अक्षीय सदिश: Difference between revisions
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|isbn=981-02-4196-8 |year=2000 |publisher=World Scientific}} | |isbn=981-02-4196-8 |year=2000 |publisher=World Scientific}} | ||
</ref>]]भौतिकी और गणित में, एक | </ref>]][[भौतिकी]] और [[गणित]] में, एक '''छद्म सदिश''' (या '''अक्षीय सदिश''') एक राशि है जो कई स्थितियों में एक [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को [[घूर्णन]], [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण]], [[परावर्तन]], आदि द्वारा [[कठोरता|दृढ़ता]] [[से रूपांतरित]] कर दिया जाता है। यह तब भी हो सकता है जब अंतरिक्ष का [[अभिविन्यास (स्थान)]] बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गति एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अक्सर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और [[स्थिति वेक्टर|स्थिति सदिश]] को बदलने) से, कोणीय गति 'सदिश' दिशा को उलट सकता है। यह दिशा उलटाव सच्चे वैक्टर के साथ नहीं होना चाहिए। | ||
तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय | तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय सदिश क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] और दो ध्रुवीय वैक्टर का क्रॉस उत्पाद छद्मसदिश हैं।<ref name=Tarapov> | ||
{{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}} | {{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}} | ||
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छद्मसदिश का एक उदाहरण एक उन्मुख विमान (ज्यामिति) का सामान्य है। एक उन्मुख विमान को दो गैर-समानांतर वैक्टर, ए और बी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,<ref name=FeynmanLectures> | |||
[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1] | [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1] | ||
</ref> जो विमान को फैलाता है। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक सामान्य है (दो सामान्य हैं, प्रत्येक तरफ एक - [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक | </ref> जो विमान को फैलाता है। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक सामान्य है (दो सामान्य हैं, प्रत्येक तरफ एक - [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सरफेस नॉर्मल#ट्रांसफॉर्मिंग नॉर्मल होने पर इस पर विचार करना पड़ता है। | ||
भौतिकी में कई मात्राएँ ध्रुवीय वैक्टर के बजाय | भौतिकी में कई मात्राएँ ध्रुवीय वैक्टर के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] शामिल हैं। गणित में, तीन-आयामों में, स्यूडोसदिश [[bivector]] के बराबर होते हैं, जिससे स्यूडोसदिश के परिवर्तन नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर एन-आयामी [[ज्यामितीय बीजगणित]] में स्यूडोसदिश आयाम के साथ बीजगणित के तत्व होते हैं {{nowrap|''n'' − 1}},लिखित ⋀<sup>n−1</sup>'R'<sup>n</sup>. लेबल स्यूडो को आगे [[स्यूडोस्केलर]] और [[स्यूडो[[टेन्सर]]]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक सच्चे स्केलर (गणित) या टेंसर की तुलना में अनुचित घुमाव के तहत एक अतिरिक्त संकेत फ्लिप प्राप्त करते हैं। | ||
==भौतिक उदाहरण== | ==भौतिक उदाहरण== | ||
छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में [[ टॉर्कः ]],<ref name=FeynmanLectures/>कोणीय वेग, कोणीय संवेग,<ref name=FeynmanLectures/>चुंबकीय क्षेत्र,<ref name=FeynmanLectures/>और [[चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण]]। | |||
[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|पर्यवेक्षक से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति | [[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|पर्यवेक्षक से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति छद्मसदिश होता है। कार की दर्पण छवि के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे की दर्पण छवियां होने के बजाय एक ही दिशा में इंगित करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश कोणीय गति पर विचार करें {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}}. कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में प्रतिबिंबित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय गति सदिश का परावर्तन (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर इंगित करता है, लेकिन पहिया का वास्तविक कोणीय गति सदिश (जो है) अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ना) अभी भी बाईं ओर इंगित करता है, एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त संकेत फ्लिप के अनुरूप। | ||
[[भौतिकी में समरूपता]] को समझने में ध्रुवीय वैक्टर और | [[भौतिकी में समरूपता]] को समझने में ध्रुवीय वैक्टर और छद्मसदिश के बीच अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें {{nowrap|1=''z'' = 0}} वह समतल जो पाश के अंदर z दिशा में उन्मुख एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह प्रणाली इस विमान के माध्यम से दर्पण परावर्तन के तहत [[सममित]] (अपरिवर्तनीय) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस तल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में प्रतिबिंबित करने से इसके उलट होने की उम्मीद की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त संकेत फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है। | ||
भौतिकी में, | भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के कर्ल (गणित) को लेने का परिणाम होते हैं। क्रॉस उत्पाद और कर्ल को परंपरा के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के संदर्भ में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे। | ||
जबकि भौतिकी में | जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को समन्वय-मुक्त तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, वैक्टर और छद्मसदिश को संख्यात्मक मात्रा के रूप में व्यक्त करने के लिए एक समन्वय प्रणाली की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों के बीच रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का प्रतिनिधित्व वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होता है, और उन्हें सदिश प्रतिनिधित्व के रूप में मानने से गलत संकेत परिवर्तन हो जाएगा, इसलिए इस बात का ध्यान रखना होगा कि कौन से ऑर्डर किए गए ट्रिपल वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जो छद्मसदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह समस्या मौजूद नहीं है यदि दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को दो वैक्टरों के [[बाहरी उत्पाद]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक बायसदिश उत्पन्न करता है जो 2 रैंक टेंसर है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-टेंसर का यह प्रतिनिधित्व किन्हीं दो समन्वय प्रणालियों के बीच, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है। | ||
==विवरण== | ==विवरण== | ||
{{See also|Covariance and contravariance of vectors|Euclidean vector}} | {{See also|Covariance and contravariance of vectors|Euclidean vector}} | ||
भौतिकी में एक | भौतिकी में एक सदिश की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और स्यूडोसदिश दोनों सहित) सदिश की गणितीय परिभाषा (अर्थात्, एक अमूर्त [[सदिश स्थल]] का कोई भी तत्व) की तुलना में अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के तहत, एक सदिश में टुपल होना आवश्यक है जो एक [[घूर्णन (गणित)]] के तहत एक निश्चित तरीके से बदलता है: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घुमाया जाता, तो सदिश बिल्कुल उसी तरह से घूमता। (इस चर्चा में समन्वय प्रणाली तय की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] आर द्वारा वर्णित रोटेशन से गुजरता है, तो एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] 'x' है में परिवर्तित हो गया {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}}, तो किसी भी सदिश v को इसी तरह से रूपांतरित किया जाना चाहिए {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}}. यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक मात्राओं के किसी भी अन्य त्रिक (उदाहरण के लिए, लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) से अलग करती है। एक आयताकार बॉक्स के तीन घटकों को सदिश के तीन घटकों पर विचार नहीं किया जा सकता है, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं।) | ||
([[ विभेदक ज्यामिति ]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक | ([[ विभेदक ज्यामिति ]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का टेंसर और रैंक एक के वैक्टर के कॉन्ट्रावेरिएंस को परिभाषित करने के बराबर है। इस अधिक सामान्य ढांचे में, उच्च रैंक टेंसर में मनमाने ढंग से कई और मिश्रित सहसंयोजक और कॉन्ट्रावेरिएंट रैंक भी हो सकते हैं। एक ही समय, [[आइंस्टीन सारांश सम्मेलन]] के भीतर ऊंचे और निचले सूचकांकों द्वारा दर्शाया गया है। | ||
सामान्य मैट्रिक्स गुणन ऑपरेटर के तहत पंक्ति और स्तंभ वैक्टर का एक बुनियादी और ठोस उदाहरण है: एक क्रम में वे डॉट उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश है और इस तरह एक रैंक शून्य टेंसर है, जबकि दूसरे में वे डायडिक उत्पन्न करते हैं उत्पाद, जो एक मैट्रिक्स है जो एक रैंक दो मिश्रित टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक कंट्रावेरिएंट और एक सहसंयोजक सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-अनुवर्तनीयता का उपयोग सहसंयोजक और विरोधाभासी वैक्टर के बीच अंतर का ट्रैक रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और सामान्यीकृत टेंसर नोटेशन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक हेरफेर के लिए सामान्य टेंसर रिक्त स्थान के आधार वैक्टर को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।) | सामान्य मैट्रिक्स गुणन ऑपरेटर के तहत पंक्ति और स्तंभ वैक्टर का एक बुनियादी और ठोस उदाहरण है: एक क्रम में वे डॉट उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश है और इस तरह एक रैंक शून्य टेंसर है, जबकि दूसरे में वे डायडिक उत्पन्न करते हैं उत्पाद, जो एक मैट्रिक्स है जो एक रैंक दो मिश्रित टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक कंट्रावेरिएंट और एक सहसंयोजक सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-अनुवर्तनीयता का उपयोग सहसंयोजक और विरोधाभासी वैक्टर के बीच अंतर का ट्रैक रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और सामान्यीकृत टेंसर नोटेशन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक हेरफेर के लिए सामान्य टेंसर रिक्त स्थान के आधार वैक्टर को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।) | ||
अब तक की चर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई [[अनुचित घुमाव]] पर भी विचार कर सकता है, यानी दर्पण- | अब तक की चर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई [[अनुचित घुमाव]] पर भी विचार कर सकता है, यानी दर्पण-परावर्तन के बाद संभवतः उचित घुमाव। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-आयामी अंतरिक्ष में [[एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण]] है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति सदिश 'x' में बदल जाता है। {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}}. यदि सदिश v एक ध्रुवीय सदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}}. यदि यह एक छद्मसदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = −''R'''''v'''}}. | ||
ध्रुवीय सदिशों और | ध्रुवीय सदिशों और छद्मसदिशों के लिए परिवर्तन नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है | ||
: <math> | : <math> | ||
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===जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार=== | ===जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार=== | ||
मान लीजिए वी<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> ज्ञात | मान लीजिए वी<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> ज्ञात छद्मसदिश हैं, और वी<sub>3</sub> उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}}. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'<sub>3</sub> में परिवर्तित हो जाता है | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 58: | Line 58: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
तो वि<sub>3</sub> एक | तो वि<sub>3</sub> एक छद्मसदिश भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के बीच का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय वैक्टरों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है। संख्या एक और छद्मसदिश उत्पन्न करती है। | ||
दूसरी ओर, मान लीजिए वी<sub>1</sub> एक ध्रुवीय | दूसरी ओर, मान लीजिए वी<sub>1</sub> एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, वी<sub>2</sub> एक | ||