क्विंटिक फलन: Difference between revisions

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केली का परिणाम हमें यह परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या क्विंटिक हल करने योग्य है। यदि ऐसा घटना  है, तो इसकी जड़ों को ढूंढना एक अधिक कठिन समस्या है, जिसमें जड़ों को क्विंटिक के गुणांक और केली के रिसोल्वेंट की तर्कसंगत जड़ को सम्मिलित करने वाले रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त करना सम्मिलित है।
केली का परिणाम हमें यह परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या क्विंटिक हल करने योग्य है। यदि ऐसा घटना  है, तो इसकी जड़ों को ढूंढना एक अधिक कठिन समस्या है, जिसमें जड़ों को क्विंटिक के गुणांक और केली के रिसोल्वेंट की तर्कसंगत जड़ को सम्मिलित करने वाले रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त करना सम्मिलित है।


1888 में, [[जॉर्ज पैक्सटन यंग]] ने स्पष्ट सूत्र प्रदान किए बिना, हल करने योग्य क्विंटिक समीकरण को कैसे हल किया जाए, इसका वर्णन किया;<ref>George Paxton Young, "Solvable Quintic Equations with Commensurable Coefficients", ''American Journal of Mathematics'' '''10''':99–130 (1888), {{JSTOR|2369502}}</ref> 2004 में, [[डेनियल लाजार्ड]] ने तीन पेज का एक फॉर्मूला लिखा।<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref>
1888 में, [[जॉर्ज पैक्सटन यंग]] ने स्पष्ट सूत्र प्रदान किए बिना, हल करने योग्य क्विंटिक समीकरण को कैसे हल किया जाए, इसका वर्णन किया;<ref>George Paxton Young, "Solvable Quintic Equations with Commensurable Coefficients", ''American Journal of Mathematics'' '''10''':99–130 (1888), {{JSTOR|2369502}}</ref> 2004 में, [[डेनियल लाजार्ड]] ने तीन पेज का एक सूत्र लिखा।<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref>
===ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म में क्विंटिक्स ===
===ब्रिंग-जेरार्ड फॉर्म में क्विंटिक्स ===


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===समाधान योग्य पंचक की जड़ें===
===समाधान योग्य पंचक की जड़ें===
एक बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है यदि उसका गैलोज़ समूह एक [[हल करने योग्य समूह]] है। इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स के मामले में, गैलोज़ समूह [[सममित समूह]] का एक उपसमूह है {{math|''S''<sub>5</sub>}} पांच तत्व सेट के सभी क्रमपरिवर्तन, जो हल करने योग्य है यदि और केवल यदि यह समूह का उपसमूह है {{math|''F''<sub>5</sub>}}, आदेश की {{math|20}}, चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा उत्पन्न {{math|(1 2 3 4 5)}} और {{math|(1 2 4 3)}}.
एक बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है यदि उसका गैलोज़ समूह एक [[हल करने योग्य समूह]] है। इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स के घटना में, गैलोज़ समूह [[सममित समूह]] का एक उपसमूह है {{math|''S''<sub>5</sub>}} पांच तत्व सेट के सभी क्रमपरिवर्तन, जो हल करने योग्य है यदि और केवल यदि यह समूह का उपसमूह है {{math|''F''<sub>5</sub>}}, आदेश की {{math|20}}, चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा उत्पन्न {{math|(1 2 3 4 5)}} और {{math|(1 2 4 3)}}.


यदि क्विंटिक हल करने योग्य है, तो समाधानों में से एक को बीजगणितीय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें पांचवां मूल और अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, जो आम तौर पर नेस्टेड मूलांक होते हैं। अन्य समाधान या तो पांचवें मूल को बदलकर या पांचवें मूल की सभी घटनाओं को [[एकता की जड़]] की समान शक्ति से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि
यदि क्विंटिक हल करने योग्य है, तो समाधानों में से एक को बीजगणितीय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें पांचवां मूल और अधिकतम दो वर्गमूल सम्मिलित होते हैं, जो प्रायः नेस्टेड मूलांक होते हैं। अन्य समाधान या तो पांचवें मूल को बदलकर या पांचवें मूल की सभी घटनाओं को [[एकता की जड़]] की समान शक्ति से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि
:<math>\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.</math>
:<math>\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.</math>
वास्तव में, एकता के सभी चार आदिम पांचवें मूलों को वर्गमूलों के चिह्नों को उचित रूप से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है; अर्थात्, अभिव्यक्ति
वास्तव में, एकता के सभी चार आदिम पांचवें मूलों को वर्गमूलों के चिह्नों को उचित रूप से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है; अर्थात्, अभिव्यक्ति
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| <math> x^5-20 x^3 +170 x + 208</math>||
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हल करने योग्य क्विंटिक्स का एक अनंत अनुक्रम बनाया जा सकता है, जिनकी जड़ें योग हैं {{mvar|n}}[[एकता की जड़ें]], साथ {{nobr|{{math|''n'' {{=}} 10''k'' + 1}}}} एक अभाज्य संख्या होना:
हल करने योग्य क्विंटिक्स का एक अनंत अनुक्रम बनाया जा सकता है, जिनकी जड़ें योग हैं {{mvar|n}} [[एकता की जड़ें]], साथ {{nobr|{{math|''n'' {{=}} 10''k'' + 1}}}} एक अभाज्य संख्या होना:


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::<math> c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m  \,\right] \;.</math>
::<math> c = \tfrac{1}{2} \left[\, b(a + 4m) - p(a - 4m) - a^2m  \,\right] \;.</math>
===[[ एक अपरिवर्तनीय मौका ]]===
===[[ एक अपरिवर्तनीय मौका ]]===


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==कट्टरपंथियों से परे==
==कट्टरपंथियों से परे==


1835 के आसपास, [[जॉर्ज जेरार्ड]] ने प्रदर्शित किया कि क्विंटिक्स को [[ अल्ट्रारैडिकल ]]्स (जिसे ब्रिंग रेडिकल्स के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो कि अद्वितीय वास्तविक जड़ है। {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} वास्तविक संख्याओं के लिए {{math|''a''}}. 1858 में [[चार्ल्स हर्मिट]] ने दिखाया कि त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से घन समीकरणों को हल करने के अधिक परिचित दृष्टिकोण के समान दृष्टिकोण का उपयोग करके ब्रिंग रेडिकल को जैकोबी [[थीटा फ़ंक्शन|थीटा कार्य]] और उनके संबंधित [[अण्डाकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन|अण्डाकार मॉड्यूलर कार्य]] के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। लगभग उसी समय, [[लियोपोल्ड क्रोनकर]] ने समूह सिद्धांत का उपयोग करते हुए, [[फ्रांसेस्को ब्रियोस्ची]] की तरह, हर्मिट के परिणाम प्राप्त करने का एक सरल तरीका विकसित किया। बाद में, [[फ़ेलिक्स क्लेन]] एक ऐसी विधि लेकर आए, जो [[विंशतिफलक]], गैलोइस सिद्धांत और अण्डाकार मॉड्यूलर कार्यों की समरूपता से संबंधित है, जो हर्माइट के समाधान में चित्रित हैं, उन्होंने यह स्पष्टीकरण दिया कि उन्हें आखिर क्यों दिखना चाहिए, और संदर्भ में अपना स्वयं का समाधान विकसित किया सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस का।<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> इसी तरह की घटनाएँ डिग्री में घटित होती हैं {{math|7}} (सेप्टिक समीकरण) और {{math|11}}, जैसा कि क्लेन द्वारा अध्ययन किया गया और चर्चा की गई {{slink|Icosahedral symmetry|Related geometries}}.
1835 के आसपास, [[जॉर्ज जेरार्ड]] ने प्रदर्शित किया कि क्विंटिक्स को [[ अल्ट्रारैडिकल ]]्स (जिसे ब्रिंग रेडिकल्स के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो कि अद्वितीय वास्तविक जड़ है। {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} वास्तविक संख्याओं के लिए {{math|''a''}}. 1858 में [[चार्ल्स हर्मिट]] ने दिखाया कि त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से घन समीकरणों को हल करने के अधिक परिचित दृष्टिकोण के समान दृष्टिकोण का उपयोग करके ब्रिंग रेडिकल को जैकोबी [[थीटा फ़ंक्शन|थीटा कार्य]] और उनके संबंधित [[अण्डाकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन|अण्डाकार मॉड्यूलर कार्य]] के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। लगभग उसी समय, [[लियोपोल्ड क्रोनकर]] ने समूह सिद्धांत का उपयोग करते हुए, [[फ्रांसेस्को ब्रियोस्ची]] की तरह, हर्मिट के परिणाम प्राप्त करने का एक सरल तरीका विकसित किया। बाद में, [[फ़ेलिक्स क्लेन]] एक ऐसी विधि लेकर आए, जो [[विंशतिफलक]], गैलोइस सिद्धांत और अण्डाकार मॉड्यूलर कार्यों की समरूपता से संबंधित है, जो हर्माइट के समाधान में चित्रित हैं, उन्होंने यह स्पष्टीकरण दिया कि उन्हें आखिर क्यों दिखना चाहिए, और संदर्भ में अपना स्वयं का समाधान विकसित किया सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस का।<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> इसी तरह की घटनाएँ डिग्री में घटित होती हैं {{math|7}} (सेप्टिक समीकरण) और {{math|11}}, जैसा कि क्लेन द्वारा अध्ययन किया गया और चर्चा की गई {{slink|इकोसाहेड्रल समरूपता|संबंधित ज्यामिति}}.


=== रेडिकल लाओ के साथ हल करना ===
=== रेडिकल लाओ के साथ हल करना ===
{{main article|Bring radical}}
{{main article|कट्टरपंथी लाओ}}


एक त्सचिर्नहौस परिवर्तन, जिसकी गणना एक चतुर्थक समीकरण को हल करके की जा सकती है, फॉर्म के सामान्य क्विंटिक समीकरण को कम कर देता है
एक त्सचिर्नहौस परिवर्तन, जिसकी गणना एक चतुर्थक समीकरण को हल करके की जा सकती है, फॉर्म के सामान्य क्विंटिक समीकरण को कम कर देता है
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  | issue = I
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  | pages = 1150–1152}}</ref>
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समतुल्य समाधान मिले।
समतुल्य समाधान मिले।


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एक खगोलीय कक्षा के [[लैग्रेंजियन बिंदु]]ओं के स्थानों को हल करने में, जिसमें दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान नगण्य है, इसमें एक क्विंटिक को हल करना सम्मिलित है।
एक खगोलीय कक्षा के [[लैग्रेंजियन बिंदु]]ओं के स्थानों को हल करने में, जिसमें दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान नगण्य है, इसमें एक क्विंटिक को हल करना सम्मिलित है।


अधिक सटीक रूप से, एल के स्थान<sub>2</sub> और मैं<sub>1</sub> निम्नलिखित समीकरणों के समाधान हैं, जहां एक तिहाई पर दो द्रव्यमानों का गुरुत्वाकर्षण बल (उदाहरण के लिए, गैया जांच और एल पर [[जेम्स वेब स्पेस टेलीस्कोप]] जैसे उपग्रहों पर सूर्य और पृथ्वी)<sub>2</sub> और एल पर [[सौर और हेलिओस्फेरिक वेधशाला]]<sub>1</sub>) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के साथ समकालिक कक्षा में होने के लिए उपग्रह को आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है:
अधिक सटीक रूप से, एल<sub>2</sub> और एल<sub>1</sub> के स्थान  निम्नलिखित समीकरणों के समाधान हैं, जहां एक तिहाई पर दो द्रव्यमानों का गुरुत्वाकर्षण बल (उदाहरण के लिए, गैया जांच और एल पर [[जेम्स वेब स्पेस टेलीस्कोप]] जैसे उपग्रहों पर सूर्य और पृथ्वी एल<sub>2</sub> और [[सौर और हेलिओस्फेरिक वेधशाला|सौर और हेलिओस्फेरिक वेधशाला पर]]) एल<sub>1</sub>) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के साथ समकालिक कक्षा में होने के लिए उपग्रह को आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है:


: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>
: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>
± चिन्ह L से मेल खाता है<sub>2</sub> और मैं<sub>1</sub>, क्रमश; G [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है, ω [[कोणीय वेग]] है, r पृथ्वी से उपग्रह की दूरी है, R सूर्य से पृथ्वी की दूरी है (अर्थात, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी), और m, M<sub>E</sub>, और एम<sub>S</sub>उपग्रह, पृथ्वी और सूर्य के संबंधित द्रव्यमान हैं।
± चिन्ह एल<sub>2</sub> और एल<sub>1</sub> से मेल खाता है, क्रमश; G [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है, ω [[कोणीय वेग]] है, r पृथ्वी से उपग्रह की दूरी है, R सूर्य से पृथ्वी की दूरी है (अर्थात, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी), और m, M<sub>E</sub>, और एम<sub>S</sub>उपग्रह, पृथ्वी और सूर्य के संबंधित द्रव्यमान हैं।


केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करना <math>\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> और सभी पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से क्विंटिक प्राप्त होता है
केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करना <math>\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> और सभी पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से क्विंटिक प्राप्त होता है
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
* Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", ''Œuvres de Charles Hermite'', '''2''':5–21, Gauthier-Villars, 1908.
* चार्ल्स हर्माइट, "सुर ला रेजोल्यूशन डे ल इक्वेशन डु सिनक्वेम डेग्रे", वुवर्स डी चार्ल्स हर्माइट, 2:5-21, गौथियर-विलर्स, 1908।.
* {{cite book |first=Felix |last=Klein |url=https://archive.org/details/cu31924059413439 |title=Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree |translator-first=George Gavin |translator-last=Morrice |publisher=Trübner & Co. |date=1888 |isbn=0-486-49528-0}}
* {{cite book |first=फ़ेलिक्स |last=क्लीन |url=https://archive.org/details/cu31924059413439 |title=इकोसाहेड्रोन और पांचवीं डिग्री के समीकरणों के समाधान पर व्याख्यान |translator-first=जॉर्ज गेविन |translator-last=मॉरिस |publisher=ट्रुबनेर एंड कंपनी |date=1888 |isbn=0-486-49528-0}}
* Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences'', '''46''':1:1150–1152 1858.
* लियोपोल्ड क्रोनकर, "सुर ला रेजोल्यूशन डे ल इक्वेशन डू सिनक्विएम डिग्री, एक्स्ट्राइट डी'यून लेट्रे एड्रेसी ए एम. हरमाइट", कॉम्पटेस रेंडस डी ल'अकाडेमी डेस साइंसेज, 46:1:1150–1152 1858.
* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b''}}, ''American Mathematical Monthly'', '''101''':986–992 (1994).
* ब्लेयर स्पीयरमैन और केनेथ एस. विलियम्स, "सॉल्वेबल क्विंटिक्स का लक्षण वर्णन x5 + ax + b, अमेरिकन मैथमैटिकल मंथली, 101:986-992 (1994).
* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. {{isbn|0-412-34550-1}}. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
* इयान स्टीवर्ट, गैलोज़ थ्योरी दूसरा संस्करण, चैपमैन और हॉल, 1989,  {{isbn|0-412-34550-1}}. सामान्य क्विंटिक की अघुलनशीलता के प्रमाण सहित सामान्य रूप से गैलोइस सिद्धांत पर चर्चा करता है
* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', American Mathematical Society, 2006. {{isbn|0-8218-3817-2}}. Chapter 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=The solution of equations of the fifth degree|date=31 March 2010}}) gives a description of the solution of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''cx'' + ''d''}}.
* [[Jörg Bewersdorff|जोर्ग बेवर्सडॉर्फ]], शुरुआती लोगों के लिए गैलोइस सिद्धांत: एक ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य, अमेरिकन गणितीय सोसायटी, 2006, {{isbn|0-8218-3817-2}}. अध्याय 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=पाँचवीं डिग्री के समीकरणों का समाधान|date=31 मार्च 2010}}) हल करने योग्य क्विंटिक्स x5 + cx + d के समाधान का विवरण देता है।
* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp.&nbsp;90–94.
* विक्टर एस. एडमचिक और डेविड जे. जेफरी, "सचिर्नहौस, ब्रिंग और जेरार्ड के बहुपद परिवर्तन," एसीएम सिग्सैम बुलेटिन, वॉल्यूम। 37, संख्या 3, सितम्बर 2003, पृ. 90-94।
* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp.&nbsp;1–3.
* एहरनफ्राइड वाल्टर वॉन त्सचिर्नहौस, "किसी दिए गए समीकरण से सभी मध्यवर्ती शब्दों को हटाने की एक विधि," एसीएम सिग्सैम बुलेटिन, वॉल्यूम। 37, नंबर 1, मार्च 2003, पृ. 1-3.
* {{Cite book | last1 = Lazard | first1 = Daniel | chapter = Solving quintics in radicals | title = The Legacy of Niels Henrik Abel | editor1 = [[Olav Arnfinn Laudal]] | editor2 = [[Ragni Piene]] | location = Berlin | pages = 207&ndash;225 | year = 2004 | isbn = 3-540-43826-2 | url = http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps | archive-url = https://web.archive.org/web/20050106213419/http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps | archive-date=January 6, 2005 }}
* {{Cite book | last1 = लाजार्ड | first1 = डैनियल | chapter = रेडिकल में क्विंटिक्स को हल करना | title = नील्स हेनरिक एबेल की विरासत | editor1 = [[ओलाव अर्नफिन लाउडल]] | editor2 = [[रागनी पिएने]] | location = बर्लिन | pages = 207-225 | year = 2004 | isbn = 3-540-43826-2 | url = http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps | archive-url = https://web.archive.org/web/20050106213419/http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps | archive-date=6 जनवरी 2005 }}
* {{citation | title = Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli| first = Gábor | last = Tóth | year = 2002 }}
* {{citation | title = परिमित मोबियस समूह, गोले का न्यूनतम विसर्जन, और मॉड्यूलि| first = गबोर | last = टोथ | year = 2002 }}
 
 
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] – more details on methods for solving Quintics.
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html मैथवर्ल्ड - क्विंटिक समीकरण] – क्विंटिक्स को हल करने के तरीकों पर अधिक विवरण।
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics] – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf सॉल्व करने योग्य क्विंटिक्स को हल करना] – डेविड एस. डुमिट के कारण हल करने योग्य क्विंटिक्स को हल करने की एक विधि।
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf किसी दिए गए समीकरण से सभी मध्यवर्ती पदों को हटाने की एक विधि] - त्सचिर्नहौस के 1683 पेपर का हालिया अंग्रेजी अनुवाद।


{{Polynomials}}
{{Polynomials}}

Revision as of 16:28, 6 July 2023

File:Quintic polynomial.svg
घात 5 के बहुपद का ग्राफ़, 3 वास्तविक शून्य (मूल) और 4 क्रांतिक बिंदु (गणित) के साथ।

गणित में, क्विंटिक कार्य फॉर्म का एक कार्य (गणित) है