संचयी: Difference between revisions

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, संचयी {{mvar|κ_n}संभाव्यता वितरण का } मात्राओं का एक समूह है जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] का विकल्प प्रदान करता है। कोई भी दो संभाव्यता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत।

का एक फायदा {{math|''H''(''t'')}}—कुछ अर्थों में कार्य {{math|''K''(''t'')}} विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए मूल्यांकन किया गया - यही है {{math|E[''e''^''itX'']}} सभी वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है {{math|''t''}} यहां तक ​​कि जब {{math|E[''e''^''tX'']}} सभी वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है {{math|''t''}}, जैसे कि तब घटित हो सकता है जब इसकी संभावना बहुत अधिक हो {{math|''X''}} का परिमाण बड़ा है. यद्यपि समारोह {{math|''H''(''t'')}} अच्छी तरह से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह नकल करेगा {{math|''K''(''t'')}} इसकी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में, जो तर्क में रैखिक क्रम से आगे (या, शायद ही कभी, यहां तक ​​​​कि) तक विस्तारित नहीं हो सकती है{{math|''t''}}, और विशेष रूप से अच्छी तरह से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब भी {{math|''H''(''t'')}} के पास लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं है, इसका उपयोग सीधे विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। [[कॉची वितरण]] (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, [[स्थिर वितरण]] (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन कार्यों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में केवल सीमित रूप से कई अच्छी तरह से परिभाषित शब्द हैं।

==कुछ बुनियादी गुण== <math display=inline>n</math>वें>-वें संचयी <math display=inline>\kappa_n(X)</math> एक यादृच्छिक चर का (वितरण)। <math display=inline>X</math> निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है:

दिए गए संचयकों के साथ एक वितरण {{mvar|κ_n}} को एडगेवर्थ श्रृंखला के माध्यम से अनुमानित किया जा सकता है।

* [[बर्नौली वितरण]], (संभावना के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या {{math|''p''}} सफलता की)। संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है {{math|''K''(''t'') {{=}} log(1 − ''p'' + ''p''e^''t'')}}. प्रथम संचयी हैं {{math|''κ''₁ {{=}} ''K'' '(0) {{=}} ''p''}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''p''·(1 − ''p'')}}. संचयी एक पुनरावर्तन सूत्र को संतुष्ट करते हैं <math display="block">\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}.</math>

* [[ज्यामितीय वितरण]], (संभावना के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या {{math|''p''}}प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की). संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e^''t''))}}. प्रथम संचयी हैं {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''p''⁻¹ − 1}}, और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁''p''⁻¹}}. स्थानापन्न {{math|''p'' {{=}} (''μ'' + 1)⁻¹}} देता है {{math|''K''(''t'') {{=}} −log(1 + ''μ''(1−e^''t''))}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}}.

* [[द्विपद वितरण]], (सफलताओं की संख्या {{math|''n''}} संभाव्यता के साथ [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षण {{math|''p''}}प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की). विशेष मामला {{math|''n'' {{=}} 1}} एक बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयकर्ता न्यायकारी है {{math|''n''}} संगत बर्नौली वितरण के संगत संचयक का गुना। संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e^''t'')}}. प्रथम संचयी हैं {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁(1 − ''p'')}}. स्थानापन्न {{math|''p'' {{=}} μ·''n''⁻¹}} देता है {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ⁻¹ − ''n''⁻¹)·e^−''t'' + ''n''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} μ}}. सीमित मामला {{math|''n''⁻¹ {{=}} 0}} एक पॉइसन वितरण है।

* [[नकारात्मक द्विपद वितरण]], (पहले विफलताओं की संख्या {{math|''r''}} संभाव्यता के साथ सफलताएँ {{math|''p''}}प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की). विशेष मामला {{math|''r'' {{=}} 1}} एक ज्यामितीय वितरण है. प्रत्येक संचयकर्ता न्यायकारी है {{math|''r''}} संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का गुना। संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')⁻¹·e^−''t''−1)⁻¹}}. प्रथम संचयी हैं {{math|1=''κ''₁ = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''⁻¹−1)}}, और {{math|1=''κ''₂ = ''K'' ' '(0) = ''κ''₁·''p''⁻¹}}. स्थानापन्न {{math|1=''p'' = (μ·''r''⁻¹+1)⁻¹}} देता है {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''⁻¹ + ''r''⁻¹)''e''^−''t'' − ''r''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}}. इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)]] {{math|''r''⁻¹ {{=}} 0}} एक पॉइसन वितरण है।

उपरोक्त संभाव्यता वितरण से संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए एक एकीकृत सूत्र प्राप्त होता है:{{Citation needed|date=September 2010}}

* [[अपेक्षित मूल्य]] के साथ सामान्य वितरण के लिए {{math|''μ''}} और विचरण {{math|''σ''²}}, संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''²''t''²/2}}. संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव हैं {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''²·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''²}}. संचयकर्ता हैं {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''₂ {{=}} ''σ''²}}, और {{math|''κ''₃ {{=}} ''κ''₄ {{=}} ... {{=}} 0}}. विशेष मामला {{math|''σ''² {{=}} 0}} एक स्थिर यादृच्छिक चर है {{math|''X'' {{=}} ''μ''}}.

संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इसका पहला व्युत्पन्न संभाव्यता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक खुले अंतराल में नीरस रूप से होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, हर जगह सख्ती से सकारात्मक होता है। क्यूम्यलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन मौजूद होता है यदि और केवल यदि वितरण की पूंछ एक [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, यानी, ([[ बिग ओ अंकन ]] देखें)

यदि एक यादृच्छिक चर का [[समर्थन (गणित)]]। {{math|''X''}} की परिमित ऊपरी या निचली सीमा होती है, फिर इसका संचयी-उत्पादक कार्य होता है {{math|1=''y'' = ''K''(''t'')}}, यदि यह मौजूद है, तो [[अनंतस्पर्शी]](ओं) के पास पहुंचता है जिसका ढलान समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है,

वितरण में बदलाव के लिए {{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct.</math> एक पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए {{math|''c''}}, सीजीएफ सीधी रेखा है <math>K_c(t)=ct</math>, और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> अगर और केवल अगर {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस मौजूद हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica

अगर {{math|''K''(''t'')}} एक सीमा के लिए सीमित है {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}} तो अगर {{math|''t''₁ < 0 < ''t''₂}} तब {{math|''K''(''t'')}} विश्लेषणात्मक है और इसके लिए असीम रूप से भिन्न है {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}}. इसके अलावा के लिए {{math|''t''}} वास्तविक और {{math|''t''₁ < ''t'' < ''t''₂ ''K''(''t'')}} सख्ती से उत्तल है, और {{math|''K''&prime;(''t'')}} सख्ती से बढ़ रहा है. {{Citation needed|date=March 2011}}

{{math|1=''κ''_''m'' = ''κ''_''m''+1 = ⋯ = 0}} कुछ के लिए {{math|1=''m'' > 3}}, निचले क्रम के संचयकों के साथ (आदेश 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं.<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि क्यूम्यलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन 2 से अधिक डिग्री का एक परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है।

  {{math|''n''}}}-वाँ क्षण (गणित) {{math|''μ''′_''n''}} एक {{math|''n''}}पहले में-वें-डिग्री बहुपद {{math|''n''}} संचयी। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

 

प्रधान क्षणों को अलग करता है {{math|''μ''′_''n''}} [[माध्य के बारे में क्षण]] से {{math|''μ''_''n''}}. केंद्रीय क्षणों को संचयकों के कार्यों के रूप में व्यक्त करने के लिए, बस इन बहुपदों से सभी पदों को हटा दें {{math|''κ''₁}} एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

इसी प्रकार, {{math|''n''}}-वें संचयी {{math|''κ''_''n''}} एक {{math|''n''}}पहले में-वें-डिग्री बहुपद {{math|''n''}} गैर-केंद्रीय क्षण. पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

संचयकों को व्यक्त करने के लिए {{math|''κ''_''n''}} के लिए {{math|''n'' > 1}} केंद्रीय क्षणों के फलन के रूप में, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'₁ एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

इन बहुपदों की एक उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक एक सेट के कुछ विभाजन की गणना करते हैं। इन बहुपदों का एक सामान्य रूप है

*{{pi}} आकार के एक सेट के सभी विभाजनों की सूची के माध्यम से चलता है {{math|''n''}};

*{{math|''B'' ∈ {{pi}}}}  साधन {{math|''B''}} उन ब्लॉकों में से एक है जिसमें सेट को विभाजित किया गया है; और

इस प्रकार प्रत्येक [[एकपद]]ी एक स्थिर समय संचयी का उत्पाद है जिसमें सूचकांकों का योग होता है {{math|''n''}} (उदाहरण के लिए, शब्द में {{math|1=''κ''₃ ''κ''₂² ''κ''₁}}, सूचकांकों का योग 3 + 2 + 2 + 1 = 8 है; यह बहुपद में प्रकट होता है जो 8वें क्षण को पहले आठ क्यूमुलेंट के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करता है)। [[पूर्णांक]] का एक विभाजन {{math|''n''}} प्रत्येक पद से मेल खाता है। प्रत्येक पद में गुणांक किसी समुच्चय के विभाजनों की संख्या है {{math|''n''}} सदस्य जो पूर्णांक के उस विभाजन में सिमट जाते हैं {{math|''n''}} जब समुच्चय के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं।

अनेक यादृच्छिक चरों का संयुक्त संचयी {{math|''X''₁, ..., ''X''_''n''}} को एक समान संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है

केवल एक यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी इसका अपेक्षित मूल्य है, और दो यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी उनका सहप्रसरण है। यदि कुछ यादृच्छिक चर अन्य सभी से स्वतंत्र हैं, तो दो (या अधिक) स्वतंत्र यादृच्छिक चर वाला कोई भी संचयी शून्य है। मैं गिरा {{math|''n''}} यादृच्छिक चर समान हैं, तो संयुक्त संचयी है {{math|''n''}}-वाँ साधारण संचयक।

संयुक्त संचयकों की एक अन्य महत्वपूर्ण संपत्ति बहुरेखीयता है:

* योग एक सेट के सभी विभाजन से अधिक है{{pi}} सेट का {{math|{ 1, ..., ''n'' } }} सूचकांकों की, और

सांख्यिकीय भौतिकी में कई [[व्यापक मात्रा]]एँ - यानी वे मात्राएँ जो किसी दिए गए सिस्टम के आयतन या आकार के समानुपाती होती हैं - यादृच्छिक चर के संचयकों से संबंधित होती हैं। गहरा संबंध यह है कि एक बड़ी प्रणाली में ऊर्जा या कणों की संख्या जैसी व्यापक मात्रा को लगभग स्वतंत्र क्षेत्रों से जुड़ी ऊर्जा (कहें) के योग के रूप में माना जा सकता है। तथ्य यह है कि इन लगभग स्वतंत्र यादृच्छिक चर के क्यूमुलेंट्स (लगभग) जोड़ देंगे, जिससे यह उचित हो जाता है कि व्यापक मात्रा मे