रफ़ सेट: Difference between revisions

[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

<math>I = (\mathbb{U},\mathbb{A})</math>  सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां <math> \mathbb{U}</math> वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, <math> \mathbb{A}</math> ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक<math>I:\mathbb{U} \rightarrow V_a</math>  के लिए  <math>a \in \mathbb{A}</math> है। <math>V_a</math> मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है <math>a</math> लग सकता है। सूचना तालिका मान <math>a(x)</math> से <math>V_a</math>निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए <math>a</math> एवं आपत्ति <math>x</math> ब्रह्मांड में <math>\mathbb{U}</math> होता है।                                                                                                                                                                                                                  किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> संबद्ध तुल्यता संबंध है <math>\mathrm{IND}(P)</math> है।

संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> एवं द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>).

यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> एवं <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) हैं <math>P</math> .

के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>.

|+ Sample Information System

! Object !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>

चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,

'''ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                        <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है, जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य रिक्त प्रतिच्छेदन है, उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math> है।  दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट <math>X</math> के सदस्य हैं .

सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> के सदस्यों के रूप में न तो स्वीकार किया जा सकता है एवं न ही अस्वीकार किया जा सकता है।  

अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन उचित है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना) शून्य होती है।

रफ सेट सिद्धांत उपाय है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक उपायों की अपेक्षा में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत (पावलक एट अल। 1995) का उपयोग करने का महत्वपूर्ण अंतर एवं अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है। अन्य उपायों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है, इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा (डंटश एवं गेडिगा 1995) के अंदर प्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है। रफ सेट सिद्धांत के वर्तमान अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है।

सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे विषयों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर परिभाषित नहीं है। जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन समान हो (अर्थात, सीमा खाली हो),  <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math>, विशेषता सेट <math>P</math> पर निश्चित है। अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष विषयों को भिन्न कर सकते हैं:

* <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित  <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math> है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट<math>P</math> पर, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके विषय में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, किन्तु ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट<math>X</math> से बाहर कर सकते हैं।.

रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की अपेक्षा में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूर्ण तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि

* <math>[x]_{\mathrm{RED}}</math> = <math>[x]_P</math>, अर्थात्, कम विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग <math>\mathrm{RED}</math> पूर्ण विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग संरचना के समान हैं <math>P</math>.

* विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट से हटाया नहीं जा सकता <math>\mathrm{RED}</math> समतुल्य वर्गों को बदले बिना <math>[x]_P</math>.

कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट के रूप में सोचा जा सकता है - पर्याप्त, अर्थात श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उपरोक्त उदाहरण तालिका में, विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है - केवल इन विशेषताओं पर प्रक्षेपित सूचना प्रणाली में समान समतुल्य वर्ग संरचना होती है जो पूर्ण विशेषता सेट द्वारा व्यक्त की जाती है:

विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>.

किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना (अर्थात , ज्ञान) को संरक्षित करते हैं। उपरोक्त उदाहरण सूचना प्रणाली में, एक एवं कमी है <math>\{P_1,P_2,P_5\}</math>, समान तुल्यता-वर्ग संरचना का निर्माण करता है <math>[x]_P</math>.

गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, एवं इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, एवं इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। चूँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, एवं इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, एवं इसलिए इसका मूल है।

कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे विषयों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो।

डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। सामान्यतः, यह ये स्थिर रिश्ते हैं जो आगे की जांच की गारंटी देंगे, एवं जो अंततः भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग में उपयोगी होंगे।

रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> एवं सेट करें <math>Q</math>, एवं पूछताछ करें कि उनके बीच किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट एक (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग प्रेरित होते हैं <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, एवं तुल्यता वर्ग द्वारा प्रेरित <math>Q</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math>.

होने देना <math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, कहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से एक दिया गया समतुल्य वर्ग है <math>Q</math>. फिर, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है

अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं द्वारा जोड़ते हैं <math>P</math>, अर्थात।, <math>{\underline P}Q_i</math>. यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, मनमाने सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता पर सेट हैं <math>P</math> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से पहचाना जा सकता है <math>Q_i</math>. सभी समतुल्य वर्गों में जोड़ा गया <math>[x]_Q</math>, उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो - विशेषता सेट पर आधारित है <math>P</math> - विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है <math>Q</math>. इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के भीतर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के मूल्यों को जानना पर्याप्त है <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math>.

निर्भरता पर विचार करने का एक एवं, सहज, विधिप्रेरित विभाजन को लेना है <math>Q</math> लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट का उपयोग करना चाहते हैं <math>C</math>. यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर करता है <math>P</math>; यदि <math>P</math> इसका परिणाम खराब एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण होता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पर निर्भर नहीं है <math>P</math> बिलकुल।

इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट की कार्यात्मक (अर्थात , नियतात्मक) निर्भरता की डिग्री को व्यक्त करता है <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>; यह सममित नहीं है. विशेषता निर्भरता की इस धारणा का विशेषता निर्भरता की अधिक पारंपरिक सूचना-सैद्धांतिक (अर्थात , एंट्रोपिक) धारणाओं के संबंध पर कई स्रोतों में विचार की गई है (उदाहरण के लिए, पावलक, वोंग, एवं ज़िआर्को 1988; याओ एवं याओ 2002; वोंग, ज़िआर्को) , एवं ये 1986, क्वाफाफौ एवं बौसौफ 2000)।

ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, एक श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का तात्पर्य उस श्रेणी से संबंधित सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध करने या पहचानने में सक्षम होना है। चूँकि, विस्तारित श्रेणी प्रतिनिधित्व का व्यावहारिक उपयोग बहुत सीमित है, क्योंकि वे यह तय करने के लिए कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं कि नई (पहले कभी नहीं देखी गई) वस्तुएँ श्रेणी की सदस्य हैं या नहीं।