संचयी: Difference between revisions
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{{Short description|Set of quantities in probability theory}} | {{Short description|Set of quantities in probability theory}} | ||
प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κ<sub>n</sub> मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत। | प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के '''संचयी''' κ<sub>n</sub> मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत। | ||
प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है। | इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे [[केंद्रीय क्षण]] के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] होते हैं, तो उनके योग का '''n-'''वें-क्रम संचयी उनके '''n-'''वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, [[सामान्य वितरण]] के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है। | ||
क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है। | इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} के संचयकों को संचयी- | अतः एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}} के संचयकों को '''संचयी-जनक फलन''' {{math|''K''(''t'')}}का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-जनक फलन का [[प्राकृतिक]] लघुगणक है: | ||
:<math>K(t)=\log\operatorname{E}\left[e^{tX}\right].</math> | :<math>K(t)=\log\operatorname{E}\left[e^{tX}\right].</math> | ||
संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: | संचयी {{mvar|κ<sub>n</sub>}} संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं: | ||
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यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref> | यह विस्तार [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को '''n''' बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके '''n-वें''' संचयी प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html</ref> | ||
:<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | :<math> \kappa_{n} = K^{(n)}(0).</math> | ||
यदि क्षण- | इस प्रकार से यदि क्षण-जनक फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। | ||
===संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा === | ===संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा === | ||
कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी ''दूसरा'' विशेषता फलन,<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref> | कुछ लेखक<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) ''The Advanced Theory of Statistics'', Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)</ref><ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)</ref> संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी '''''दूसरा'' विशेषता फलन''',<ref>Lukacs, E. (1970) ''Characteristic Functions'' (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)</ref><ref>Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) ''Independent Component Analysis'', [[John Wiley & Sons]]. (Section 2.7.2)</ref> | ||
:<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> भी कहा जाता है। | :<math>H(t)=\log\operatorname{E} \left[e^{i t X}\right]=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots</math> भी कहा जाता है। | ||
'''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''<sup>''itX''</sup>]}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''<sup>''tX''</sup>]}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि एक्स का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं। | इस प्रकार से '''H(t)''' का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन '''K(t)''' का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि '''{{math|E[''e''<sup>''itX''</sup>]}}''' '''''t''''' के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि '''{{math|E[''e''<sup>''tX''</sup>]}}''' सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि एक्स का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन '''H(t)''' को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में '''K(t)''' का अनुकरण करेगा, जो तर्क '''''t''''' में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब '''H(t''') में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं। | ||
== कुछ मूलभूत गुण == | == कुछ मूलभूत गुण == | ||
एक यादृच्छिक चर <math display="inline">X</math> का <math display="inline">n</math>वें संचयी <math display="inline">\kappa_n(X)</math> निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है: | इस प्रकार से एक यादृच्छिक चर <math display="inline">X</math> का <math display="inline">n</math>वें संचयी <math display="inline">\kappa_n(X)</math> निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है: | ||
* यदि <math display="inline">n>1</math> और <math display="inline">c</math> स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो <math display="inline"> \kappa_n(X+c) = \kappa_n(X),</math> अर्थात संचयी [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] है। (यदि <math display="inline"> n=1</math> है तो हमारे निकट <math display="inline"> \kappa_1(X+c) = \kappa_1(X)+c) </math>। | * यदि <math display="inline">n>1</math> और <math display="inline">c</math> स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो <math display="inline"> \kappa_n(X+c) = \kappa_n(X),</math> अर्थात संचयी [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] है। (यदि <math display="inline"> n=1</math> है तो हमारे निकट <math display="inline"> \kappa_1(X+c) = \kappa_1(X)+c) </math>। | ||
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* यदि यादृच्छिक चर <math display="inline">X_1,\ldots,X_m</math> स्वतंत्र हैं तो<math display="block"> \kappa_n(X_1+\cdots+X_m) = \kappa_n(X_1) + \cdots + \kappa_n(X_m)\,. </math> अर्थात्, संचयी संचयी है - इसलिए नाम। | * यदि यादृच्छिक चर <math display="inline">X_1,\ldots,X_m</math> स्वतंत्र हैं तो<math display="block"> \kappa_n(X_1+\cdots+X_m) = \kappa_n(X_1) + \cdots + \kappa_n(X_m)\,. </math> अर्थात्, संचयी संचयी है - इसलिए नाम। | ||
संचयी -उत्पादक फलन पर विचार करने से संचयी गुण शीघ्रता से अनुसरण करता है: | इस प्रकार से संचयी -उत्पादक फलन पर विचार करने से संचयी गुण शीघ्रता से अनुसरण करता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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ताकि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रत्येक संचयी योग के संगत संचयकों का योग हो। अर्थात्, जब योग सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो योग का माध्य, साधनों का योग होता है, योग का प्रसरण प्रसरण का योग होता है, योग का तीसरा संचयी (जो तीसरा केंद्रीय क्षण होता है) तीसरे संचयकों का योग है, और इसी प्रकार संचयी के प्रत्येक क्रम के लिए। | ताकि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रत्येक संचयी योग के संगत संचयकों का योग हो। अर्थात्, जब योग सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो योग का माध्य, साधनों का योग होता है, योग का प्रसरण प्रसरण का योग होता है, योग का तीसरा संचयी (जो तीसरा केंद्रीय क्षण होता है) तीसरे संचयकों का योग है, और इसी प्रकार संचयी के प्रत्येक क्रम के लिए। | ||
दिए गए संचयकों {{mvar|κ<sub>n</sub>}} के साथ वितरण का अनुमान एजवर्थ श्रृंखला के माध्यम से लगाया जा सकता है। | इस प्रकार से दिए गए संचयकों {{mvar|κ<sub>n</sub>}} के साथ वितरण का अनुमान एजवर्थ श्रृंखला के माध्यम से लगाया जा सकता है। | ||
=== क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी === | === क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी === | ||
सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वास्तव में केंद्रीय क्षण हैं। | अतः सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वास्तव में केंद्रीय क्षण हैं। | ||
* <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | * <math display="inline"> \kappa_1(X) = \operatorname E(X)={} </math>अर्थ | ||
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==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक== | ==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक== | ||
* निरंतर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}}। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt''}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी शून्य, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। | * निरंतर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}}। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt''}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी शून्य, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। | ||
* [[बर्नौली वितरण]], (सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''p''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''p''·(1 − ''p'')}} | * [[बर्नौली वितरण]], (सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''p''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''p''·(1 − ''p'')}} हैं। संचयक एक पुनरावर्तन सूत्र | ||
*<math display="block">\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}</math> को संतुष्ट करते हैं। | *<math display="block">\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}</math> को संतुष्ट करते हैं। | ||
* [[ज्यामितीय वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e<sup>''t''</sup>))}} | * [[ज्यामितीय वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e<sup>''t''</sup>))}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''p''<sup>−1</sup> − 1}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|''p'' {{=}} (''μ'' + 1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K''(''t'') {{=}} −log(1 + ''μ''(1−e<sup>''t''</sup>))}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है। | ||
* पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e<sup>''t''</sup> − 1)}} | * पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μ''(e<sup>''t''</sup> − 1)}} है। सभी संचयी पैरामीटर {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''κ''<sub>3</sub> {{=}} ... {{=}} ''μ''}} के बराबर हैं। | ||
* [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} | * [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e<sup>''t''</sup>)}} है। प्रथम संचयी {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''<sub>1</sub>(1 − ''p'')}} हैं। {{math|''p'' {{=}} μ·''n''<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ<sup>−1</sup> − ''n''<sup>−1</sup>)·e<sup>−''t''</sup> + ''n''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} μ}} प्राप्त होता है। सीमित स्थिति {{math|''n''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | ||
* [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')<sup>−1</sup>·e<sup>−''t''</sup>−1)<sup>−1</sup>}} का व्युत्पन्न है। प्रथम संचयी {{math|1=''κ''<sub>1</sub> = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''<sup>−1</sup>−1)}} और {{math|1=''κ''<sub>2</sub> = ''K'' ' '(0) = ''κ''<sub>1</sub>·''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''<sup>−1</sup>+1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''<sup>−1</sup> + ''r''<sup>−1</sup>)''e''<sup>−''t''</sup> − ''r''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | * [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')<sup>−1</sup>·e<sup>−''t''</sup>−1)<sup>−1</sup>}} का व्युत्पन्न है। प्रथम संचयी {{math|1=''κ''<sub>1</sub> = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''<sup>−1</sup>−1)}} और {{math|1=''κ''<sub>2</sub> = ''K'' ' '(0) = ''κ''<sub>1</sub>·''p''<sup>−1</sup>}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''<sup>−1</sup>+1)<sup>−1</sup>}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''<sup>−1</sup> + ''r''<sup>−1</sup>)''e''<sup>−''t''</sup> − ''r''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>}} और {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''<sup>−1</sup> {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है। | ||
विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय | इस प्रकार से विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय | ||
: <math>\varepsilon=\mu^{-1}\sigma^2=\kappa_1^{-1}\kappa_2</math> का परिचय, | : <math>\varepsilon=\mu^{-1}\sigma^2=\kappa_1^{-1}\kappa_2</math> का परिचय, | ||
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द्विपद बंटन ह{{math|''ε'' {{=}} 1 − ''p''}} होता है ताकि {{math|0 < ''ε'' < 1}} हो। | द्विपद बंटन ह{{math|''ε'' {{=}} 1 − ''p''}} होता है ताकि {{math|0 < ''ε'' < 1}} हो। | ||
पॉइसन वितरण {{math|''ε'' {{=}} 1}} | पॉइसन वितरण {{math|''ε'' {{=}} 1}} है। | ||
ऋणात्मक द्विपद बंटन में {{math|''ε'' {{=}} ''p''<sup>−1</sup>}} होता है ताकि {{math|''ε'' > 1}}। | ऋणात्मक द्विपद बंटन में {{math|''ε'' {{=}} ''p''<sup>−1</sup>}} होता है ताकि {{math|''ε'' > 1}}। | ||
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==कुछ सतत प्रायिकता वितरणों के संचयी == | ==कुछ सतत प्रायिकता वितरणों के संचयी == | ||
* [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित]] मान '''μ''' और विचरण {{math|''σ''<sup>2</sup>}} के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup>/2}} है। संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''<sup>2</sup>·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}} है। संचयक {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}}, और {{math|''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। विशेष स्थिति {{math|''σ''<sup>2</sup> {{=}} 0}} स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} है। | * [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित]] मान '''μ''' और विचरण {{math|''σ''<sup>2</sup>}} के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup>/2}} है। संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''<sup>2</sup>·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}} है। संचयक {{math|''κ''<sub>1</sub> {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''<sub>2</sub> {{=}} ''σ''<sup>2</sup>}}, और {{math|''κ''<sub>3</sub> {{=}} ''κ''<sub>4</sub> {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। विशेष स्थिति {{math|''σ''<sup>2</sup> {{=}} 0}} स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} है। | ||
* अंतराल {{math|[−1, 0]}} पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''B''<sub>''n''</sub>/''n''}} हैं , जहां {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} {{math|''n''}}<sup>वीं</sup> [[बर्नौली संख्या]] है। | * अंतराल {{math|[−1, 0]}} पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''B''<sub>''n''</sub>/''n''}} हैं, जहां {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} {{math|''n''}}<sup>वीं</sup> [[बर्नौली संख्या]] है। | ||
* दर पैरामीटर {{math|''λ''}} के साथ घातीय वितरण के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''λ''<sup>−''n''</sup> (''n'' − 1)!}} | * दर पैरामीटर {{math|''λ''}} के साथ घातीय वितरण के संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub> {{=}} ''λ''<sup>−''n''</sup> (''n'' − 1)!}} हैं। | ||
==संचयी जनक फलन के कुछ गुण== | ==संचयी जनक फलन के कुछ गुण== | ||
संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न|अनंत रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ([[ बिग ओ अंकन | बिग ओ अंकन]] देखें) | अतः संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न|अनंत रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इस प्रकार से इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ([[ बिग ओ अंकन |बिग ओ अंकन]] देखें) | ||
:<math> | :<math> | ||
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इन अनंतस्पर्शियों के {{math|''y''}}-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि {{math|1=''K''(0) = 0}}।) | इन अनंतस्पर्शियों के {{math|''y''}}-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि {{math|1=''K''(0) = 0}}।) | ||
{{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के | {{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के लिए है। {{math|''c''}} पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा <math>K_c(t)=ct</math> है, और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> यदि और मात्र यदि {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica | ||
| title = A note on sub-independent random variables and a class of bivariate mixtures | | title = A note on sub-independent random variables and a class of bivariate mixtures | ||
| volume = 49 | | volume = 49 | ||
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}}</ref>) | }}</ref>) | ||
वितरण के [[प्राकृतिक घातीय परिवार|प्राकृतिक घातीय वर्ग]] को {{math|''K''(''t'')}} को स्थानांतरण या अनुवाद करके, और इसे लंबवत रूप से समायोजित करके समझा जा सकता है ताकि यह सदैव मूल से होकर गुजरे: यदि {{math|''f''}} सीजीएफ <math>K(t)=\log M(t)</math> के साथ पीडीएफ है और <math>f|\theta</math> इसका प्राकृतिक घातीय वर्ग है, तो <math>f(x\mid\theta)=\frac1{M(\theta)}e^{\theta x} f(x),</math> और <math>K(t\mid\theta)=K(t+\theta)-K(\theta)</math>। | इस प्रकार से वितरण के [[प्राकृतिक घातीय परिवार|प्राकृतिक घातीय वर्ग]] को {{math|''K''(''t'')}} को स्थानांतरण या अनुवाद करके, और इसे लंबवत रूप से समायोजित करके समझा जा सकता है ताकि यह सदैव मूल से होकर गुजरे: यदि {{math|''f''}} सीजीएफ <math>K(t)=\log M(t)</math> के साथ पीडीएफ है और <math>f|\theta</math> इसका प्राकृतिक घातीय वर्ग है, तो <math>f(x\mid\theta)=\frac1{M(\theta)}e^{\theta x} f(x),</math> और <math>K(t\mid\theta)=K(t+\theta)-K(\theta)</math>। | ||
यदि {{math|''K''(''t'')}} किसी श्रेणी {{math|''t''<sub>1</sub> < Re(''t'') < ''t''<sub>2</sub>}} के लिए परिमित है तो यदि {{math|''t''<sub>1</sub> < 0 < ''t''<sub>2</sub>}} है तो {{math|''K''(''t'')}} विश्लेषणात्मक है और {{math|''t''<sub>1</sub> < Re(''t'') < ''t''<sub>2</sub>}} के लिए अनंत रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त '''''t''''' वास्तविक और {{math|''t''<sub>1</sub> < ''t'' < ''t''<sub>2</sub> ''K''(''t'')}} के लिए दृढ़ता से उत्तल है, और {{math|''K''′(''t'')}} दृढ़ता से बढ़ रहा है। | यदि {{math|''K''(''t'')}} किसी श्रेणी {{math|''t''<sub>1</sub> < Re(''t'') < ''t''<sub>2</sub>}} के लिए परिमित है तो यदि {{math|''t''<sub>1</sub> < 0 < ''t''<sub>2</sub>}} है तो {{math|''K''(''t'')}} विश्लेषणात्मक है और {{math|''t''<sub>1</sub> < Re(''t'') < ''t''<sub>2</sub>}} के लिए अनंत रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त '''''t''''' वास्तविक और {{math|''t''<sub>1</sub> < ''t'' < ''t''<sub>2</sub> ''K''(''t'')}} के लिए दृढ़ता से उत्तल है, और {{math|''K''′(''t'')}} दृढ़ता से बढ़ रहा है। | ||
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===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ===एक ऋणात्मक परिणाम=== | ||
सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''<sub>''m''</sub> = ''κ''<sub>''m''+1</sub> = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए , निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है। | अतः सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''<sub>''m''</sub> = ''κ''<sub>''m''+1</sub> = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए, निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है। | ||
===संचयी और क्षण=== | ===संचयी और क्षण=== | ||
[[क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य|क्षण | इस प्रकार से [[क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य|क्षण जनक फलन]] इस प्रकार दिया गया है: | ||
: <math>M(t) = 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu'_n t^n}{n!} = \exp \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!}\right) = \exp(K(t)).</math> | : <math>M(t) = 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu'_n t^n}{n!} = \exp \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!}\right) = \exp(K(t)).</math> | ||
तो संचयी जनक फलन, क्षण जनक फलन | तो संचयी जनक फलन, क्षण जनक फलन | ||
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:<math>\kappa_n = K^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \log M(t)}{\mathrm{d}t^n} \right|_{t=0}</math> के '''n'''-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके संचयी को क्षणों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। | :<math>\kappa_n = K^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \log M(t)}{\mathrm{d}t^n} \right|_{t=0}</math> के '''n'''-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके संचयी को क्षणों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। | ||
पहले n संचयी के संदर्भ में n-वें पल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति, और इसके विपरीत, समग्र फलनों के उच्च व्युत्पन्न के लिए फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यतः, हमारे निकट | पहले n संचयी के संदर्भ में n-वें पल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति, और इसके विपरीत, समग्र फलनों के उच्च व्युत्पन्न के लिए फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार से सामान्यतः, हमारे निकट | ||
: <math>\mu'_n = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-k+1}) </math> | : <math>\mu'_n = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\ldots,\kappa_{n-k+1}) </math> | ||
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है, जहाँ <math>B_{n,k}</math> अपूर्ण (या आंशिक) [[बेल बहुपद]] हैं। | है, जहाँ <math>B_{n,k}</math> अपूर्ण (या आंशिक) [[बेल बहुपद]] हैं। | ||
इसी प्रकार, यदि <math>\mu</math> माध्य दिया गया है , केंद्रीय क्षण | इसी प्रकार, यदि <math>\mu</math> माध्य दिया गया है, केंद्रीय क्षण जनक फलन | ||
: <math> C(t) = \operatorname{E}[e^{t(x-\mu)}] = e^{-\mu t} M(t) = \exp(K(t) - \mu t), </math> | : <math> C(t) = \operatorname{E}[e^{t(x-\mu)}] = e^{-\mu t} M(t) = \exp(K(t) - \mu t), </math> | ||
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</math> है। | </math> है। | ||
n-वें क्षण μ′n पहले n संचयकों में एक n-वां-परिमाण बहुपद है। पहले कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं: | इस प्रकार से '''n'''-वें क्षण '''μ′n''' पहले '''n''' संचयकों में एक '''n'''-वां-परिमाण बहुपद है। पहले कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं: | ||
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केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'<sub>1</sub> एक कारक के रूप में प्रकट होता है: | इस प्रकार से केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी {{math|''κ''<sub>''n''</sub>}} को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'<sub>1</sub> एक कारक के रूप में प्रकट होता है: | ||
:<math>\kappa_2=\mu_2\,</math> | :<math>\kappa_2=\mu_2\,</math> | ||
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:<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | :<math>\kappa_5=\mu''_5-10\mu''_3\,</math> | ||
:<math>\kappa_6=\mu''_6-15\mu''_4-10{\mu''_3}^2+30\,.</math> | :<math>\kappa_6=\mu''_6-15\mu''_4-10{\mu''_3}^2+30\,.</math> | ||
संचयी को t के संबंध में संबंध '''log ''M''(''t'') = ''K''(''t'')''' को अलग करके, '''''M′''(''t'') = ''K′''(''t'') ''M''(''t'')''' देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक सम्मिलित नहीं है। {{math|''t''<sup> ''n''−1</sup> / (''n''−1)!}} के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और {{math|1=''μ′''<sub>0</sub> = 1}}का उपयोग करने से {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Peter J. |date=May 1995 |title=क्यूमुलेंट्स से क्षण प्राप्त करने की पुरानी समस्या का एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण और इसके विपरीत|url=https://www.jstor.org/stable/2684642 |journal=The American Statistician |volume=49 |issue=2 |pages=217–218 |doi=10.2307/2684642|jstor=2684642 }}</ref> | अतः संचयी को t के संबंध में संबंध '''log ''M''(''t'') = ''K''(''t'')''' को अलग करके, '''''M′''(''t'') = ''K′''(''t'') ''M''(''t'')''' देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार से {{math|''t''<sup> ''n''−1</sup> / (''n''−1)!}} के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और {{math|1=''μ′''<sub>0</sub> = 1}}का उपयोग करने से {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Peter J. |date=May 1995 |title=क्यूमुलेंट्स से क्षण प्राप्त करने की पुरानी समस्या का एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण और इसके विपरीत|url=https://www.jstor.org/stable/2684642 |journal=The American Statistician |volume=49 |issue=2 |pages=217–218 |doi=10.2307/2684642|jstor=2684642 }}</ref> | ||
: <math> | : <math> | ||
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| Line 233: | Line 233: | ||
===संचयी और समूह-विभाजन=== | ===संचयी और समूह-विभाजन=== | ||
इन बहुपदों की उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक समूह के कुछ विभाजन की गणना करते हैं। इन बहुपदों का सामान्य रूप | इस प्रकार से इन बहुपदों की उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक समूह के कुछ विभाजन की गणना करते हैं। इन बहुपदों का सामान्य रूप | ||
:<math>\mu'_n=\sum_{\pi \, \in \, \Pi} \prod_{B \, \in \, \pi} \kappa_{|B|}</math> | :<math>\mu'_n=\sum_{\pi \, \in \, \Pi} \prod_{B \, \in \, \pi} \kappa_{|B|}</math> | ||
| Line 240: | Line 240: | ||
*{{pi}} आकार {{math|''n''}} के समूह के सभी विभाजनों की सूची से चलता है; | *{{pi}} आकार {{math|''n''}} के समूह के सभी विभाजनों की सूची से चलता है; | ||
*{{math|''B'' ∈ {{pi}}}} का अर्थ है कि {{math|''B''}} उन वर्गों में से एक है जिसमें समूह को विभाजित किया गया है; और | *{{math|''B'' ∈ {{pi}}}} का अर्थ है कि {{math|''B''}} उन वर्गों में से एक है जिसमें समूह को विभाजित किया गया है; और | ||
*{{math|{{abs|''B''}}}} समूह {{math|''B''}} का आकार | *{{math|{{abs|''B''}}}} समूह {{math|''B''}} का आकार है। | ||
इस प्रकार प्रत्येक [[एकपद|एकपदी]] एक स्थिर समय में संचयकों का गुणनफल है जिसमें सूचकांकों का योग {{math|''n''}} है (उदाहरण के लिए, पद {{math|1=''κ''<sub>3</sub> ''κ''<sub>2</sub><sup>2</sup> ''κ''<sub>1</sub>}} में, सूचकांकों का योग 3 + 2 + 2 + 1 = 8 है; यह इसमें दिखाई देता है बहुपद जो 8वें क्षण को पहले आठ संचयकों के फलन के रूप में व्यक्त करता है)। [[पूर्णांक]] {{math|''n''}} का एक विभाजन प्रत्येक पद से मेल खाता है। प्रत्येक पद में गुणांक '''''n''''' सदस्यों के एक समूह के विभाजन की संख्या है जो पूर्णांक '''''n''''' के उस विभाजन में निपात हो जाता है जब समूह के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं। | अतः इस प्रकार प्रत्येक [[एकपद|एकपदी]] एक स्थिर समय में संचयकों का गुणनफल है जिसमें सूचकांकों का योग {{math|''n''}} है (इस प्रकार से उदाहरण के लिए, पद {{math|1=''κ''<sub>3</sub> ''κ''<sub>2</sub><sup>2</sup> ''κ''<sub>1</sub>}} में, सूचकांकों का योग 3 + 2 + 2 + 1 = 8 है; यह इसमें दिखाई देता है बहुपद जो 8वें क्षण को पहले आठ संचयकों के फलन के रूप में व्यक्त करता है)। [[पूर्णांक]] {{math|''n''}} का एक विभाजन प्रत्येक पद से मेल खाता है। प्रत्येक पद में गुणांक '''''n''''' सदस्यों के एक समूह के विभाजन की संख्या है जो पूर्णांक '''''n''''' के उस विभाजन में निपात हो जाता है जब समूह के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं। | ||
===संचयी और साहचर्य === | ===संचयी और साहचर्य === | ||
संचयी और साहचर्य के बीच आगे का संबंध [[जियान-कार्लो रोटा]] के कार्य में पाया जा सकता है, जहां [[अपरिवर्तनीय सिद्धांत]], [[सममित कार्य|सममित फलनों]] और द्विपद अनुक्रमों के लिंक का अध्ययन [[अम्ब्रल कैलकुलस|अम्ब्रल गणना]] के माध्यम से किया जाता है।<ref>{{cite journal |first1=G.-C. |last1=Rota |first2=J. |last2=Shen |title=क्यूमुलेंट्स के कॉम्बिनेटरिक्स पर|journal=Journal of Combinatorial Theory |series=Series A |volume=91 |issue=1–2 |pages=283–304 |year=2000 |doi=10.1006/jcta.1999.3017 |doi-access=free }}</ref> | संचयी और साहचर्य के बीच आगे का संबंध [[जियान-कार्लो रोटा]] के कार्य में पाया जा सकता है, जहां [[अपरिवर्तनीय सिद्धांत]], [[सममित कार्य|सममित फलनों]] और द्विपद अनुक्रमों के लिंक का अध्ययन [[अम्ब्रल कैलकुलस|अम्ब्रल गणना]] के माध्यम से किया जाता है।<ref>{{cite journal |first1=G.-C. |last1=Rota |first2=J. |last2=Shen |title=क्यूमुलेंट्स के कॉम्बिनेटरिक्स पर|journal=Journal of Combinatorial Theory |series=Series A |volume=91 |issue=1–2 |pages=283–304 |year=2000 |doi=10.1006/jcta.1999.3017 |doi-access=free }}</ref> | ||
==संयुक्त संचयी == | ==संयुक्त संचयी == | ||
कई यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}} के संयुक्त संचयी को एक समान संचयी जनक फलन | इस प्रकार से कई यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}} के संयुक्त संचयी को एक समान संचयी जनक फलन | ||
:<math>K(t_1,t_2,\dots,t_n)=\log E(\mathrm e^{\sum_{j=1}^n t_j X_j})</math> द्वारा परिभाषित किया गया है। | :<math>K(t_1,t_2,\dots,t_n)=\log E(\mathrm e^{\sum_{j=1}^n t_j X_j})</math> द्वारा परिभाषित किया गया है। | ||
| Line 253: | Line 253: | ||
:<math>\kappa(X_1,\dots,X_n) =\sum_\pi (|\pi|-1)!(-1)^{|\pi|-1}\prod_{B\in\pi}E\left(\prod_{i\in B}X_i\right)</math> | :<math>\kappa(X_1,\dots,X_n) =\sum_\pi (|\pi|-1)!(-1)^{|\pi|-1}\prod_{B\in\pi}E\left(\prod_{i\in B}X_i\right)</math> | ||
जहाँ {{pi}}, {{math|{ 1, ..., ''n'' } }} के सभी व | |||