संचयी: Difference between revisions
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{{Short description|Set of quantities in probability theory}} | {{Short description|Set of quantities in probability theory}} | ||
प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के '''संचयी''' κ<sub>n</sub> मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत। | प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के '''संचयी''' κ<sub>n</sub> मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और पूर्ण रूप से इसके विपरीत। | ||
इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। अतः कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है। | इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। अतः कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में पूर्ण रूप से सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है। | ||
इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है। | इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना पूर्ण रूप से संभव है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
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संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: | संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: | ||
:<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} =\kappa_1 \frac{t}{1!} + \kappa_2 \frac{t^2}{2!}+ \kappa_3 \frac{t^3}{3!}+ \cdots = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \cdots.</math> | :<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} =\kappa_1 \frac{t}{1!} + \kappa_2 \frac{t^2}{2!}+ \kappa_3 \frac{t^3}{3!}+ \cdots = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \cdots.</math> | ||
यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref> | यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी पूर्ण रूप से प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref> | ||
:<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | :<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | ||
इस प्रकार से यदि क्षण-जनक फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। | इस प्रकार से यदि क्षण-जनक फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में पूर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता है। | ||
===संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा === | ===संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा === | ||
कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी '''''दूसरा'' विशेषता फलन''',<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref> | कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी '''''दूसरा'' विशेषता फलन''',<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref> | ||
:<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> भी कहा जाता है। | :<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> भी कहा जाता है। | ||
इस प्रकार से '''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''<sup>''itX''</sup>]}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''<sup>''tX''</sup>]}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि X का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। अतः [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं। | इस प्रकार से '''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''<sup>''itX''</sup>]}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''<sup>''tX''</sup>]}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि X का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या पूर्ण रूप से नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। अतः [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं। | ||
== कुछ मूलभूत गुण == | == कुछ मूलभूत गुण == | ||
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=== क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी === | === क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी === | ||
अतः सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी | अतः सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वस्तुतः केंद्रीय क्षण हैं। | ||
* <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | * <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | ||
* <math display="inline"> \kappa_2(X) = \operatorname{var}(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) ={}</math>विचरण, या दूसरा केंद्रीय क्षण। | * <math display="inline"> \kappa_2(X) = \operatorname{var}(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) ={}</math>विचरण, या दूसरा केंद्रीय क्षण। | ||
* <math display="inline"> \kappa_3(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big)={} </math>तीसरा केंद्रीय क्षण। | * <math display="inline"> \kappa_3(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big)={} </math>तीसरा केंद्रीय क्षण। | ||
* <math display="inline"> \kappa_4(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^4\big) - 3\left( \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) \right)^2={} </math>चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना घटा है। इस प्रकार यह प्रथम स्थिति है जिसमें संचयी मात्र क्षण या केंद्रीय क्षण नहीं हैं। अतः 3 से अधिक परिमाण के केंद्रीय क्षणों में संचयी गुण का अभाव होता है। | * <math display="inline"> \kappa_4(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^4\big) - 3\left( \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) \right)^2={} </math>चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना घटा है। इस प्रकार यह प्रथम स्थिति है जिसमें संचयी मात्र क्षण या केंद्रीय क्षण नहीं हैं। अतः 3 से अधिक परिमाण के केंद्रीय क्षणों में संचयी गुण का पूर्ण रूप से अभाव होता है। | ||
* <math display="inline"> \kappa_5(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^5\big) - 10\operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big) \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big).</math> | * <math display="inline"> \kappa_5(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^5\big) - 10\operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big) \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big).</math> | ||
==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक== | ==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक== | ||
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* पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e<sup>''t''</sup> − 1)}} है। अतः सभी संचयी पैरामीटर {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ... {{=}} ''μ''}} के बराबर हैं। | * पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e<sup>''t''</sup> − 1)}} है। अतः सभी संचयी पैरामीटर {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ... {{=}} ''μ''}} के बराबर हैं। | ||
* [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>(1 − ''p'')}} हैं। इस प्रकार से {{math|''p'' {{=}} μ·''n''<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ<sup>−1</sup> − ''n''<sup>−1</sup>)·e<sup>−''t''</sup> + ''n''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} μ}} प्राप्त होता है। अतः सीमित स्थिति {{math|''n''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | * [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>(1 − ''p'')}} हैं। इस प्रकार से {{math|''p'' {{=}} μ·''n''<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ<sup>−1</sup> − ''n''<sup>−1</sup>)·e<sup>−''t''</sup> + ''n''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} μ}} प्राप्त होता है। अतः सीमित स्थिति {{math|''n''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | ||
* [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')<sup>−1</sup>·e<sup>−''t''</sup>−1)<sup>−1</sup>}} का व्युत्पन्न है। इस प्रकार से प्रथम संचयी {{math|1=''κ''<sub>1</sub> = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''<sup>−1</sup>−1)}} और {{math|1=''κ''<sub>2</sub> = ''K'' ' '(0) = ''κ''<sub>1</sub>·''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''<sup>−1</sup>+1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''<sup>−1</sup> + ''r''<sup>−1</sup>)''e''<sup>−''t''</sup> − ''r''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है। अतः इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | * [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')<sup>−1</sup>·e<sup>−''t''</sup>−1)<sup>−1</sup>}} का व्युत्पन्न है। इस प्रकार से प्रथम संचयी {{math|1=''κ''<sub>1</sub> = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''<sup>−1</sup>−1)}} और {{math|1=''κ''<sub>2</sub> = ''K'' ' '(0) = ''κ''<sub>1</sub>·''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''<sup>−1</sup>+1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''<sup>−1</sup> + ''r''<sup>−1</sup>)''e''<sup>−''t''</sup> − ''r''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है। अतः इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम पूर्ण रूप से स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | ||
इस प्रकार से विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय | इस प्रकार से विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय | ||
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</math> | </math> | ||
जहाँ <math>F</math> संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे '''''c''''' के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे '''''d''''' के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाएगा। | जहाँ <math>F</math> संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे '''''c''''' के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे '''''d''''' के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए पूर्ण रूप से परिभाषित किया जाएगा। | ||
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} के [[समर्थन (गणित)]] की ऊपरी या निचली सीमाएं परिमित हैं, तो इसका संचयी-उत्पादक फलन {{math|1=''y'' = ''K''(''t'')}}, यदि यह स्थित है, तो [[अनंतस्पर्शी]](ओं) तक पहुंचता है जिसकी प्रवणता समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है, | यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} के [[समर्थन (गणित)]] की ऊपरी या निचली सीमाएं परिमित हैं, तो इसका संचयी-उत्पादक फलन {{math|1=''y'' = ''K''(''t'')}}, यदि यह स्थित है, तो [[अनंतस्पर्शी]](ओं) तक पहुंचता है जिसकी प्रवणता समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है, | ||
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इन अनंतस्पर्शियों के {{math|''y''}}-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि {{math|1=''K''(0) = 0}}।) | इन अनंतस्पर्शियों के {{math|''y''}}-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि {{math|1=''K''(0) = 0}}।) | ||
{{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के लिए है। अतः {{math|''c''}} पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा <math>K_c(t)=ct</math> है, और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> यदि और मात्र यदि {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica | {{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के लिए है। अतः {{math|''c''}} पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा <math>K_c(t)=ct</math> है, और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> यदि और मात्र यदि {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} पूर्ण रूप से स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica | ||
| title = A note on sub-independent random variables and a class of bivariate mixtures | | title = A note on sub-independent random variables and a class of bivariate mixtures | ||
| volume = 49 | | volume = 49 | ||
| Line 124: | Line 124: | ||
===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ||
अतः सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''<sub>''m''</sub> = ''κ''<sub>''m''+1</sub> = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए, निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। इस प्रकार से ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है। | अतः सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''<sub>''m''</sub> = ''κ''<sub>''m''+1</sub> = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए, निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। इस प्रकार से ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद पूर्ण रूप से नहीं हो सकता है। | ||
===संचयी और क्षण=== | ===संचयी और क्षण=== | ||
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{{tmath|1=t=0}}, <math>\exp(K(t))</math> पर | {{tmath|1=t=0}}, <math>\exp(K(t))</math> पर | ||
: <math> \mu'_n = M^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \exp (K(t))}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} </math> के '''n-'''वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके क्षणों को संचयकों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। | : <math> \mu'_n = M^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \exp (K(t))}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} </math> के '''n-'''वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके क्षणों को संचयकों के संदर्भ में पूर्ण रूप से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। | ||
इसी प्रकार, {{tmath|1=t=0}}, <math>\log M(t)</math> पर | इसी प्रकार, {{tmath|1=t=0}}, <math>\log M(t)</math> पर | ||
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</math> | </math> | ||
अभाज्य क्षणों {{math|''μ''′<sub>''n''</sub>}} [[माध्य के बारे में क्षण|माध्य के विषय में क्षण]] {{math|''μ''<sub>''n''</sub>}} से अलग करता है। इस प्रकार से केंद्रीय क्षणों को संचयकों के फलनों के रूप में व्यक्त करने के लिए, मात्र इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें {{math|''κ''<sub>1</sub>}} एक कारक के रूप में प्रकट होता है: | अभाज्य क्षणों {{math|''μ''′<sub>''n''</sub>}} [[माध्य के बारे में क्षण|माध्य के विषय में क्षण]] {{math|''μ''<sub>''n''</sub>}} से अलग करता है। इस प्रकार से केंद्रीय क्षणों को संचयकों के फलनों के रूप में व्यक्त करने के लिए, मात्र इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें {{math|''κ''<sub>1</sub>}} एक कारक के रूप में पूर्ण रूप से प्रकट होता है: | ||
: <math> | : <math> | ||
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इसी प्रकार, {{math|''n''}}-वें संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} पहले {{math|''n''}}वें- गैर-केंद्रीय क्षणों में एक {{math|''n''}} वें-डिग्री बहुपद है। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं: | इसी प्रकार, {{math|''n''}}-वें संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} पहले {{math|''n''}}वें- गैर-केंद्रीय क्षणों में एक {{math|''n''}} वें-डिग्री बहुपद है। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ निम्नवत हैं: | ||
: <math> | : <math> | ||
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इस प्रकार से केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'<sub>1</sub> एक कारक के रूप में प्रकट होता है: | इस प्रकार से केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'<sub>1</sub> एक कारक के रूप में निम्नवत प्रकट होता है: | ||
:<math>\kappa_2=\mu_2\,</math> | :<math>\kappa_2=\mu_2\,</math> | ||
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:<math>\kappa_6=\mu_6-15\mu_4\mu_2-10{\mu_3}^2+30{\mu_2}^3\,.</math> | :<math>\kappa_6=\mu_6-15\mu_4\mu_2-10{\mu_3}^2+30{\mu_2}^3\,.</math> | ||
[[मानकीकृत क्षण]] {{mvar|μ″<sub>n</sub>}} के फलन के रूप में {{math|''n'' > 2}} के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, बहुपदों में {{math|1={{mvar|μ'}}<sub>2</sub>=1}} भी समूहित करें: | [[मानकीकृत क्षण]] {{mvar|μ″<sub>n</sub>}} के फलन के रूप में {{math|''n'' > 2}} के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, बहुपदों में {{math|1={{mvar|μ'}}<sub>2</sub>=1}} भी निम्नवत समूहित करें: | ||
:<math>\kappa_3=\mu''_3\,</math> | :<math>\kappa_3=\mu''_3\,</math> | ||
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:<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | :<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | ||
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अतः संचयी को t के संबंध में संबंध '''log ''M''(''t'') = ''K''(''t'')''' को अलग करके, '''''M′''(''t'') = ''K′''(''t'') ''M''(''t'')''' देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार से {{math|''t''<sup> ''n''−1</sup> / (''n''−1)!}} के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और {{math|1=''μ′''<sub>0</sub> = 1}}का उपयोग करने से {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Peter J. |date=May 1995 |title=क्यूमुलेंट्स से क्षण प्राप्त करने की पुरानी समस्या का एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण और इसके विपरीत|url=https://www.jstor.org/stable/2684642 |journal=The American Statistician |volume=49 |issue=2 |pages=217–218 |doi=10.2307/2684642|jstor=2684642 }}</ref> | अतः संचयी को t के संबंध में संबंध '''log ''M''(''t'') = ''K''(''t'')''' को अलग करके, '''''M′''(''t'') = ''K′''(''t'') ''M''(''t'')''' देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक पूर्ण रूप से सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार से {{math|''t''<sup> ''n''−1</sup> / (''n''−1)!}} के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और {{math|1=''μ′''<sub>0</sub> = 1}}का उपयोग करने से {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Peter J. |date=May 1995 |title=क्यूमुलेंट्स से क्षण प्राप्त करने की पुरानी समस्या का एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण और इसके विपरीत|url=https://www.jstor.org/stable/2684642 |journal=The American Statistician |volume=49 |issue=2 |pages=217–218 |doi=10.2307/2684642|jstor=2684642 }}</ref> | ||
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ये निचले क्रम के संचयकों और क्षणों के ज्ञान का उपयोग करके या तो <math>\kappa_n</math> या <math>\mu'_n</math> की गणना दूसरे से करने की अनुमति देते हैं। इस प्रकार से <math>n \ge 2</math> के लिए केंद्रीय क्षणों <math>\mu_n</math> के लिए संबंधित सूत्र इन सूत्रों से <math>\mu'_1 = \kappa_1 = 0</math> समूहित करके और <math>n \ge 2</math> के लिए प्रत्येक <math>\mu'_n</math> को <math>\mu_n</math> के साथ प्रतिस्थापित करके बनाए जाते हैं: | ये निचले क्रम के संचयकों और क्षणों के ज्ञान का उपयोग करके या तो <math>\kappa_n</math> या <math>\mu'_n</math> की गणना दूसरे से करने की अनुमति देते हैं। इस प्रकार से <math>n \ge 2</math> के लिए केंद्रीय क्षणों <math>\mu_n</math> के लिए संबंधित सूत्र इन सूत्रों से <math>\mu'_1 = \kappa_1 = 0</math> समूहित करके और <math>n \ge 2</math> के लिए प्रत्येक <math>\mu'_n</math> को <math>\mu_n</math> के साथ प्रतिस्थापित करके निम्नवत बनाए जाते हैं: | ||
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और फिर प्रतिरूप को सामान्यीकृत करें। प्रतिरूप यह है कि उपरोक्त विभाजनों में वर्गों की संख्या {{math|''x''}} पर घातांक हैं। अतः संचयकों में प्रत्येक गुणांक बहुपद है; ये बेल बहुपद हैं, जिनका नाम [[एरिक टेम्पल बेल]] के नाम पर रखा गया है। | और फिर प्रतिरूप को सामान्यीकृत करें। प्रतिरूप यह है कि उपरोक्त विभाजनों में वर्गों की संख्या {{math|''x''}} पर घातांक हैं। अतः संचयकों में प्रत्येक गुणांक बहुपद है; ये बेल बहुपद हैं, जिनका नाम [[एरिक टेम्पल बेल]] के नाम पर रखा गया है। | ||
बहुपदों का यह क्रम [[द्विपद प्रकार]] का होता है। | बहुपदों का यह क्रम [[द्विपद प्रकार]] का होता है। वस्तुतः, द्विपद प्रकार का कोई अन्य क्रम स्थित नहीं है; द्विपद प्रकार का प्रत्येक बहुपद अनुक्रम पूर्ण रूप से उसके औपचारिक संचयकों के अनुक्रम से निर्धारित होता है। | ||
===मुक्त संचयक=== | ===मुक्त संचयक=== | ||
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{{Theory of probability distributions}} | {{Theory of probability distributions}} | ||
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Latest revision as of 08:32, 16 July 2023
प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κn मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के क्षण (गणित) के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और पूर्ण रूप से इसके विपरीत।
इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे केंद्रीय क्षण के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। अतः कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में पूर्ण रूप से सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो उनके योग का n-वें-क्रम संचयी उनके n-वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, सामान्य वितरण के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है।
इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना पूर्ण रूप से संभव है।
परिभाषा
अतः एक यादृच्छिक चर X के संचयकों को संचयी-जनक फलन K(t)का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-जनक फलन का प्राकृतिक लघुगणक है:
संचयी κn संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: