सिंक फलन: Difference between revisions

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{{Redirect|Sinc|the designation used in the United Kingdom for areas of wildlife interest|Site of Importance for Nature Conservation|the signal processing filter based on this function|Sinc filter}}
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गणित, भौतिकी और [[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]] में, '''सिंक फलन''', जिसे {{math|sinc(''x'')}} द्वारा दर्शाया जाता है, इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।<ref name="dlmf">{{dlmf|title=Numerical methods|id=3.3}}.</ref>
गणित, भौतिकी और [[ अभियांत्रिकी ]] में, sync फ़ंक्शन, द्वारा दर्शाया गया है {{math|sinc(''x'')}}, इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।<ref name="dlmf">{{dlmf|title=Numerical methods|id=3.3}}.</ref>


{{Infobox mathematical function
{{Infobox mathematical function
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}}
}}


फ़ाइल:Sinc.wav|thumb|sinc ऑडियो के रूप में कार्य करता है, 2000 Hz पर (शून्य के आसपास ±1.5 सेकंड)।
गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिंक फलन को x ≠ 0 के लिए परिभाषित किया गया है।<math display="block">\operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}{x}.</math>
वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिंक फलन को प्रायः [[नमूनाकरण समारोह|प्रारूपकरण फलन]] कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है।<ref>{{cite book |title=Communication Systems, 2E |edition=illustrated |first1=R. P. |last1=Singh |first2=S. D. |last2=Sapre |publisher=Tata McGraw-Hill Education |year=2008 |isbn=978-0-07-063454-1 |page=15 |url=https://books.google.com/books?id=WkOPPEhK7SYC}} [https://books.google.com/books?id=WkOPPEhK7SYC&pg=PA15 Extract of page 15]</ref>
[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया |अंकीय संकेत प्रक्रिया]] और [[सूचना सिद्धांत]] में, सामान्यीकृत सिंक फलन को सामान्यतः {{math|''x'' ≠ 0}} के लिए परिभाषित किया जाता है:<math display="block">\operatorname{sinc}x = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.</math>


गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है {{math|''x'' ≠ 0}} द्वारा
<math display="block">\operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}{x}.</math>
वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिन फ़ंक्शन को अक्सर [[नमूनाकरण समारोह]] कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है।<ref>{{cite book |title=Communication Systems, 2E |edition=illustrated |first1=R. P. |last1=Singh |first2=S. D. |last2=Sapre |publisher=Tata McGraw-Hill Education |year=2008 |isbn=978-0-07-063454-1 |page=15 |url=https://books.google.com/books?id=WkOPPEhK7SYC}} [https://books.google.com/books?id=WkOPPEhK7SYC&pg=PA15 Extract of page 15]</ref>
[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] और [[सूचना सिद्धांत]] में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को आमतौर पर परिभाषित किया जाता है {{math|''x'' ≠ 0}} द्वारा
<math display="block">\operatorname{sinc}x = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.</math>
किसी भी स्थिति में, मान पर {{math|1=''x'' = 0}} को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है
<math display="block">\operatorname{sinc}0 := \lim_{x \to 0}\frac{\sin(a x)}{a x} = 1</math> सभी वास्तविक के लिए {{math|''a'' ≠ 0}} (सीमा को Squeeze_theorem#Second_example का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।


सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फ़ंक्शन का [[ अभिन्न ]] 1 के बराबर हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन के समान इंटीग्रल का मान pi होता है।{{pi}}).  और उपयोगी संपत्ति के रूप में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन के शून्य गैर-शून्य पूर्णांक मान हैं {{mvar|x}}.
किसी भी स्थिति में, x = 0 पर मान को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है:
<math display="block">\operatorname{sinc}0 := \lim_{x \to 0}\frac{\sin(a x)}{a x} = 1</math> सभी वास्तविक के लिए {{math|''a'' ≠ 0}} (सीमा को स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।


सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फ़ंक्शन का [[फूरियर रूपांतरण]] है। इसका उपयोग व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला की अवधारणा में किया जाता है, जो उस सिग्नल के समान दूरी वाले नाइक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग प्रमेय से सतत बैंडलिमिटेड सिग्नल है।
सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फलन का [[ अभिन्न |अभिन्न]] 1 के समान हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फलन के समान अभिन्न का मान {{pi}} होता है।)  उपयोगी गुण के रूप में, सामान्यीकृत सिंक फलन के शून्य {{mvar|x}} के अशून्य पूर्णांक मान हैं।


दोनों परिभाषाओं के बीच मात्र अंतर [[स्वतंत्र चर]] (कार्टेशियन समन्वय प्रणाली) की स्केलिंग में है{{mvar|x}} अक्ष) के  कारक द्वारा {{pi}}. दोनों ही मामलों में, शून्य पर [[हटाने योग्य विलक्षणता]] पर फ़ंक्शन का मान सीमा मान 1 माना जाता है। तब sync फ़ंक्शन हर जगह विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन होता है और इसलिए  संपूर्ण फ़ंक्शन होता है।
सामान्यीकृत सिंक फलन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फलन का [[फूरियर रूपांतरण]] है। इसका उपयोग सिग्नल के समान दूरी वाले प्रारूपों से निरंतर बैंडलिमिटेड सिग्नल के पुनर्निर्माण की अवधारणा में किया जाता है।


फ़ंक्शन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फ़ंक्शन भी कहा गया है।<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=सिंक फ़ंक्शन|url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2023-06-07 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Merca |first=Mircea |date=2016-03-01 |title=The cardinal sine function and the Chebyshev–Stirling numbers |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X15002863 |journal=Journal of Number Theory |language=en |volume=160 |pages=19–31 |doi=10.1016/j.jnt.2015.08.018 |issn=0022-314X}}</ref> शब्द sync {{IPAc-en|ˈ|s|ɪ|ŋ|k}} फिलिप वुडवर्ड द्वारा पेश किया गया था|फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में उलटा संभावना में कहा था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फ़ंक्शन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह अपने स्वयं के कुछ नोटेशन के योग्य प्रतीत होता है ,<ref>{{cite journal |last1=Woodward |first1= P. M. |last2=Davies |first2=I. L. |url=http://www.norbertwiener.umd.edu/crowds/documents/Woodward52.pdf |title=दूरसंचार में सूचना सिद्धांत और व्युत्क्रम संभाव्यता|journal=Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering |volume=99 |issue=58 |pages=37–44 |date= March 1952 |doi=10.1049/pi-3.1952.0011}}</ref> और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू राडार।<ref name="Poynton">{{Cite book |first=Charles A. |last=Poynton |title=डिजिटल वीडियो और एचडीटीवी|url=https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_079 |url-access=limited |page=[https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_079/page/n152 147] |publisher=Morgan Kaufmann Publishers |year=2003 |isbn=978-1-55860-792-7}}</ref><ref>{{cite book |first=Phillip M. |last=Woodward |title=रडार के अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और सूचना सिद्धांत|url=https://archive.org/details/probabilityinfor00wood |url-access=limited |page=[https://archive.org/details/probabilityinfor00wood/page/n40 29] |location=London |publisher=Pergamon Press |year=1953 |oclc=488749777 |isbn=978-0-89006-103-9}}</ref>
दोनों परिभाषाओं के मध्य मात्र अंतर {{pi}} के कारक द्वारा [[स्वतंत्र चर]] ({{mvar|x}} अक्ष ) की स्केलिंग में है। दोनों स्थितियों में, शून्य पर [[हटाने योग्य विलक्षणता|विस्थापित योग्य विलक्षणता]] पर फलन का मान 1 होता है। तब सिंक फलन सभी समिष्ट विश्लेषणात्मक फलन होता है और इसलिए यह संपूर्ण फलन होता है।
फ़ंक्शन को पहली बार गणितीय रूप से [[लॉर्ड रेले]] द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के फॉर्मूला) में पहली तरह के शून्य-क्रम गोलाकार [[बेसेल फ़ंक्शन]] के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।
 
फलन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फलन भी कहा गया है।<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=सिंक फ़ंक्शन|url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2023-06-07 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Merca |first=Mircea |date=2016-03-01 |title=The cardinal sine function and the Chebyshev–Stirling numbers |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X15002863 |journal=Journal of Number Theory |language=en |volume=160 |pages=19–31 |doi=10.1016/j.jnt.2015.08.018 |issn=0022-314X}}</ref> शब्द सिंक को फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख "सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में प्रतिकूल संभावना" में प्रस्तुत किया था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फलन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह योग्य प्रतीत होता है अपने स्वयं के कुछ संकेतन",<ref>{{cite journal |last1=Woodward |first1= P. M. |last2=Davies |first2=I. L. |url=http://www.norbertwiener.umd.edu/crowds/documents/Woodward52.pdf |title=दूरसंचार में सूचना सिद्धांत और व्युत्क्रम संभाव्यता|journal=Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering |volume=99 |issue=58 |pages=37–44 |date= March 1952 |doi=10.1049/pi-3.1952.0011}}</ref> और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू रडार है।<ref name="Poynton">{{Cite book |first=Charles A. |last=Poynton |title=डिजिटल वीडियो और एचडीटीवी|url=https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_079 |url-access=limited |page=[https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_079/page/n152 147] |publisher=Morgan Kaufmann Publishers |year=2003 |isbn=978-1-55860-792-7}}</ref><ref>{{cite book |first=Phillip M. |last=Woodward |title=रडार के अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और सूचना सिद्धांत|url=https://archive.org/details/probabilityinfor00wood |url-access=limited |page=[https://archive.org/details/probabilityinfor00wood/page/n40 29] |location=London |publisher=Pergamon Press |year=1953 |oclc=488749777 |isbn=978-0-89006-103-9}}</ref>फलन को सर्वप्रथम गणितीय रूप से [[लॉर्ड रेले]] द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के सूत्र) में पूर्व के जैसे शून्य-क्रम गोलाकार [[बेसेल फ़ंक्शन|बेसेल फलन]] के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।


== गुण ==
== गुण ==


[[File:Si cos.svg|thumb|350px|right|असामान्य, लाल सिन फ़ंक्शन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा (छोटे सफेद बिंदु) नीले [[कोसाइन फ़ंक्शन]] के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाते हैं।]]असामान्यीकृत सिनक की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है {{pi}}, जबकि सामान्यीकृत साइन की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांकों पर होती है।
[[File:Si cos.svg|thumb|350px|right|असामान्य, लाल सिंक फलन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा (छोटे सफेद बिंदु) नीले [[कोसाइन फ़ंक्शन|कोसाइन फलन]] के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाते हैं।]]असामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग {{pi}} के अशून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है, जबकि सामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग अशून्य पूर्णांकों पर होती है।


असामान्य सिनक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा [[ कोज्या ]] फ़ंक्शन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। वह है, {{math|1={{sfrac|sin(''ξ'')|''ξ''}} = cos(''ξ'')}} सभी बिंदुओं के लिए {{mvar|ξ}} जहां का व्युत्पन्न है {{math|{{sfrac|sin(''x'')|''x''}}}} शून्य है और इस प्रकार स्थानीय चरम पर पहुँच जाता है। यह sync फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है:
असामान्य सिंक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा[[ कोज्या ]]फलन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से युग्मित होता है। वह है, {{math|1={{sfrac|sin(''ξ'')|''ξ''}} = cos(''ξ'')}} सभी बिंदुओं के लिए {{mvar|ξ}} जहां का व्युत्पन्न {{math|{{sfrac|sin(''x'')|''x''}}}} शून्य है और इस प्रकार स्थानीय शीर्ष पर पहुँच जाता है। यह सिंक फलन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है:
<math display="block">\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}.</math>
<math display="block">\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}.</math>
के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद {{mvar|x}} का समन्वय {{mvar|n}}-वां अंत सकारात्मक के साथ {{mvar|x}}समन्वय हैं
सकारात्मक {{mvar|x}} निर्देशांक के साथ {{mvar|n}}-वें शीर्ष के {{mvar|x}} निर्देशांक के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद हैं:
<math display="block">x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \frac{146}{105} q^{-7} - \cdots,</math>
<math display="block">x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \frac{146}{105} q^{-7} - \cdots,</math>
कहाँ
जहाँ
<math display="block">q = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi,</math>
<math display="block">q = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi,</math>
और कहाँ अजीब {{mvar|n}} स्थानीय न्यूनतम तक ले जाता है, और यहां तक ​​कि {{mvar|n}} स्थानीय अधिकतम तक। चारों ओर समरूपता के कारण {{mvar|y}} अक्ष, वहां ्स्ट्रेमा मौजूद है {{mvar|x}} निर्देशांक {{math|−''x<sub>n</sub>''}}. इसके अलावा, पूर्ण अधिकतम है {{math|1=''ξ''<sub>0</sub> = (0, 1)}}.
और जहाँ विषम {{mvar|n}} स्थानीय न्यूनतम तक ले जाता है, और सम {{mvar|n}} स्थानीय अधिकतम की ओर ले जाता है। {{mvar|y}} के चारों ओर समरूपता के कारण, {{mvar|x}} निर्देशांक {{math|−''x<sub>n</sub>''}} के साथ एक्स्ट्रेमा उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, {{math|1=''ξ''<sub>0</sub> = (0, 1)}}पर पूर्ण अधिकतम है।


सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन का [[अनंत उत्पाद]] के रूप में सरल प्रतिनिधित्व होता है:
सामान्यीकृत सिंक फलन का [[अनंत उत्पाद]] के रूप में सरल प्रतिनिधित्व होता है:
<math display="block">\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>
<math display="block">\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>
[[File:The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i.svg|alt=The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i|thumb|The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i]]और [[गामा फ़ंक्शन]] से संबंधित है {{math|Γ(''x'')}} यूलर के प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से:
[[File:The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i.svg|alt=The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i|thumb|The cardinal sine function सिंक(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i]]और यूलर के प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] {{math|Γ(''x'')}} से संबंधित है  :
<math display="block">\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}.</math>
<math display="block">\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}.</math>
[[यूलर]] ने खोजा<ref>{{cite arXiv |last=Euler |first=Leonhard |title=व्युत्क्रमों की श्रृंखला के योग पर|year=1735 |eprint=math/0506415}}</ref> वह
[[यूलर]] ने इसका शोध किया:<ref>{{cite arXiv |last=Euler |first=Leonhard |title=व्युत्क्रमों की श्रृंखला के योग पर|year=1735 |eprint=math/0506415}}</ref>  
<math display="block">\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right),</math>
<math display="block">\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right),</math>
और उत्पाद-से-योग पहचान के कारण<ref>{{cite journal |author1=Luis Ortiz-Gracia |author2=Cornelis W. Oosterlee |title=यूरोपीय विकल्पों के मूल्य निर्धारण के लिए एक अत्यधिक कुशल शैनन वेवलेट व्युत्क्रम फूरियर तकनीक|year=2016 |journal=SIAM J. Sci. Comput. |volume=38 |issue=1 |pages=B118–B143 |doi=10.1137/15M1014164 |url=https://ir.cwi.nl/pub/24377}}</ref>
और उत्पाद-से-योग पहचान के कारण है:<ref>{{cite journal |author1=Luis Ortiz-Gracia |author2=Cornelis W. Oosterlee |title=यूरोपीय विकल्पों के मूल्य निर्धारण के लिए एक अत्यधिक कुशल शैनन वेवलेट व्युत्क्रम फूरियर तकनीक|year=2016 |journal=SIAM J. Sci. Comput. |volume=38 |issue=1 |pages=B118–B143 |doi=10.1137/15M1014164 |url=https://ir.cwi.nl/pub/24377}}</ref>
[[File:Sinc cplot.svg|thumb|का [[डोमेन रंग]] प्लॉट {{math|1=sinc ''z'' = {{sfrac|sin ''z''|''z''}}}}]]
[[File:Sinc cplot.svg|thumb|का [[डोमेन रंग]] प्लॉट {{math|1=sinc ''z'' = {{sfrac|sin ''z''|''z''}}}}]]
<math display="block">\prod_{n=1}^k \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) = \frac{1}{2^{k-1}} \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \cos\left(\frac{n - 1/2}{2^{k-1}} x \right),\quad \forall k \ge 1,</math>
<math display="block">\prod_{n=1}^k \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) = \frac{1}{2^{k-1}} \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \cos\left(\frac{n - 1/2}{2^{k-1}} x \right),\quad \forall k \ge 1,</math>
यूलर के उत्पाद को योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है
यूलर के उत्पाद को योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है:
<math display="block">\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \cos\left(\frac{n - 1/2}{N} x\right).</math>
<math display="block">\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \cos\left(\frac{n - 1/2}{N} x\right).</math>
सामान्यीकृत सिनक (साधारण आवृत्ति में) का [[निरंतर फूरियर रूपांतरण]] है {{math|[[rectangular function|rect]](''f'')}}:
सामान्यीकृत सिंक (साधारण आवृत्ति में) का [[निरंतर फूरियर रूपांतरण]] {{math|[[rectangular function|rect]](''f'')}} है:
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),</math>
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),</math>
जहां - के बीच तर्क के लिए आयताकार फ़ंक्शन 1 है{{sfrac|1|2}} और {{sfrac|1|2}}, और अन्यथा शून्य. यह इस तथ्य से मेल खाता है कि [[सिन फिल्टर]] आदर्श (ईंट-दीवार फ़िल्टर | ईंट-दीवार, जिसका अर्थ आयताकार आवृत्ति प्रतिक्रिया) [[लो पास फिल्टर]] है।
जहां तर्क के लिए 1 आयताकार फलन {{sfrac|1|2}} और {{sfrac|1|2}}, अन्यथा शून्य है, यह इस तथ्य से युग्मित होता है कि [[सिन फिल्टर|सिंक फिल्टर]] आदर्श (ईंट-दीवार, जिसका अर्थ आयताकार आवृत्ति प्रतिक्रिया) [[लो पास फिल्टर|निम्न पास फिल्टर]] है।


यह फूरियर अभिन्न, विशेष मामले सहित
यह फूरियर अभिन्न, विशेष स्तिथि है:
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1</math>
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1</math>
अनुचित इंटीग्रल है ([[डिरिचलेट इंटीग्रल]] देखें) और अभिसरण [[लेब्सग इंटीग्रल]] नहीं है
अनुचित अभिन्न  है ([[डिरिचलेट इंटीग्रल|डिरिचलेट अभिन्न]] देखें) और अभिसरण [[लेब्सग इंटीग्रल|लेब्सग अभिन्न]] नहीं है:
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.</math>
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.</math>
सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन में ऐसे गुण होते हैं जो इसे [[ नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) ]] [[बैंडलिमिटेड]] फ़ंक्शंस के [[ प्रक्षेप ]] के संबंध में आदर्श बनाते हैं:
सामान्यीकृत सिंक फलन में ऐसे गुण होते हैं जो इसे [[ नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) |प्रारूपकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] किए गए [[बैंडलिमिटेड]] फलन के [[ प्रक्षेप |प्रक्षेप]] के संबंध में आदर्श बनाते हैं:
* यह  इंटरपोलेटिंग फ़ंक्शन है, यानी, {{math|1=sinc(0) = 1}}, और {{math|1=sinc(''k'') = 0}} अशून्य संख्या#पूर्णांकों के लिए {{math|''k''}}.
* यह  प्रक्षेप फलन है, अर्थात, अशून्य पूर्णांक {{math|''k''}} के लिए {{math|1=sinc(0) = 1}}, और {{math|1=sinc(''k'') = 0}} है।
* कार्य {{math|1=''x<sub>k</sub>''(''t'') = sinc(''t'' − ''k'')}} ({{mvar|k}} पूर्णांक) [[एलपी स्पेस]] में बैंडलिमिटेड कार्यों के लिए  [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] बनाता है {{math|'''''L'''''<sup>2</sup>('''R''')}}, उच्चतम कोणीय आवृत्ति के साथ {{math|1=''ω''<sub>H</sub> = π}} (अर्थात, उच्चतम चक्र आवृत्ति {{math|1=''f''<sub>H</sub> = {{sfrac|1|2}}}}).
* फलन {{math|1=''x<sub>k</sub>''(''t'') = sinc(''t'' − ''k'')}} ({{mvar|k}} पूर्णांक) [[एलपी स्पेस|फलन समिष्ट]] {{math|'''''L'''''<sup>2</sup>('''R''')}} में बैंडलिमिटेड फलनों के लिए [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] बनाता है, उच्चतम कोणीय आवृत्ति {{math|1=''ω''<sub>H</sub> = π}} (अर्थात, उच्चतम चक्र {{math|1=''f''<sub>H</sub> = {{sfrac|1|2}}}}आवृत्ति) है।


दो sync फ़ंक्शंस के अन्य गुणों में शामिल हैं:
दो सिंक फलन के अन्य गुणों में सम्मिलित हैं:
* असामान्यीकृत सिनक पहली तरह का शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन है, {{math|''j''<sub>0</sub>(''x'')}}. सामान्यीकृत पाप है {{math|''j''<sub>0</sub>(π''x'')}}.
* असामान्यीकृत सिंक पहले प्रकार, {{math|''j''<sub>0</sub>(''x'')}} का शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फलन है, सामान्यीकृत सिंक {{math|''j''<sub>0</sub>(π''x'')}} है। 
* कहाँ {{math|Si(''x'')}} [[साइन इंटीग्रल]] है, <math display="block">\int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x).</math>
* जहाँ {{math|Si(''x'')}} [[साइन इंटीग्रल|ज्या समाकलन]] है, <math display="block">\int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x).</math>
* {{math|''λ'' sinc(''λx'')}} (सामान्यीकृत नहीं) रैखिक [[साधारण अंतर समीकरण]] के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों में से है <math display="block">x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.</math> दूसरा है {{math|{{sfrac|cos(''λx'')|''x''}}}}, जो कि सीमाबद्ध नहीं है {{math|1=''x'' = 0}}, इसके sync फ़ंक्शन समकक्ष के विपरीत।
* {{math|''λ'' sinc(''λx'')}} (सामान्यीकृत नहीं) रैखिक [[साधारण अंतर समीकरण]] के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों में से है: <math display="block">x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.</math> दूसरा {{math|{{sfrac|cos(''λx'')|''x''}}}} है, जो सिंक फलन समकक्ष के विपरीत {{math|1=''x'' = 0}}, पर परिबद्ध नहीं है।
* सामान्यीकृत सिंक का उपयोग करना, <math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1,</math>
* सामान्यीकृत सिंक का उपयोग करते हुए,<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1,</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi.</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi.</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}.</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}.</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.</math>
* निम्नलिखित अनुचित इंटीग्रल में (सामान्यीकृत नहीं) सिन फ़ंक्शन शामिल है: <math display="block">\int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}.</math>
* निम्नलिखित अनुचित अभिन्न में (सामान्यीकृत नहीं) सिंक फलन सम्मिलित है: <math display="block">\int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}.</math>


[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
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== डिराक डेल्टा वितरण से संबंध ==
== डिराक डेल्टा वितरण से संबंध ==


सामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन का उपयोग डिराक डेल्टा फ़ंक्शन # डेल्टा फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व के रूप में किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित [[कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस)]] रखता है:
सामान्यीकृत सिंक फलन का उपयोग डिराक डेल्टा फलन के रूप में किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित [[कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस)|अभिसरण (हिल्बर्ट समिष्ट)]] है:


<math display="block">\lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).</math>
<math display="block">\lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).</math>
यह कोई सामान्य सीमा नहीं है, क्योंकि बाईं ओर अभिसरण नहीं होता है। बल्कि इसका मतलब ये है
यह कोई सामान्य सीमा नहीं है, क्योंकि बाईं ओर अभिसरण नहीं होता है। अन्यथा इसका तात्पर्य ये है:


<math display="block">\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,dx = \varphi(0)</math>
<math display="block">\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,dx = \varphi(0)</math>
प्रत्येक [[श्वार्ट्ज स्थान]] के लिए, जैसा कि [[फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय]] से देखा जा सकता है।
प्रत्येक [[श्वार्ट्ज स्थान|श्वार्ट्ज फलन]] के लिए, जैसा कि [[फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय]] से देखा जा सकता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में, {{math|''a'' → 0}} के रूप में, सिंक फलन की प्रति इकाई लंबाई में दोलनों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। फिर भी, अभिव्यक्ति सदैव {{math|±{{sfrac|1|π''x''}}}} के आवरण के अंदर दोलन करती रहती है {{mvar|a}} के मान को ध्यान किए बिना दोलन करती रहती है।
उपरोक्त अभिव्यक्ति में, जैसे {{math|''a'' → 0}}, sync फ़ंक्शन की प्रति इकाई लंबाई में दोलनों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। फिर भी, अभिव्यक्ति सदैव आवरण के अंदर ही डोलती रहती है {{math|±{{sfrac|1|π''x''}}}}, के मूल्य की परवाह किए बिना {{mvar|a}}.


यह की अनौपचारिक तस्वीर को जटिल बनाता है {{math|''δ''(''x'')}} सभी के लिए शून्य होने के नाते {{mvar|x}} बिंदु को छोड़कर {{math|1=''x'' = 0}}, और डेल्टा फ़ंक्शन को वितरण के बजाय  फ़ंक्शन के रूप में सोचने की समस्या को दर्शाता है। ऐसी ही स्थिति गिब्स परिघटना में पाई जाती है।
यह बिंदु {{math|1=''x'' = 0}} को छोड़कर सभी {{mvar|x}} के लिए {{math|''δ''(''x'')}} के शून्य होने की अनौपचारिक चित्र को जटिल बनाता है और वितरण के अतिरिक्त फलन को फलन के रूप में सोचने की समस्या को दर्शाता है। ऐसी ही स्थिति गिब्स परिघटना में पाई जाती है।


== सारांश ==
== सारांश ==
इस खंड के सभी योग असामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को संदर्भित करते हैं।
इस खंड के सभी योग असामान्यीकृत सिंक फलन को संदर्भित करते हैं।


कुल मिलाकर {{math|sinc(''n'')}} पूर्णांक से अधिक {{mvar|n}} 1 से {{math|∞}} बराबर है {{math|{{sfrac|{{pi}} − 1|2}}}}:
1 से {{math|∞}} तक पूर्णांक {{mvar|n}} पर {{math|sinc(''n'')}} का योग {{math|{{sfrac|{{pi}} − 1|2}}}} समान है।


<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) +  \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi - 1}{2}.</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) +  \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi - 1}{2}.</math>
वर्गों का योग भी बराबर होता है {{math|{{sfrac|{{pi}} − 1|2}}}}:<ref>{{cite journal | title = Advanced Problem 6241 | journal = American Mathematical Monthly | date = June–July 1980 | volume = 87 | issue = 6 | pages = 496–498 | publisher = [[Mathematical Association of America]] | location = Washington, DC | doi = 10.1080/00029890.1980.11995075}}</ref><ref name="BBB">{{cite journal | author1=Robert Baillie | author2-link=David Borwein | author2=David Borwein | author3=Jonathan M. Borwein | author3-link=Jonathan M. Borwein | title=आश्चर्यजनक सिन्क सम्स और इंटीग्रल| journal=American Mathematical Monthly | date=December 2008 | volume=115 | issue=10 | pages=888–901 | jstor = 27642636 | doi=10.1080/00029890.2008.11920606 | hdl=1959.13/940062 | s2cid=496934 | hdl-access=free}}</ref>
वर्गों का योग {{math|{{sfrac|{{pi}} − 1|2}}}} भी समान होता है:<ref>{{cite journal | title = Advanced Problem 6241 | journal = American Mathematical Monthly | date = June–July 1980 | volume = 87 | issue = 6 | pages = 496–498 | publisher = [[Mathematical Association of America]] | location = Washington, DC | doi = 10.1080/00029890.1980.11995075}}</ref><ref name="BBB">{{cite journal | author1=Robert Baillie | author2-link=David Borwein | author2=David Borwein | author3=Jonathan M. Borwein | author3-link=Jonathan M. Borwein | title=आश्चर्यजनक सिन्क सम्स और इंटीग्रल| journal=American Mathematical Monthly | date=December 2008 | volume=115 | issue=10 | pages=888–901 | jstor = 27642636 | doi=10.1080/00029890.2008.11920606 | hdl=1959.13/940062 | s2cid=496934 | hdl-access=free}}</ref>


<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{\pi - 1}{2}.</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{\pi - 1}{2}.</math>
जब जोड़ के चिह्न वैकल्पिक होते हैं और + से शुरू होते हैं, तो योग बराबर होता है {{sfrac|1|2}}:
जब जोड़ के चिह्न वैकल्पिक होते हैं और + से प्रारंभ होते हैं, तो योग {{sfrac|1|2}} समान होता है:
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) + \cdots = \frac{1}{2}.</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) + \cdots = \frac{1}{2}.</math>
वर्गों और घनों का प्रत्यावर्ती योग भी बराबर होता है {{sfrac|1|2}}:<ref name="FWFS">{{cite arXiv |last=Baillie |first=Robert |eprint=0806.0150v2 |class=math.CA |title=फूरियर श्रृंखला के साथ मज़ा|date=2008}}</ref>
वर्गों और घनों का प्रत्यावर्ती योग {{sfrac|1|2}} भी समान होता है:<ref name="FWFS">{{cite arXiv |last=Baillie |first=Robert |eprint=0806.0150v2 |class=math.CA |title=फूरियर श्रृंखला के साथ मज़ा|date=2008}}</ref>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{1}{2},</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{1}{2},</math><math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) + \cdots = \frac{1}{2}.</math>
 
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) + \cdots = \frac{1}{2}.</math>




== श्रृंखला विस्तार ==
== श्रृंखला विस्तार ==
असामान्य की [[टेलर श्रृंखला]] {{math|sinc}} फ़ंक्शन को साइन से प्राप्त किया जा सकता है (जिससे इसका मान 1 भी प्राप्त होता है {{math|1=''x'' = 0}}):
असामान्यीकृत {{math|sinc}} फलन की [[टेलर श्रृंखला]] को सिंक से प्राप्त किया जा सकता है (जो {{math|1=''x'' = 0}} पर 1 का मान भी प्राप्त करता है):
<math display="block">\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots</math>
<math display="block">\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots</math>
श्रृंखला सभी के लिए अभिसरण करती है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत संस्करण आसानी से अनुसरण करता है:
श्रृंखला सभी {{mvar|x}} के लिए अभिसरण करती है। सामान्यीकृत संस्करण सरलता से अनुसरण करता है:
<math display="block">\frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots</math>
<math display="block">\frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots</math>
[[लियोनहार्ड यूलर]] ने प्रसिद्ध रूप से इस श्रृंखला की तुलना [[बेसल समस्या]] को हल करने के लिए अनंत उत्पाद रूप के विस्तार से की।
[[लियोनहार्ड यूलर]] ने प्रसिद्ध रूप से [[बेसल समस्या]] का समाधान करने के लिए इस श्रृंखला की तुलना अनंत उत्पाद रूप के विस्तार से की।


== उच्च आयाम ==
== उच्च आयाम ==
1-डी सिनक फ़ंक्शन का उत्पाद आसानी से वर्ग कार्टेशियन ग्रिड ([[ जाली ग्राफ ]]़) के लिए बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस सिन फ़ंक्शन प्रदान करता है: {{math|sinc<sub>C</sub>(''x'', ''y'') {{=}} sinc(''x'') sinc(''y'')}}, जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म फ़्रीक्वेंसी स्पेस में  वर्ग का संकेतक फ़ंक्शन है (यानी, 2-डी स्पेस में परिभाषित ईंट की दीवार)। गैर-कार्टेशियन [[जाली (समूह)]] (उदाहरण के लिए, [[षटकोणीय जाली]]) के लिए साइन फ़ंक्शन फ़ंक्शन है जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म उस जाली के [[ब्रिलोइन जोन]] का संकेतक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, हेक्सागोनल जाली के लिए साइन फ़ंक्शन फ़ंक्शन है जिसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति स्थान में इकाई षट्भुज का संकेतक फ़ंक्शन है।  गैर-कार्टेशियन जाली के लिए यह फ़ंक्शन साधारण टेंसर उत्पाद द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, हेक्सागोनल जाली, शरीर-केंद्रित क्यूबिक, [[मुख-केन्द्रित घन]] और अन्य उच्च-आयामी जाली के लिए साइन फ़ंक्शन का स्पष्ट सूत्र स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है<ref name="multiD">{{cite journal |last1=Ye |first1= W. |last2=Entezari |first2= A. |title=बहुभिन्नरूपी सिंक फ़ंक्शंस का एक ज्यामितीय निर्माण|journal=IEEE Transactions on Image Processing |volume=21 |issue=6 |pages=2969–2979 |date=June 2012 |doi=10.1109/TIP.2011.2162421 |pmid=21775264 |bibcode=2012ITIP...21.2969Y|s2cid= 15313688 }}</ref> ब्रिलोइन ज़ोन के ज्यामितीय गुणों और [[ज़ोनोहेड्रोन]] से उनके कनेक्शन का उपयोग करना।
1-डी सिंक फलन का उत्पाद सरलता से वर्ग कार्टेशियन ग्रिड के लिए बहुपरिवर्तनीय सिंक फलन {{math|sinc<sub>C</sub>(''x'', ''y'') {{=}} sinc(''x'') sinc(''y'')}} प्रदान करता है: , जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म फ़्रीक्वेंसी समिष्ट में  वर्ग का संकेतक फलन है (अर्थात, 2-डी समिष्ट में परिभाषित ईंट की दीवार)। गैर-कार्टेशियन [[जाली (समूह)]] (उदाहरण के लिए, [[षटकोणीय जाली]]) के लिए साइन फलन फलन है जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म उस जाली के [[ब्रिलोइन जोन]] का संकेतक फलन है। उदाहरण के लिए, हेक्सागोनल जाली के लिए साइन फलन फलन है जिसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति स्थान में इकाई षट्भुज का संकेतक फलन है।  गैर-कार्टेशियन जाली के लिए यह फलन साधारण टेंसर उत्पाद द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, हेक्सागोनल जाली, शरीर-केंद्रित क्यूबिक, [[मुख-केन्द्रित घन]] और अन्य उच्च-आयामी जाली के लिए साइन फलन का स्पष्ट सूत्र स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है<ref name="multiD">{{cite jour