विश्लेषणात्मक विविधता: Difference between revisions
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गणित में, एक विश्लेषणात्मक | गणित में, एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड, जिसे <math>C^\omega</math> मैनिफोल्ड के रूप में भी जाना जाता है, विश्लेषणात्मक संक्रमण मानचित्रों के साथ एक भिन्न मैनिफोल्ड है।<ref name=":0">{{Citation|last=Varadarajan|first=V. S.|title=Differentiable and Analytic Manifolds|date=1984|work=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|pages=1–40|editor-last=Varadarajan|editor-first=V. S.|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=102|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-1126-6_1|isbn=978-1-4612-1126-6}}</ref> यह शब्द आमतौर पर वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स को संदर्भित करता है, हालांकि जटिल मैनिफोल्ड्स भी विश्लेषणात्मक होते हैं।<ref>{{citation|last=Vaughn|first=Michael T.|title=Introduction to Mathematical Physics|url=https://books.google.com/books?id=3Mnk63iqUc4C&pg=PA98|page=98|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9783527618866}}.</ref> बीजगणितीय ज्यामिति में, [[विश्लेषणात्मक स्थान]] विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि विलक्षणताओं की अनुमति है। | ||
<math>U \subseteq \R^n</math> के लिए, विश्लेषणात्मक कार्यों का स्थान, <math>C^{\omega}(U)</math>, अनंत रूप से भिन्न कार्यों <math>f:U \to \R </math> से युक्त है, जैसे कि टेलर श्रृंखला | |||
<math>T_f(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{D^\alpha f(\mathbf{x_0})}{\alpha!} (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^\alpha</math> | <math>T_f(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{D^\alpha f(\mathbf{x_0})}{\alpha!} (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^\alpha</math> | ||
सभी <math>\mathbf{x_0} \in U</math> के लिए, <math>\mathbf{x_0}</math> के पड़ोस में <math>f(\mathbf{x})</math> में परिवर्तित हो जाता है। संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता इस बात से काफी अधिक प्रतिबंधात्मक है कि वे असीम रूप से भिन्न हों; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स स्मूथ का एक उचित उपसमुच्चय है, यानी <math>C^\infty</math>, मैनिफोल्ड्स।<ref name=":0" />विश्लेषणात्मक और चिकनी मैनिफोल्ड के सिद्धांत के बीच कई समानताएं हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड एकता के विश्लेषणात्मक विभाजन को स्वीकार नहीं करते हैं, जबकि एकता के चिकनी विभाजन चिकनी मैनिफोल्ड के अध्ययन में एक आवश्यक उपकरण हैं। <ref>{{Cite book|last=Tu|first=Loring W.|title=मैनिफोल्ड्स का एक परिचय|date=2011|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4419-7399-3|series=Universitext|location=New York, NY|doi=10.1007/978-1-4419-7400-6}}</ref> परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक मामले के लिए भिन्न-भिन्न रूपों में और जटिल मामले के लिए जटिल रूपों में पाया जा सकता है। | |||
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Revision as of 21:48, 15 July 2023
गणित में, एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड, जिसे मैनिफोल्ड के रूप में भी जाना जाता है, विश्लेषणात्मक संक्रमण मानचित्रों के साथ एक भिन्न मैनिफोल्ड है।[1] यह शब्द आमतौर पर वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स को संदर्भित करता है, हालांकि जटिल मैनिफोल्ड्स भी विश्लेषणात्मक होते हैं।[2] बीजगणितीय ज्यामिति में, विश्लेषणात्मक स्थान विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि विलक्षणताओं की अनुमति है।
के लिए, विश्लेषणात्मक कार्यों का स्थान, , अनंत रूप से भिन्न कार्यों से युक्त है, जैसे कि टेलर श्रृंखला
सभी के लिए, के पड़ोस में में परिवर्तित हो जाता है। संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता इस बात से काफी अधिक प्रतिबंधात्मक है कि वे असीम रूप से भिन्न हों; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स स्मूथ का एक उचित उपसमुच्चय है, यानी , मैनिफोल्ड्स।[1]विश्लेषणात्मक और चिकनी मैनिफोल्ड के सिद्धांत के बीच कई समानताएं हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड एकता के विश्लेषणात्मक विभाजन को स्वीकार नहीं करते हैं, जबकि एकता के चिकनी विभाजन चिकनी मैनिफोल्ड के अध्ययन में एक आवश्यक उपकरण हैं। [3] परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक मामले के लिए भिन्न-भिन्न रूपों में और जटिल मामले के लिए जटिल रूपों में पाया जा सकता है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Varadarajan, V. S. (1984), Varadarajan, V. S. (ed.), "Differentiable and Analytic Manifolds", Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, Graduate Texts in Mathematics (in English), Springer, vol. 102, pp. 1–40, doi:10.1007/978-1-4612-1126-6_1, ISBN 978-1-4612-1126-6
- ↑ Vaughn, Michael T. (2008), Introduction to Mathematical Physics, John Wiley & Sons, p. 98, ISBN 9783527618866.
- ↑ Tu, Loring W. (2011). मैनिफोल्ड्स का एक परिचय. Universitext. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6. ISBN 978-1-4419-7399-3.
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