रफ़ सेट: Difference between revisions

Latest revision as of 07:04, 16 July 2023

कंप्यूटर विज्ञान में, रफ सेट, जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में क्रिस्प सेट (अर्थात, पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है।

सूचना प्रणाली संरचना

$I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )$ सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां $\mathbb {U}$ वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, $\mathbb {A}$ ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक $I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}$ के लिए $a\in \mathbb {A}$ है। $V_{a}$ मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है $a$ लग सकता है। सूचना तालिका मान $a(x)$ से $V_{a}$ निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए $a$ एवं आपत्ति $x$ ब्रह्मांड में $\mathbb {U}$ होता है। किसी के साथ $P\subseteq \mathbb {A}$ संबद्ध तुल्यता संबंध $\mathrm {IND} (P)$ है।

\mathrm {IND} (P)=\left\{(x,y)\in \mathbb {U} ^{2}\mid \forall a\in P,a(x)=a(y)\right\}

संबंध $\mathrm {IND} (P)$ ए कहा जाता है $P$ - अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन $\mathbb {U}$ के सभी समतुल्य वर्गों का परिवार $\mathrm {IND} (P)$ है, एवं द्वारा प्रदर्शित किया गया है $\mathbb {U} /\mathrm {IND} (P)$ (या $\mathbb {U} /P$ ) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

यदि $(x,y)\in \mathrm {IND} (P)$ , तब $x$ एवं $y$ गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) $P$ हैं .

समतुल्य वर्ग $P$ अविवेकी संबंध $[x]_{P}$ निरूपित किया जाता है।

उदाहरण: तुल्यता-वर्ग संरचना

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूचना तालिका पर विचार करें:

प्रतिरूप सूचना प्रणाली
वस्तु	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{5}$
$O_{1}$	1	2	0	1	1
$O_{2}$	1	2	0	1	1
$O_{3}$	2	0	0	1	0
$O_{4}$	0	0	1	2	1
$upper O 5$

@@ Line 21: / Line 21: @@
 :{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30%" border="1"
-|+ Sample Information System
+|+ प्रतिरूप सूचना प्रणाली
-! Object !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>
+! वस्तु !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>
 |-
 ! <math>O_{1}</math>
@@ Line 83: / Line 83: @@
 उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूर्ण उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु  <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है।
-चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,
+चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,
 :<math>
@@ Line 163: / Line 163: @@
 \gamma_{P}(Q) =  \frac{\sum_{i=1}^N \left | {\underline P}Q_i \right |} {\left | \mathbb{U} \right |} \leq 1
 </math>
-अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math>में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।
+अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math> में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।
 निर्भरता पर विचार करने का सहज, विधिप्रेरित विभाजन <math>Q</math> को लेना है, लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट <math>C</math> का उपयोग करना चाहते हैं, यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर <math>P</math> पर करता है; यदि <math>P</math> इसका परिणाम व्यर्थ एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण <math>C</math> होता है, तब <math>Q</math> पर <math>P</math> निर्भर नहीं होता है।
@@ Line 572: / Line 572: @@
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