सार्वभौमिक बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 09:12, 16 July 2023

सार्वभौमिक बीजगणित गणित का वह क्षेत्र है जो स्वयं बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, न कि बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरणो का अध्ययन करता है। उदाहरण के रूप में, विशेष समूहों को अध्ययन का वस्तु नहीं बनाते हुए, सार्वभौमिक बीजगणित में हम समूहों की वर्ग को अध्ययन का वस्तु बनाते हैं।

मूल विचार

सार्वभौमिक बीजगणित में, एक बीजगणित या बीजगणितीय संरचना समुच्चय A के साथ एक संग्रहणी संक्रिया के साथ होता है। A पर एक एन-री संक्रिया वह फलन होता है जो A के n तत्वों को लेता है और एक एकल तत्व A को लौटाता है। इस प्रकार, एक 0-री संक्रिया को सरलता से A का एक तत्व या स्थिरांक के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, इस तरह, जो सामान्यतः a जैसे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। एक 1-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, एक 1-री संक्रिया या एक-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे मध्यप्रत्यय संकेतन पद्धति भी कहा जाता है,जैसे x ∗ y। अधिक या निर्दिष्ट आरिति की संक्रिया सामान्यतः फलन प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है,जहांतर्कों को कोष्ठक में रखा जाता हैऔर अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है जैसे f(x, y, z) या f(x1,...,xn)। बीजगणित के बारे में बात करने का एक विधि है कि, उसे एक निश्चित प्रकार की बीजगणित,के रूप में संदर्भित किया जाता है,जहां $\Omega$ एक क्रमशः व्यवस्थित प्राकृतिक संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है जो बीजगणित की संक्रियाओ की आरिति को प्रतिष्ठानित करता हैं। यद्यपि, कुछ शोधकर्ता असीमित संक्रियाओ को भी स्वीकार करते हैं, जैसे $\textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }$ जहाँ J एक असीमित अनुक्रमित समूह है, जो पूर्ण छँदों के बीजगणितीय सिद्धांत में एक संक्रिया होता है।

समीकरण

संचालन निर्दिष्ट किए जाने के बाद, बीजगणित की प्रकृति को सिद्धांतों द्वारा आगे परिभाषित किया जाता है, जो सार्वभौमिक बीजगणित में प्रायः पहचान, या समीकरण विधियों का रूप लेते हैं। एक उदाहरण बाइनरी संक्रिया के लिए साहचर्य नियम अभिगृहीत है, जो समीकरण x ∗ (y ∗ z)= (x ∗ y) द्वारा दिया गया है। भिगृहीत का उद्देश्य समुच्चय A के सभी तत्वों x, y और z को धारण करना है।

किस्में

एक अभिधानों द्वारा परिभाषित बीजगणितीय संरचनाओं का संग्रह विविधता या समीकरणिक वर्ग कहलाता है।

किसी के अध्ययन को किस्मों तक सीमित करना नियमों से बाहर है:हिन्दी में, क्वांटिफिकेशन (quantification) के साथ, सर्वांकारिता को (universal quantification, ∀) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है और अस्तित्वात्मकता को (existential quantification, ∃) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है, उपयुक्त समीकरण के सामने।

परिमाणीकरण सार्वभौमिक परिमाणीकरण सहित ( $\forall$ ) एक समीकरण से पहले और अस्तित्वगत परिमाणीकरण को छोड़कर ( $\exists$ ) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है,
तार्किक संयोजन (∧) के अतिरिक्त अन्य तार्किक संयोजक
समानता के अतिरिक्त परिमित संबंध, विशेष रूप से असमानता दोनों में a ≠ b और आदेश सिद्धांत

समीकरणिक वर्गों के अध्ययन को प्रारूप सिद्धांत की एक विशेष शाखा के रूप में देखा जा सकता है, जो सामान्यतः केवल संरचनाओं के साथ संबंध रखने वाली संरचनाओं के साथ निपुणता करता है अर्थात प्रकार में केवल फलन के लिए प्रतीक हो सकते हैं, परन्तु समानता के अतिरिक्त अन्य संबंधों के लिए प्रतीक नहीं हो सकते हैं, और जिसमें इन संरचनाओं के बारे में बात करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा में केवल समीकरण ही होते हैं।

एक अधिक दृष्टि में, सभी बीजगणितीय संरचनाएं इस परिधि में नहीं आतीं। उदाहरण के लिए, क्रमित समूहों में क्रमबद्ध संबंध सम्मिलित होता है, इसलिए यह इस परिधि में नहीं आते हैं।

क्षेत्रो का वर्ग एक समतुल्य वर्ग नहीं है क्योंकि कोई प्रकार नहीं है जिसमें सभी क्षेत्र नियमों को समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है तत्वों के व्युत्क्रम को एक क्षेत्र में सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए व्युत्क्रम प्रकार में नहीं जोड़ा जा सकता।

इस प्रतिबंधन का एक लाभ यह है कि सार्वभौमिक बीजगणित में अध्ययन की गई संरचनाएं किसी भी वर्ग में परिभाषित की जा सकती है जिसमें अंतिम उत्पाद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह केवल टोपोलॉजिकल स्पेसेज़ के वर्ग का एक समूह होता है

उदाहरण

गणित की अधिकांश सामान्य बीजगणितीय प्रणालियाँ किस्मों के उदाहरण हैं, परंतु सदैव एक स्पष्ट नियमों से नहीं, क्योंकि सामान्य परिभाषाओं में प्रायः परिमाणीकरण या असमानताएँ सम्मिलित होती हैं।

समूह

उदाहरण के तौर पर, समूह की परिभाषा पर विचार करें. सामान्यतः एक समूह को एकल बाइनरी संक्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, जो स्वयंसिद्धों के अधीन होता है:

साहचर्य x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; औपचारिक रूप से: ∀x, y, z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z ।
पहचान तत्व: ऐसा एक तत्व e होता है जिसके लिए हर तत्व x के लिए e ∗ x = x = x ∗ e होता है; औपचारिक रूप से: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e।
विपरीत तत्व: पहचान तत्व का एकदेशीय होना स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, और सामान्यतः e से प्रतिष्ठानित किया जाता है। तब हर x के लिए एक ऐसा तत्व i होता है जिसके लिए x ∗ i = e = i ∗ x होता है; औपचारिक रूप से: ∀x ∃i. x∗i=e=i∗x।

कुछ लेखक अभिधान "आवरण" अभिधान का भी उपयोग करते हैं, जहां x और y जब भी होते हैं तो x ∗ y A का तत्व होता है, परंतु यहां ∗ को एक बाइनरी संक्रिया कहने से यह पहले से ही इसमें सम्मिलित है।

एक समूह की परिभाषा सीधे सार्वभौमिक बीजगणित के दृष्टिकोण से तुरंत संगत नहीं है, क्योंकि पहचान तत्व और विपरीत तत्व के अभिधान प्रायः संकेतों के रूप में नहीं दिए जाते हैं जो केवल समीकरणिक नियमों के माध्यम से सभी "सभी ..." तत्वों के लिए सत्य होते हैं, बल्कि यह कुछ स्वीकारी के साथ संलग्न भावी क्वांटिफायर भी सम्मिलित करते हैं। गण के नियम सामान्यतः सार्वभौमिक क्वांटिफाय किए जाने वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, ∗ के अतिरिक्त, एक शून्यार्य संक्रिया e और एक एकार्य संक्रिया ~ की विशेषता को निर्दिष्ट करके, जहां ~x सामान्यतः x−1 के रूप में लिखा जाता है।

नियम समीकरण हो जाते हैं

साहचर्य: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
पहचान तत्व: e ∗ x = x = x ∗ e; औपचारिक रूप से: ∀x। e∗x=x=x∗e.
उलटा तत्व: x ∗ (~x) = e = (~x) ∗ x औपचारिक रूप से: ∀x. x∗~x=e=~x∗x.

संक्षेप में, सामान्य परिभाषा में है:

एक एकल बाइनरी संक्रिया (हस्ताक्षर (तर्क) (2))
1 समतुल्य नियम
2 मात्रात्मक नियम

जबकि सार्वभौमिक बीजगणित की परिभाषा है:

3 संक्रिया: एक बाइनरी, एक यूनरी, और एक न्यूलरी
3 समान नियम
कोई मात्रात्मक नियम नहीं

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि अतिरिक्त संचालन जानकारी नहीं जोड़ते हैं, परंतु समूह की सामान्य परिभाषा से विशिष्ट रूप से अनुसरण करते हैं। यद्यपि सामान्य परिभाषा विशिष्ट रूप से पहचान तत्व ई को निर्दिष्ट नहीं करती है, एक आसान अभ्यास से पता चलता है कि यह अद्वितीय है, जैसा कि प्रत्येक व्युत्क्रम तत्व है।

सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण श्रेणी सिद्धांत के अनुकूल है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में एक समूह वस्तु को परिभाषित करते समय, जहां प्रश्न में वस्तु एक समुच्चय नहीं हो सकती है, मात्रात्मक नियम के बजाय समीकरण नियम का उपयोग करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, व्युत्क्रम और पहचान को श्रेणी में आकारिकी के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह में, व्युत्क्रम न केवल तत्व-वार उपस्थित होना चाहिए, बल्कि एक निरंतर मानचित्रण देना चाहिए। कुछ लेखकों को पहचान मानचित्र को एक बंद समावेशन होने की भी आवश्यकता होती है।

अन्य उदाहरण

अधिकांश बीजगणितीय संरचनाएं सार्वभौमिक बीजगणित के उदाहरण हैं।

रिंग, सेमिग्रुप, क्वासीग्रुप, ग्रुपॉइड्स, मैग्मास, लूप्स, और अन्य संरचनाएं हैं।
एक निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान और एक निश्चित रिंग पर सार्वभौमिक बीजगणित हैं। इनमें एक द्विआधारी योग और एकात्मक अदिश गुणन संचालकों का एक परिवार है, जो क्षेत्र या रिंग के प्रत्येक तत्व के लिए एक है।

संबंधपरक बीजगणित के उदाहरणों में अर्द्ध लेटेक्स, जाली और बूलियन बीजगणित सम्मिलित हैं।

बुनियादी निर्माण

हम यह मानते हैं कि प्रकार $\Omega$ स्थायी रूप से निर्धारित किया गया है। इसके बाद सार्वभौमिक बीजगणित में तीन मूल निर्माण होते हैं: सदृश छवि, उपसमलय, और उत्पाद।

दो बीजगणितीय संरचनाओं A और B के बीच एक समानोन्नति h: A → B एक फलन होती है जो सेट A से सेट B तक होती है, ऐसा कि हर A के संक्रिया fA के लिए और इसके उपस्थित fB के लिए h(fA(x1,...,xn)) =fB(h(x1),...,h(xn)) होता है। उदाहरण के लिए, यदि e एक ध्यात्मिक संक्रिया है, तो h(eA) = eB होता है। यदि ~ एक एकार्य संक्रिया है, तो h(~x) = ~h(x) होता है। यदि ∗ एक बाइनरी संक्रिया है, तो h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) होता है। और ऐसी ही कई बातें हो सकती हैं जो समरूपता के साथ की जा सकती हैं, साथ ही कुछ विशेष प्रकार के समरूपता की परिभाषाएं भी होती हैं, जो "समरूपता" शीर्षक वाले प्रविष्टि के तहत सूचीबद्ध हैं। विशेष रूप से, हम बीजगणित के समानोन्नति ले सकते हैं, h(A) की समरूपी छवि ले सकते हैं।

A का एक उपसमलय A का एक उपसमुच्चय है जो A के सभी कार्यों के तहत बंद है। बीजगणितीय संरचनाओं के कुछ समुच्चय का एक उत्पाद समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है जिसमें संचालन को समन्वयित परिभाषित किया गया है।

कुछ बुनियादी प्रमेय

समरूपता प्रमेय, जिसमें समूह, वलय, मॉड्यूल, आदि की समरूपता प्रमेय सम्मिलित हैं।
बर्खोफ का सिद्धांत कहता है कि यदि कोई बीजगणितीय संरचनाओं की वर्ग हो जो समानोन्नति छवि, उपसमलय और ऐसे किसी भी सत्यापित नियत्रित उत्पाद के तहत बंद होती है, तो वह विविधता होती है।

प्रेरणा और अनुप्रयोग

अपने एकीकृत दृष्टिकोण के अतिरिक्त, सार्वभौमिक बीजगणित गहन प्रमेय और महत्वपूर्ण उदाहरण और प्रति उदाहरण भी देता है। यह उन लोगों के लिए एक उपयोगी ढांचा प्रदान करता है जो बीजगणित की नई कक्षाओं का अध्ययन प्रारंभ करना चाहते हैं। यह सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में विधियों को पुन: व्यवस्थित करके, बीजगणित के कुछ विशेष वर्गों के लिए बीजगणित के अन्य वर्गों के लिए आविष्कृत विधियों के उपयोग को सक्षम कर सकता है, और फिर इन्हें अन्य वर्गों पर लागू करने के रूप में व्याख्या कर सकता है। इसने वैचारिक स्पष्टीकरण भी प्रदान किया है; जे.डी.एच के रूप में स्मिथ इसे कहते हैं, जो एक विशेष ढांचे में गन्दा और जटिल दिखता है वह उचित सामान्य में सरल और स्पष्ट हो सकता है।

विशेष रूप से, सार्वभौमिक बीजगणित को मोनोइड्स, रिंग्स, और जाली (क्रम) के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है। सार्वभौमिक बीजगणित के आने से पहले, इन सभी वर्गों में कई प्रमेय अलग-अलग प्रमाणित हुए थे, परंतु सार्वभौमिक बीजगणित के साथ, वे हर तरह की बीजगणितीय प्रणाली के लिए एक बार और सभी के लिए सिद्ध हो सकते हैं।

नीचे संदर्भित हिगिंस द्वारा 1956 के पेपर का विशेष बीजगणितीय प्रणालियों की एक श्रृंखला के लिए इसके ढांचे के लिए अच्छी तरह से पालन किया गया है, जबकि उनका 1963 का पेपर संचालन के साथ बीजगणित की चर्चा के लिए उल्लेखनीय है जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित हैं, इसके लिए विशिष्ट उदाहरण श्रेणियां और समूह हैं। यह उच्च-आयामी बीजगणित के विषय की ओर जाता है जिसे आंशिक संचालन वाले बीजीय सिद्धांतों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके डोमेन को ज्यामितीय स्थितियों के तहत परिभाषित किया गया है। इनमें से उल्लेखनीय उदाहरण उच्च-आयामी श्रेणियों और समूह भार के विभिन्न रूप हैं।

तंत्र संरचना समस्या

सार्वभौमिक बीजगणित तंत्र संरचना समस्या के लिए एक प्राकृतिक भाषा प्रदान करता है। सीएसपी संगणनात्मक समस्याओं के एक एक महत्वपूर्ण गणितीय समस्या कक्षा को संदर्भित करता है जहां एक संबंधिक बीजगणित $A$ और एक ऐसा सत्यापितीय वाक्य $\varphi$ दिया गया होता है और सवाल यह होता है कि क्या $\varphi$ $A$ में संतुष्टि प्राप्त कर सकता है। बीजगणित $A$ . सामान्यतः निर्धारित होता है जिससे सीएसपी उस समस्या को संदर्भित करे जिसके उदाहरण केवल सत्यापितीय वाक्य $\varphi$ .होते हैं।

सिद्ध किया गया है कि प्रत्येक गणितीय समस्या किसी बीजगणित $A$ .^[1]के लिए सीएसपी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के रूप में, n-रंगीकरण समस्या को बीजगणित ${\big (}\{0,1,\dots ,n-1\},\neq {\big )}$ , का सीएसपी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात् एक बीजगणित जिसमे^[2]n तत्व होते हैं और एकल संबंध,के साथ असमानता, होती है।

द्विभाजन अनुमान (अप्रैल 2017 में सिद्ध) में कहा गया है कि यदि ए एक सीमित बीजगणित है, तो सीएसपी $A$ या तो पी या एनपी-पूर्ण है

सामान्यीकरण

श्रेणी सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके सार्वभौमिक बीजगणित का भी अध्ययन किया गया है। इस दृष्टिकोण में, उन संक्रियाओं द्वारा पालन किए गए संक्रियाओं और समीकरणों की एक सूची लिखने के बजाय, एक विशेष प्रकार की श्रेणियों का उपयोग करके एक बीजगणितीय संरचना का वर्णन किया जा सकता है, जिसे लॉवरे सिद्धांत या अधिक सामान्यतः बीजगणितीय सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई मोनाड या श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करके बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन कर सकता है। दो दृष्टिकोण निकट से संबंधित हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे हैं।^[3] विशेष रूप से, प्रत्येक लॉवर सिद्धांत समुच्चय की श्रेणी पर एक मोनाड देता है, जबकि समुच्चय की श्रेणी पर कोई भी अंतिम मोनाड एक लॉवर सिद्धांत से उत्पन्न होता है। यद्यपि, एक मोनाड एक विशेष श्रेणी के अंदर बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन करता है, जबकि बीजगणितीय सिद्धांत श्रेणियों के किसी भी बड़े वर्ग अर्थात् परिमित उत्पाद के अंदर संरचना का वर्णन करते हैं।

श्रेणी सिद्धांत में एक और तात्कालिक विकास है ओपेरा सिद्धांत एक ऑपेरड संचालन का एक समुच्चय है, जो एक सार्वभौमिक बीजगणित के समान है, परंतु उस समीकरण में प्रतिबंधित है जो चर के साथ अभिव्यक्तियों के बीच ही अनुमत है, जिसमें चर के दोहराव या चूक की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, रिंग को नियम के बाद से कुछ ओपेरा के तथाकथित बीजगणित के रूप में वर्णित किया जा सकता है, परंतु समूहों को नहीं क्योंकि नियम $gg^{-1}=1$ बाएं ओर में चर g की दोहराव करता है और दाएं ओर उसे छोड़ देता है। पहले तो यह यह एक समस्या भरी सीमा के रूप में दिख सकता है, परंतु इसका लाभ है कि ऑपरैड के कुछ लाभ होते हैं: उदाहरण के लिए, रिंग और सदिश स्थानों के अवधारणाओं को मिश्रित करके संयुक्त बीजगणित की अवधारणा प्राप्त की जा सकती है, लेकिन समूह और सदिश स्थानों की अवधारणा की इसी तरह की मिश्रण नहीं बना सकते हैं।

एक और विकास आंशिक बीजगणित है जहां संचालक आंशिक कार्य हो सकते हैं। कुछ आंशिक कार्यों को अनिवार्य रूप से बीजगणितीय सिद्धांत के रूप में जाने वाले लॉवर सिद्धांतों के सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।^[4]

सार्वभौमिक बीजगणित का एक अन्य सामान्यीकरण प्रारूप सिद्धांत है, जिसे कभी-कभी सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क के रूप में वर्णित किया जाता है।^[5]

इतिहास

1898 में प्रकाशित अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड की किताब ए ट्रीटिस ऑन यूनिवर्सल अलजेब्रा में, यूनिवर्सल बीजगणित शब्द का अनिवार्य रूप से वही अर्थ था जो आज है। व्हाइटहेड ने विलियम रोवन हैमिल्टन और ऑगस्टस डी मॉर्गन को विषय वस्तु के प्रवर्तक के रूप में श्रेय दिया है, और जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने स्वयं इस शब्द को गढ़ा है।^[6]^: v

उस समय ली बीजगणित और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज जैसी संरचनाओं ने साहचर्य गुणक वर्ग से परे बीजगणितीय संरचनाओं का विस्तार करने की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित किया। एक समीक्षा में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने लिखा: काम का मुख्य विचार कई नियमों का एकीकरण नहीं है, न ही साधारण बीजगणित का सामान्यीकरण है जिससे उन्हें सम्मिलित किया जा सके, बल्कि उनकी कई संरचनाओं का तुलनात्मक अध्ययन किया जा सके।^[7] उस समय जॉर्ज बूले के तर्क के बीजगणित ने साधारण संख्या बीजगणित के लिए एक मजबूत प्रतिरूप बनाया, इसलिए सार्वभौमिक शब्द ने तनावपूर्ण संवेदनाओं को शांत करने का काम किया।

व्हाइटहेड के शुरुआती काम ने चतुष्कोणों, ग्रासमैन के बाहरी बीजगणित इतिहास, और बूल के तर्क के बीजगणित को संगठित करने की मांग की। व्हाइटहेड ने अपनी पुस्तक में लिखा है:

इस तरह के बीजगणित अलग-अलग विस्तृत अध्ययन के लिए एक आंतरिक मूल्य रखते हैं; साथ ही वे प्रतीकात्मक तर्क के सामान्य सिद्धांत पर और विशेष रूप से बीजगणितीय प्रतीकवाद पर प्रकाश डालने के लिए तुलनात्मक अध्ययन के योग्य हैं। तुलनात्मक अध्ययन अनिवार्य रूप से पिछले कुछ अलग अध्ययन को मानता है, ज्ञान के बिना तुलना असंभव है।^[6]

यद्यपि, व्हाइटहेड के पास सामान्य प्रकृति का कोई परिणाम नहीं था। 1930 के दशक के प्रारंभ तक इस विषय पर काम न्यूनतम था, जब गैरेट बिरखॉफ और ऑयस्टीन ओरे ने सार्वभौमिक बीजगणित पर प्रकाशन प्रारंभकिया। 1940 और 1950 के दशक में मेटामैथमैटिक्स और श्रेणी सिद्धांत में, विशेष रूप से अब्राहम रॉबिन्सन, अल्फ्रेड टार्स्की, आंद्रेज मोस्टोव्स्की और उनके छात्रों के काम को इस क्षेत्र ने आगे बढ़ाया।^[8]1935 और 1950 के मध्य की अवधि में, अधिकांश पत्र बिरखॉफ के पत्रों द्वारा सुझाई गई पंक्तियों के साथ लिखे गए थे, जो मुक्त वस्तु , सर्वांगसमता और सबलजेब्रा लैटिस और होमोमोर्फिज्म प्रमेयों से संबंधित थे। यद्यपि गणितीय तर्क के विकास ने बीजगणित के लिए अनुप्रयोगों को संभव बना दिया था, 1940 के दशक में अनातोली माल्टसेव द्वारा प्रकाशित परिणाम युद्ध के कारण किसी का ध्यान नहीं गया। 1950 में कैंब्रिज में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में टार्स्की के व्याख्यान ने एक नई अवधि की शुरुआत की जिसमें प्रारूप-सैद्धांतिक पहलुओं को विकसित किया गया था, मुख्य रूप से स्वयं टार्स्की द्वारा, साथ ही सी.सी. चांग, आह वापसी पर, बज़्नी जॉनसन, रोजर लिंडन,और अन्यों द्वारा।।

1950 के दशक के अंत में, एडवर्ड मार्क्ज़वेस्की^[9] मुक्त बीजगणित के महत्व पर जोर दिया, जिसके कारण स्वयं मार्कजेवस्की द्वारा मुक्त बीजगणित के बीजगणितीय सिद्धांत पर 50 से अधिक पत्रों का प्रकाशन किया गया, साथ में जान माइसिल्स्की, व्लाडिसलाव नारकिविक्ज़, विटोल्ड नित्का, जे. प्लोन्का, एस. उरबनिक और अन्यों द्वारा।

1963 में विलियम लॉवरे की थीसिस से प्रारंभ होकर, श्रेणी सिद्धांत की तकनीकें सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण हो गई हैं।^[10]

यह भी देखें

फुटनोट्स

↑ Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin (2008), Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity (PDF)
↑ Zhuk, Dmitriy (2017). "सीएसपी द्विभाजन अनुमान का प्रमाण". arXiv:1704.01914 [cs.cc].
↑ Hyland, Martin; Power, John (2007), The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF)
↑ Essentially algebraic theory at the nLab
↑ C.C. Chang and H. Jerome Keisler (1990). मॉडल सिद्धांत. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics. Vol. 73 (3rd ed.). North Holland. p. 1. ISBN 0444880542.
↑ ^6.0 ^6.1 George Grätzer (1968). M.H. Stone and L. Nirenberg and S.S. Chern (ed.). सार्वभौमिक बीजगणित (1st ed.). Van Nostrand Co., Inc.
↑ Alexander Macfarlane (1899) Review:A Treatise on Universal Algebra (pdf), Science 9: 324–8 via Internet Archive
↑ Brainerd, Barron (Aug–Sep 1967) "Review of Universal Algebra by P. M. Cohn", American Mathematical Monthly 74(7): 878–880.
↑ Marczewski, E. "A general scheme of the notions of independence in mathematics." Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 6 (1958), 731–736.
↑ Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)

संदर्भ

Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
Higgins, P. J. Groups with multiple operators. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
Pigozzi, Don. General Theory of Algebras. Free online edition.
Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

बाहरी संबंध

Algebra Universalis—a journal dedicated to Universal Algebra.

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बीजगणित का इतिहास

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- प्राथमिक
- [[wikibooks: linear_algebra | रैखिक]
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विकीवर्सिटी
- रैखिक
- सार

}}

[1] Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin (2008), Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity (PDF)

[2] Zhuk, Dmitriy (2017). "सीएसपी द्विभाजन अनुमान का प्रमाण". arXiv:1704.01914 [cs.cc].

[3] Hyland, Martin; Power, John (2007), The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF)

[4] Essentially algebraic theory at the nLab

[5] C.C. Chang and H. Jerome Keisler (1990). मॉडल सिद्धांत. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics. Vol. 73 (3rd ed.). North Holland. p. 1. ISBN 0444880542.

[Gratzer.1968-6] 6.0 ^6.1 George Grätzer (1968). M.H. Stone and L. Nirenberg and S.S. Chern (ed.). सार्वभौमिक बीजगणित (1st ed.). Van Nostrand Co., Inc.

[7] Alexander Macfarlane (1899) Review:A Treatise on Universal Algebra (pdf), Science 9: 324–8 via Internet Archive

[8] Brainerd, Barron (Aug–Sep 1967) "Review of Universal Algebra by P. M. Cohn", American Mathematical Monthly 74(7): 878–880.

[9] Marczewski, E. "A general scheme of the notions of independence in mathematics." Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 6 (1958), 731–736.

[10] Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)

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 {{Short description|Theory of algebraic structures in general}}
-सार्वभौमिक बीजगणित (कभी-कभी सामान्य बीजगणित कहा जाता है) गणित का क्षेत्र है जो स्वयं [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन करता है, न कि बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरण (मॉडल)।
+सार्वभौमिक बीजगणित गणित का वह क्षेत्र है जो स्वयं [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का अध्ययन करता है, न कि बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरणो का अध्ययन करता है। उदाहरण के रूप में, विशेष समूहों को अध्ययन का वस्तु नहीं बनाते हुए, सार्वभौमिक बीजगणित में हम समूहों की वर्ग को अध्ययन का वस्तु बनाते हैं।
-उदाहरण के लिए, विशेष [[समूह (गणित)]] को अध्ययन की वस्तु के रूप में लेने के बजाय, सार्वभौमिक बीजगणित में अध्ययन की वस्तु के रूप में समूहों की कक्षा को लिया जाता है।
 == मूल विचार ==
-{{Main|Algebraic structure}}
+{{Main|बीजगणितीय संरचना}}
-सार्वभौमिक बीजगणित में, एक बीजगणित (या बीजगणितीय [[संरचना (गणितीय तर्क)]]) एक [[सेट (गणित)]] ''ए'' है जो ''ए'' पर संचालन के संग्रह के साथ है। ''A'' पर एक ''n''-[[arity]] ऑपरेशन (गणित) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो ''A'' के ''n'' तत्वों को लेता है और ''A'' का एकल तत्व लौटाता है। इस प्रकार, एक 0-आरी संक्रिया (या ''अशक्त संक्रिया'') को केवल ''A'' के एक तत्व के रूप में, या ''Constant (गणित)'' के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे अक्सर ''a'' जैसे अक्षर से निरूपित किया जाता है। ''। एक 1-एरी ऑपरेशन (या ''[[ एकात्मक ऑपरेशन ]]'') केवल ''ए'' से ''ए'' तक का एक फंक्शन है, जिसे अक्सर इसके तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ~''x'' . एक 2-एरी ऑपरेशन (या ''[[बाइनरी ऑपरेशन]]'') को अक्सर इसके तर्कों (जिसे [[ इंफिक्स नोटेशन ]] भी कहा जाता है) के बीच रखे एक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे ''x'' ∗ ''y''। उच्च या अनिर्दिष्ट ''एरिटी'' के संचालन को आमतौर पर फ़ंक्शन प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है, तर्कों को कोष्ठक में रखा जाता है और अल्पविराम से अलग किया जाता है, जैसे ''f''(''x'',''y'',''z '') या ''एफ''(''एक्स''<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>). बीजगणित के बारे में बात करने का एक तरीका है, इसे बीजगणितीय संरचनाओं की रूपरेखा के रूप में संदर्भित करना#बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार <math>\Omega</math>, कहाँ <math>\Omega</math> बीजगणित के संचालन की शुद्धता का प्रतिनिधित्व करने वाली प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रमबद्ध क्रम है। हालाँकि, कुछ शोधकर्ता [[अनंत]] ऑपरेशंस की भी अनुमति देते हैं, जैसे <math>\textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha</math> जहाँ J एक अनंत सूचकांक समुच्चय है, जो पूर्ण जालक के बीजगणितीय सिद्धांत में एक संक्रिया है।
+सार्वभौमिक बीजगणित में, एक बीजगणित या बीजगणितीय [[संरचना (गणितीय तर्क)|संरचना]] [[सेट (गणित)|समुच्चय]] A के साथ एक संग्रहणी संक्रिया के साथ होता है। A पर एक एन-री  संक्रिया वह फलन होता है जो A के ''n'' तत्वों को लेता है और एक एकल तत्व A को लौटाता है। इस प्रकार, एक 0-री संक्रिया  को सरलता से A का एक तत्व या स्थिरांक के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, इस तरह, जो सामान्यतः a जैसे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। एक 1-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, एक 1-री संक्रिया या एक-री संक्रिया सीधे A से A की ओर एक फलन होती है, जिसे अपने तर्क के सामने रखे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे मध्यप्रत्यय संकेतन पद्धति भी कहा जाता है'',''जैसे x ∗ y। अधिक या निर्दिष्ट आरिति की संक्रिया सामान्यतः फलन प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है'',''जहांतर्कों को कोष्ठक में रखा जाता हैऔर अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है जैसे f(x, y, z) या f(x1,...,xn)। बीजगणित के बारे में बात करने का एक विधि है कि, उसे एक निश्चित प्रकार की बीजगणित,के रूप में संदर्भित किया जाता है,जहां <math>\Omega</math> एक क्रमशः व्यवस्थित प्राकृतिक संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है जो बीजगणित की संक्रियाओ की आरिति को प्रतिष्ठानित करता हैं। यद्यपि, कुछ शोधकर्ता असीमित संक्रियाओ को भी स्वीकार करते हैं, जैसे <math>\textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha</math> जहाँ J एक असीमित अनुक्रमित समूह है, जो पूर्ण छँदों के बीजगणितीय सिद्धांत में एक संक्रिया होता है।
 === समीकरण ===
-संचालन निर्दिष्ट किए जाने के बाद, बीजगणित की प्रकृति को [[स्वयंसिद्ध]]ों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो सार्वभौमिक बीजगणित में अक्सर पहचान (गणित) # तर्क और सार्वभौमिक बीजगणित, या समीकरण कानूनों का रूप लेते हैं। एक उदाहरण बाइनरी ऑपरेशन के लिए साहचर्य स्वयंसिद्ध है, जो समीकरण ''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'')= (''x'' ∗ ''y'') द्वारा दिया गया है ∗''z''। स्वयंसिद्ध का उद्देश्य सेट 'A' के सभी तत्वों ''x'', ''y'', और ''z'' को धारण करना है।
+संचालन निर्दिष्ट किए जाने के बाद, बीजगणित की प्रकृति को सिद्धांतों द्वारा आगे परिभाषित किया जाता है, जो सार्वभौमिक बीजगणित में प्रायः पहचान, या समीकरण विधियों का रूप लेते हैं। एक उदाहरण बाइनरी संक्रिया के लिए साहचर्य नियम अभिगृहीत है, जो समीकरण ''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'')= (''x'' ∗ ''y'') द्वारा दिया गया है। भिगृहीत का उद्देश्य समुच्चय A के सभी तत्वों x, y और z को धारण करना है।
 == किस्में ==
-{{Main|Variety (universal algebra)}}
+{{Main|
+विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)}}
-सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित बीजगणितीय संरचनाओं के संग्रह को वैरायटी (सार्वभौमिक बीजगणित) या समतुल्य वर्ग कहा जाता है।
+एक अभिधानों द्वारा परिभाषित बीजगणितीय संरचनाओं का संग्रह विविधता या समीकरणिक वर्ग कहलाता है।
-किसी के अध्ययन को किस्मों तक सीमित करना नियमों से बाहर है:
+किसी के अध्ययन को किस्मों तक सीमित करना नियमों से बाहर है:हिन्दी में, क्वांटिफिकेशन (quantification) के साथ, सर्वांकारिता को (universal quantification, ∀) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है और अस्तित्वात्मकता को (existential quantification, ∃) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है, उपयुक्त समीकरण के सामने।
-* [[परिमाणीकरण (तर्क)]], [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] सहित (<math>\forall</math>) एक समीकरण से पहले और [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] को छोड़कर (<math>\exists</math>)
+* [[परिमाणीकरण (तर्क)|परिमाणीकरण]] [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] सहित (<math>\forall</math>) एक समीकरण से पहले और [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] को छोड़कर (<math>\exists</math>) इकाई के पहले व्यक्त किया जाता है,
-* [[तार्किक संयोजन]] के अलावा अन्य [[तार्किक संयोजक]] (∧)
+* [[तार्किक संयोजन]] (∧) के अतिरिक्त अन्य [[तार्किक संयोजक]]
-* समानता के अलावा [[परिमित संबंध]], विशेष रूप से [[असमानता (गणित)]], दोनों में {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}} और [[आदेश सिद्धांत]]
+* समानता के अतिरिक्त [[परिमित संबंध]], विशेष रूप से [[असमानता (गणित)|असमानता]] दोनों में {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}} और [[आदेश सिद्धांत]]
-समीकरण वर्गों के अध्ययन को [[मॉडल सिद्धांत]] की एक विशेष शाखा के रूप में देखा जा सकता है, आम तौर पर केवल संचालन वाले संरचनाओं से निपटना (अर्थात [[हस्ताक्षर (तर्क)]] में कार्यों के लिए प्रतीक हो सकते हैं लेकिन समानता के अलावा अन्य संबंध के लिए नहीं), और जिसमें भाषा इन संरचनाओं के बारे में बात करने के लिए केवल समीकरणों का उपयोग किया जाता है।
+समीकरणिक वर्गों के अध्ययन को प्रारूप सिद्धांत की एक विशेष शाखा के रूप में देखा जा सकता है, जो सामान्यतः केवल संरचनाओं के साथ संबंध रखने वाली संरचनाओं के साथ निपुणता करता है अर्थात प्रकार में केवल फलन के लिए प्रतीक हो सकते हैं, परन्तु समानता के अतिरिक्त अन्य संबंधों के लिए प्रतीक नहीं हो सकते हैं, और जिसमें इन संरचनाओं के बारे में बात करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा में केवल समीकरण ही होते हैं।
-व्यापक अर्थों में सभी बीजगणितीय संरचनाएँ इस दायरे में नहीं आती हैं। उदाहरण के लिए, ऑर्डर किए गए समूहों में एक ऑर्डरिंग संबंध शामिल होता है, इसलिए वे इस दायरे में नहीं आएंगे।
+एक अधिक दृष्टि में, सभी बीजगणितीय संरचनाएं इस परिधि में नहीं आतीं। उदाहरण के लिए, क्रमित समूहों में क्रमबद्ध संबंध सम्मिलित होता है, इसलिए यह इस परिधि में नहीं आते हैं।
-[[क्षेत्र (गणित)]] का वर्ग एक समतुल्य वर्ग नहीं है क्योंकि कोई प्रकार (या हस्ताक्षर) नहीं है जिसमें सभी क्षेत्र कानूनों को समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है (तत्वों के व्युत्क्रम को एक क्षेत्र में सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए व्युत्क्रम प्रकार में नहीं जोड़ा जा सकता)।
+[[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्रो]] का वर्ग एक समतुल्य वर्ग नहीं है क्योंकि कोई प्रकार नहीं है जिसमें सभी क्षेत्र नियमों को समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है तत्वों के व्युत्क्रम को एक क्षेत्र में सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए व्युत्क्रम प्रकार में नहीं जोड़ा जा सकता।
-इस प्रतिबंध का एक फायदा यह है कि सार्वभौमिक बीजगणित में अध्ययन की गई संरचनाओं को किसी भी श्रेणी के सिद्धांत में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें परिमित उत्पाद ([[श्रेणी सिद्धांत]]) है। उदाहरण के लिए, [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] की श्रेणी में एक [[ टोपोलॉजिकल समूह ]] सिर्फ एक ग्रुप है।
+इस प्रतिबंधन का एक लाभ यह है कि सार्वभौमिक बीजगणित में अध्ययन की गई संरचनाएं किसी भी वर्ग में परिभाषित की जा सकती है जिसमें अंतिम उत्पाद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समूह केवल टोपोलॉजिकल स्पेसेज़ के वर्ग का एक समूह होता है
 === उदाहरण ===
-गणित की अधिकांश सामान्य बीजगणितीय प्रणालियाँ किस्मों के उदाहरण हैं, लेकिन हमेशा एक स्पष्ट तरीके से नहीं, क्योंकि सामान्य परिभाषाओं में अक्सर परिमाणीकरण या असमानताएँ शामिल होती हैं।
+गणित की अधिकांश सामान्य बीजगणितीय प्रणालियाँ किस्मों के उदाहरण हैं, परंतु सदैव एक स्पष्ट नियमों से नहीं, क्योंकि सामान्य परिभाषाओं में प्रायः परिमाणीकरण या असमानताएँ सम्मिलित होती हैं।
 ==== समूह ====
-एक उदाहरण के रूप में, एक समूह (गणित) की परिभाषा पर विचार करें। आम तौर पर एक समूह को एकल बाइनरी ऑपरेशन ∗ के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, जो स्वयंसिद्धों के अधीन होता है:
+उदाहरण के तौर पर, समूह की परिभाषा पर विचार करें. सामान्यतः एक समूह को एकल बाइनरी संक्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, जो स्वयंसिद्धों के अधीन होता है:
-* साहचर्य (जैसा कि #समीकरण में है): x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z; औपचारिक रूप से: ∀x,y,z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.
+* साहचर्य x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; औपचारिक रूप से: ∀x, y, z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z ।
-* [[पहचान तत्व]]: एक तत्व ई मौजूद है जैसे कि प्रत्येक तत्व x के लिए, एक में e ∗ x  =  x  =  x ∗ e है; औपचारिक रूप से: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e.
+* [[पहचान तत्व]]: ऐसा एक तत्व e होता है जिसके लिए हर तत्व x के लिए e ∗ x = x = x ∗ e होता है; औपचारिक रूप से: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e।
-* [[उलटा तत्व]]: पहचान तत्व को आसानी से अद्वितीय माना जाता है, और आमतौर पर ई द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर प्रत्येक x के लिए, एक तत्व i मौजूद है जैसे कि x ∗ i  =  e  =  i ∗ x; औपचारिक रूप से: ∀x ∃i। x∗i=e=i∗x.
+* [[उलटा तत्व|विपरीत तत्व]]:  पहचान तत्व का एकदेशीय होना स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, और सामान्यतः e से प्रतिष्ठानित किया जाता है। तब हर x के लिए एक ऐसा तत्व i होता है जिसके लिए x ∗ i = e = i ∗ x होता है; औपचारिक रूप से: ∀x ∃i. x∗i=e=i∗x।
-(कुछ लेखक क्लोजर (गणित) स्वयंसिद्ध का भी उपयोग करते हैं कि x ∗ y जब भी x और y करते हैं तो A से संबंधित होता है, लेकिन यहाँ यह पहले से ही ∗ एक बाइनरी ऑपरेशन को कॉल करके निहित है।)
+कुछ लेखक अभिधान "आवरण" अभिधान का भी उपयोग करते हैं, जहां x और y जब भी होते हैं तो x ∗ y A का तत्व होता है, परंतु    यहां ∗ को एक बाइनरी संक्रिया कहने से यह पहले से ही इसमें सम्मिलित है।
-एक समूह की यह परिभाषा सार्वभौमिक बीजगणित के दृष्टिकोण से तुरंत फिट नहीं होती है, क्योंकि पहचान तत्व और व्युत्क्रम के स्वयंसिद्धों को विशुद्ध रूप से समीकरण कानूनों के संदर्भ में नहीं कहा जाता है जो सभी ... तत्वों के लिए सार्वभौमिक रूप से धारण करते हैं, लेकिन इसमें अस्तित्वगत भी शामिल है क्वांटिफायर मौजूद है .... बाइनरी ऑपरेशन ∗ के अलावा, एक अशक्त ऑपरेशन ई और एक यूनरी ऑपरेशन ~, ~ x के साथ आमतौर पर x के रूप में लिखे जाने के अलावा, समूह स्वयंसिद्धों को सार्वभौमिक रूप से परिमाणित समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<sup>-1</sup>. स्वयंसिद्ध बन जाते हैं:
+एक समूह की परिभाषा सीधे सार्वभौमिक बीजगणित के दृष्टिकोण से तुरंत संगत नहीं है, क्योंकि पहचान तत्व और विपरीत तत्व के अभिधान प्रायः संकेतों के रूप में नहीं दिए जाते हैं जो केवल समीकरणिक नियमों के माध्यम से सभी "सभी ..." तत्वों के लिए सत्य होते हैं, बल्कि यह कुछ स्वीकारी के साथ संलग्न भावी क्वांटिफायर भी सम्मिलित करते हैं। गण के नियम सामान्यतः सार्वभौमिक क्वांटिफाय किए जाने वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, ∗ के अतिरिक्त, एक शून्यार्य संक्रिया e और एक एकार्य संक्रिया ~ की विशेषता को निर्दिष्ट करके, जहां ~x सामान्यतः x−1 के रूप में लिखा जाता है।
+नियम समीकरण हो जाते हैं
 * साहचर्य:  {{nowrap|1=''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'') &nbsp;=&nbsp;}} {{nowrap|(''x'' ∗ ''y'') ∗ ''z''}}.
@@ Line 49: / Line 52: @@
 संक्षेप में, सामान्य परिभाषा में है:
-* एक एकल बाइनरी ऑपरेशन (हस्ताक्षर (तर्क) (2))
+* एक एकल बाइनरी  संक्रिया (हस्ताक्षर (तर्क) (2))
-* 1 समतुल्य कानून (साहचर्य)
+* 1 समतुल्य नियम
-* 2 मात्रात्मक कानून (पहचान और व्युत्क्रम)
+* 2 मात्रात्मक नियम
 जबकि सार्वभौमिक बीजगणित की परिभाषा है:
-* 3 ऑपरेशन: एक बाइनरी, एक यूनरी, और एक न्यूलरी (हस्ताक्षर (तर्क) (2,1,0))
+* 3  संक्रिया: एक बाइनरी, एक यूनरी, और एक न्यूलरी
-* 3 समान कानून (साहचर्य, पहचान और व्युत्क्रम)
+* 3 समान नियम
-* कोई मात्रात्मक कानून नहीं (बाहरी सार्वभौमिक क्वांटिफायर को छोड़कर, जो कि किस्मों में अनुमत हैं)
+* कोई मात्रात्मक नियम  नहीं
-एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि अतिरिक्त संचालन जानकारी नहीं जोड़ते हैं, लेकिन समूह की सामान्य परिभाषा से विशिष्ट रूप से अनुसरण करते हैं। हालांकि सामान्य परिभाषा विशिष्ट रूप से पहचान तत्व ई को निर्दिष्ट नहीं करती है, एक आसान अभ्यास से पता चलता है कि यह अद्वितीय है, जैसा कि प्रत्येक व्युत्क्रम तत्व है।
+एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि अतिरिक्त संचालन जानकारी नहीं जोड़ते हैं, परंतु समूह की सामान्य परिभाषा से विशिष्ट रूप से अनुसरण करते हैं। यद्यपि सामान्य परिभाषा विशिष्ट रूप से पहचान तत्व ई को निर्दिष्ट नहीं करती है, एक आसान अभ्यास से पता चलता है कि यह अद्वितीय है, जैसा कि प्रत्येक व्युत्क्रम तत्व है।
-सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण श्रेणी सिद्धांत के अनुकूल है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में एक [[समूह वस्तु]] को परिभाषित करते समय, जहां प्रश्न में वस्तु एक सेट नहीं हो सकती है, मात्रात्मक कानूनों (जो व्यक्तिगत तत्वों को संदर्भित करते हैं) के बजाय समीकरण कानूनों (जो सामान्य श्रेणियों में समझ में आता है) का उपयोग करना चाहिए। इसके अलावा, व्युत्क्रम और पहचान को श्रेणी में आकारिकी के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह में, व्युत्क्रम न केवल तत्व-वार मौजूद होना चाहिए, बल्कि एक निरंतर मानचित्रण (एक आकारिकी) देना चाहिए। कुछ लेखकों को पहचान मानचित्र को एक [[बंद समावेशन]] (एक [[cofibration]]) होने की भी आवश्यकता होती है।
+सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण श्रेणी सिद्धांत के अनुकूल है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में एक [[समूह वस्तु]] को परिभाषित करते समय, जहां प्रश्न में वस्तु एक समुच्चय नहीं हो सकती है, मात्रात्मक नियम के बजाय समीकरण नियम का उपयोग करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, व्युत्क्रम और पहचान को श्रेणी में आकारिकी के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह में, व्युत्क्रम न केवल तत्व-वार उपस्थित होना चाहिए, बल्कि एक निरंतर मानचित्रण देना चाहिए। कुछ लेखकों को पहचान मानचित्र को एक [[बंद समावेशन]] होने की भी आवश्यकता होती है।
 ==== अन्य उदाहरण ====
 अधिकांश बीजगणितीय संरचनाएं सार्वभौमिक बीजगणित के उदाहरण हैं।
-* रिंग (गणित), [[ semigroup ]]्स, [[quasigroup]], ग्रुपोइड्स, [[मैग्मा (गणित)]], लूप (बीजगणित), और अन्य।
+* रिंग, सेमिग्रुप, क्वासीग्रुप, ग्रुपॉइड्स, मैग्मास, लूप्स, और अन्य संरचनाएं हैं।
-* एक निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान और एक निश्चित अंगूठी पर [[मॉड्यूल (गणित)]] सार्वभौमिक बीजगणित हैं। इनमें एक द्विआधारी योग और एकात्मक अदिश गुणन संचालकों का एक परिवार है, जो क्षेत्र या रिंग के प्रत्येक तत्व के लिए एक है।
+* एक निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान और एक निश्चित रिंग पर सार्वभौमिक बीजगणित हैं। इनमें एक द्विआधारी योग और एकात्मक अदिश गुणन संचालकों का एक परिवार है, जो क्षेत्र या रिंग के प्रत्येक तत्व के लिए एक है।
-संबंधपरक बीजगणित के उदाहरणों में [[अर्द्ध लेटेक्स]], जाली (क्रम) और [[बूलियन बीजगणित]] शामिल हैं।
+संबंधपरक बीजगणित के उदाहरणों में [[अर्द्ध लेटेक्स]], जाली और [[बूलियन बीजगणित]] सम्मिलित हैं।
 == बुनियादी निर्माण ==
-हम मानते हैं कि प्रकार, <math>\Omega</math>, तय किया गया है। फिर सार्वभौमिक बीजगणित में तीन बुनियादी निर्माण होते हैं: [[समरूपता]] छवि, सबलजेब्रा और उत्पाद।
+हम यह मानते हैं कि प्रकार <math>\Omega</math> स्थायी रूप से निर्धारित किया गया है। इसके बाद सार्वभौमिक बीजगणित में तीन मूल निर्माण होते हैं: सदृश छवि, उपसमलय, और उत्पाद।
-दो बीजगणित A और B के बीच एक समाकारिता एक फलन (गणित) h: A → B समुच्चय A से समुच्चय B तक इस प्रकार है कि, प्रत्येक संक्रिया f के लिए<sub>''A''</sub> ए और संबंधित एफ<sub>''B''</sub> बी की (धैर्य की, कहें, एन), एच (एफ<sub>''A''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>)) = एफ<sub>''B''</sub>(एच (एक्स<sub>1</sub>),..., एच (एक्स<sub>''n''</sub>)). (कभी-कभी f पर सबस्क्रिप्ट हटा दिए जाते हैं जब यह संदर्भ से स्पष्ट हो जाता है कि फ़ंक्शन किस बीजगणित से है।) उदाहरण के लिए, यदि e एक स्थिर (अशक्त संक्रिया) है, तो h(e<sub>''A''</sub>) = और<sub>''B''</sub>. अगर ~ एक यूनरी ऑपरेशन है, तो h(~x) = ~h(x). अगर ∗ एक बाइनरी ऑपरेशन है, तो h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y)। और इसी तरह। समरूपता के साथ कुछ चीजें की जा सकती हैं, साथ ही साथ कुछ विशेष प्रकार की समरूपता की परिभाषाएं होमोमोर्फिज्म प्रविष्टि के तहत सूचीबद्ध हैं। विशेष रूप से, हम एक बीजगणित, h(A) की समरूपी छवि ले सकते हैं।
+दो बीजगणितीय संरचनाओं A और B के बीच एक समानोन्नति h: A → B एक फलन होती है जो सेट A से सेट B तक होती है, ऐसा कि हर A के संक्रिया fA के लिए और इसके उपस्थित fB के लिए  h(fA(x1,...,xn)) =fB(h(x1),...,h(xn)) होता है। उदाहरण के लिए, यदि e एक ध्यात्मिक संक्रिया है, तो h(eA) = eB होता है। यदि ~ एक एकार्य संक्रिया  है, तो h(~x) = ~h(x) होता है। यदि ∗ एक बाइनरी संक्रिया  है, तो h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) होता है। और ऐसी ही कई बातें हो सकती हैं जो समरूपता के साथ की जा सकती हैं, साथ ही कुछ विशेष प्रकार के समरूपता की परिभाषाएं भी होती हैं, जो "समरूपता" शीर्षक वाले प्रविष्टि के तहत सूचीबद्ध हैं। विशेष रूप से, हम बीजगणित के समानोन्नति ले सकते हैं, h(A) की समरूपी छवि ले सकते हैं।
-A का एक सबलजेब्रा A का एक उपसमुच्चय है जो A के सभी कार्यों के तहत बंद है। बीजगणितीय संरचनाओं के कुछ सेट का एक उत्पाद सेट का कार्टेशियन उत्पाद है जिसमें संचालन को समन्वयित परिभाषित किया गया है।
+A का एक उपसमलय A का एक उपसमुच्चय है जो A के सभी कार्यों के तहत बंद है। बीजगणितीय संरचनाओं के कुछ समुच्चय का एक उत्पाद समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है जिसमें संचालन को समन्वयित परिभाषित किया गया है।
 == कुछ बुनियादी प्रमेय ==
-* [[समरूपता प्रमेय]], जिसमें समूह (गणित), वलय (गणित), मॉड्यूल (गणित), आदि की समरूपता प्रमेय शामिल हैं।
+* [[समरूपता प्रमेय]], जिसमें समूह, वलय, मॉड्यूल, आदि की समरूपता प्रमेय सम्मिलित हैं।
-* विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)#बिरखॉफ की प्रमेय|बिरखॉफ की एचएसपी प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि बीजगणित का एक वर्ग एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) है यदि और केवल अगर यह होमोमोर्फिक छवियों, सबलजेब्रा और मनमाने प्रत्यक्ष उत्पादों के तहत बंद है।
+* बर्खोफ का सिद्धांत कहता है कि यदि कोई बीजगणितीय संरचनाओं की वर्ग हो जो समानोन्नति छवि, उपसमलय और ऐसे किसी भी सत्यापित नियत्रित उत्पाद के तहत बंद होती है, तो वह विविधता होती है।
 == प्रेरणा और अनुप्रयोग ==
-{{Unreferenced section|date=April 2010}}
+अपने एकीकृत दृष्टिकोण के अतिरिक्त, सार्वभौमिक बीजगणित गहन प्रमेय और महत्वपूर्ण उदाहरण और प्रति उदाहरण भी देता है। यह उन लोगों के लिए एक उपयोगी ढांचा प्रदान करता है जो बीजगणित की नई कक्षाओं का अध्ययन प्रारंभ करना चाहते हैं। यह सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में विधियों को पुन: व्यवस्थित करके, बीजगणित के कुछ विशेष वर्गों के लिए बीजगणित के अन्य वर्गों के लिए आविष्कृत विधियों के उपयोग को सक्षम कर सकता है, और फिर इन्हें अन्य वर्गों पर लागू करने के रूप में व्याख्या कर सकता है। इसने वैचारिक स्पष्टीकरण भी प्रदान किया है; जे.डी.एच के रूप में स्मिथ इसे कहते हैं, जो एक विशेष ढांचे में गन्दा और जटिल दिखता है वह उचित सामान्य में सरल और स्पष्ट हो सकता है।
-अपने एकीकृत दृष्टिकोण के अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित गहन प्रमेय और महत्वपूर्ण उदाहरण और प्रति उदाहरण भी देता है। यह उन लोगों के लिए एक उपयोगी ढांचा प्रदान करता है जो बीजगणित की नई कक्षाओं का अध्ययन शुरू करना चाहते हैं।
+विशेष रूप से, सार्वभौमिक बीजगणित को मोनोइड्स, रिंग्स, और जाली (क्रम) के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है। सार्वभौमिक बीजगणित के आने से पहले, इन सभी वर्गों में कई प्रमेय अलग-अलग प्रमाणित हुए थे, परंतु    सार्वभौमिक बीजगणित के साथ, वे हर तरह की बीजगणितीय प्रणाली के लिए एक बार और सभी के लिए सिद्ध हो सकते हैं।
-यह सार्वभौमिक बीजगणित (यदि संभव हो) के संदर्भ में विधियों को पुन: व्यवस्थित करके, बीजगणित के कुछ विशेष वर्गों के लिए बीजगणित के अन्य वर्गों के लिए आविष्कृत विधियों के उपयोग को सक्षम कर सकता है, और फिर इन्हें अन्य वर्गों पर लागू करने के रूप में व्याख्या कर सकता है। इसने वैचारिक स्पष्टीकरण भी प्रदान किया है; जे.डी.एच के रूप में स्मिथ इसे कहते हैं, जो एक विशेष ढांचे में गन्दा और जटिल दिखता है वह उचित सामान्य में सरल और स्पष्ट हो सकता है।
-विशेष रूप से, सार्वभौमिक बीजगणित को [[मोनोइड]]्स, [[अंगूठी (बीजगणित)]], और जाली (क्रम) के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है। सार्वभौमिक बीजगणित के आने से पहले, इन सभी वर्गों में कई प्रमेय (सबसे विशेष रूप से [[समरूपता प्रमेय]]) अलग-अलग साबित हुए थे, लेकिन सार्वभौमिक बीजगणित के साथ, वे हर तरह की बीजगणितीय प्रणाली के लिए एक बार और सभी के लिए सिद्ध हो सकते हैं।
+नीचे संदर्भित हिगिंस द्वारा 1956 के पेपर का विशेष बीजगणितीय प्रणालियों की एक श्रृंखला के लिए इसके ढांचे के लिए अच्छी तरह से पालन किया गया है, जबकि उनका 1963 का पेपर संचालन के साथ बीजगणित की चर्चा के लिए उल्लेखनीय है जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित हैं, इसके लिए विशिष्ट उदाहरण श्रेणियां और समूह हैं।  यह उच्च-आयामी बीजगणित के विषय की ओर जाता है जिसे आंशिक संचालन वाले बीजीय सिद्धांतों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके डोमेन को ज्यामितीय स्थितियों के तहत परिभाषित किया गया है। इनमें से उल्लेखनीय उदाहरण उच्च-आयामी श्रेणियों और समूह भार के विभिन्न रूप हैं।
-नीचे संदर्भित हिगिंस द्वारा 1956 के पेपर का विशेष बीजगणितीय प्रणालियों की एक श्रृंखला के लिए इसके ढांचे के लिए अच्छी तरह से पालन किया गया है, जबकि उनका 1963 का पेपर संचालन के साथ बीजगणित की चर्चा के लिए उल्लेखनीय है जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित हैं, इसके लिए विशिष्ट उदाहरण श्रेणियां और समूह हैं . यह उच्च-आयामी बीजगणित के विषय की ओर जाता है जिसे आंशिक संचालन वाले बीजीय सिद्धांतों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके डोमेन को ज्यामितीय स्थितियों के तहत परिभाषित किया गया है। इनमें से उल्लेखनीय उदाहरण उच्च-आयामी श्रेणियों और ग्रुपॉयड्स के विभिन्न रूप हैं।
+===तंत्र संरचना समस्या===
+{{Main|बाधा संतुष्टि समस्या}}
-===प्रतिबंध संतुष्टि समस्या===
+सार्वभौमिक बीजगणित [[बाधा संतुष्टि समस्या|तंत्र संरचना समस्या]] के लिए एक प्राकृतिक भाषा प्रदान करता है। सीएसपी संगणनात्मक समस्याओं के एक एक महत्वपूर्ण गणितीय समस्या कक्षा को संदर्भित करता है जहां एक संबंधिक बीजगणित {{mvar|A}} और एक ऐसा सत्यापितीय वाक्य <math>\varphi</math> दिया गया होता है और सवाल यह होता है कि क्या <math>\varphi</math>{{mvar|A}} में संतुष्टि प्राप्त कर सकता है। बीजगणित {{mvar|A}}. सामान्यतः निर्धारित होता है जिससे सीएसपी   उस समस्या को संदर्भित करे जिसके उदाहरण केवल सत्यापितीय वाक्य <math>\varphi</math>.होते हैं।
-{{Main|Constraint satisfaction problem}}
-यूनिवर्सल बीजगणित [[बाधा संतुष्टि समस्या]] | बाधा संतुष्टि समस्या (सीएसपी) के लिए एक प्राकृतिक भाषा प्रदान करता है। सीएसपी कम्प्यूटेशनल समस्याओं के एक महत्वपूर्ण वर्ग को संदर्भित करता है, जहां एक रिलेशनल बीजगणित दिया जाता है {{mvar|A}} और एक अस्तित्वगत [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] <math>\varphi</math> इस बीजगणित पर, प्रश्न यह पता लगाने का है कि क्या <math>\varphi</math> में संतुष्ट हो सकते हैं {{mvar|A}}. बीजगणित {{mvar|A}} अक्सर तय होता है, ताकि {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} उस समस्या को संदर्भित करता है जिसका उदाहरण केवल अस्तित्वगत वाक्य है <math>\varphi</math>.
+सिद्ध किया गया है कि प्रत्येक गणितीय समस्या किसी बीजगणित {{mvar|A}}.<ref>{{Citation|last1=Bodirsky|first1=Manuel|last2=Grohe|first2=Martin|date=2008|title=Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity|url=http://www.lix.polytechnique.fr/~bodirsky/publications/nodich.pdf}}</ref>के लिए सीएसपी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+उदाहरण के रूप में, n-रंगीकरण समस्या को बीजगणित  <math>\big(\{0,1,\dots,n-1\}, \neq\big)</math>,  का सीएसपी  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात् एक बीजगणित जिसमे<ref>{{cite arXiv | last = Zhuk | first = Dmitriy | title = सीएसपी द्विभाजन अनुमान का प्रमाण| eprint = 1704.01914 | date = 2017 | class = cs.cc}}</ref>n तत्व होते हैं और एकल संबंध,के साथ असमानता, होती है।
+द्विभाजन अनुमान (अप्रैल 2017 में सिद्ध) में कहा गया है कि यदि ए एक सीमित बीजगणित है, तो सीएसपी {{mvar|A}} या तो पी या एनपी-पूर्ण है
+== सामान्यीकरण ==
+{{Further|श्रेणी सिद्धांत|संचालन सिद्धांत|आंशिक बीजगणित|प्रारूप सिद्धांत
+}}
-यह सिद्ध हो चुका है कि प्रत्येक कम्प्यूटेशनल समस्या को सूत्रबद्ध किया जा सकता है {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} कुछ बीजगणित के लिए {{mvar|A}}.<ref>{{Citation|last1=Bodirsky|first1=Manuel|last2=Grohe|first2=Martin|date=2008|title=Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity|url=http://www.lix.polytechnique.fr/~bodirsky/publications/nodich.pdf}}</ref>
+श्रेणी सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके सार्वभौमिक बीजगणित का भी अध्ययन किया गया है। इस दृष्टिकोण में, उन संक्रियाओं द्वारा पालन किए गए संक्रियाओं और समीकरणों की एक सूची लिखने के बजाय, एक विशेष प्रकार की श्रेणियों का उपयोग करके एक बीजगणितीय संरचना का वर्णन किया जा सकता है, जिसे लॉवरे सिद्धांत या अधिक सामान्यतः [[बीजगणितीय सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)|मोनाड या श्रेणी सिद्धांत]] का उपयोग करके बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन कर सकता है। दो दृष्टिकोण निकट से संबंधित हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे हैं।<ref>
-उदाहरण के लिए, ग्राफ कलरिंग | एन-कलरिंग समस्या को बीजगणित के सीएसपी के रूप में कहा जा सकता है <math>\big(\{0,1,\dots,n-1\}, \neq\big)</math>, यानी बीजगणित के साथ <math>n</math> तत्व और एक संबंध, असमानता।
+{{Citation|last1=Hyland|first1=Martin|last2=Power|first2=John|date=2007|title=The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads|url =http://www.dpmms.cam.ac.uk/~martin/Research/Publications/2007/hp07.pdf}}</ref>
+विशेष रूप से, प्रत्येक लॉवर सिद्धांत समुच्चय की श्रेणी पर एक मोनाड देता है, जबकि समुच्चय की श्रेणी पर कोई भी अंतिम मोनाड एक लॉवर सिद्धांत से उत्पन्न होता है। यद्यपि, एक मोनाड एक विशेष श्रेणी  के अंदर बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन करता है, जबकि बीजगणितीय सिद्धांत श्रेणियों के किसी भी बड़े वर्ग अर्थात् परिमित उत्पाद के अंदर संरचना का वर्णन करते हैं।
-द्विबीजपत्री अनुमान (अप्रैल 2017 में सिद्ध) बताता है कि यदि {{mvar|A}} एक परिमित बीजगणित है, तब {{math|CSP<sub>''A''</sub>}} या तो [[पी (जटिलता)]] या एनपी-पूर्णता है। एनपी-पूर्ण।<ref>{{cite arXiv | last = Zhuk | first = Dmitriy | title = सीएसपी द्विभाजन अनुमान का प्रमाण| eprint = 1704.01914 | date = 2017 | class = cs.cc}}</ref>
+श्रेणी सिद्धांत में एक और तात्कालिक विकास है [[ओपेरा सिद्धांत]] एक ऑपेरड संचालन का एक समुच्चय है, जो एक सार्वभौमिक बीजगणित के समान है, परंतु उस समीकरण में प्रतिबंधित है जो चर के साथ अभिव्यक्तियों के बीच ही अनुमत है, जिसमें चर के दोहराव या चूक की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, रिंग को नियम  के बाद से कुछ ओपेरा के तथाकथित बीजगणित के रूप में वर्णित किया जा सकता है, परंतु समूहों को नहीं क्योंकि नियम  <math>g g^{-1} = 1</math> बाएं ओर में चर g की दोहराव करता है और दाएं ओर उसे छोड़ देता है। पहले तो यह  यह एक समस्या भरी सीमा के रूप में दिख सकता है, परंतु इसका लाभ है कि ऑपरैड के कुछ लाभ होते हैं: उदाहरण के लिए, रिंग और सदिश स्थानों के अवधारणाओं को मिश्रित करके संयुक्त बीजगणित की अवधारणा प्राप्त की जा सकती है, लेकिन समूह और सदिश स्थानों की अवधारणा की इसी तरह की मिश्रण नहीं बना सकते हैं।
-== सामान्यीकरण ==
-{{Further|Category theory|Operad theory|Partial algebra|Model theory}}
-श्रेणी सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके सार्वभौमिक बीजगणित का भी अध्ययन किया गया है। इस दृष्टिकोण में, उन संक्रियाओं द्वारा पालन किए गए संक्रियाओं और समीकरणों की एक सूची लिखने के बजाय, एक विशेष प्रकार की श्रेणियों का उपयोग करके एक बीजगणितीय संरचना का वर्णन किया जा सकता है, जिसे लॉवरे सिद्धांत या अधिक सामान्यतः [[बीजगणितीय सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)]] का उपयोग करके बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन कर सकता है। दो दृष्टिकोण निकट से संबंधित हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे हैं।<ref>
+एक और विकास [[आंशिक बीजगणित]] है जहां संचालक आंशिक कार्य हो सकते हैं। कुछ आंशिक कार्यों को [[अनिवार्य रूप से बीजगणितीय सिद्धांत]] के रूप में जाने वाले लॉवर सिद्धांतों के सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।<ref>{{nlab|id=essentially+algebraic+theory|title=Essentially algebraic theory}}</ref>
-{{Citation|last1=Hyland|first1=Martin|last2=Power|first2=John|date=2007|title=The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads|url =http://www.dpmms.cam.ac.uk/~martin/Research/Publications/2007/hp07.pdf}}</ref>
-विशेष रूप से, प्रत्येक लॉवर सिद्धांत सेट की श्रेणी पर एक मोनाड देता है, जबकि सेट की श्रेणी पर कोई भी अंतिम मोनाड एक लॉवर सिद्धांत से उत्पन्न होता है। हालांकि, एक मोनाड एक विशेष श्रेणी (उदाहरण के लिए सेट की श्रेणी) के भीतर बीजगणितीय संरचनाओं का वर्णन करता है, जबकि बीजगणितीय सिद्धांत श्रेणियों के किसी भी बड़े वर्ग (अर्थात् परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) वाले) के भीतर संरचना का वर्णन करते हैं।
-श्रेणी सिद्धांत में एक और हालिया विकास है [[ओपेरा सिद्धांत]] - एक ऑपेरड संचालन का एक सेट है, जो एक सार्वभौमिक बीजगणित के समान है, लेकिन उस समीकरण में प्रतिबंधित है जो चर के साथ अभिव्यक्तियों के बीच ही अनुमत है, जिसमें चर के दोहराव या चूक की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, छल्ले को कानून के बाद से कुछ ओपेरा के तथाकथित बीजगणित के रूप में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन समूह नहीं <math>g g^{-1} = 1</math> चर g को बाईं ओर डुप्लिकेट करता है और इसे दाईं ओर छोड़ देता है। पहले तो यह एक परेशानी भरा प्रतिबंध लग सकता है, लेकिन अदायगी यह है कि ओपेरा के कुछ फायदे हैं: उदाहरण के लिए, कोई [[साहचर्य बीजगणित]] की अवधारणा को प्राप्त करने के लिए रिंग और वेक्टर स्पेस की अवधारणाओं को हाइब्रिड कर सकता है, लेकिन एक समान हाइब्रिड नहीं बना सकता है समूह और सदिश स्थान की अवधारणाएँ।
+सार्वभौमिक बीजगणित का एक अन्य सामान्यीकरण प्रारूप सिद्धांत है, जिसे कभी-कभी सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क के रूप में वर्णित किया जाता है।<ref>{{cite book | isbn=0444880542 | author=C.C. Chang and H. Jerome Keisler | title=मॉडल सिद्धांत| publisher=North Holland | series=Studies in Logic and the Foundation of Mathematics | volume=73 | edition=3rd | year=1990 |page=1}}</ref>
-एक और विकास [[आंशिक बीजगणित]] है जहां ऑपरेटर आंशिक कार्य हो सकते हैं। कुछ आंशिक कार्यों को [[अनिवार्य रूप से बीजगणितीय सिद्धांत]] के रूप में जाने वाले लॉवर सिद्धांतों के सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।<ref>{{nlab|id=essentially+algebraic+theory|title=Essentially algebraic theory}}</ref>
-सार्वभौमिक बीजगणित का एक अन्य सामान्यीकरण मॉडल सिद्धांत है, जिसे कभी-कभी सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क के रूप में वर्णित किया जाता है।<ref>{{cite book | isbn=0444880542 | author=C.C. Chang and H. Jerome Keisler | title=मॉडल सिद्धांत| publisher=North Holland | series=Studies in Logic and the Foundation of Mathematics | volume=73 | edition=3rd | year=1990 |page=1}}</ref>
 == इतिहास ==
-में प्रकाशित [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] की किताब ए ट्रीटिस ऑन यूनिवर्सल अलजेब्रा में, यूनिवर्सल बीजगणित शब्द का अनिवार्य रूप से वही अर्थ था जो आज है। व्हाइटहेड ने [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] और [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]] को विषय वस्तु के प्रवर्तक के रूप में श्रेय दिया है, और [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] ने खुद इस शब्द को गढ़ा है।<ref name="Gratzer.1968">{{cite book | author=George Grätzer | editor=M.H. Stone and L. Nirenberg and S.S. Chern | title=सार्वभौमिक बीजगणित| publisher=Van Nostrand Co., Inc | edition=1st | year=1968 }}</ref>{{rp|v}}
+में प्रकाशित [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] की किताब ए ट्रीटिस ऑन यूनिवर्सल अलजेब्रा में, यूनिवर्सल बीजगणित शब्द का अनिवार्य रूप से वही अर्थ था जो आज है। व्हाइटहेड ने [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] और [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]] को विषय वस्तु के प्रवर्तक के रूप में श्रेय दिया है, और [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] ने स्वयं इस शब्द को गढ़ा है।<ref name="Gratzer.1968">{{cite book | author=George Grätzer | editor=M.H. Stone and L. Nirenberg and S.S. Chern | title=सार्वभौमिक बीजगणित| publisher=Van Nostrand Co., Inc | edition=1st | year=1968 }}</ref>{{rp|v}}
-उस समय ली बीजगणित और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज जैसी संरचनाओं ने साहचर्य गुणक वर्ग से परे बीजगणितीय संरचनाओं का विस्तार करने की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित किया। एक समीक्षा में [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] ने लिखा: काम का मुख्य विचार कई तरीकों का एकीकरण नहीं है, न ही साधारण बीजगणित का सामान्यीकरण है ताकि उन्हें शामिल किया जा सके, बल्कि उनकी कई संरचनाओं का तुलनात्मक अध्ययन किया जा सके।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1899) [https://archive.org/details/jstor-1626993 Review:''A Treatise on Universal Algebra'' (pdf)], [[Science (journal)|Science]] 9: 324–8 via [[Internet Archive]]</ref> उस समय [[जॉर्ज बूले]] के तर्क के बीजगणित ने साधारण संख्या बीजगणित के लिए एक मजबूत प्रतिरूप बनाया, इसलिए सार्वभौमिक शब्द ने तनावपूर्ण संवेदनाओं को शांत करने का काम किया।
+उस समय ली बीजगणित और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज जैसी संरचनाओं ने साहचर्य गुणक वर्ग से परे बीजगणितीय संरचनाओं का विस्तार करने की आवश्यकता पर ध्यान आकर्षित किया। एक समीक्षा में [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] ने लिखा: काम का मुख्य विचार कई नियमों का एकीकरण नहीं है, न ही साधारण बीजगणित का सामान्यीकरण है जिससे उन्हें सम्मिलित किया जा सके, बल्कि उनकी कई संरचनाओं का तुलनात्मक अध्ययन किया जा सके।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1899) [https://archive.org/details/jstor-1626993 Review:''A Treatise on Universal Algebra'' (pdf)], [[Science (journal)|Science]] 9: 324–8 via [[Internet Archive]]</ref> उस समय [[जॉर्ज बूले]] के तर्क के बीजगणित ने साधारण संख्या बीजगणित के लिए एक मजबूत प्रतिरूप बनाया, इसलिए सार्वभौमिक शब्द ने तनावपूर्ण संवेदनाओं को शांत करने का काम किया।
-व्हाइटहेड के शुरुआती काम ने चतुष्कोणों (हैमिल्टन के कारण), [[ग्रासमैन]] के बाहरी बीजगणित # इतिहास, और बूल के तर्क के बीजगणित को एकजुट करने की मांग की। व्हाइटहेड ने अपनी पुस्तक में लिखा है:
+व्हाइटहेड के शुरुआती काम ने चतुष्कोणों, [[ग्रासमैन]] के बाहरी बीजगणित इतिहास, और बूल के तर्क के बीजगणित को संगठित करने की मांग की। व्हाइटहेड ने अपनी पुस्तक में लिखा है:
 : इस तरह के बीजगणित अलग-अलग विस्तृत अध्ययन के लिए एक आंतरिक मूल्य रखते हैं; साथ ही वे प्रतीकात्मक तर्क के सामान्य सिद्धांत पर और विशेष रूप से बीजगणितीय प्रतीकवाद पर प्रकाश डालने के लिए तुलनात्मक अध्ययन के योग्य हैं। तुलनात्मक अध्ययन अनिवार्य रूप से पिछले कुछ अलग अध्ययन को मानता है, ज्ञान के बिना तुलना असंभव है।<ref name="Gratzer.1968"/>
-हालाँकि, व्हाइटहेड के पास सामान्य प्रकृति का कोई परिणाम नहीं था। 1930 के दशक की शुरुआत तक इस विषय पर काम न्यूनतम था, जब [[गैरेट बिरखॉफ]] और ऑयस्टीन ओरे ने सार्वभौमिक बीजगणित पर प्रकाशन शुरू किया। 1940 और 1950 के दशक में [[मेटामैथमैटिक्स]] और श्रेणी सिद्धांत में विकास ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया, विशेष रूप से [[अब्राहम रॉबिन्सन]], [[अल्फ्रेड टार्स्की]], [[आंद्रेज मोस्टोव्स्की]] और उनके छात्रों के काम को।<ref>Brainerd, Barron (Aug–Sep 1967) "Review of ''Universal Algebra'' by [[P. M. Cohn]]", [[American Mathematical Monthly]] 74(7): 878–880.</ref>
+यद्यपि, व्हाइटहेड के पास सामान्य प्रकृति का कोई परिणाम नहीं था। 1930 के दशक के प्रारंभ तक इस विषय पर काम न्यूनतम था, जब [[गैरेट बिरखॉफ]] और ऑयस्टीन ओरे ने सार्वभौमिक बीजगणित पर प्रकाशन प्रारंभकिया। 1940 और 1950 के दशक में [[मेटामैथमैटिक्स]] और श्रेणी सिद्धांत में, विशेष रूप से [[अब्राहम रॉबिन्सन]], [[अल्फ्रेड टार्स्की]], [[आंद्रेज मोस्टोव्स्की]] और उनके छात्रों के काम को इस क्षेत्र ने  आगे बढ़ाया।<ref>Brainerd, Barron (Aug–Sep 1967) "Review of ''Universal Algebra'' by [[P. M. Cohn]]", [[American Mathematical Monthly]] 74(7): 878–880.</ref>1935 और 1950 के मध्य की अवधि में, अधिकांश पत्र बिरखॉफ के पत्रों द्वारा सुझाई गई पंक्तियों के साथ लिखे गए थे, जो [[ मुक्त वस्तु |मुक्त वस्तु]] , सर्वांगसमता और सबलजेब्रा लैटिस और होमोमोर्फिज्म प्रमेयों से संबंधित थे। यद्यपि गणितीय तर्क के विकास ने बीजगणित के लिए अनुप्रयोगों को संभव बना दिया था, 1940 के दशक में [[अनातोली माल्टसेव]] द्वारा प्रकाशित परिणाम युद्ध के कारण किसी का ध्यान नहीं गया। 1950 में कैंब्रिज में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में टार्स्की के व्याख्यान ने एक नई अवधि की शुरुआत की जिसमें प्रारूप-सैद्धांतिक पहलुओं को विकसित किया गया था, मुख्य रूप से स्वयं टार्स्की द्वारा, साथ ही सी.सी. चांग, [[आह वापसी पर]], बज़्नी जॉनसन, [[रोजर लिंडन]],और अन्यों द्वारा।।
-और 1950 के बीच की अवधि में, अधिकांश पत्र बिरखॉफ के पत्रों द्वारा सुझाई गई पंक्तियों के साथ लिखे गए थे, जो [[ मुक्त वस्तु ]], सर्वांगसमता और सबलजेब्रा लैटिस और होमोमोर्फिज्म प्रमेयों से संबंधित थे। यद्यपि गणितीय तर्क के विकास ने बीजगणित के लिए अनुप्रयोगों को संभव बना दिया था, वे धीरे-धीरे आए; 1940 के दशक में [[अनातोली माल्टसेव]] द्वारा प्रकाशित परिणाम युद्ध के कारण किसी का ध्यान नहीं गया। 1950 में कैंब्रिज में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में टार्स्की के व्याख्यान ने एक नई अवधि की शुरुआत की जिसमें मॉडल-सैद्धांतिक पहलुओं को विकसित किया गया था, मुख्य रूप से खुद टार्स्की द्वारा, साथ ही सी.सी. चांग, [[आह वापसी पर]], बज़्नी जॉनसन, [[रोजर लिंडन]], और अन्य।
-के दशक के अंत में, [[एडवर्ड मार्क्ज़वेस्की]]<ref>Marczewski, E. "A general scheme of the notions of independence in mathematics." Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. '''6''' (1958), 731–736.</ref> मुक्त बीजगणित के महत्व पर जोर दिया, जिसके कारण खुद मार्कजेवस्की द्वारा मुक्त बीजगणित के बीजगणितीय सिद्धांत पर 50 से अधिक पत्रों का प्रकाशन किया गया, साथ में [[जान माइसिल्स्की]], व्लाडिसलाव नारकिविक्ज़, विटोल्ड नित्का, जे. प्लोन्का, एस। . उरबनिक और अन्य।
+के दशक के अंत में, [[एडवर्ड मार्क्ज़वेस्की]]<ref>Marczewski, E. "A general scheme of the notions of independence in mathematics." Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. '''6''' (1958), 731–736.</ref> मुक्त बीजगणित के महत्व पर जोर दिया, जिसके कारण स्वयं मार्कजेवस्की द्वारा मुक्त बीजगणित के बीजगणितीय सिद्धांत पर 50 से अधिक पत्रों का प्रकाशन किया गया, साथ में [[जान माइसिल्स्की]], व्लाडिसलाव नारकिविक्ज़, विटोल्ड नित्का, जे. प्लोन्का, एस. उरबनिक और अन्यों द्वारा।
-में [[विलियम लॉवरे]] की थीसिस से शुरू होकर, श्रेणी सिद्धांत की तकनीकें सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण हो गई हैं।<ref>{{Citation|last1=Lawvere|first1=William F.|author-link=William Lawvere|date=1964|title=Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)|url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html}}</ref>
+में [[विलियम लॉवरे]] की थीसिस से प्रारंभ होकर, श्रेणी सिद्धांत की तकनीकें सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण हो गई हैं।<ref>{{Citation|last1=Lawvere|first1=William F.|author-link=William Lawvere|date=1964|title=Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)|url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html}}</ref>
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 {{Algebra}}
 {{Authority control}}
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मूल विचार

समीकरण

किस्में

उदाहरण

समूह

अन्य उदाहरण

बुनियादी निर्माण

कुछ बुनियादी प्रमेय

प्रेरणा और अनुप्रयोग

तंत्र संरचना समस्या

सामान्यीकरण

इतिहास

यह भी देखें

फुटनोट्स

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समूह

अन्य उदाहरण

बुनियादी निर्माण

कुछ बुनियादी प्रमेय

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