बर्नौली बहुपद

गणित में, जैकब बर्नौली के नाम पर बर्नौली बहुपद, बर्नौली संख्या और द्विपद गुणांक के रूप में संयोजन होता है। इनका उपयोग फलन (गणित) के श्रृंखला विस्तार के लिए और यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के साथ किया जाता है।

ये बहुपद कई विशेष कार्य के अध्ययन में होते हैं और, विशेष रूप से, रीमैन ज़ेटा फलन और हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन के रूप में होते है। वे एक एपेल अनुक्रम हैं अर्थात सामान्य व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए एक शेफ़र अनुक्रम) होते है। बर्नौली बहुपद के लिए, इकाई अंतराल में एक्स -अक्ष के क्रॉसिंग की संख्या बहुपद की डिग्री के साथ नहीं बढ़ती है। बड़ी मात्रा की सीमा में वे दृष्टिकोण करते हैं, जब समुचित रूप से स्केल किया जाता है, तो वे त्रिकोणमितीय फलन के रूप में पहुंचते हैं।

बर्नौली बहुपद

अभ्यावेदन

बर्नौली बहुपद बी_n जनरेटिंग फलनद्वारा परिभाषित किया जा सकता है। वे विभिन्न प्रकार के व्युत्पन्न अभ्यावेदन को भी स्वीकार करते हैं।

कार्य उत्पन्न करना

बर्नौली बहुपद के लिए जनक फलन है

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

यूलर बहुपद के लिए जनक फलन है

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

स्पष्ट सूत्र

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$

$E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.$

n ≥ 0 के लिए, जहां B_k बर्नौली संख्याएं हैं, और ई_k यूलर संख्याएँ हैं।

एक अंतर ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बर्नौली बहुपद भी द्वारा दिए गए हैं

$B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}$

जहां D = d/dx, x के संबंध में विभेदन है और अंश को औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जाता है। यह इस प्रकार है कि

$\int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.$

सी एफ #इंटीग्रल्स. उसी प्रकार, यूलर बहुपद दिए गए हैं

$E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$

एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बर्नौली बहुपद भी द्वारा निर्धारित अद्वितीय बहुपद हैं

$\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.$

अभिन्न परिवर्तन

$(Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du$

बहुपद f पर, बस इसका योग है

${\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}$

इसका उपयोग #उलटा उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

एक और स्पष्ट सूत्र

बर्नौली बहुपद के लिए एक स्पष्ट सूत्र दिया गया है

$B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$

यह जटिल तल में हर्विट्ज़ ज़ेटा फलनके लिए श्रृंखला अभिव्यक्ति के समान है। दरअसल, रिश्ता है

$B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)$

जहां ζ(s,q) हर्विट्ज़ ज़ेटा फलनहै। उत्तरार्द्ध बर्नौली बहुपदों को सामान्यीकृत करता है, जो n के गैर-पूर्णांक मानों की अनुमति देता है।

आंतरिक योग को x का nवाँ आगे का अंतर समझा जा सकता है^म; वह है,

$\Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}$

जहां Δ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है। इस प्रकार, कोई भी लिख सकता है

$B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.$

यह सूत्र ऊपर दिखाई देने वाली पहचान से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि फॉरवर्ड अंतर ऑपरेटर Δ बराबर है

$\Delta =e^{D}-1$

जहां D, x के संबंध में विभेदन है, हमारे पास मर्केटर श्रृंखला से है,

${D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}.$

जब तक यह x जैसे mth-डिग्री बहुपद पर कार्य करता है^म, कोई n को 0 से केवल m तक ही जाने दे सकता है।

बर्नौली बहुपद के लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व नॉरलुंड-राइस इंटीग्रल द्वारा दिया गया है, जो एक परिमित अंतर के रूप में अभिव्यक्ति का अनुसरण करता है।

यूलर बहुपद के लिए एक स्पष्ट सूत्र दिया गया है

$E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}\,.$

उपरोक्त इस तथ्य का उपयोग करते हुए अनुरूप रूप से अनुसरण करता है

${\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}-{\frac {\Delta }{2}}{\Bigr )}^{n}.$

पीटीएच शक्तियों का योग

Main article: Faulhaber's formula

के एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा उपरोक्त #प्रतिनिधित्व का उपयोग करना $x^{n}$ या #अंतर और व्युत्पन्न $B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}$, अपने पास

$\sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}$

(मान लीजिए 0⁰=1).

बर्नौली और यूलर संख्या

बर्नौली संख्याएँ किसके द्वारा दी गई हैं? $\textstyle B_{n}=B_{n}(0).$ यह परिभाषा देती है $\textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}$ के लिए $\textstyle n=0,1,2,\ldots$.

एक वैकल्पिक सम्मेलन बर्नौली संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित करता है $\textstyle B_{n}=B_{n}(1).$ दोनों सम्मेलन केवल इसके लिए भिन्न हैं $n=1$ तब से $B_{1}(1)={\tfrac {1}{2}}=-B_{1}(0)$.

यूलर संख्याएँ किसके द्वारा दी गई हैं? $E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).$

निम्न डिग्री के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति

पहले कुछ बर्नौली बहुपद हैं:

${\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}$

पहले कुछ यूलर बहुपद हैं:

${\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}$

अधिकतम और न्यूनतम

उच्चतर n पर, B में भिन्नता की मात्रा_n(x) x = 0 और x = 1 के बीच बड़ा हो जाता है। उदाहरण के लिए,

$B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}$

जो दर्शाता है कि x = 0 (और x = 1) पर मान −3617/510 ≈ −7.09 है, जबकि x = 1/2 पर मान 118518239/3342336 ≈+7.09 है। डी.एच. लेहमर दिखाया कि B का अधिकतम मान_n(x) 0 और 1 के बीच का पालन करता है

$M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}$

जब तक कि n 2 मॉड्यूलो 4 न हो, उस स्थिति में

$M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}$

(कहाँ $\zeta (x)$ रीमैन ज़ेटा फलनहै), जबकि न्यूनतम पालन करता है

$m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}$

जब तक n 0 मॉड्यूलो 4 न हो, उस स्थिति में

$m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}.$

ये सीमाएँ वास्तविक अधिकतम और न्यूनतम के काफी करीब हैं, और लेहमर अधिक सटीक सीमाएँ भी देता है।

अंतर और व्युत्पन्न

बर्नौली और यूलर बहुपद, अम्ब्रल कैलकुलस के कई संबंधों का पालन करते हैं:

$\Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},$

$\Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).$

(Δ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है)। भी,

$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.$

ये बहुपद अनुक्रम एपेल अनुक्रम हैं:

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).$

अनुवाद

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}$

ये पहचानें यह कहने के बराबर हैं कि ये बहुपद अनुक्रम एपेल अनुक्रम हैं। (हर्माइट बहुपद एक और उदाहरण हैं।)

समरूपता

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}$

$B_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}$

जेड हाय-वी सन और डीएचए ऑप प्रेस निम्नलिखित आश्चर्यजनक समरूपता संबंध स्थापित किया: यदि r + s + t = n और x + y + z = 1, तब

$r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,$

कहाँ

$[s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).$

फूरियर श्रृंखला

बर्नौली बहुपद की फूरियर श्रृंखला भी एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो विस्तार द्वारा दी गई है

$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.$

उपयुक्त रूप से स्केल किए गए त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सरल बड़ी एन सीमा पर ध्यान दें।

यह हर्विट्ज़ ज़ेटा फलनके अनुरूप रूप का एक विशेष मामला है

$B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.$

यह विस्तार केवल 0 ≤ x ≤ 1 के लिए मान्य है जब n ≥ 2 और 0 < x < 1 के लिए मान्य है जब n = 1।

यूलर बहुपदों की फूरियर श्रृंखला की भी गणना की जा सकती है। कार्यों को परिभाषित करना

$C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}$

और

$S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}$

के लिए $\nu >1$, यूलर बहुपद में फूरियर श्रृंखला है

$C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)$

और

$S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).$

ध्यान दें कि $C_{\nu }$ और $S_{\nu }$ क्रमशः विषम और सम हैं:

$C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)$

और

$S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).$

वे लीजेंड्रे ची फंक्शन से संबंधित हैं $\chi _{\nu }$ जैसा

$C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})$

और

$S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).$

उलटा

एकपदी को बहुपद के रूप में व्यक्त करने के लिए बर्नौली और यूलर बहुपद को उल्टा किया जा सकता है।

विशेष रूप से, एक इंटीग्रल ऑपरेटर द्वारा #प्रतिनिधित्व पर उपरोक्त अनुभाग से स्पष्ट रूप से, यह इस प्रकार है

$x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)$

और

$x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).$

घटते फैक्टोरियल से संबंध

घटते फैक्टोरियल के संदर्भ में बर्नौली बहुपद का विस्तार किया जा सकता है $(x)_{k}$ जैसा

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}$

कहाँ $B_{n}=B_{n}(0)$ और

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)$

दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है। बर्नौली बहुपद के संदर्भ में गिरते तथ्यात्मक को व्यक्त करने के लिए उपरोक्त को उलटा किया जा सकता है:

$(x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)$

कहाँ

$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)$

पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

गुणन प्रमेय

गुणन प्रमेय जोसेफ लुडविग राबे द्वारा 1851 में दिए गए थे:

एक प्राकृतिक संख्या के लिए m≥1,

$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)$

$E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=1,3,\dots$

$E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots$

अभिन्न

बर्नौली और यूलर बहुपदों को बर्नौली और यूलर संख्याओं से संबंधित दो निश्चित अभिन्न अंग हैं:

• $\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\;n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1$
• $\int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\;n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}$

एक अन्य अभिन्न सूत्र बताता है

• $\int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}$

के लिए विशेष मामले के साथ $y=0$

• $\int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)$
• $\int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)$
• $\int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0$
• $\int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)$

आवधिक बर्नौली बहुपद

एक आवधिक बर्नौली बहुपद P_n(x) एक बर्नौली बहुपद है जिसका मूल्यांकन तर्क के भिन्नात्मक भाग पर किया जाता है x. इन फ़ंक्शंस का उपयोग इंटीग्रल के योग से संबंधित यूलर-मैकलॉरिन फ़ॉर्मूले में शेष पद प्रदान करने के लिए किया जाता है। पहला बहुपद सॉटूथ तरंग है।

सख्ती से ये फलनबिल्कुल भी बहुपद नहीं हैं और अधिक उचित रूप से इन्हें आवधिक बर्नौली फलनकहा जाना चाहिए, और P₀(x) एक फलनभी नहीं है, क्योंकि यह सॉटूथ और इसलिए डायराक कंघी का व्युत्पन्न है।

निम्नलिखित संपत्तियाँ रुचिकर हैं, सभी के लिए मान्य हैं $x$:

${\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ is continuous for all }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ exists and is continuous for }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}$

यह भी देखें

• बर्नौली संख्याएँ
• दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद
• स्टर्लिंग बहुपद
• अंकगणितीय प्रगति की शक्तियों के योग की गणना करने वाले बहुपद

संदर्भ

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (See Chapter 23)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 (See chapter 12.11)
• Dilcher, K. (2010), "Bernoulli and Euler Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (5): 1527–1535. doi:10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0. JSTOR 2161144.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

बाहरी संबंध

• A list of integral identities involving Bernoulli polynomials from NIST