आकार सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में <math>\mathbb{R}^k</math> मूल्यवान संपन्न [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] स्थान के गुणों का अध्ययन करता रहता है| इस प्रकार [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] अधिक औपचारिक रूप से होती हैं| और आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के मध्य [[प्राकृतिक छद्म दूरी]] का अध्ययन होता है| इस प्रकार आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.<ref name="BiDeFa08">Silvia Biasotti, [[Leila De Floriani]], [[Bianca Falcidieno]], Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions,
गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में <math>\mathbb{R}^k</math> मूल्यवान संपन्न [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] स्थान के गुणों का अध्ययन करता रहता है| इस प्रकार [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] अधिक औपचारिक रूप से होती हैं| और आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के मध्य [[प्राकृतिक छद्म दूरी]] का अध्ययन होता है| इस प्रकार आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.<ref name="BiDeFa08">Silvia Biasotti, [[Leila De Floriani]], [[Bianca Falcidieno]], Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions,
ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1&ndash;12:87.</ref>
ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1&ndash;12:87.</ref>  
==इतिहास और अनुप्रयोग==
==इतिहास और अनुप्रयोग ==
आकार सिद्धांत के प्रारंभ में फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में यह निहित होता है।<ref name="Fro90">Patrizio Frosini, ''A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space'', Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407&ndash;416, 1990.</ref> कि [[कंप्यूटर दृष्टि]] और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया जाता है।<ref>Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri,
आकार सिद्धांत के प्रारंभ में फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में यह निहित होता है।<ref name="Fro90">Patrizio Frosini, ''A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space'', Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407&ndash;416, 1990.</ref> कि [[कंप्यूटर दृष्टि]] और क्रम पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया जाता है।<ref>Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri,
''On the use of size functions for shape analysis'',
''On the use of size functions for shape analysis'',
Biological Cybernetics, 70:99&ndash;107, 1993.
Biological Cybernetics, 70:99&ndash;107, 1993.
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आकार फलन की अवधारणा का [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के लिए विस्तार 1999 में फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था <ref name="FroMu99">Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, ''Size homotopy groups for computation of natural size distances'', Bulletin of the Belgian Mathematical Society &ndash; Simon Stevin, 6:455&ndash;464 1999.</ref> और जहां आकार के समरूप समूहों को <math>\mathbb{R}^k</math> मूल्यवान फलन के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था| इस प्रकार होमोलॉजी सिद्धांत ([[आकार फ़ैक्टर]]) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था।<ref name="CaFePo01">Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, ''Size functions from a categorical viewpoint'', Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225&ndash;235, 2001.</ref> और आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से सदैव होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित होते रहते हैं<ref name="EdLeZo02">Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, ''Topological Persistence and Simplification'', [[Discrete and Computational Geometry]], 28(4):511&ndash;533, 2002.</ref> और सदैव होमोलॉजी में इनका अध्ययन किया गया हैं। इस प्रकार यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन <math>0</math> सदैव होमोलॉजी समूह की रैंक होती है,और जबकि सदैव होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के मध्य का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के मध्य वर्तमान संबंध के अनुरूप होता है।
इस प्रकार आकार फलन की अवधारणा का [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के लिए विस्तार 1999 में फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था <ref name="FroMu99">Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, ''Size homotopy groups for computation of natural size distances'', Bulletin of the Belgian Mathematical Society &ndash; Simon Stevin, 6:455&ndash;464 1999.</ref> और जहां आकार के समरूप समूहों को <math>\mathbb{R}^k</math> मूल्यवान फलन के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था| इस प्रकार होमोलॉजी सिद्धांत ([[आकार फ़ैक्टर]]) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था।<ref name="CaFePo01">Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, ''Size functions from a categorical viewpoint'', Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225&ndash;235, 2001.</ref> और आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से सदैव होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित होते रहते हैं<ref name="EdLeZo02">Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, ''Topological Persistence and Simplification'', [[Discrete and Computational Geometry]], 28(4):511&ndash;533, 2002.</ref> और सदैव होमोलॉजी में इनका अध्ययन किया गया हैं। इस प्रकार यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन <math>0</math> सदैव होमोलॉजी समूह की रैंक होती है,और जबकि सदैव होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के मध्य का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के मध्य वर्तमान संबंध के अनुरूप होता है।  


आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार [[समरूप समूह|समरूप समूहो]] को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए '''निचली सीमा''' की गणना करने के लिए उपकरण के रूप में देखा जाता है। क्योकि,निम्नलिखित लिंक आकार फलन <math>\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)</math>,<math>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)</math>, <math>d((M,\varphi),(N,\psi))                                                                                                                                                                                        </math> द्वारा आकार जोड़े <math>(M,\varphi),\  (N,\psi)</math> के मध्य में लिए गए मानों के मध्य उपस्थित होता है |<ref name="FroLa99">Patrizio Frosini and Claudia Landi, ''Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision'', Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596&ndash;603, 1999.</ref> <ref name="DoFro04">Pietro Donatini and Patrizio Frosini, ''Lower bounds for natural pseudodistances via size functions'', Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1&ndash;12, 2004.</ref>
आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार [[समरूप समूह|समरूप समूहो]] को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए '''निचली सीमा''' की गणना करने के लिए उपकरण के रूप में देखा जाता है। क्योकि,निम्नलिखित लिंक आकार फलन <math>\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)</math>,<math>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)</math>, <math>d((M,\varphi),(N,\psi))                                                                                                                                                                                        </math> द्वारा आकार जोड़े <math>(M,\varphi),\  (N,\psi)</math> के मध्य में लिए गए मानों के मध्य उपस्थित होता है |<ref name="FroLa99">Patrizio Frosini and Claudia Landi, ''Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision'', Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596&ndash;603, 1999.</ref> <ref name="DoFro04">Pietro Donatini and Patrizio Frosini, ''Lower bounds for natural pseudodistances via size functions'', Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1&ndash;12, 2004.</ref>  


,<math>\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.                                                                                                                                                                                                                  </math>
,<math>\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.                                                                                                                                                                                                                  </math>  


समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।<ref name="FroMu99" />
समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।<ref name="FroMu99" />  


आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन ने अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया गया है।<ref name="FrLa09">Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407&ndash;452, 2009.</ref>
आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन ने अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया गया है।<ref name="FrLa09">Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407&ndash;452, 2009.</ref>  
==यह भी देखें{{Portal|Mathematics}}==
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* आकृति फलन
* आकृति फलन  
* प्राकृतिक छद्म दूरी
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* आकृति फ़ैक्टर
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* आकृति समरूप समूह
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==संदर्भ==
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गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में मूल्यवान संपन्न टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के गुणों का अध्ययन करता रहता है| इस प्रकार फलन (गणित) अधिक औपचारिक रूप से होती हैं| और आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के मध्य प्राकृतिक छद्म दूरी का अध्ययन होता है| इस प्रकार आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.[1]

इतिहास और अनुप्रयोग

आकार सिद्धांत के प्रारंभ में फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में यह निहित होता है।[2] कि कंप्यूटर दृष्टि और क्रम पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया जाता है।[3][4][5][6][7][8][9][10]

इस प्रकार आकार फलन की अवधारणा का बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए विस्तार 1999 में फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था [11] और जहां आकार के समरूप समूहों को मूल्यवान फलन के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था| इस प्रकार होमोलॉजी सिद्धांत (आकार फ़ैक्टर) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था।[12] और आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से सदैव होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित होते रहते हैं[13] और सदैव होमोलॉजी में इनका अध्ययन किया गया हैं। इस प्रकार यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन सदैव होमोलॉजी समूह की रैंक होती है,और जबकि सदैव होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के मध्य का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के मध्य वर्तमान संबंध के अनुरूप होता है।

आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार समरूप समूहो को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के लिए उपकरण के रूप में देखा जाता है। क्योकि,निम्नलिखित लिंक आकार फलन ,, द्वारा आकार जोड़े के मध्य में लिए गए मानों के मध्य उपस्थित होता है |[14] [15]

,

समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।[11]

आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन ने अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया गया है।[16]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Silvia Biasotti, Leila De Floriani, Bianca Falcidieno, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions, ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1–12:87.
  2. ↑ Patrizio Frosini, A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407–416, 1990.
  3. ↑ Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri, On the use of size functions for shape analysis, Biological Cybernetics, 70:99–107, 1993.
  4. ↑ Patrizio Frosini and Claudia Landi, Size functions and morphological transformations, Acta Applicandae Mathematicae, 49(1):85–104, 1997.
  5. ↑ Alessandro Verri and Claudio Uras, Metric-topological approach to shape representation and recognition, Image Vision Comput., 14:189–207, 1996.
  6. ↑ Alessandro Verri and Claudio Uras, Computing size functions from edge maps, Internat. J. Comput. Vision, 23(2):169–183, 1997.
  7. ↑ Françoise Dibos, Patrizio Frosini and Denis Pasquignon, The use of size functions for comparison of shapes through differential invariants, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(2):107–118, 2004.
  8. ↑ Michele d'Amico, Patrizio Frosini and Claudia Landi, Using matching distance in Size Theory: a survey, International Journal of Imaging Systems and Technology, 16(5):154–161, 2006.
  9. ↑ Andrea Cerri, Massimo Ferri, Daniela Giorgi: Retrieval of trademark images by means of size functions Graphical Models 68:451–471, 2006.
  10. ↑ Silvia Biasotti, Daniela Giorgi, Michela Spagnuolo, Bianca Falcidieno: Size functions for comparing 3D models. Pattern Recognition 41:2855–2873, 2008.
  11. ↑ 11.0 11.1 Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, Size homotopy groups for computation of natural size distances, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin, 6:455–464 1999.
  12. ↑ Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, Size functions from a categorical viewpoint, Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225–235, 2001.
  13. ↑ Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, Topological Persistence and Simplification, Discrete and Computational Geometry, 28(4):511–533, 2002.
  14. ↑ Patrizio Frosini and Claudia Landi, Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision, Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596–603, 1999.
  15. ↑ Pietro Donatini and Patrizio Frosini, Lower bounds for natural pseudodistances via size functions, Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1–12, 2004.
  16. ↑ Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407–452, 2009.
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