क्विंटिक फलन: Difference between revisions
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{{short description|Polynomial function of degree 5}} | {{short description|Polynomial function of degree 5}} | ||
[[File:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|घात 5 के बहुपद का | [[File:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|घात 5 के बहुपद का लेखाचित्र , 3 वास्तविक शून्य (मूल) और 4 क्रांतिक बिंदु (गणित) के साथ।]]गणित में, क्विंटिक कार्य, एक [[फ़ंक्शन (गणित)|कार्य (गणित)]] का प्रपत्र है | ||
:<math>g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math> | :<math>g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math> | ||
जहाँ {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, {{mvar|e}} और {{mvar|f}} एक क्षेत्र (गणित) के सदस्य हैं, प्रायः [[तर्कसंगत संख्या]]एं, [[वास्तविक संख्या]]एं या [[जटिल संख्या]]एं, और {{mvar|a}} अशून्य है. दूसरे शब्दों में, एक क्विंटिक कार्य को [[बहुपद]] पांच की डिग्री के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। | जहाँ {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, {{mvar|e}} और {{mvar|f}} एक क्षेत्र (गणित) के सदस्य हैं, प्रायः [[तर्कसंगत संख्या]]एं, [[वास्तविक संख्या]]एं या [[जटिल संख्या]]एं, और {{mvar|a}} अशून्य है. दूसरे शब्दों में, एक क्विंटिक कार्य को [[बहुपद]] पांच की डिग्री के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। | ||
क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है, सामान्य क्विंटिक कार्य | क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है, सामान्य क्विंटिक कार्य लेखाचित्र किए जाने पर सामान्य [[घन फलन]] के समान दिखाई देते हैं, सिवाए इसके कि उनके पास एक अतिरिक्त [[मैक्सिमा और मिनिमा]] और एक अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम हो सकता है। क्विंटिक कार्य का व्युत्पन्न एक [[चतुर्थक फलन]] है। | ||
सेटिंग {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}} और मान | सेटिंग {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}} और मान लिजिये {{math|''a'' ≠ 0}} एक क्विंटिक समीकरण का प्रपत्र तैयार करता है: | ||
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math> | :<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math> | ||
:16वीं शताब्दी से, जब घन और चतुर्थक समीकरण हल किए गए थे, रेडिकल (एनवें मूल) के संदर्भ में क्विंटिक समीकरणों को हल करना बीजगणित में एक बड़ी समस्या थी, 19वीं शताब्दी के पूर्वार्ध तक, तब हाबिल-रफ़िनी प्रमेय द्वारा इस तरह के सामान्य समाधान की असंभवता साबित हुई थी । | |||
==क्विंटिक समीकरण की जड़ें ढूँढना== | ==क्विंटिक समीकरण की जड़ें ढूँढना== | ||
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किसी दिए गए बहुपद के फलन का (शून्य) ज्ञात करना एक प्रमुख गणितीय समस्या रही है। | किसी दिए गए बहुपद के फलन का (शून्य) ज्ञात करना एक प्रमुख गणितीय समस्या रही है। | ||
रैखिक समीकरण, [[द्विघात समीकरण]], घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों को मूलकों में [[गुणन]]खंडन द्वारा हल | रैखिक समीकरण, [[द्विघात समीकरण]], घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों को मूलकों में [[गुणन]]खंडन द्वारा सदैव हल किया जा सकता है, चाहे मूल तर्कसंगत हों या अपरिमेय, वास्तविक हों या जटिल; ऐसे सूत्र हैं जो आवश्यक समाधान देते हैं। यद्पि, परिमेय पर सामान्य क्विंटिक समीकरणों के समाधान के लिए कोई बीजगणितीय अभिव्यक्ति (अर्थात् मूलांक के संदर्भ में) नहीं है; इस कथन को एबेल-रफ़िनी प्रमेय के प्रपत्र में जाना जाता है, जिसे पहली बार 1799 में प्रतिपादित किया गया था और 1824 में पूरी तरह से सिद्ध किया गया था। यह परिणाम उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए भी लागू होता है। क्विंटिक का एक उदाहरण जिसकी जड़ों को रेडिकल के प्रपत्र में व्यक्त नहीं किया जा सकता है {{math| ''x''{{sup|5}} − ''x'' + 1 {{=}} 0}}. | ||
कुछ क्विंटिक्स को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। यद्पि, समाधान प्रायः व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत जटिल है। इसके बजाय, संख्यात्मक सन्निकटन की गणना एक | कुछ क्विंटिक्स को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। यद्पि, समाधान प्रायः व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत जटिल है। इसके बजाय, संख्यात्मक सन्निकटन की गणना एक बहुपदों की जड़ों को ढूंढन, |बहुपदों के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके की जाती है। | ||
==समाधानयोग्य क्विंटिक्स== | ==समाधानयोग्य क्विंटिक्स== | ||
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समीकरण दिया गया है | समीकरण दिया गया है | ||
:<math> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> | :<math> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> | ||
तस्किरनहाउस परिवर्तन {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, जो क्विंटिक को दबाता है (अर्थात डिग्री चार के पद को हटा देता है), समीकरण देता है | |||
:<math> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>, | :<math> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>, | ||
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r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\ | r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\ | ||
s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math> | s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math> | ||
दोनों क्विंटिक्स रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं यदि और केवल यदि वे तर्कसंगत गुणांक या बहुपद के साथ निम्न डिग्री के समीकरणों में कारक हैं {{math|''P''<sup>2</sup> − 1024 ''z'' Δ}}, नामित {{vanchor|केली का संकल्पक}}, में एक तर्कसंगत जड़ है {{mvar|z}}, | दोनों क्विंटिक्स रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं यदि और केवल यदि वे तर्कसंगत गुणांक या बहुपद के साथ निम्न डिग्री के समीकरणों में कारक हैं {{math|''P''<sup>2</sup> − 1024 ''z'' Δ}}, नामित {{vanchor|केली का संकल्पक}}, में एक तर्कसंगत जड़ है {{mvar|z}}, जहाँ | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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केली का परिणाम हमें यह परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या क्विंटिक हल करने योग्य है। यदि ऐसा घटना है, तो इसकी जड़ों को ढूंढना एक अधिक कठिन समस्या है, जिसमें जड़ों को क्विंटिक के गुणांक और केली के रिसोल्वेंट की तर्कसंगत जड़ को सम्मिलित करने वाले रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त करना सम्मिलित है। | केली का परिणाम हमें यह परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या क्विंटिक हल करने योग्य है। यदि ऐसा घटना है, तो इसकी जड़ों को ढूंढना एक अधिक कठिन समस्या है, जिसमें जड़ों को क्विंटिक के गुणांक और केली के रिसोल्वेंट की तर्कसंगत जड़ को सम्मिलित करने वाले रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त करना सम्मिलित है। | ||
1888 में, [[जॉर्ज पैक्सटन यंग]] ने स्पष्ट सूत्र प्रदान किए बिना, हल करने योग्य क्विंटिक समीकरण को कैसे हल किया जाए, इसका वर्णन किया;<ref>George Paxton Young, "Solvable Quintic Equations with Commensurable Coefficients", ''American Journal of Mathematics'' '''10''':99–130 (1888), {{JSTOR|2369502}}</ref> 2004 में, [[डेनियल लाजार्ड]] ने तीन पेज का एक | 1888 में, [[जॉर्ज पैक्सटन यंग]] ने स्पष्ट सूत्र प्रदान किए बिना, हल करने योग्य क्विंटिक समीकरण को कैसे हल किया जाए, इसका वर्णन किया;<ref>George Paxton Young, "Solvable Quintic Equations with Commensurable Coefficients", ''American Journal of Mathematics'' '''10''':99–130 (1888), {{JSTOR|2369502}}</ref> 2004 में, [[डेनियल लाजार्ड]] ने तीन पेज का एक सूत्र लिखा।<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref> | ||
===ब्रिंग-जेरार्ड | ===ब्रिंग-जेरार्ड प्रपत्र में क्विंटिक्स === | ||
प्रपत्र के हल करने योग्य क्विंटिक्स के कई पैरामीट्रिक | प्रपत्र के हल करने योग्य क्विंटिक्स के कई पैरामीट्रिक निप्रपत्रण हैं {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b'' {{=}} 0}}, ब्रिंग-जेरार्ड प्रपत्र कहा जाता है। | ||
19वीं सदी के उत्तरार्ध के दौरान, जॉन स्टुअर्ट ग्लैशन, जॉर्ज पैक्सटन यंग और [[कार्ल रनगे]] ने ऐसा मानकीकरण दिया: ब्रिंग-जेरार्ड | 19वीं सदी के उत्तरार्ध के दौरान, जॉन स्टुअर्ट ग्लैशन, जॉर्ज पैक्सटन यंग और [[कार्ल रनगे]] ने ऐसा मानकीकरण दिया: ब्रिंग-जेरार्ड प्रपत्र में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक अपरिवर्तनीय बहुपद क्विंटिक, हल करने योग्य है यदि और केवल यदि दोनों में से कोई एक {{math|''a'' {{=}} 0}} या लिखा जा सकता है | ||
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math> | :<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math> | ||
कहाँ {{math|''μ''}} और {{math|''ν''}} तर्कसंगत हैं. | कहाँ {{math|''μ''}} और {{math|''ν''}} तर्कसंगत हैं. | ||
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प्रतिस्थापन {{math|''c'' {{=}} {{sfrac|−''m''|''l''<sup>5</sup>}}}}, {{math|''e'' {{=}} {{sfrac|1|''l''}}}} स्पीयरमैन-विलियम्स मानकीकरण में किसी को विशेष घटना को बाहर नहीं करने की अनुमति मिलती है {{math|''a'' {{=}} 0}}, निम्नलिखित परिणाम दे रहा है: | प्रतिस्थापन {{math|''c'' {{=}} {{sfrac|−''m''|''l''<sup>5</sup>}}}}, {{math|''e'' {{=}} {{sfrac|1|''l''}}}} स्पीयरमैन-विलियम्स मानकीकरण में किसी को विशेष घटना को बाहर नहीं करने की अनुमति मिलती है {{math|''a'' {{=}} 0}}, निम्नलिखित परिणाम दे रहा है: | ||
अगर {{mvar|a}} और {{mvar|b}} परिमेय संख्याएँ, समीकरण हैं {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b'' {{=}} 0}} रैडिकल द्वारा हल करने योग्य है यदि या तो इसका बायां भाग तर्कसंगत गुणांक वाले 5 से कम डिग्री वाले बहुपदों का उत्पाद है या दो तर्कसंगत संख्याएं | अगर {{mvar|a}} और {{mvar|b}} परिमेय संख्याएँ, समीकरण हैं {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b'' {{=}} 0}} रैडिकल द्वारा हल करने योग्य है यदि या तो इसका बायां भाग तर्कसंगत गुणांक वाले 5 से कम डिग्री वाले बहुपदों का उत्पाद है या दो तर्कसंगत संख्याएं उपस्थित हैं {{mvar|l}} और {{mvar|m}} ऐसा है कि | ||
:<math>a=\frac{5 l (3 l^5-4 m)}{m^2+l^{10}}\qquad b=\frac{4(11 l^5+2 m)}{m^2+l^{10}}.</math> | :<math>a=\frac{5 l (3 l^5-4 m)}{m^2+l^{10}}\qquad b=\frac{4(11 l^5+2 m)}{m^2+l^{10}}.</math> | ||
===समाधान योग्य पंचक की जड़ें=== | ===समाधान योग्य पंचक की जड़ें=== | ||
एक बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है यदि उसका गैलोज़ समूह एक [[हल करने योग्य समूह]] है। इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स के | एक बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है यदि उसका गैलोज़ समूह एक [[हल करने योग्य समूह]] है। इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स के घटना में, गैलोज़ समूह [[सममित समूह]] का एक उपसमूह है {{math|''S''<sub>5</sub>}} पांच तत्व सेट के सभी क्रमपरिवर्तन, जो हल करने योग्य है यदि और केवल यदि यह समूह का उपसमूह है {{math|''F''<sub>5</sub>}}, आदेश की {{math|20}}, चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा उत्पन्न {{math|(1 2 3 4 5)}} और {{math|(1 2 4 3)}}. | ||
यदि क्विंटिक हल करने योग्य है, तो समाधानों में से एक को बीजगणितीय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें पांचवां मूल और अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, जो | यदि क्विंटिक हल करने योग्य है, तो समाधानों में से एक को बीजगणितीय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें पांचवां मूल और अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, जो प्रायः नेस्टेड मूलांक होते हैं। अन्य समाधान या तो पांचवें मूल को बदलकर या पांचवें मूल की सभी घटनाओं को [[एकता की जड़]] की समान शक्ति से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि | ||
:<math>\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.</math> | :<math>\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.</math> | ||
वास्तव में, एकता के सभी चार आदिम पांचवें मूलों को वर्गमूलों के चिह्नों को उचित | वास्तव में, एकता के सभी चार आदिम पांचवें मूलों को वर्गमूलों के चिह्नों को उचित प्रपत्र से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है; अर्थात्, अभिव्यक्ति | ||
:<math>\frac{\alpha\sqrt{-10-2\beta\sqrt{5}}+\beta\sqrt{5}-1}{4},</math> | :<math>\frac{\alpha\sqrt{-10-2\beta\sqrt{5}}+\beta\sqrt{5}-1}{4},</math> | ||
कहाँ <math> \alpha, \beta \in \{-1,1\}</math>, एकता की चार विशिष्ट आदिम पाँचवीं जड़ें उत्पन्न करता है। | कहाँ <math> \alpha, \beta \in \{-1,1\}</math>, एकता की चार विशिष्ट आदिम पाँचवीं जड़ें उत्पन्न करता है। | ||
इसका तात्पर्य यह है कि किसी हल करने योग्य क्विंटिक की सभी जड़ों को लिखने के लिए चार अलग-अलग वर्गमूलों की आवश्यकता हो सकती है। यहां तक कि पहले मूल के लिए जिसमें अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, रेडिकल के संदर्भ में समाधान की अभिव्यक्ति प्रायः अत्यधिक जटिल होती है। यद्पि, जब किसी वर्गमूल की आवश्यकता नहीं होती है, तो समीकरण के लिए पहले समाधान का | इसका तात्पर्य यह है कि किसी हल करने योग्य क्विंटिक की सभी जड़ों को लिखने के लिए चार अलग-अलग वर्गमूलों की आवश्यकता हो सकती है। यहां तक कि पहले मूल के लिए जिसमें अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, रेडिकल के संदर्भ में समाधान की अभिव्यक्ति प्रायः अत्यधिक जटिल होती है। यद्पि, जब किसी वर्गमूल की आवश्यकता नहीं होती है, तो समीकरण के लिए पहले समाधान का प्रपत्र अपेक्षाकृत सरल हो सकता है {{math|''x''<sup>5</sup> − 5''x''<sup>4</sup> + 30''x''<sup>3</sup> − 50''x''<sup>2</sup> + 55''x'' − 21 {{=}} 0}}, जिसके लिए एकमात्र वास्तविक समाधान है | ||
: <math>x=1+\sqrt[5]{2}-\left(\sqrt[5]{2}\right)^2+\left(\sqrt[5]{2}\right)^3-\left(\sqrt[5]{2}\right)^4.</math> | : <math>x=1+\sqrt[5]{2}-\left(\sqrt[5]{2}\right)^2+\left(\sqrt[5]{2}\right)^3-\left(\sqrt[5]{2}\right)^4.</math> | ||
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:<math>y^4+4y^3+\frac{4}{5}y^2-\frac{8}{5^3}y-\frac{1}{5^5}=0\,.</math> | :<math>y^4+4y^3+\frac{4}{5}y^2-\frac{8}{5^3}y-\frac{1}{5^5}=0\,.</math> | ||
अधिक सामान्यतः, यदि कोई समीकरण {{math|1=''P''(''x'') = 0}} | अधिक सामान्यतः, यदि तर्कसंगत गुणांक के साथ अभाज्य डिग्री {{math|''p''}} का एक कोई समीकरण {{math|1=''P''(''x'') = 0}} रेडिकल में हल करने योग्य है, तो कोई सहायक समीकरण {{math|1=''Q''(''y'') = 0}} डिग्री का {{math|''p'' – 1}} परिभाषित कर सकता है , वह भी तर्कसंगत गुणांकों के साथ भी, जैसे कि {{math|''P''}} का प्रत्येक मूल {{math|''Q''}} की जड़ों के {{math|''p''}}-वीं मूलों का योग है ये {{math|''p''}}-वीं मूल [[जोसेफ-लुई लैग्रेंज]] द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, और {{math|''p''}} द्वारा उनके उत्पादों को प्रायः [[लैग्रेंज रिसॉल्वेंट]] कहा जाता है। {{math|''Q''}} और इसकी जड़ों का उपयोग {{math|1=''P''(''x'') = 0}} समाधान के लिए किया जा सकता है यद्पि ये {{math|''p''}}-वें मूलों की गणना स्वतंत्र प्रपत्र से नहीं की जा सकती है (इससे पता चलेगा {{math|''p''}} के स्थान पर जड़ें {{math|''p''<sup>''p''–1</sup>}} ). इस प्रकार एक सही समाधान के लिए इन सभी {{math|''p''}} -मूलों को उनमें से किसी एक के पद में व्यक्त करना आवश्यक है। गैलोइस सिद्धांत से पता चलता है कि यह सदैव सैद्धांतिक प्रपत्र से संभव है, भले ही परिणामी सूत्र किसी भी उपयोग के लिए बहुत बड़ा हो। | ||
यह संभव है कि की कुछ जड़ें {{math|''Q''}} तर्कसंगत हैं (जैसा कि इस खंड के पहले उदाहरण में है) या कुछ शून्य हैं। इन घटनाओं में, जड़ों के लिए सूत्र बहुत सरल है, जैसे कि हल करने योग्य डी मोइवर क्विंटिक के लिए{{anchor|de Moivre quintic}} | यह संभव है कि की कुछ जड़ें {{math|''Q''}} तर्कसंगत हैं (जैसा कि इस खंड के पहले उदाहरण में है) या कुछ शून्य हैं। इन घटनाओं में, जड़ों के लिए सूत्र बहुत सरल है, जैसे कि हल करने योग्य डी मोइवर क्विंटिक के लिए{{anchor|de Moivre quintic}} | ||
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:<math>x_k = \omega^k\sqrt[5]{y_i} -\frac{a}{\omega^k\sqrt[5]{y_i}},</math> | :<math>x_k = \omega^k\sqrt[5]{y_i} -\frac{a}{\omega^k\sqrt[5]{y_i}},</math> | ||
जहां yi सहायक द्विघात समीकरण का कोई मूल है और ω एकता के चार आदिम 5वें मूलों में से कोई एक है। इसे आसानी से हल करने योग्य [[सेप्टिक समीकरण]] और अन्य विषम डिग्री बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जरूरी नहीं कि यह अभाज्य हो। | |||
===अन्य हल करने योग्य क्विंटिक्स=== | ===अन्य हल करने योग्य क्विंटिक्स=== | ||
ब्रिंग-जेरार्ड | ब्रिंग-जेरार्ड प्रपत्र में असीमित प्रपत्र से कई हल करने योग्य क्विंटिक्स हैं जिन्हें पिछले अनुभाग में पैरामीटराइज़ किया गया है। | ||
चर की स्केलिंग तक, आकृति के ठीक पाँच हल करने योग्य क्विंटिक्स होते हैं <math>x^5+ax^2+b</math>, जो हैं<ref>{{cite web |first=Noam |last=Elkies |title=Trinomials {{nobr|a x{{sup|n}} + b x + c}} with interesting Galois groups |url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html |publisher=[[Harvard University]]}}</ref> (जहाँ s एक स्केलिंग कारक है): | चर की स्केलिंग तक, आकृति के ठीक पाँच हल करने योग्य क्विंटिक्स होते हैं <math>x^5+ax^2+b</math>, जो हैं<ref>{{cite web |first=Noam |last=Elkies |title=Trinomials {{nobr|a x{{sup|n}} + b x + c}} with interesting Galois groups |url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html |publisher=[[Harvard University]]}}</ref> (जहाँ s एक स्केलिंग कारक है): | ||
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| <math> x^5-20 x^3 +170 x + 208</math>|| | | <math> x^5-20 x^3 +170 x + 208</math>|| | ||
|} | |} | ||
हल करने योग्य क्विंटिक्स का एक अनंत अनुक्रम बनाया जा सकता है, जिनकी जड़ें योग हैं {{mvar|n}}[[एकता की जड़ें]], साथ {{nobr|{{math|''n'' {{=}} 10''k'' + 1}}}} | हल करने योग्य क्विंटिक्स का एक अनंत अनुक्रम बनाया जा सकता है, जिनकी जड़ें योग हैं {{mvar|n}} [[एकता की जड़ें]], साथ एक अभाज्य संख्या होना: {{nobr|{{math|''n'' {{=}} 10''k'' + 1}}}} | ||
:{| | :{| | ||
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|} | |} | ||
हल करने योग्य क्विंटिक्स के दो मानकीकृत परिवार भी हैं: | हल करने योग्य क्विंटिक्स के दो मानकीकृत परिवार भी हैं: | ||
कोंडो-ब्रूमर क्विंटिक, | कोंडो-ब्रूमर क्विंटिक, | ||
| Line 182: | Line 184: | ||
: | : | ||
::<math> c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m \,\right] \;.</math> | ::<math> c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m \,\right] \;.</math> | ||
===[[ एक अपरिवर्तनीय मौका ]]=== | ===[[ एक अपरिवर्तनीय मौका ]]=== | ||
घन समीकरणों के | |||