आदर्श संख्या

संख्या सिद्धांत में एक आदर्श संख्या एक बीजगणितीय पूर्णांक है जो एक संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग (गणित) में एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) का प्रतिनिधित्व करता है; यह विचार गंभीर दुःख द्वारा विकसित किया गया था, और रिचर्ड डेडेकाइंड की रिंगों के लिए आदर्श (रिंग सिद्धांत) की परिभाषा को जन्म दिया। बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में एक आदर्श प्रधान होता है यदि इसमें वलय के एक ही तत्व के गुणज होते हैं, और अन्यथा गैरप्रधान होता है। प्रमुख आदर्श प्रमेय के अनुसार हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र के एक आदर्श तक विस्तारित होने पर कोई भी गैर-प्रमुख आदर्श प्रमुख बन जाता है। इसका मतलब यह है कि हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय का एक तत्व है, जो एक आदर्श संख्या है, जैसे कि मूल गैर-प्रमुख आदर्श पूर्णांकों के इस वलय के तत्वों द्वारा इस आदर्श संख्या के सभी गुणकों के संग्रह के बराबर है। पूर्णांकों के मूल क्षेत्र के वलय में स्थित है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $y$ की जड़ हो $y^{2}+y+6=0$, का मूल है, तो क्षेत्र $\mathbb {Q} (y)$ के पूर्णांकों का वलय है $\mathbb {Z} [y]$, जिसका अर्थ है कि $a$ और $b$ पूर्णांक के साथ सभी $a+b\cdot y$ पूर्णांकों का वलय बनाते हैं। इस वलय में एक गैर-प्रमुख आदर्श का एक उदाहरण सभी $2a+y\cdot b$ का समुच्चय है जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं; इस आदर्श का घन मूलधन है, और वास्तव में वर्ग समूह क्रम तीन का चक्रीय है। संबंधित वर्ग क्षेत्र को एक तत्व को $w$ से जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो $w^{3}-w-1=0$ को संतुष्ट करता है।$\mathbb {Q} (y)$, $\mathbb {Q} (y,w)$ गैर-प्रमुख आदर्श के लिए एक आदर्श संख्या $2a+y\cdot b$ है

$\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$. चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है

$\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$ यह एक बीजगणितीय पूर्णांक है.

वर्ग क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग के सभी तत्व जिन्हें जब गुणा किया जाता है $\iota$ में एक परिणाम दें $\mathbb {Z} [y]$ स्वरूप के हैं $a\cdot \alpha +y\cdot \beta$, जहाँ

$\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23$

और

$\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.$

गुणांक α और β भी बीजगणितीय पूर्णांक हैं, जो संतोषजनक हैं

$\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0$

और

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^6+4{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^5+35{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^4+112{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^3+$