स्टोलार्स्की माध्य: Difference between revisions

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गणित में, स्टोलार्स्की माध्य लघुगणकीय माध्य का एक सामान्यीकरण है। इसे 1975 में केनेथ बी. स्टोलार्स्की द्वारा पेश किया गया था।<ref>{{cite journal | zbl=0302.26003 | last=Stolarsky | first=Kenneth B. | title=लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=48 | pages=87–92 | year=1975 | issn=0025-570X | jstor=2689825 | doi=10.2307/2689825}}</ref>
गणित में, '''स्टोलार्स्की''' माध्य लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण है। इसे 1975 में केनेथ बी. स्टोलार्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite journal | zbl=0302.26003 | last=Stolarsky | first=Kenneth B. | title=लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=48 | pages=87–92 | year=1975 | issn=0025-570X | jstor=2689825 | doi=10.2307/2689825}}</ref>


 
== परिभाषा ==
==परिभाषा==
दो सकारात्मक [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] x,y के लिए स्टोलार्स्की माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
दो सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं x,y के लिए स्टोलार्स्की माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


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== व्युत्पत्ति ==
==व्युत्पत्ति==
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यह [[माध्य मान प्रमेय]] से लिया गया है, जो बताता है कि एक विभेदक फ़ंक्शन फ़ंक्शन के ग्राफ़ को काटने वाली एक [[छेदक रेखा]] <math>f</math> पर <math>( x, f(x) )</math> और <math>( y, f(y) )</math>, किसी बिंदु पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के समान [[ढलान]] है <math>\xi</math> अंतराल में (गणित) <math>[x,y]</math>.
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स्टोलार्स्की माध्य किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है?
स्टोलार्स्की माध्य किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है?
:<math> \xi = f'^{-1}\left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right) </math>
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चुनते समय <math>f(x) = x^p</math>.
चयन करते समय <math>f(x) = x^p</math>


== विशेष मामले ==
== विशेष स्तिथि ==


*<math>\lim_{p\to -\infty} S_p(x,y)</math> [[न्यूनतम]] है.
*<math>\lim_{p\to -\infty} S_p(x,y)</math> [[न्यूनतम]] है।
*<math>S_{-1}(x,y)</math> ज्यामितीय माध्य है.
*<math>S_{-1}(x,y)</math> ज्यामितीय माध्य है।
*<math>\lim_{p\to 0} S_p(x,y)</math> लघुगणक माध्य है. इसे माध्य मान प्रमेय से चुनकर प्राप्त किया जा सकता है <math>f(x) = \ln x</math>.
*<math>\lim_{p\to 0} S_p(x,y)</math> लघुगणक माध्य है, इसे माध्य मान प्रमेय <math>f(x) = \ln x</math> से चयन करके प्राप्त किया जा सकता है।
*<math>S_{\frac{1}{2}}(x,y)</math> घातांक के साथ घात माध्य है <math>\frac{1}{2}</math>.
*<math>S_{\frac{1}{2}}(x,y)</math> घातांक के साथ घात माध्य <math>\frac{1}{2}</math> है।
*<math>\lim_{p\to 1} S_p(x,y)</math> समरूप माध्य है. इसे माध्य मान प्रमेय से चुनकर प्राप्त किया जा सकता है <math>f(x) = x\cdot \ln x</math>.
*<math>\lim_{p\to 1} S_p(x,y)</math> समरूप माध्य है, इसे माध्य मान प्रमेय <math>f(x) = x\cdot \ln x</math> से चयन करके प्राप्त किया जा सकता है।.
*<math>S_2(x,y)</math> अंकगणित माध्य है.
*<math>S_2(x,y)</math> अंकगणित माध्य है।
*<math>S_3(x,y) = QM(x,y,GM(x,y))</math> [[द्विघात माध्य]] और ज्यामितीय माध्य का संबंध है।
*<math>S_3(x,y) = QM(x,y,GM(x,y))</math> [[द्विघात माध्य]] और ज्यामितीय माध्य का संबंध है।
*<math>\lim_{p\to\infty} S_p(x,y)</math> [[अधिकतम]] है.
*<math>\lim_{p\to\infty} S_p(x,y)</math> [[अधिकतम]] है।


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==


nवें व्युत्पन्न के लिए [[विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय]] पर विचार करके n + 1 चर के माध्य को सामान्यीकृत किया जा सकता है।
nवें व्युत्पन्न के लिए [[विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय]] पर विचार करके कोई व्यक्ति n + 1 चर के माध्य को सामान्यीकृत किया जा सकता है। जो इस प्रकार है:
एक प्राप्त होता है
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:<math>S_p(x_0,\dots,x_n) = {f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots,x_n])</math> के लिए <math>f(x)=x^p</math>.


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Latest revision as of 17:32, 16 July 2023

गणित में, स्टोलार्स्की माध्य लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण है। इसे 1975 में केनेथ बी. स्टोलार्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[1]

परिभाषा

दो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं x,y के लिए स्टोलार्स्की माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

व्युत्पत्ति

यह माध्य मान प्रमेय से लिया गया है, जो बताता है कि विभेदक फलन के ग्राफ़ को विभक्त करने वाली छेदक रेखा पर और , का ढलान किसी बिंदु पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के समान है अंतराल में (गणित) है:

स्टोलार्स्की माध्य किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है?

चयन करते समय

विशेष स्तिथि

  • न्यूनतम है।
  • ज्यामितीय माध्य है।
  • लघुगणक माध्य है, इसे माध्य मान प्रमेय से चयन करके प्राप्त किया जा सकता है।
  • घातांक के साथ घात माध्य है।
  • समरूप माध्य है, इसे माध्य मान प्रमेय से चयन करके प्राप्त किया जा सकता है।.
  • अंकगणित माध्य है।
  • द्विघात माध्य और ज्यामितीय माध्य का संबंध है।
  • अधिकतम है।

सामान्यीकरण

nवें व्युत्पन्न के लिए विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय पर विचार करके कोई व्यक्ति n + 1 चर के माध्य को सामान्यीकृत किया जा सकता है। जो इस प्रकार है:

के लिए

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Stolarsky, Kenneth B. (1975). "लघुगणकीय माध्य का सामान्यीकरण". Mathematics Magazine. 48: 87–92. doi:10.2307/2689825. ISSN 0025-570X. JSTOR 2689825. Zbl 0302.26003.