टेंसर घनत्व

विभेदक ज्यामिति में, एक टेंसर घनत्व या सापेक्ष टेंसर, टेंसर क्षेत्र अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे समन्वय प्रणाली में जाने पर एक टेंसर घनत्व एक टेंसर क्षेत्र के रूप में परिवर्तित हो जाता है (टेंसर फ़ील्ड देखें), सिवाय इसके कि इसे समन्वय परिवर्तन फलन या इसके निरपेक्ष मान के जैकोबियन निर्धारक की शक्ति W द्वारा अतिरिक्त रूप से गुणा या भारित किया जाता है। एकल सूचकांक वाले टेंसर घनत्व को सदिश घनत्व कहा जाता है। (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व, स्यूडोटेंसर घनत्व, सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व के बीच अंतर किया जाता है। कभी-कभी नकारात्मक भार W वाले टेंसर घनत्व को टेंसर क्षमता कहा जाता है। एक टेंसर घनत्व को एक घनत्व बंडल के साथ टेंसर बंडल के टेंसर उत्पाद के एक खंड (फाइबर बंडल) के रूप में भी माना जा सकता है।

प्रेरणा

भौतिकी और संबंधित क्षेत्रों में, वस्तु के अतिरिक्त बीजगणितीय वस्तु के घटकों के साथ काम करना अधिकांशतः उपयोगी होता है। एक उदाहरण कुछ गुणांकों द्वारा भारित आधार सदिश के योग में से एक सदिश को विघटित करना होगा जैसे कि

$${\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}$$

जहां ${\vec {v}}$ 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक सदिश है, $c_{i}\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}$ यूक्लिडियन स्थान में सामान्य मानक आधार सदिश हैं। यह सामान्यतया संगणनात्मक उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, और अधिकांशतः व्यावहारिक हो सकता है जब बीजगणितीय वस्तुएं जटिल अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करती हैं लेकिन उनके घटकों की ठोस व्याख्या होती है। चूंकि, इस पहचान के साथ, किसी को उस अंतर्निहित आधार के परिवर्तनों को पता करने में सावधानी बरतनी होगी जिसमें मात्रा का विस्तार किया गया है; यह गणना के समय सदिश के आधार को बदलने के लिए उपाय हो सकता है ${\vec {v}}$ भौतिक स्थान में स्थिर रहता है। सामान्यतः अधिक, यदि एक बीजगणितीय वस्तु एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती है, लेकिन एक विशेष आधार के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो यह आवश्यक है कि जब आधार बदला जाए, तो प्रतिनिधित्व को भी बदला जाए। भौतिक विज्ञानी अधिकांशतः एक ज्यामितीय वस्तु के इस प्रतिनिधित्व को एक टेन्सर कहते हैं यदि यह आधार के रैखिक परिवर्तन को देखते हुए रैखिक मानचित्रों के अनुक्रम के तहत रूपांतरित होता है (चूंकि भ्रमित करने वाले अन्य लोग अंतर्निहित ज्यामितीय वस्तु को कहते हैं जो समन्वय परिवर्तन के तहत नहीं बदला है, इसे "टेंसर" कहते हैं, एक परंपरा जिससे यह लेख सख्ती से बचता है)। सामान्यतः पर ऐसे अभ्यावेदन होते हैं जो स्वेच्छाचारिता ढंग से रूपांतरित होते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिनिधित्व से ज्यामितीय अपरिवर्तनीय का पुनर्निर्माण कैसे किया जाता है। कुछ विशेष स्थितियों में अभ्यावेदन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जो प्राय टेंसर की तरह बदलता है, लेकिन परिवर्तन में एक अतिरिक्त, अरेखीय कारक के साथ। एक प्रोटोटाइप उदाहरण एक आव्यूह है जो क्रॉस उत्पाद (विस्तारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbb {R} ^{2}.$ द्वारा मानक आधार पर प्रतिनिधित्व दिया जाता है

$${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$$

यदि अब हम इसी व्यंजक को मानक आधार के अतिरिक्त किसी अन्य आधार पर व्यक्त करने का प्रयास करें, तब सदिशों के घटक बदल जाएंगे, मान लीजिए के अनुसार ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ जहां $A$ वास्तविक संख्याओं का कुछ 2 बटा 2 आव्यूह है। यह देखते हुए कि फैले हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, आधार परिवर्तन के तहत यह नहीं बदल सकता है, और इसलिए इस आव्यूह का नया प्रतिनिधित्व होना चाहिए:

$$\left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}$$

जो, विस्तारित होने पर केवल मूल व्यंजक है लेकिन निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है $A^{-1},$ यह भी जो ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ वास्तव में इस प्रतिनिधित्व को दो सूचकांक टेंसर परिवर्तन के रूप में सोचा जा सकता है, लेकिन इसके अतिरिक्त, टेंसर परिवर्तन नियम को गुणा के रूप में सोचना संगणनात्मक रूप से आसान है ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ 2 आव्यूह गुणन के अतिरिक्त (वास्तव में उच्च आयामों में, इसका स्वाभाविक विस्तार है $n,n\times n$ आव्यूह गुणन, जो बड़े के लिए $n$ पूरी तरह से अव्यवहार्य है)। जो वस्तुएं इस तरह से परिवर्तित होती हैं उन्हें टेंसर घनत्व कहा जाता है क्योंकि वे क्षेत्रों और आयतन से संबंधित समस्याओं पर विचार करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और इसलिए अधिकांशतः एकीकरण में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

कुछ लेखक इस लेख में टेन्सर घनत्व को दो प्रकारों में वर्गीकृत करते हैं जिन्हें (प्रामाणिक) टेन्सर घनत्व और छद्म टेंसर घनत्व कहा जाता है। अन्य लेखक उन्हें अलग-अलग प्रकार से वर्गीकृत करते हैं, जिन्हें सम टेंसर घनत्व और विषम टेंसर घनत्व कहा जाता है। जब टेंसर घनत्व का भार एक पूर्णांक होता है तो इन दृष्टिकोणों के बीच एक समानता होती है जो इस बात पर निर्भर करती है कि पूर्णांक सम है या विषम।

ध्यान दें कि ये वर्गीकरण अलग-अलग विधि को स्पष्ट करते हैं कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-उलट समन्वय परिवर्तनों के तहत कुछ सीमा तक तर्कहीन रूप से बदल सकते हैं। इन प्रकारों में उनके वर्गीकरण के अतिरिक्त, केवल एक ही विधि है कि टेंसर घनत्व अभिविन्यास-संरक्षण समन्वय परिवर्तनों के तहत परिवर्तित हो जाते हैं।

इस लेख में हमने उस परिपाटी को चुना है जो +2 का भार निर्दिष्ट करती है $g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)$, सहसंयोजक सूचकांकों के साथ व्यक्त मीट्रिक टेंसर का निर्धारक। इस विकल्प के साथ, उत्कृष्ट घनत्व, जैसे चार्ज घनत्व, को भार +1 के टेंसर घनत्व द्वारा दर्शाया जाएगा। कुछ लेखक वज़न के लिए एक संकेत परिपाटी का उपयोग करते हैं जो कि यहां प्रस्तुत किए गए वज़न का निषेध है।

इस लेख में प्रयुक्त अर्थ के विपरीत, सामान्य सापेक्षता में स्यूडोटेन्सर का अर्थ कभी-कभी एक ऐसी वस्तु से होता है जो किसी भार के टेंसर या सापेक्ष टेंसर की तरह परिवर्तित नहीं होती है।

टेंसर और स्यूडोटेंसर घनत्व

उदाहरण के लिए, भार का मिश्रित रैंक-दो (प्रामाणिक) टेंसर घनत्व $W$ इस प्रकार परिवर्तित होता है:

${\mathfrak{T}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\left(det\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}\right]\right)}^W\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{}^{}}{}$