{mvar|b}}, रचना (आंशिक) मूल्यांकन में बदल जाती है, जिसके परिणाम को [[प्रतिबंध (गणित)]] या सह-कारक के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="Bryant_1986"/>
+जब {{mvar|g}} साधारण स्थिरांक है, जो {{mvar|b}} रचना के आंशिक मूल्यांकन में परिवर्तित कर दी जाती है, जिसके परिणाम को [[प्रतिबंध (गणित)]] या सह-कारक के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="Bryant_1986"/>
 <math display="block">f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).</math>
-सामान्य तौर पर, बहुभिन्नरूपी कार्यों की संरचना में तर्क के रूप में कई अन्य कार्य शामिल हो सकते हैं, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन की परिभाषा में। दिया गया {{mvar|f}}, ए {{mvar|n}}-एरी फ़ंक्शन, और {{mvar|n}} {{mvar|m}}-एरी फ़ंक्शंस {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}}, की रचना {{mvar|f}} साथ {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}}, है {{mvar|m}}-एरी फ़ंक्शन
+सामान्यतः बहुभिन्नरूपी कार्यों की संरचना में तर्क के रूप में कई अन्य कार्य सम्मिलित हो सकते हैं, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती फलन की परिभाषा में दिया गया {{mvar|f}}, ए {{mvar|n}}-एरी फलन, और {{mvar|n}} {{mvar|m}}-एरी फलन {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}}, की रचना {{mvar|f}} साथ {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}}, है {{mvar|m}}-एरी फलन को प्रकट करता हैं।
 <math display="block">h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m)).</math>
-इसे कभी-कभी ''एफ'' का सामान्यीकृत सम्मिश्रण या सुपरपोजिशन भी कहा जाता है {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}}.<ref name="Bergman_2011"/>पहले उल्लिखित केवल तर्क में आंशिक संरचना को उपयुक्त रूप से चुने गए प्रक्षेपण कार्यों को छोड़कर सभी तर्क कार्यों को सेट करके इस अधिक सामान्य योजना से त्वरित किया जा सकता है। यहाँ {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}} को इस सामान्यीकृत योजना में एकल वेक्टर/[[ टपल ]]-वैल्यू फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, इस मामले में यह फ़ंक्शन संरचना की बिल्कुल मानक परिभाषा है।<ref name="Tourlakis_2012"/>
+इसे कभी-कभी ''एफ'' का सामान्यीकृत सम्मिश्रण या सुपरपोजिशन {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}} भी कहा जाता है,<ref name="Bergman_2011"/> इसके पहले उल्लिखित केवल तर्क में आंशिक संरचना को उपयुक्त रूप से चुने गए प्रक्षेपण कार्यों को छोड़कर सभी तर्क कार्यों को समु्च्चय करके इस अधिक सामान्य योजना से त्वरित किया जा सकता है। यहाँ {{math|''g''<sub>1</sub>, ..., ''g''<sub>''n''</sub>}} को इस सामान्यीकृत योजना में एकल सदिश/[[ टपल ]]के मान के फलन के रूप में देखा जा सकता है, इस स्थिति में यह फलन संरचना की बिल्कुल मानक परिभाषा है।<ref name="Tourlakis_2012"/>
-कुछ बेस सेट ध्यान दें कि क्लोन में आम तौर पर विभिन्न प्रकार के ऑपरेशन होते हैं।<ref name="Bergman_2011"/>रूपान्तरण की धारणा को बहुभिन्नरूपी मामले में दिलचस्प सामान्यीकरण भी मिलता है; कहा जाता है कि arity n का फ़ंक्शन f, arity m के फ़ंक्शन g के साथ परिवर्तित होता है यदि f [[समरूपता]] है जो g को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत अर्थात:<ref name="Bergman_2011"/>
+कुछ बेस समु्च्चय ध्यान दें कि क्लोन में सामान्यतः विभिन्न प्रकार के प्रक्रिया होते हैं।<ref name="Bergman_2011"/>रूपान्तरण की धारणा को बहुभिन्नरूपी स्थिति में सामान्यीकरण भी मिलता है, इस प्रकार यह कहा जाता है कि arity n का फलन f, arity m के फलन g के साथ परिवर्तित होता है यदि f [[समरूपता]] है जो g को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत अर्थात:<ref name="Bergman_2011"/>
 <math display="block">f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm})).</math>
-एक यूनरी ऑपरेशन हमेशा अपने साथ ही चलता है, लेकिन बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) ऑपरेशन के मामले में यह जरूरी नहीं है। बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) ऑपरेशन जो स्वयं के साथ संचार करता है उसे [[औसत दर्जे का मैग्मा]] कहा जाता है।<ref name="Bergman_2011"/>
+एक यूनरी प्रक्रिया सदैव अपने साथ ही चलता है, लेकिन बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) प्रक्रिया की स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। इस प्रकार बाइनरी या उच्चतर एरीटी प्रक्रिया जो स्वयं के साथ संचार करता है, जिसे [[औसत दर्जे का मैग्मा]] कहा जाता है।<ref name="Bergman_2011"/>
 ==सामान्यीकरण==
-संबंधों की संरचना को मनमाने ढंग से [[द्विआधारी संबंध]]ों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
+संबंधों की संरचना को इस विधि से [[द्विआधारी संबंध]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके आधार पर यदि {{math|''R'' ⊆ ''X'' [[cartesian product|×]] ''Y''}} और {{math|''S'' ⊆ ''Y'' × ''Z''}} दो द्विआधारी संबंध हैं, फिर उनकी रचना {{math|''R''∘''S''}} संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, कि {{math|{(''x'', ''z'') ∈ ''X'' × ''Z'' : [[existential quantification|∃]]''y'' ∈ ''Y''. (''x'', ''y'') ∈ ''R'' [[logical conjunction|∧]] (''y'', ''z'')  ∈ ''S''}{{void}}}} को प्रकट करती हैं। इस प्रकार इस फलन को द्विआधारी संबंध अर्थात् [[कार्यात्मक संबंध]] की विशेष स्थिति के रूप में मानते हुए, फलन संरचना संबंध संरचना की परिभाषा को संतुष्ट करती है। इस प्रकार किसी छोटे वृत्त {{math|''R''∘''S''}} का उपयोग संबंधों की रचना के लिए सांकेतिक विविधताओं के साथ ही कार्यों के लिए किया गया है। जब कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर <math>(g \circ f)(x) \ = \ g(f(x))</math> समीकरण प्राप्त होता हैं। चूंकि इस प्रकार की अलग-अलग प्रक्रिया अनुक्रमों को तदनुसार दर्शाने के लिए पाठ अनुक्रम को व्युत्क्रम कर दिया गया है।
-अगर {{math|''R'' ⊆ ''X'' [[cartesian product|×]] ''Y''}} और {{math|''S'' ⊆ ''Y'' × ''Z''}} दो द्विआधारी संबंध हैं, फिर उनकी रचना {{math|''R''∘''S''}} संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|{(''x'', ''z'') ∈ ''X'' × ''Z'' : [[existential quantification|∃]]''y'' ∈ ''Y''. (''x'', ''y'') ∈ ''R'' [[logical conjunction|∧]] (''y'', ''z'')  ∈ ''S''}{{void}}}}.
-किसी फ़ंक्शन को द्विआधारी संबंध (अर्थात् [[कार्यात्मक संबंध]]) के विशेष मामले के रूप में मानते हुए, फ़ंक्शन संरचना संबंध संरचना की परिभाषा को संतुष्ट करती है। छोटा वृत्त {{math|''R''∘''S''}} का उपयोग Composition_of_relations#Notational_variations, साथ ही कार्यों के लिए किया गया है। जब कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है <math>(g \circ f)(x) \ = \ g(f(x))</math> हालाँकि, अलग-अलग ऑपरेशन अनुक्रमों को तदनुसार दर्शाने के लिए पाठ अनुक्रम को उलट दिया गया है।
-रचना को [[आंशिक कार्य]]ों के लिए उसी तरह से परिभाषित किया गया है और केली के प्रमेय का एनालॉग वैगनर-प्रेस्टन प्रमेय कहा जाता है।<ref name="Lipcomb_1997"/>
+रचना को [[आंशिक कार्य|आंशिक कार्यों]] के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया गया है और केली के प्रमेय का एनालॉग वैगनर-प्रेस्टन प्रमेय कहा जाता है।<ref name="Lipcomb_1997"/>
-आकारिकी के रूप में कार्यों वाले सेटों की श्रेणी प्रोटोटाइपिक [[श्रेणी (गणित)]] है। किसी श्रेणी के अभिगृहीत वास्तव में फ़ंक्शन संरचना के गुणों (और परिभाषा) से प्रेरित होते हैं।<ref name="Hilton-Wu_1989"/>संरचना द्वारा दी गई संरचनाएं कार्यों के श्रेणी-सैद्धांतिक प्रतिस्थापन के रूप में रूपवाद की अवधारणा के साथ [[श्रेणी सिद्धांत]] में स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत हैं। सूत्र में रचना का उलटा क्रम {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')<sup>−1</sup> = (''g''<sup>−1</sup> ∘ ''f'' <sup>−1</sup>)}} [[विपरीत संबंध]]ों का उपयोग करके संबंधों की संरचना के लिए लागू होता है, और इस प्रकार समूह सिद्धांत में। ये संरचनाएँ [[खंजर श्रेणी]] बनाती हैं।
+आकारिकी के रूप में कार्यों वाले समु्च्चयों की श्रेणी प्रोटोटाइपिक [[श्रेणी (गणित)]] है। किसी श्रेणी के अभिगृहीत वास्तव में फलन संरचना के गुणों (और परिभाषा) से प्रेरित होते हैं।<ref name="Hilton-Wu_1989"/>संरचना द्वारा दी गई संरचनाएं कार्यों के श्रेणी-सैद्धांतिक प्रतिस्थापन के रूप में रूपवाद की अवधारणा के साथ [[श्रेणी सिद्धांत]] में स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत हैं। सूत्र में रचना का उलटा क्रम {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')<sup>−1</sup> = (''g''<sup>−1</sup> ∘ ''f'' <sup>−1</sup>)}} [[विपरीत संबंध|विपरीत संबंधों]] का उपयोग करके संबंधों की संरचना के लिए लागू होता है, और इस प्रकार समूह सिद्धांत में प्रयुक्त किया जाता हैं। ये संरचनाएँ युनीकोड [[खंजर श्रेणी|श्रेणी]] बनाती हैं।
 ==टाइपोग्राफी==
-रचना चिन्ह {{math|∘}} के रूप में एन्कोड किया गया है {{unichar|2218|ring operator|html=}}; समान दिखने वाले यूनिकोड वर्णों के लिए डिग्री प्रतीक#लुकलाइक्स लेख देखें। [[TeX]] में लिखा है <code>\circ</code>.
+रचना चिन्ह {{math|∘}} के रूप में एन्कोड किया गया है, इसके आधार पर {{unichar|2218|ring operator|html=}}, समान दिखने वाले यूनिकोड वर्णों के लिए डिग्री प्रतीक#लुकलाइक्स लेख देखें। [[TeX]] में <code>\circ</code>. लिखा है।
 ==यह भी देखें==
-*[[मकड़ी के जाले की साजिश]] - कार्यात्मक संरचना के लिए ग्राफिकल तकनीक
+*[[मकड़ी के जाले की साजिश|काॅबवेब प्लाट]] - जिसे कार्यात्मक संरचना के लिए ग्राफिकल तकनीक के रूप में उपयोग किया जाता हैं।
 * संयोजन तर्क
-* [[रचना वलय]], रचना संचालन का औपचारिक स्वयंसिद्धीकरण
+* [[रचना वलय|संरचना वलय]], संरचना संचालन का औपचारिक स्वयंसिद्धीकरण
-* प्रवाह (गणित)
+* प्रवाह
-* [[फ़ंक्शन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)]]
+* [[फ़ंक्शन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)|फलन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)]]
-* यादृच्छिक चर#यादृच्छिक चर के कार्य, यादृच्छिक चर के फ़ंक्शन का वितरण
+* यादृच्छिक वैरियेबल के कार्य, यादृच्छिक वैरियेबल के फलन का वितरण
 * [[कार्यात्मक अपघटन]]
 *कार्यात्मक वर्गमूल
 * [[उच्च-क्रम का कार्य]]
-* [[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ]]
+* [[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ|विश्लेषणात्मक कार्यों की रचनाएँ]]
-* पुनरावृत्त फ़ंक्शन
+* पुनरावृत्त फलन
 * [[लैम्ब्डा कैलकुलस]]
@@ Line 149: / Line 151: @@
 * {{springer|title=Composite function|id=p/c024260}}
 * "[http://demonstrations.wolfram.com/CompositionOfFunctions/ Composition of Functions]" by Bruce Atwood, the [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
-[[Category: फ़ंक्शंस और मैपिंग]] [[Category: सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]] [[Category: बाइनरी ऑपरेशन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 06/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Mathematics sidebar templates]]
+[[Category:Missing redirects]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages that use a deprecated format of the math tags]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:फ़ंक्शंस और मैपिंग]]
+[[Category:बाइनरी ऑपरेशन]]
+[[Category:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]]

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Contents

उदाहरण

गुण

संरचना मोनोइड्स

कार्यात्मक पावरयाँ

वैकल्पिक संकेतन

संरचना संचालक

प्रोग्रामिंग भाषाओं में

बहुभिन्नरूपी कार्य

सामान्यीकरण

टाइपोग्राफी

यह भी देखें

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फ़ंक्शन
$x \mapsto f (x)$
डोमेन और कोडोमैन के उदाहरण
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
कक्षाएं/गुण
स्थिर पहचान रैखिक बहुपद तर्कसंगत बीजगणितीय विश्लेषणात्मक चिकनी निरंतर औसत दर्जे का इंजेक्शन सर्जिकल बायजजे
कंस्ट्रक्शन
प्रतिबंध रचना λ उलटा
सामान्यीकरण
आंशिक बहुउद्देशीय निहित स्पेस
v t e

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उदाहरण

गुण

संरचना मोनोइड्स

कार्यात्मक पावरयाँ

वैकल्पिक संकेतन

संरचना संचालक

प्रोग्रामिंग भाषाओं में

बहुभिन्नरूपी कार्य

सामान्यीकरण

टाइपोग्राफी

यह भी देखें

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