संचयी: Difference between revisions

प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κ_n मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत।

प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है।

क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है।

एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} के संचयकों को संचयी-उत्पन्न करने वाले फलन {{math|''K''(''t'')}}का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन का [[प्राकृतिक]] लघुगणक है:

यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref>

यदि क्षण-उत्पन्न करने वाला फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी ''दूसरा'' विशेषता फलन,<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref>

'''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''^''itX'']}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''^''tX'']}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि एक्स का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक ​​​​कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं।

एक यादृच्छिक चर <math display="inline">X</math> का <math display="inline">n</math>वें संचयी <math display="inline">\kappa_n(X)</math> निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है:

संचयी -उत्पादक फलन पर विचार करने से संचयी गुण शीघ्रता से अनुसरण करता है:

दिए गए संचयकों {{mvar|κ_n}} के साथ वितरण का अनुमान एजवर्थ श्रृंखला के माध्यम से लगाया जा सकता है।

सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वास्तव में केंद्रीय क्षण हैं।

* <math display="inline"> \kappa_4(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^4\big) - 3\left( \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) \right)^2={} </math>चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना घटा। इस प्रकार यह प्रथम स्थिति है जिसमें संचयी मात्र क्षण या केंद्रीय क्षण नहीं हैं। 3 से अधिक परिमाण के केंद्रीय क्षणों में संचयी गुण का अभाव होता है।

* निरंतर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}}। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt''}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी शून्य, {{math|''κ''₂ {{=}} ''κ''₃ {{=}} ''κ''₄ {{=}} ... {{=}} 0}} हैं।

* [[बर्नौली वितरण]], (सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(1 − ''p'' + ''p''e^''t'')}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''p''}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''p''·(1 − ''p'')}} हैं । संचयक एक पुनरावर्तन सूत्र

* [[ज्यामितीय वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e^''t''))}} है । प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''p''⁻¹ − 1}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁''p''⁻¹}} हैं। {{math|''p'' {{=}} (''μ'' + 1)⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K''(''t'') {{=}} −log(1 + ''μ''(1−e^''t''))}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।

* पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e^''t'' − 1)}} है । सभी संचयी पैरामीटर {{math|''κ''₁ {{=}} ''κ''₂ {{=}} ''κ''₃ {{=}} ... {{=}} ''μ''}} के बराबर हैं।

* [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e^''t'')}} है । प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁(1 − ''p'')}} हैं । {{math|''p'' {{=}} μ·''n''⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ⁻¹ − ''n''⁻¹)·e^−''t'' + ''n''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} μ}} प्राप्त होता है। सीमित स्थिति {{math|''n''⁻¹ {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है।

* [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')⁻¹·e^−''t''−1)⁻¹}} का व्युत्पन्न है। प्रथम संचयी {{math|1=''κ''₁ = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''⁻¹−1)}} और {{math|1=''κ''₂ = ''K'' ' '(0) = ''κ''₁·''p''⁻¹}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''⁻¹+1)⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''⁻¹ + ''r''⁻¹)''e''^−''t'' − ''r''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''⁻¹ {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है।

विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय

पॉइसन वितरण {{math|''ε'' {{=}} 1}} है ।

* [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित]] मान '''μ''' और विचरण {{math|''σ''²}} के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''²''t''²/2}} है। संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''²·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''²}} है। संचयक {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''₂ {{=}} ''σ''²}}, और {{math|''κ''₃ {{=}} ''κ''₄ {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। विशेष स्थिति {{math|''σ''² {{=}} 0}} स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} है।

* अंतराल {{math|[−1, 0]}} पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के संचयी {{math|''κ''_''n'' {{=}} ''B''_''n''/''n''}} हैं , जहां {{math|''B''_''n''}} {{math|''n''}}^वीं [[बर्नौली संख्या]] है।

* दर पैरामीटर {{math|''λ''}} के साथ घातीय वितरण के संचयी {{math|''κ''_''n'' {{=}} ''λ''^−''n'' (''n'' − 1)!}} हैं ।

संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न|अनंत रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ([[ बिग ओ अंकन | बिग ओ अंकन]] देखें)

जहाँ <math>F</math> संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे '''''c''''' के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे '''''d''''' के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाएगा।

{{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के लिए। {{math|''c''}} पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा <math>K_c(t)=ct</math> है , और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> यदि और मात्र यदि {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica

वितरण के [[प्राकृतिक घातीय परिवार|प्राकृतिक घातीय वर्ग]] को {{math|''K''(''t'')}} को स्थानांतरण या अनुवाद करके, और इसे लंबवत रूप से समायोजित करके समझा जा सकता है ताकि यह सदैव मूल से होकर गुजरे: यदि {{math|''f''}} सीजीएफ <math>K(t)=\log M(t)</math> के साथ पीडीएफ है और <math>f|\theta</math> इसका प्राकृतिक घातीय वर्ग है, तो <math>f(x\mid\theta)=\frac1{M(\theta)}e^{\theta x} f(x),</math> और <math>K(t\mid\theta)=K(t+\theta)-K(\theta)</math>।

यदि {{math|''K''(''t'')}} किसी श्रेणी {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}} के लिए परिमित है तो यदि {{math|''t''₁ < 0 < ''t''₂}} है तो {{math|''K''(''t'')}} विश्लेषणात्मक है और {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}} के लिए अनंत रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त '''''t''''' वास्तविक और {{math|''t''₁ < ''t'' < ''t''₂ ''K''(''t'')}} के लिए दृढ़ता से उत्तल है, और {{math|''K''&prime;(''t'')}} दृढ़ता से बढ़ रहा है।

सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''_''m'' = ''κ''_''m''+1 = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए , निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है।

[[क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य|क्षण उत्पन्न करने वाला फलन]] इस प्रकार दिया गया है:

प्रथम संचयी अपेक्षित मान है; दूसरा और तीसरा संचयी क्रमशः दूसरा और तीसरा केंद्रीय क्षण हैं (दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है); परन्तु उच्चतर संचयी न तो क्षण हैं और न ही केंद्रीय क्षण, बल्कि क्षणों के अधिक जटिल बहुपद फलन हैं।

: <math> \mu'_n = M^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \exp (K(t))}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} </math> के '''n-'''वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके क्षणों को संचयकों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

पहले n संचयी के संदर्भ में n-वें पल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति, और इसके विपरीत, समग्र फलनों के उच्च व्युत्पन्न के लिए फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यतः, हमारे निकट

इसी प्रकार, यदि <math>\mu</math> माध्य दिया गया है , केंद्रीय क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

n-वें क्षण μ′n पहले n संचयकों में एक n-वां-परिमाण बहुपद है। पहले कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

अभाज्य क्षणों {{math|''μ''′_''n''}} [[माध्य के बारे में क्षण|माध्य के विषय में क्षण]] {{math|''μ''_''n''}} से अलग करता है। केंद्रीय क्षणों को संचयकों के फलनों के रूप में व्यक्त करने के लिए, मात्र इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें {{math|''κ''₁}} एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

इसी प्रकार, {{math|''n''}}-वें संचयी {{math|''κ''_''n''}} पहले {{math|''n''}}वें- गैर-केंद्रीय क्षणों में एक {{math|''n''}} वें-डिग्री बहुपद है। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं: