आकार सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित में, आकार सिद्धांत [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] स्थान के गुणों का अध्ययन करता है <math>\mathbb{R}^k</math>-मूल्यवान [[फ़ंक्शन (गणित)]], इन कार्यों के परिवर्तन के संबंध में। अधिक औपचारिक रूप से, आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के बीच [[प्राकृतिक छद्म दूरी]] का अध्ययन है।
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आकार सिद्धांत का एक सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है
.<ref name="BiDeFa08">Silvia Biasotti, [[Leila De Floriani]], [[Bianca Falcidieno]], Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions,
ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1&ndash;12:87.</ref>
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==इतिहास और अनुप्रयोग==
==इतिहास और अनुप्रयोग==
आकार सिद्धांत की शुरुआत फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में निहित है।<ref name="Fro90">Patrizio Frosini, ''A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space'', Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407&ndash;416, 1990.</ref> [[कंप्यूटर दृष्टि]] और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए आकार फ़ंक्शन का उपयोग प्रारंभ में गणितीय उपकरण के रूप में किया गया है।<ref>Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri,
आकार सिद्धांत की प्रारंभ फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में निहित है।<ref name="Fro90">Patrizio Frosini, ''A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space'', Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407&ndash;416, 1990.</ref> [[कंप्यूटर दृष्टि]] और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया गया है।<ref>Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri,
''On the use of size functions for shape analysis'',
''On the use of size functions for shape analysis'',
Biological Cybernetics, 70:99&ndash;107, 1993.
Biological Cybernetics, 70:99&ndash;107, 1993.
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[[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के लिए आकार फ़ंक्शन की अवधारणा का विस्तार 1999 फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था <ref name="FroMu99">Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, ''Size homotopy groups for computation of natural size distances'', Bulletin of the Belgian Mathematical Society &ndash; Simon Stevin, 6:455&ndash;464 1999.</ref> जहां आकार के समरूप समूहों को प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ पेश किया गया था <math>\mathbb{R}^k</math>-मूल्यवान कार्य।
होमोलॉजी सिद्धांत ([[आकार फ़ैक्टर]]) का विस्तार 2001 में पेश किया गया था।<ref name="CaFePo01">Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, ''Size functions from a categorical viewpoint'', Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225&ndash;235, 2001.</ref>
आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से लगातार होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित हैं
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और आकार होमोटोपी समूह, होमोलोजी समूहों और होमोटोपी समूहों के बीच मौजूद एक के अनुरूप है।


आकार सिद्धांत में, आकार कार्यों और आकार [[समरूप समूह]]ों को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के उपकरण के रूप में देखा जाता है।
आकार फलन की अवधारणा का [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के लिए विस्तार 1999 फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था <ref name="FroMu99">Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, ''Size homotopy groups for computation of natural size distances'', Bulletin of the Belgian Mathematical Society &ndash; Simon Stevin, 6:455&ndash;464 1999.</ref> जहां आकार के समरूप समूहों को <math>\mathbb{R}^k</math>  मूल्यवान फलनो के लिए  प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था|  होमोलॉजी सिद्धांत ([[आकार फ़ैक्टर]]) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था।<ref name="CaFePo01">Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, ''Size functions from a categorical viewpoint'', Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225&ndash;235, 2001.</ref> आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से लगातार होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित हैं<ref name="EdLeZo02">Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, ''Topological Persistence and Simplification'', [[Discrete and Computational Geometry]], 28(4):511&ndash;533, 2002.</ref>
दरअसल, आकार फ़ंक्शन द्वारा लिए गए मानों के बीच निम्नलिखित लिंक मौजूद है <math>\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)</math>, <math>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)</math> और प्राकृतिक छद्म दूरी
 
<math>d((M,\varphi),(N,\psi))</math> आकार जोड़े के बीच <math>(M,\varphi),\  (N,\psi)</math>
लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया है। यह इंगित करना उचित है कि आकार फ़ंक्शन {2}-वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है, जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।
,<ref name="FroLa99">Patrizio Frosini and Claudia Landi, ''Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision'', Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596&ndash;603, 1999.</ref><ref name="DoFro04">Pietro Donatini and Patrizio Frosini, ''Lower bounds for natural pseudodistances via size functions'', Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1&ndash;12, 2004.</ref>
 
: <math>\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.</math>
 
लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया हैं। यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन <math>0</math> वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है, , जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।
 
आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार [[समरूप समूह|समरूप समूहो]] को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के उपकरण के रूप में देखा जाता है।दरअसल,निम्नलिखित लिंक आकार फलन <math>\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)</math>,<math>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)</math>, <math>d((M,\varphi),(N,\psi))</math> द्वारा  आकार जोड़े <math>(M,\varphi),\  (N,\psi)</math> के बीच लिए गए मानों के बीच  मौजूद है |<ref name="FroLa99">Patrizio Frosini and Claudia Landi, ''Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision'', Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596&ndash;603, 1999.</ref> <ref name="DoFro04">Pietro Donatini and Patrizio Frosini, ''Lower bounds for natural pseudodistances via size functions'', Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1&ndash;12, 2004.</ref>
 
,<math>\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}.</math>
 
एक समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।<ref name="FroMu99"/>
एक समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।<ref name="FroMu99"/>


आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया है।<ref name="FrLa09">Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407&ndash;452, 2009.</ref>
आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया है।<ref name="FrLa09">Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407&ndash;452, 2009.</ref>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
{{Portal|Mathematics}}
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* आकार फ़ंक्शन
* आकार फलन
* प्राकृतिक छद्म दूरी
* प्राकृतिक छद्म दूरी
* आकार फ़ैक्टर
* आकार फ़ैक्टर
* आकार समरूप समूह
* आकार समरूप समूह
* साइज़ जोड़ी
* आकार जोड़ी
* [[मिलान दूरी]]
* [[मिलान दूरी]]


Revision as of 21:40, 13 July 2023

गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में मूल्यवान संपन्न टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के गुणों का अध्ययन करता है| फलन (गणित), अधिक औपचारिक रूप से, आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के बीच प्राकृतिक छद्म दूरी का अध्ययन है। आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.[1]

इतिहास और अनुप्रयोग

आकार सिद्धांत की प्रारंभ फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में निहित है।[2] कंप्यूटर दृष्टि और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया गया है।[3][4][5][6][7][8][9][10]

आकार फलन की अवधारणा का बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए विस्तार 1999 फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था [11] जहां आकार के समरूप समूहों को मूल्यवान फलनो के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था| होमोलॉजी सिद्धांत (आकार फ़ैक्टर) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था।[12] आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से लगातार होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित हैं[13]

लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया है। यह इंगित करना उचित है कि आकार फ़ंक्शन {2}-वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है, जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।


लगातार होमोलॉजी में अध्ययन किया गया हैं। यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन वें लगातार होमोलॉजी समूह की रैंक है, , जबकि लगातार होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के बीच का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के बीच मौजूदा संबंध के अनुरूप है।

आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार समरूप समूहो को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के उपकरण के रूप में देखा जाता है।दरअसल,निम्नलिखित लिंक आकार फलन ,, द्वारा आकार जोड़े के बीच लिए गए मानों के बीच मौजूद है |[14] [15]

,

एक समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।[11]

आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया है।[16]

यह भी देखें

  • आकार फलन
  • प्राकृतिक छद्म दूरी
  • आकार फ़ैक्टर
  • आकार समरूप समूह
  • आकार जोड़ी
  • मिलान दूरी

संदर्भ

  1. ↑ Silvia Biasotti, Leila De Floriani, Bianca Falcidieno, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo, Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions, ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1–12:87.
  2. ↑ Patrizio Frosini, A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407–416, 1990.
  3. ↑ Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri, On the use of size functions for shape analysis, Biological Cybernetics, 70:99–107, 1993.
  4. ↑ Patrizio Frosini and Claudia Landi, Size functions and morphological transformations, Acta Applicandae Mathematicae, 49(1):85–104, 1997.
  5. ↑ Alessandro Verri and Claudio Uras, Metric-topological approach to shape representation and recognition, Image Vision Comput., 14:189–207, 1996.
  6. ↑ Alessandro Verri and Claudio Uras, Computing size functions from edge maps, Internat. J. Comput. Vision, 23(2):169–183, 1997.
  7. ↑ Françoise Dibos, Patrizio Frosini and Denis Pasquignon, The use of size functions for comparison of shapes through differential invariants, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(2):107–118, 2004.
  8. ↑ Michele d'Amico, Patrizio Frosini and Claudia Landi, Using matching distance in Size Theory: a survey, International Journal of Imaging Systems and Technology, 16(5):154–161, 2006.
  9. ↑ Andrea Cerri, Massimo Ferri, Daniela Giorgi: Retrieval of trademark images by means of size functions Graphical Models 68:451–471, 2006.
  10. ↑ Silvia Biasotti, Daniela Giorgi, Michela Spagnuolo, Bianca Falcidieno: Size functions for comparing 3D models. Pattern Recognition 41:2855–2873, 2008.
  11. ↑ 11.0 11.1 Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, Size homotopy groups for computation of natural size distances, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin, 6:455–464 1999.
  12. ↑ Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, Size functions from a categorical viewpoint, Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225–235, 2001.
  13. ↑ Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, Topological Persistence and Simplification, Discrete and Computational Geometry, 28(4):511–533, 2002.
  14. ↑ Patrizio Frosini and Claudia Landi, Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision, Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596–603, 1999.
  15. ↑ Pietro Donatini and Patrizio Frosini, Lower bounds for natural pseudodistances via size functions, Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1–12, 2004.
  16. ↑ Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407–452, 2009.
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