साइन फ़ंक्शन

"एसजीएन" redirects here. For other uses, see एसजीएन (बहुविकल्पी).

Not to be confused with संबंध पर हस्ताक्षर करें or साइन फ़ंक्शन.

सिग्नल फ़ंक्शन $y=\operatorname {sgn} x$

गणित में, साइन फ़ंक्शन या साइनम फ़ंक्शन (साइनम से, लैटिन भाषा में "साइन" के लिए) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक संख्या का साइन (गणित) लौटाता है। गणितीय संकेतन में साइन फ़ंक्शन को अधिकांश $\operatorname {sgn}(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

परिभाषा

वास्तविक संख्या $x$ का साइनम फ़ंक्शन एक टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

गुण

File:Discontinuity of the sign function at 0.svg

साइन फ़ंक्शन निरंतर कार्य नहीं है $x=0$.

किसी भी वास्तविक संख्या को उसके निरपेक्ष मान और उसके चिह्न फलन के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$x=|x|\operatorname {sgn} x.$$

यह जब भी चलता है $x$ हमारे पास 0 के बराबर नहीं है

$$\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$$

इसी प्रकार, किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,

$$|x|=x\operatorname {sgn} x.$$

हम यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि:

$$\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.$$

साइनम फ़ंक्शन शून्य पर अनिश्चितता तक (किन्तु सम्मिलित नहीं) पूर्ण मान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। अधिक औपचारिक रूप से, एकीकरण सिद्धांत में यह एक कमजोर व्युत्पन्न है, और उत्तल कार्य सिद्धांत में 0 पर निरपेक्ष मान का उपविभेदक अंतराल $[-1,1]$ है, साइन फ़ंक्शन को भरता (पूर्ण मान का उप-अंतर 0 पर एकल-मान नहीं है) हैं। ध्यान दें, $x$ की परिणामी घात 0 है, जो $x$ के सामान्य व्युत्पन्न के समान है। संख्याएँ रद्द हो जाती हैं और हमारे पास केवल $x$ का चिह्न ही रह जाता है।

$${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.$$

साइनम फ़ंक्शन 0 को छोड़कर प्रत्येक स्थान व्युत्पन्न 0 के साथ भिन्न होता है। यह सामान्य अर्थों में 0 पर भिन्न नहीं होता है, किन्तु वितरण (गणित) में भेदभाव की सामान्यीकृत धारणा के अनुसार, साइनम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फ़ंक्शन से दो गुना है, जिसे पहचान का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है

$$\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$$

जहां $H(x)$ मानक $H(0)={\frac {1}{2}}$ औपचारिकता का उपयोग करते हुए हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है। इस पहचान का उपयोग करके वितरण व्युत्पन्न प्राप्त करना आसान है:

$${\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.$$

साइनम फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है

$$\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},$$

जहां $PV$ का अर्थ कॉची प्रिंसिपल वैल्यू लेना है।

साइनम को इवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$$

साइनम को फ़्लोर और निरपेक्ष मान फ़ंक्शंस का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.$$

साइनम फ़ंक्शन की एक बहुत ही सरल परिभाषा है यदि $0^{0}$ 1 के बराबर माना जाता है। तब साइनम को सभी वास्तविक संख्याओं के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.$$

साइनम फ़ंक्शन सीमाओं के साथ मेल खाता है

$$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.$$

और

$$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.$$
साथ ही साथ,

$$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.$$

यहाँ, $\tanh(x)$ हाइपरबोलिक स्पर्शज्या है और इसके ऊपर -1 का सुपरस्क्रिप्ट, त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलन, स्पर्शरेखा के लिए आशुलिपि संकेतन है।

$k>1$ के लिए, साइन फ़ंक्शन का एक सहज सन्निकटन है

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