माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर)

गणितीय विश्लेषण में, विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय माध्य मान प्रमेय को उच्च डेरिवेटिव के लिए सामान्यीकृत करता है।

प्रमेय का कथन

किसी भी n + 1 जोड़ीवार अलग-अलग बिंदु x के लिए₀, ..., एक्स_n n-बार अवकलनीय फ़ंक्शन f के डोमेन में एक आंतरिक बिंदु मौजूद है

$\xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,$

जहां f का nवां अवकलज n ! के बराबर है, जो इन बिंदुओं पर nवें विभाजित अंतर का गुना है:

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

n = 1 के लिए, यानी दो फ़ंक्शन बिंदु, एक सरल माध्य मान प्रमेय प्राप्त करता है।

प्रमाण

होने देना $P$ x पर f के लिए लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद बनें₀, ..., एक्स_n. फिर यह न्यूटन बहुपद से अनुसरण करता है $P$ वह उच्चतम पद है $P$ है $f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dots (x-x_{1})(x-x_{0})$.

होने देना $g$ प्रक्षेप का शेष भाग हो, द्वारा परिभाषित $g=f-P$. तब $g$ है $n+1$ शून्य: एक्स₀, ..., एक्स_n. सबसे पहले रोले के प्रमेय को लागू करके $g$, फिर तो $g'$, और इसी तरह जब तक $g^{(n-1)}$, हम उसे ढूंढते हैं $g^{(n)}$ एक शून्य है $\xi$. इस का मतलब है कि

$0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!$,

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

अनुप्रयोग

प्रमेय का उपयोग स्टोलार्स्की का मतलब है को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है।