कॉची गुणनफल: Difference between revisions

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गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, कॉची गुणनफल दो अनंत श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।
गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, '''कॉची गुणनफल''' दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==
कॉची गुणनफल अनंत श्रेणी <ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=20}}.</ref><ref>{{harvnb|Bloch|2011|p=463}}.</ref><ref>{{harvnb|Friedman|Kandel|2011|p=204}}.</ref><ref>{{harvnb|Ghorpade|Limaye|2006|p=416}}.</ref><ref>{{harvnb|Hijab|2011|p=43}}.</ref><ref>{{harvnb|Montesinos|Zizler|Zizler|2015|p=98}}.</ref><ref>{{harvnb|Oberguggenberger|Ostermann|2011|p=322}}.</ref><ref>{{harvnb|Pedersen|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Ponnusamy|2012|p=200}}.</ref><ref>{{harvnb|Pugh|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Sohrab|2014|p=73}}.</ref> या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।<ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=53}}.</ref><ref>{{harvnb|Mathonline|loc=Cauchy Product of Power Series}}.</ref> जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों<ref>{{harvnb|Weisstein|loc=Cauchy Product}}.</ref> या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की एक सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।
कॉची गुणनफल परिमित श्रेणी <ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=20}}.</ref><ref>{{harvnb|Bloch|2011|p=463}}.</ref><ref>{{harvnb|Friedman|Kandel|2011|p=204}}.</ref><ref>{{harvnb|Ghorpade|Limaye|2006|p=416}}.</ref><ref>{{harvnb|Hijab|2011|p=43}}.</ref><ref>{{harvnb|Montesinos|Zizler|Zizler|2015|p=98}}.</ref><ref>{{harvnb|Oberguggenberger|Ostermann|2011|p=322}}.</ref><ref>{{harvnb|Pedersen|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Ponnusamy|2012|p=200}}.</ref><ref>{{harvnb|Pugh|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Sohrab|2014|p=73}}.</ref> या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।<ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=53}}.</ref><ref>{{harvnb|Mathonline|loc=Cauchy Product of Power Series}}.</ref> जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों<ref>{{harvnb|Weisstein|loc=Cauchy Product}}.</ref> या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल की विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।


अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।
अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।
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===दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल===
===दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल===


मान लीजिये <math display="inline"> \sum_{i=0}^\infty a_i</math> और <math display="inline"> \sum_{j=0}^\infty b_j</math> जटिल पदों वाली दो अनंत श्रृंखलाएँ हों। इन दो अनंत श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
मान लीजिये <math display="inline"> \sum_{i=0}^\infty a_i</math> और <math display="inline"> \sum_{j=0}^\infty b_j</math> जटिल पदों वाली दो परिमित श्रृंखलाएँ हों। इन दो परिमित श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k</math> कहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k</math> जहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.


===द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल===
===द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल===
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जटिल गुणांकों के साथ <math>\{a_i\}</math> और <math>\{b_j\}</math>. इन द्वि घात श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
जटिल गुणांकों के साथ <math>\{a_i\}</math> और <math>\{b_j\}</math>. इन द्वि घात श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> कहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> जहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.


==अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय==
==अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय==
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{{NumBlk|:|<math>C_n = \sum_{i=0}^na_{n-i}(B_i-B)+A_nB\,.</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>C_n = \sum_{i=0}^na_{n-i}(B_i-B)+A_nB\,.</math>|{{EquationRef|1}}}}


{{math|''ε'' > 0}} हल करें। चूँकि <math display="inline"> \sum_{k \in \N} |a_k| < \infty</math> पूर्ण अभिसरण द्वारा, और चूँकि {{math|''B<sub>n</sub>''}}, {{math|''B''}} में {{math|''n'' → ∞}} के रूप में परिवर्तित होता है, इसलिए एक पूर्णांक {{math|''N''}} मौजूद होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''N''}} के लिए,
{{math|''ε'' > 0}} हल करें। चूँकि <math display="inline"> \sum_{k \in \N} |a_k| < \infty</math> पूर्ण अभिसरण द्वारा, और चूँकि {{math|''B<sub>n</sub>''}}, {{math|''B''}} में {{math|''n'' → ∞}} के रूप में परिवर्तित होता है, इसलिए एक पूर्णांक {{math|''N''}} उपस्थित होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''N''}} के लिए,


{{NumBlk|:|<math>|B_n-B|\le\frac{\varepsilon/3}{\sum_{ k \in \N } |a_k|+1}</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>|B_n-B|\le\frac{\varepsilon/3}{\sum_{ k \in \N } |a_k|+1}</math>|{{EquationRef|2}}}}
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==सेसारो का प्रमेय==
==सेसारो का प्रमेय==
<!-- [[Cesàro's theorem]] redirects here -->
ऐसे स्तिथि में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सेसरो योग्य है। विशेषतः यदि <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं तो
ऐसे मामलों में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सेसरो योग्य है। विशेषतः यदि <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं तो<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>


<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>


इसे उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि केवल सेसरो सारांशित हैं:
इसे उस स्तिथि में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि केवल सेसरो सारांशित हैं:


===प्रमेय===
===प्रमेय===
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==सामान्यीकरण==
==सामान्यीकरण==


उपरोक्त सभी अनुक्रमों पर लागू होते हैं <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल आंकड़े)। कॉची गुणनफल को श्रेणी के लिए परिभाषित किया जा सकता है <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]] स्थान) जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस मामले में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरण करती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में परिवर्तित हो जाता है।
पूर्वगामी सभी <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल संख्या) में अनुक्रमों पर लागू होते हैं। '''कॉची गुणनफल''' को <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]]) में एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस स्तिथि में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरित होती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में अभिसरण करता है।


===अनंत अनेक अनंत श्रेणियों के गुणनफल ===
===परिमित रूप से अनेक परिमित श्रेणियों के गुणनफल ===
होने देना <math>n \in \N</math> ऐसा है कि <math>n \ge 2</math> (वास्तव में निम्नलिखित भी सत्य है <math>n=1</math> लेकिन उस स्थिति में कथन तुच्छ हो जाता है) और चलो <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n}</math> जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रेणी हो, जिसमें से को छोड़कर सभी <math>n</math>एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और <math>n</math>वें एक जुटता है. फिर तो हद हो गयी
मान लीजिए <math>n \in \N</math> इस प्रकार है कि <math>n \ge 2</math> (वास्तव में निम्नलिखित के लिए भी सत्य है <math>n=1</math> लेकिन उस स्थिति में कथन तुच्छ हो जाता है) और <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n}</math>को जटिल गुणांकों के साथ परिमित श्रृंखला होने दें, जिसमें से <math>n</math>वें को छोड़कर सभी पूर्णतः अभिसरण होता है, और <math>n</math>वाँ अभिसरण होता है। तब सीमा<math display="block">\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
<math display="block">\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
मौजूद है और हमारे पास है:
<math display="block">\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>




प्राप्त है और हमारे पास है:
<math display="block">\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
=== प्रमाण ===
=== प्रमाण ===
क्योंकि
क्योंकि
<math display="block">\forall N\in\mathbb N:\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N}a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}=\sum_{k_1 = 0}^N \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}}a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>
<math display="block">\forall N\in\mathbb N:\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N}a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}=\sum_{k_1 = 0}^N \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}}a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>
कथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है <math>n</math>: के लिए मामला <math>n = 2</math> कॉची गुणनफल के बारे में दावे के समान है। यह हमारा इंडक्शन बेस है.
कथन को <math>n</math> से अधिक प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: <math>n = 2</math> का मामला कॉची गुणनफल के बारे में दावे के समान है। यह हमारा इंडक्शन बेस है।


प्रेरण चरण इस प्रकार है: दावे को सत्य होने दें <math>n \in \N</math> ऐसा है कि <math>n \ge 2</math>, और जाने <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}</math> जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रेणी हो, जिसमें से को छोड़कर सभी <math>n+1</math>एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और <math>n+1</math>-वह एकाग्र होता है। हम पहले श्रेणी में प्रेरण परिकल्पना को लागू करते हैं <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|</math>. हमें वह श्रेणी प्राप्त होती है
प्रेरण चरण इस प्रकार है: मान लीजिए कि प्राप्य सत्य है <math>n \in \N</math> इस प्रकार कि <math>n \ge 2</math> और मान लीजिए <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}</math>परिमित हो जटिल गुणांकों वाली श्रृंखला, जिसमें से <math>n+1</math> वें को छोड़कर सभी पूर्णतया अभिसरित होते हैं, और <math>n+1</math>वें वाले को छोड़कर सभी अभिसरित होते हैं। हम सबसे पहले प्रेरण परिकल्पना को श्रृंखला में लागू करते हैं <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|</math> हम वह श्रृंखला प्राप्त करते हैं:<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|</math>
<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|</math>
अभिसरण, और इसलिए, त्रिकोण असमानता और सैंडविच मानदंड, श्रेणी द्वारा
अभिसरण, और इसलिए, त्रिकोण असमानता और सैंडविच मानदंड, श्रेणी द्वारा
<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \left| \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2} \right|</math>
<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \left| \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2} \right|</math>
अभिसरण, और इसलिए श्रेणी
अभिसरण, और इसलिए श्रेणी
<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>
<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>पूर्ण रूप से अभिसरण। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना से, मर्टेंस ने जो सिद्ध किया, और चरों के नाम बदलने से, हमारे पास है:
बिल्कुल एकाग्र हो जाता है। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, मर्टेंस ने जो साबित किया, और चर के नाम बदलकर, हमारे पास है:
इसलिए, सूत्र <math>n+1</math> के लिए भी मान्य है।
<math display="block">\begin{align}
== फलन के सवलन से संबंध ==
\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right) & = \left( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:a_{k_{n+1}}} \right) \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1}} \right) \\
परिमित अनुक्रम को केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य शब्दों के साथ परिमित अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है, या दूसरे शब्दों में एक फलन के रूप में: <math>f: \N \to \Complex</math> परिमित समर्थन के साथ। परिमित समर्थन के साथ <math>\N</math> पर किसी भी जटिल-मूल्यवान फलन f, g के लिए, कोई भी अपना सवलन ले सकता है:<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math>, <math display="inline">\sum f(n)</math> और योग <math display="inline">\sum g(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान है।
 
& = \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:b_{k_{n+1}}} \right) \\
 
& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_1} \sum_{k_4 = 0}^{k_3} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_1 - k_3}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{2}}}^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}} \right) \\
 
& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{k_1} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty b_{k_2} \right)  \\
 
& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} a_{k_2}b_{k_1 - k_2} \right) \\
 
& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} \left ( \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \right) \left ( \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}  \right) \right)  \\
 
& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1}  \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}  \right) \\
 
 
& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}
\end{align}</math>
इसलिए, सूत्र भी लागू होता है <math>n+1</math>.


== फ़ंक्शंस के सवलन से संबंध ==
अधिक सामान्यतः, एक मोनॉइड एस दिया जाता है, कोई [[अर्धसमूह बीजगणित]] बना सकता है एस का <math>\Complex[S]</math>, कन्वल्शन द्वारा दिए गए गुणन के साथ। यदि कोई, उदाहरण के लिए, <math>S = \N^d</math> लेता है, तो <math>\Complex[S]</math> पर गुणन कॉची गुणनफल का उच्च आयाम के लिए सामान्यीकरण है।
एक परिमित अनुक्रम को एक अनंत अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है जिसमें केवल बहुत से गैर-शून्य पद होते हैं, या दूसरे शब्दों में एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है <math>f: \N \to \Complex</math> सीमित समर्थन के साथ. किसी भी जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए f, g on <math>\N</math> सीमित समर्थन के साथ, कोई अपना [[कनवल्शन (गणित)|सवलन (गणित)]] ले सकता है:
<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>
तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान ही है <math display="inline">\sum f(n)</math> और <math display="inline">\sum g(n)</math>.
 
अधिक सामान्यतः, एक मोनॉयड एस दिए जाने पर, कोई [[अर्धसमूह बीजगणित]] बना सकता है <math>\Complex[S]</math> एस का, सवलन द्वारा दिए गए गुणन के साथ। यदि कोई लेता है, उदाहरण के लिए, <math>S = \N^d</math>, फिर गुणा पर <math>\Complex[S]</math> उच्च आयाम के लिए कॉची गुणनफल का सामान्यीकरण है।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}
{{reflist}}
==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{Citation
*{{Citation
Line 279: Line 253:
  | year = 2014
  | year = 2014
}}.
}}.
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
*{{Cite web
*{{Cite web
Line 293: Line 265:
  | title = From MathWorld – A Wolfram Web Resource
  | title = From MathWorld – A Wolfram Web Resource
  | url = http://mathworld.wolfram.com/CauchyProduct.html
  | url = http://mathworld.wolfram.com/CauchyProduct.html
}}.[[Category: ऑगस्टिन-लुई कॉची]] [[Category: वास्तविक विश्लेषण]] [[Category: जटिल विश्लेषण]] [[Category: अनुक्रम और श्रृंखला]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
}}.
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 03/07/2023]]
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[[Category:प्रमाण युक्त लेख]]
[[Category:वास्तविक विश्लेषण]]

Latest revision as of 11:59, 14 July 2023

गणित में, विशेषकर गणितीय विश्लेषण में, कॉची गुणनफल दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची गुणनफल परिमित श्रेणी [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11] या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।[12][13] जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों[14] या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल की विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।

अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।

दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल

मान लीजिये और जटिल पदों वाली दो परिमित श्रृंखलाएँ हों। इन दो परिमित श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

जहाँ .

द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल

निम्नलिखित द्वि घात श्रेणियों पर विचार करें

और