संचयी: Difference between revisions
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(Created page with "{{Short description|Set of quantities in probability theory}} संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, संचय...") |
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{{Short description|Set of quantities in probability theory}} | {{Short description|Set of quantities in probability theory}} | ||
प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के '''संचयी''' κ<sub>n</sub> मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और पूर्ण रूप से इसके विपरीत। | |||
इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। अतः कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में पूर्ण रूप से सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है। | |||
क्षणों | इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना पूर्ण रूप से संभव है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
एक यादृच्छिक चर | अतः एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} के संचयकों को '''संचयी-जनक फलन''' {{math|''K''(''t'')}}का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-जनक फलन का [[प्राकृतिक]] लघुगणक है: | ||
:<math>K(t)=\log\operatorname{E}\left[e^{tX}\right].</math> | :<math>K(t)=\log\operatorname{E}\left[e^{tX}\right].</math> | ||
संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} | संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: | ||
:<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} =\kappa_1 \frac{t}{1!} + \kappa_2 \frac{t^2}{2!}+ \kappa_3 \frac{t^3}{3!}+ \cdots = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \cdots.</math> | :<math>K(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_{n} \frac{t^{n}}{n!} =\kappa_1 \frac{t}{1!} + \kappa_2 \frac{t^2}{2!}+ \kappa_3 \frac{t^3}{3!}+ \cdots = \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} + \cdots.</math> | ||
यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए | यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी पूर्ण रूप से प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref> | ||
:<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | :<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | ||
यदि क्षण- | इस प्रकार से यदि क्षण-जनक फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में पूर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता है। | ||
=== | ===संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा === | ||
कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> | कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी '''''दूसरा'' विशेषता फलन''',<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref> | ||
:<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> | :<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> भी कहा जाता है। | ||
इस प्रकार से '''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''<sup>''itX''</sup>]}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''<sup>''tX''</sup>]}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि X का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या पूर्ण रूप से नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। अतः [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं। | |||
==कुछ | == कुछ मूलभूत गुण == | ||
इस प्रकार से एक यादृच्छिक चर <math display="inline">X</math> का <math display="inline">n</math>वें संचयी <math display="inline">\kappa_n(X)</math> निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है: | |||
* | * यदि <math display="inline">n>1</math> और <math display="inline">c</math> स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो <math display="inline"> \kappa_n(X+c) = \kappa_n(X),</math> अर्थात संचयी [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] है। (यदि <math display="inline"> n=1</math> है तो हमारे निकट <math display="inline"> \kappa_1(X+c) = \kappa_1(X)+c) </math>। | ||
* | * यदि <math display="inline">c</math> स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो <math display="inline"> \kappa_n(cX) = c^n\kappa_n(X),</math> अर्थात <math display="inline">n</math>-वें संचयी परिमाण <math display="inline">n</math> का [[सजातीय बहुपद]] है। | ||
* यदि यादृच्छिक चर <math display=inline>X_1,\ldots,X_m</math> | * यदि यादृच्छिक चर <math display="inline">X_1,\ldots,X_m</math> स्वतंत्र हैं तो<math display="block"> \kappa_n(X_1+\cdots+X_m) = \kappa_n(X_1) + \cdots + \kappa_n(X_m)\,. </math> अर्थात्, संचयी संचयी है - इसलिए नाम। | ||
संचयी-उत्पादक | इस प्रकार से संचयी -उत्पादक फलन पर विचार करने से संचयी गुण शीघ्रता से अनुसरण करता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 34: | Line 35: | ||
&= K_{X_1}(t) + \cdots + K_{X_m}(t), | &= K_{X_1}(t) + \cdots + K_{X_m}(t), | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
ताकि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रत्येक संचयी | ताकि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रत्येक संचयी योग के संगत संचयकों का योग हो। अर्थात्, जब योग सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो योग का माध्य, साधनों का योग होता है, योग का प्रसरण प्रसरण का योग होता है, योग का तीसरा संचयी (जो तीसरा केंद्रीय क्षण होता है) तीसरे संचयकों का योग है, और इसी प्रकार संचयी के प्रत्येक क्रम के लिए। | ||
दिए गए संचयकों | इस प्रकार से दिए गए संचयकों {{mvar|κ<sub>n</sub>}} के साथ वितरण का अनुमान एजवर्थ श्रृंखला के माध्यम से लगाया जा सकता है। | ||
=== क्षणों के | === क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी === | ||
सभी उच्च | अतः सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वस्तुतः केंद्रीय क्षण हैं। | ||
* <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | * <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | ||
* <math display=inline> \kappa_2(X) = \operatorname{var}(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) ={}</math>विचरण, या दूसरा केंद्रीय क्षण। | * <math display="inline"> \kappa_2(X) = \operatorname{var}(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) ={}</math>विचरण, या दूसरा केंद्रीय क्षण। | ||
* <math display=inline> \kappa_3(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big)={} </math>तीसरा केंद्रीय | * <math display="inline"> \kappa_3(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big)={} </math>तीसरा केंद्रीय क्षण। | ||
* <math display=inline> \kappa_4(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^4\big) - 3\left( \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) \right)^2={} </math>चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना | * <math display="inline"> \kappa_4(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^4\big) - 3\left( \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big) \right)^2={} </math>चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना घटा है। इस प्रकार यह प्रथम स्थिति है जिसमें संचयी मात्र क्षण या केंद्रीय क्षण नहीं हैं। अतः 3 से अधिक परिमाण के केंद्रीय क्षणों में संचयी गुण का पूर्ण रूप से अभाव होता है। | ||
* <math display=inline> \kappa_5(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^5\big) - 10\operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big) \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big).</math> | * <math display="inline"> \kappa_5(X) = \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^5\big) - 10\operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^3\big) \operatorname E\big((X-\operatorname E(X))^2\big).</math> | ||
==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक== | |||
* निरंतर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}}। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt''}} है। इस प्रकार से प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी शून्य, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। | |||
* [[बर्नौली वितरण]], (सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या)। अतः संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''p''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''p''·(1 − ''p'')}} हैं। संचयक एक पुनरावर्तन सूत्र | |||
*<math display="block">\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}</math> को संतुष्ट करते हैं। | |||
* [[ज्यामितीय वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। इस प्रकार से संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e<sup>''t''</sup>))}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''p''<sup>−1</sup> − 1}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|''p'' {{=}} (''μ'' + 1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K''(''t'') {{=}} −log(1 + ''μ''(1−e<sup>''t''</sup>))}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है। | |||
* पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e<sup>''t''</sup> − 1)}} है। अतः सभी संचयी पैरामीटर {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ... {{=}} ''μ''}} के बराबर हैं। | |||
* [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>(1 − ''p'')}} हैं। इस प्रकार से {{math|''p'' {{=}} μ·''n''<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ<sup>−1</sup> − ''n''<sup>−1</sup>)·e<sup>−''t''</sup> + ''n''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} μ}} प्राप्त होता है। अतः सीमित स्थिति {{math|''n''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | |||
* [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')<sup>−1</sup>·e<sup>−''t''</sup>−1)<sup>−1</sup>}} का व्युत्पन्न है। इस प्रकार से प्रथम संचयी {{math|1=''κ''<sub>1</sub> = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''<sup>−1</sup>−1)}} और {{math|1=''κ''<sub>2</sub> = ''K'' ' '(0) = ''κ''<sub>1</sub>·''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''<sup>−1</sup>+1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''<sup>−1</sup> + ''r''<sup>−1</sup>)''e''<sup>−''t''</sup> − ''r''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है। अतः इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम पूर्ण रूप से स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | |||
इस प्रकार से विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय | |||
: <math>\varepsilon=\mu^{-1}\sigma^2=\kappa_1^{-1}\kappa_2</math> का परिचय, | |||
उपरोक्त प्रायिकता वितरण से संचयी जनक फलन के व्युत्पन्न के लिए एकीकृत सूत्र प्राप्त होता है: | |||
: <math>\varepsilon=\mu^{-1}\sigma^2=\kappa_1^{-1}\kappa_2 | |||
उपरोक्त | |||
: <math>K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon)^{-1}\mu</math> | : <math>K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon)^{-1}\mu</math> | ||
दूसरा व्युत्पन्न | दूसरा व्युत्पन्न | ||
: <math>K''(t)=(\varepsilon-(\varepsilon-1)e^t)^{-2}\mu\varepsilon e^t</math> | : <math>K''(t)=(\varepsilon-(\varepsilon-1)e^t)^{-2}\mu\varepsilon e^t</math> | ||
पुष्टि करता है कि प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''με''}} है। | |||
स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} निकट {{math|''ε'' {{=}} 0}} है। | |||
द्विपद बंटन | द्विपद बंटन ह{{math|''ε'' {{=}} 1 − ''p''}} होता है ताकि {{math|0 < ''ε'' < 1}} हो। | ||
पॉइसन वितरण | पॉइसन वितरण {{math|''ε'' {{=}} 1}} है। | ||
ऋणात्मक द्विपद बंटन | ऋणात्मक द्विपद बंटन में {{math|''ε'' {{=}} ''p''<sup>−1</sup>}} होता है ताकि {{math|''ε'' > 1}}। | ||
[[विलक्षणता (गणित)]] द्वारा शंकु वर्गों के वर्गीकरण की सादृश्यता पर ध्यान दें: वृत्त {{math|''ε'' {{=}} 0}}, दीर्घवृत्त {{math|0 < ''ε'' < 1}}, | [[विलक्षणता (गणित)]] द्वारा शंकु वर्गों के वर्गीकरण की सादृश्यता पर ध्यान दें: वृत्त {{math|''ε'' {{=}} 0}}, दीर्घवृत्त {{math|0 < ''ε'' < 1}}, परवलय {{math|''ε'' {{=}} 1}}, अतिपरवलय {{math|''ε'' > 1}}। | ||
==कुछ सतत | ==कुछ सतत प्रायिकता वितरणों के संचयी == | ||
* [[अपेक्षित मूल्य]] | * [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित]] मान '''μ''' और विचरण {{math|''σ''<sup>2</sup>}} के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup>/2}} है। अतः संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''<sup>2</sup>·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}} है। संचयक {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}}, और {{math|''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। विशेष स्थिति {{math|''σ''<sup>2</sup> {{=}} 0}} स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} है। | ||
* अंतराल पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के | * अंतराल {{math|[−1, 0]}} पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''B''<sub>''n''</sub>/''n''}} हैं, जहां {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} {{math|''n''}}<sup>वीं</sup> [[बर्नौली संख्या]] है। | ||
* दर पैरामीटर | * दर पैरामीटर {{math|''λ''}} के साथ घातीय वितरण के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''λ''<sup>−''n''</sup> (''n'' − 1)!}} हैं। | ||
== | ==संचयी जनक फलन के कुछ गुण== | ||
संचयी | अतः संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न|अनंत रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इस प्रकार से इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। अतः संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ([[ बिग ओ अंकन |बिग ओ अंकन]] देखें) | ||
:<math> | :<math> | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>F</math> संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे '''''c''''' के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे '''''d''''' के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए पूर्ण रूप से परिभाषित किया जाएगा। | |||
यदि | यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} के [[समर्थन (गणित)]] की ऊपरी या निचली सीमाएं परिमित हैं, तो इसका संचयी-उत्पादक फलन {{math|1=''y'' = ''K''(''t'')}}, यदि यह स्थित है, तो [[अनंतस्पर्शी]](ओं) तक पहुंचता है जिसकी प्रवणता समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है, | ||
: <math> | : <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
:<math>\int_{-\infty}^0 \left[t\inf \operatorname{supp}X-K'(t)\right]\,dt, \qquad \int_{\infty}^0 \left[t\inf \operatorname{supp}X-K'(t) \right]\,dt</math> | :<math>\int_{-\infty}^0 \left[t\inf \operatorname{supp}X-K'(t)\right]\,dt, \qquad \int_{\infty}^0 \left[t\inf \operatorname{supp}X-K'(t) \right]\,dt</math> | ||