रीमैन जीटा फलन

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रीमैन जीटा फलन ζ(z) प्रांत रंग के साथ क्षेत्रित किया गया।

File:Riemann-Zeta-Detail.png

$z=1$ पर ध्रुव और क्रांतिक रेखा पर दो शून्य।

रीमैन जीटा फलन या यूलर-रीमैन जीटा फलन, जिसे ग्रीक वर्णमाला ζ (जीटा) द्वारा दर्शाया गया है, यह एक ऐसा सम्मिश्र चर का फलन (गणित) है जिसे $\operatorname {Re} (s)>1$ के लिए

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$$

रूप में परिभाषित किया गया है, और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता अन्यत्र है। रीमैन जीटा फलन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और इसमें भौतिकी, संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी में अनुप्रयोग हैं।

इस प्रकार से लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार अठारहवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में वास्तविक संख्याओं पर फलन का परिचय दिया और उसका अध्ययन किया। बर्नहार्ड रीमैन के 1859 के लेख किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य की संख्या ने यूलर की परिभाषा को सम्मिश्र संख्या चर तक विस्तारित किया, इसकी मेरोमोर्फिक निरंतरता और फलनात्मक समीकरण को सिद्ध किया, और इसके फलन के मूल अभाज्य संख्या प्रमेय के बीच संबंध स्थापित किया था। अतः इस लेख में रीमैन परिकल्पना भी सम्मिलित है, रीमैन जीटा फलन के सम्मिश्र शून्य के वितरण के विषय में अनुमान है जिसे कई गणितज्ञों द्वारा शुद्ध गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या माना जाता है।

सम धनात्मक पूर्णांकों पर रीमैन जीटा फलन के मानों की गणना यूलर द्वारा की गई थी। उनमें से पहला, ζ(2), बेसल समस्या का हल प्रदान करता है। 1979 में रोजर एपेरी ने ζ(3) की तर्कहीनता को सिद्ध किया। इस प्रकार से ऋणात्मक पूर्णांक बिंदुओं पर मान, जो यूलर द्वारा भी पाया जाता है, परिमेय संख्याएँ हैं और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। रीमैन जीटा फलन के कई सामान्यीकरण, जैसे डिरिचलेट श्रृंखला, डिरिचलेट L-फलन और L- फलन, ज्ञात हैं।

परिभाषा

फ़ाइल: दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या के विषय में। पीडीएफ|थंब|अपराइट|बर्नहार्ड रीमैन का लेख किसी दिए गए परिमाण के नीचे अभाज्य की संख्या पर

इस प्रकार से रीमैन जीटा फलन ζ(s) सम्मिश्र चर s = σ + it का फलन है, जहाँ जहां σ और t वास्तविक संख्याएं हैं। (अंकन s, σ, और t पारंपरिक रूप से रीमैन के बाद, जीटा फलन के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।) जब Re(s) = σ > 1, फलन को अभिसारी योग या समाकल के रूप में लिखा जा सकता है:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,$

जहाँ

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x$

गामा फलन है। रीमैन जीटा फलन को σ > 1 के लिए परिभाषित की विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से अन्य सम्मिश्र मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

अतः लियोनहार्ड यूलर ने 1740 में s के धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए उपरोक्त श्रृंखला पर विचार किया और बाद में चेबीशेव ने परिभाषा को $\operatorname {Re} (s)>1$ तक बढ़ा दिया। था

इस प्रकार से उपरोक्त श्रृंखला एक प्रोटोटाइपिकल डिरिचलेट श्रृंखला है जो s के लिए विश्लेषणात्मक फलन में पूर्ण अभिसरण है जैसे कि σ > 1 और s के अन्य सभी मानों के लिए विचलन करती है। रीमैन ने दिखाया कि अभिसरण के आधे-तल पर श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन को सभी सम्मिश्र मानों s ≠ 1 के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है। s = 1 के लिए, श्रृंखला प्रसंवादी श्रृंखला (गणित) है जो +∞, और

$$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1$$

तक विचरण करती है।

अतः इस प्रकार रीमैन जीटा फलन पूर्ण सम्मिश्र तल पर मेरोमॉर्फिक फलन है, जो अवशेष 1 के साथ s = 1 पर साधारण ध्रुव को छोड़कर प्रत्येक स्थान होलोमॉर्फिक फलन है।

यूलर का गुणनफल सूत्र

इस प्रकार से 1737 में, यूलर द्वारा जीटा फलन और अभाज्य संख्याओं के बीच संबंध की खोज की गई, जिन्होंने रीमैन जीटा फलन के लिए यूलर गुणनफल सूत्र का प्रमाण

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

सिद्ध किया, जहां, परिभाषा के अनुसार, बायां ओर ζ(s) है और दाईं ओर अनंत गुणनफल फैला हुआ है सभी अभाज्य संख्याएँ p (ऐसी अभिव्यक्तियों को यूलर गुणनफल कहा जाता है):