कॉची गुणनफल: Difference between revisions

Latest revision as of 11:59, 14 July 2023

गणित में, विशेषकर गणितीय विश्लेषण में, कॉची गुणनफल दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची गुणनफल परिमित श्रेणी ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।^[12]^[13] जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों^[14] या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल की विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।

अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।

दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल

मान लीजिये ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ और ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ जटिल पदों वाली दो परिमित श्रृंखलाएँ हों। इन दो परिमित श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

(\sum

[1]

[2]

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[4]

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-गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, कॉची गुणनफल दो अनंत श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।
+गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, '''कॉची गुणनफल''' दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।
 ==परिभाषाएँ==
-कॉची गुणनफल अनंत श्रेणी <ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=20}}.</ref><ref>{{harvnb|Bloch|2011|p=463}}.</ref><ref>{{harvnb|Friedman|Kandel|2011|p=204}}.</ref><ref>{{harvnb|Ghorpade|Limaye|2006|p=416}}.</ref><ref>{{harvnb|Hijab|2011|p=43}}.</ref><ref>{{harvnb|Montesinos|Zizler|Zizler|2015|p=98}}.</ref><ref>{{harvnb|Oberguggenberger|Ostermann|2011|p=322}}.</ref><ref>{{harvnb|Pedersen|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Ponnusamy|2012|p=200}}.</ref><ref>{{harvnb|Pugh|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Sohrab|2014|p=73}}.</ref> या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।<ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=53}}.</ref><ref>{{harvnb|Mathonline|loc=Cauchy Product of Power Series}}.</ref> जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों<ref>{{harvnb|Weisstein|loc=Cauchy Product}}.</ref> या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की एक सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।
+कॉची गुणनफल परिमित श्रेणी <ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=20}}.</ref><ref>{{harvnb|Bloch|2011|p=463}}.</ref><ref>{{harvnb|Friedman|Kandel|2011|p=204}}.</ref><ref>{{harvnb|Ghorpade|Limaye|2006|p=416}}.</ref><ref>{{harvnb|Hijab|2011|p=43}}.</ref><ref>{{harvnb|Montesinos|Zizler|Zizler|2015|p=98}}.</ref><ref>{{harvnb|Oberguggenberger|Ostermann|2011|p=322}}.</ref><ref>{{harvnb|Pedersen|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Ponnusamy|2012|p=200}}.</ref><ref>{{harvnb|Pugh|2015|p=210}}.</ref><ref>{{harvnb|Sohrab|2014|p=73}}.</ref> या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।<ref>{{harvnb|Canuto|Tabacco|2015|p=53}}.</ref><ref>{{harvnb|Mathonline|loc=Cauchy Product of Power Series}}.</ref> जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों<ref>{{harvnb|Weisstein|loc=Cauchy Product}}.</ref> या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल की विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।
 अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।
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 ===दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल===
-मान लीजिये <math display="inline"> \sum_{i=0}^\infty a_i</math> और <math display="inline"> \sum_{j=0}^\infty b_j</math> जटिल पदों वाली दो अनंत श्रृंखलाएँ हों। इन दो अनंत श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
+मान लीजिये <math display="inline"> \sum_{i=0}^\infty a_i</math> और <math display="inline"> \sum_{j=0}^\infty b_j</math> जटिल पदों वाली दो परिमित श्रृंखलाएँ हों। इन दो परिमित श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
-:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k</math> कहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
+:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k</math> जहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
 ===द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल===
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 जटिल गुणांकों के साथ <math>\{a_i\}</math> और <math>\{b_j\}</math>. इन द्वि घात श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
-:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> कहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
+:<math>\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> जहाँ <math>c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}</math>.
 ==अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय==
 {{distinguish|text=[[मर्टेंस प्रमेय]] अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित}}
-मान लीजिए {{math|(''a<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub>}} और {{math|(''b<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub>}} वास्तविक या जटिल अनुक्रम हैं। यह [[फ्रांज मर्टेंस]] द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रेणी <math display="inline"> \sum_{n=0}^\infty a_n</math> {{math|''A''}} में परिवर्तित हो जाती है और <math display="inline"> \sum_{n=0}^\infty b_n</math> {{math|''B''}} में परिवर्तित हो जाता है, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाता है, फिर उनका कॉची उत्पाद {{math|''AB''}} में परिवर्तित हो जाता है।<ref>{{cite book |last1=Rudin |first1=Walter |title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|date=1976 |publisher=McGraw-Hill |page=74}}</ref> प्रमेय अभी भी [[बानाच बीजगणित]] में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।
+मान लीजिए {{math|(''a<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub>}} और {{math|(''b<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub>}} वास्तविक या जटिल अनुक्रम हैं। यह [[फ्रांज मर्टेंस]] द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रेणी <math display="inline"> \sum_{n=0}^\infty a_n</math> {{math|''A''}} में परिवर्तित हो जाती है और <math display="inline"> \sum_{n=0}^\infty b_n</math> {{math|''B''}} में परिवर्तित हो जाता है, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाता है, फिर उनका कॉची गुणनफल {{math|''AB''}} में परिवर्तित हो जाता है।<ref>{{cite book |last1=Rudin |first1=Walter |title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|date=1976 |publisher=McGraw-Hill |page=74}}</ref> प्रमेय अभी भी [[बानाच बीजगणित]] में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।
-यह दोनों श्रेणियों का अभिसरण होने के लिए पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त रूप से [[सशर्त अभिसरण|अभिसरण]] हैं, तो कॉची उत्पाद को दो श्रेणियों के उत्पाद की ओर अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:
+यह दोनों श्रेणियों का अभिसरण होने के लिए पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त रूप से [[सशर्त अभिसरण|अभिसरण]] हैं, तो कॉची गुणनफल को दो श्रेणियों के गुणनफल की ओर अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:
 ===उदाहरण===
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 {{NumBlk|:|<math>C_n = \sum_{i=0}^na_{n-i}(B_i-B)+A_nB\,.</math>|{{EquationRef|1}}}}
-{{math|''ε'' > 0}} हल करें। चूँकि <math display="inline"> \sum_{k \in \N} |a_k| < \infty</math> पूर्ण अभिसरण द्वारा, और चूँकि {{math|''B<sub>n</sub>''}}, {{math|''B''}} में {{math|''n'' → ∞}} के रूप में परिवर्तित होता है, इसलिए एक पूर्णांक {{math|''N''}} मौजूद होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''N''}} के लिए,
+{{math|''ε'' > 0}} हल करें। चूँकि <math display="inline"> \sum_{k \in \N} |a_k| < \infty</math> पूर्ण अभिसरण द्वारा, और चूँकि {{math|''B<sub>n</sub>''}}, {{math|''B''}} में {{math|''n'' → ∞}} के रूप में परिवर्तित होता है, इसलिए एक पूर्णांक {{math|''N''}} उपस्थित होता है, जैसे कि सभी पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''N''}} के लिए,
 {{NumBlk|:|<math>|B_n-B|\le\frac{\varepsilon/3}{\sum_{ k \in \N } |a_k|+1}</math>|{{EquationRef|2}}}}
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   &\le \sum_{i=0}^{N-1}\underbrace{|a_{\underbrace{\scriptstyle n-i}_{\scriptscriptstyle \ge M}}|\,|B_i-B|}_{\le\,\varepsilon/(3N)\text{ by (3)}}+{}\underbrace{\sum_{i=N}^n |a_{n-i}|\,|B_i-B|}_{\le\,\varepsilon/3\text{ by (2)}}+{}\underbrace{|A_n-A|\,|B|}_{\le\,\varepsilon/3\text{ by (4)}}\le\varepsilon\,.
 \end{align}</math>
 एक श्रेणी के अभिसरण की परिभाषा के अनुसार, आवश्यकतानुसार {{math|''C<sub>n</sub>'' → ''AB''}}।
 ==सेसारो का प्रमेय==
-{{unreferenced section|date=December 2017}}
+ऐसे स्तिथि में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सेसरो योग्य है। विशेषतः यदि <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं तो
-<!-- [[Cesàro's theorem]] redirects here -->
-ऐसे मामलों में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूरी तरह से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सिजेरो योग है। विशेष रूप से:
-अगर <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> तब
+<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>
-<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>
+इसे उस स्तिथि में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि केवल सेसरो सारांशित हैं:
-इसे उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि सिजेरो सारांश योग्य हैं:
 ===प्रमेय===
-के लिए <math display="inline"> r>-1</math> और <math display="inline"> s>-1</math>, मान लीजिए अनुक्रम <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> है <math display="inline"> (C,\; r)</math> योग ए और के साथ योगयोग्य <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math> है <math display="inline"> (C,\; s)</math> योग बी के साथ योगयोग्य। फिर उनका कॉची गुणनफल है <math display="inline"> (C,\; r+s+1)</math> योग AB के साथ योगयोग्य।
+<math display="inline"> r>-1</math> और <math display="inline"> s>-1</math> के लिए, मान लीजिए कि क्रम <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (C,\; r)</math> योग ''A'' और के साथ योग योग्य है। <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (C,\; s)</math> योग ''B'' के साथ योग करने योग्य है। तब उनका कॉची गुणनफल <math display="inline"> (C,\; r+s+1)</math> योग ''AB'' के साथ संक्षेपणीय है।
 ==उदाहरण==
-* कुछ के लिए <math display="inline"> x,y \in \Reals</math>, होने देना <math display="inline"> a_n = x^n/n!</math> और <math display="inline"> b_n = y^n/n!</math>. तब <math display="block"> c_n = \sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i} = \frac{(x+y)^n}{n!}</math> परिभाषा और [[द्विपद सूत्र]] के अनुसार। चूंकि, [[औपचारिक श्रृंखला|औपचारिक श्रेणी]], <math display="inline"> \exp(x) = \sum a_n</math> और <math display="inline"> \exp(y) = \sum b_n</math>, हमने वो करके दिखाया है <math display="inline"> \exp(x+y) = \sum c_n</math>. चूँकि दो निरपेक्ष अभिसरण श्रेणियों के कॉची गुणनफल की सीमा उन श्रेणियों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर है, हमने सूत्र को सिद्ध कर दिया है <math display="inline"> \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)</math> सभी के लिए <math display="inline"> x,y \in \Reals</math>.
+* कुछ के लिए <math display="inline"> x,y \in \Reals</math>,मान लीजिये <math display="inline"> a_n = x^n/n!</math> और <math display="inline"> b_n = y^n/n!</math>. तब <math display="block"> c_n = \sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i} = \frac{(x+y)^n}{n!}</math>परिभाषा और [[द्विपद सूत्र]] द्वारा. चूँकि, [[औपचारिक श्रृंखला|औपचारिक श्रेणी]], <math display="inline"> \exp(x) = \sum a_n</math>और <math display="inline"> \exp(y) = \sum b_n</math> हमने दिखाया है कि <math display="inline"> \exp(x+y) = \sum c_n</math>। चूँकि दो पूर्णतया अभिसरण श्रेणियों के कॉची गुणनफल की सीमा उन श्रेणियों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर है, हमने सूत्र को सिद्ध कर दिया है
-*दूसरे उदाहरण के तौर पर, आइए <math display="inline"> a_n = b_n = 1</math> सभी के लिए <math display="inline"> n \in \N</math>. तब <math display="inline"> c_n = n+1</math> सभी के लिए <math>n \in \N</math> तो कॉची गुणनफल <math display="block"> \sum c_n = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)</math> एकत्रित नहीं होता.
+<math display="inline"> \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)</math> सभी <math display="inline"> x,y \in \Reals</math> के लिए।
+*दूसरे उदाहरण के रूप में, सभी <math display="inline"> n \in \N</math> के लिए <math display="inline"> a_n = b_n = 1</math> मान लीजिए। फिर <math display="inline"> c_n = n+1</math> सभी <math>n \in \N</math> के लिए इसलिए कॉची गुणनफल<math display="block"> \sum c_n = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)</math>अभिसरण नहीं होता।
 ==सामान्यीकरण==
-उपरोक्त सभी अनुक्रमों पर लागू होते हैं <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल आंकड़े)। कॉची गुणनफल को श्रेणी के लिए परिभाषित किया जा सकता है <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]] स्थान) जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस मामले में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरण करती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में परिवर्तित हो जाता है।
+पूर्वगामी सभी <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल संख्या) में अनुक्रमों पर लागू होते हैं। '''कॉची गुणनफल''' को <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]]) में एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस स्तिथि में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरित होती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में अभिसरण करता है।
-===अनंत अनेक अनंत श्रेणियों के गुणनफल ===
+===परिमित रूप से अनेक परिमित श्रेणियों के गुणनफल ===
-होने देना <math>n \in \N</math> ऐसा है कि <math>n \ge 2</math> (वास्तव में निम्नलिखित भी सत्य है <math>n=1</math> लेकिन उस स्थिति में कथन तुच्छ हो जाता है) और चलो <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n}</math> जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रेणी हो, जिसमें से को छोड़कर सभी <math>n</math>एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और <math>n</math>वें एक जुटता है. फिर तो हद हो गयी
+मान लीजिए <math>n \in \N</math> इस प्रकार है कि <math>n \ge 2</math> (वास्तव में निम्नलिखित के लिए भी सत्य है <math>n=1</math> लेकिन उस स्थिति में कथन तुच्छ हो जाता है) और <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n}</math>को जटिल गुणांकों के साथ परिमित श्रृंखला होने दें, जिसमें से <math>n</math>वें को छोड़कर सभी पूर्णतः अभिसरण होता है, और <math>n</math>वाँ अभिसरण होता है। तब सीमा<math display="block">\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
-<math display="block">\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
-मौजूद है और हमारे पास है:
-<math display="block">\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
+प्राप्त है और हमारे पास है:
+<math display="block">\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}</math>
 === प्रमाण ===
 क्योंकि
 <math display="block">\forall N\in\mathbb N:\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N}a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}=\sum_{k_1 = 0}^N \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}}a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>
-कथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है <math>n</math>: के लिए मामला <math>n = 2</math> कॉची गुणनफल के बारे में दावे के समान है। यह हमारा इंडक्शन बेस है.
+कथन को <math>n</math> से अधिक प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: <math>n = 2</math> का मामला कॉची गुणनफल के बारे में दावे के समान है। यह हमारा इंडक्शन बेस है।
-प्रेरण चरण इस प्रकार है: दावे को सत्य होने दें <math>n \in \N</math> ऐसा है कि <math>n \ge 2</math>, और जाने <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}</math> जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रेणी हो, जिसमें से को छोड़कर सभी <math>n+1</math>एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और <math>n+1</math>-वह एकाग्र होता है। हम पहले श्रेणी में प्रेरण परिकल्पना को लागू करते हैं <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|</math>. हमें वह श्रेणी प्राप्त होती है
+प्रेरण चरण इस प्रकार है: मान लीजिए कि प्राप्य सत्य है <math>n \in \N</math> इस प्रकार कि <math>n \ge 2</math> और मान लीजिए <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}</math>परिमित हो जटिल गुणांकों वाली श्रृंखला, जिसमें से <math>n+1</math> वें को छोड़कर सभी पूर्णतया अभिसरित होते हैं, और <math>n+1</math>वें वाले को छोड़कर सभी अभिसरित होते हैं। हम सबसे पहले प्रेरण परिकल्पना को श्रृंखला में लागू करते हैं <math display="inline">\sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|</math> हम वह श्रृंखला प्राप्त करते हैं:<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|</math>
-<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|</math>
 अभिसरण, और इसलिए, त्रिकोण असमानता और सैंडविच मानदंड, श्रेणी द्वारा
 <math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \left| \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2} \right|</math>
 अभिसरण, और इसलिए श्रेणी
-<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>
+<math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>पूर्ण रूप से अभिसरण। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना से, मर्टेंस ने जो सिद्ध किया, और चरों के नाम बदलने से, हमारे पास है:
-बिल्कुल एकाग्र हो जाता है। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, मर्टेंस ने जो साबित किया, और चर के नाम बदलकर, हमारे पास है:
+इसलिए, सूत्र <math>n+1</math> के लिए भी मान्य है।
-<math display="block">\begin{align}
+== फलन के सवलन से संबंध ==
-\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right) & = \left( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:a_{k_{n+1}}} \right) \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1}} \right) \\
+परिमित अनुक्रम को केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य शब्दों के साथ परिमित अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है, या दूसरे शब्दों में एक फलन के रूप में: <math>f: \N \to \Complex</math> परिमित समर्थन के साथ। परिमित समर्थन के साथ <math>\N</math> पर किसी भी जटिल-मूल्यवान फलन f, g के लिए, कोई भी अपना सवलन ले सकता है:<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math>, <math display="inline">\sum f(n)</math> और योग <math display="inline">\sum g(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान है।
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:b_{k_{n+1}}} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_1} \sum_{k_4 = 0}^{k_3} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_1 - k_3}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{2}}}^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{k_1} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty b_{k_2} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} a_{k_2}b_{k_1 - k_2} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} \left ( \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \right) \left ( \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}  \right) \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1}  \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}   \right)  \\
-& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}
-\end{align}</math>
-इसलिए, सूत्र भी लागू होता है <math>n+1</math>.
-== फ़ंक्शंस के सवलन से संबंध ==
+अधिक सामान्यतः, एक मोनॉइड एस दिया जाता है, कोई [[अर्धसमूह बीजगणित]] बना सकता है एस का <math>\Complex[S]</math>, कन्वल्शन द्वारा दिए गए गुणन के साथ। यदि कोई, उदाहरण के लिए, <math>S = \N^d</math> लेता है, तो <math>\Complex[S]</math> पर गुणन कॉची गुणनफल का उच्च आयाम के लिए सामान्यीकरण है।
-एक परिमित अनुक्रम को एक अनंत अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है जिसमें केवल बहुत से गैर-शून्य पद होते हैं, या दूसरे शब्दों में एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है <math>f: \N \to \Complex</math> सीमित समर्थन के साथ. किसी भी जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए f, g on <math>\N</math> सीमित समर्थन के साथ, कोई अपना [[कनवल्शन (गणित)|सवलन (गणित)]] ले सकता है:
-<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>
-तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान ही है <math display="inline">\sum f(n)</math> और <math display="inline">\sum g(n)</math>.
-अधिक सामान्यतः, एक मोनॉयड एस दिए जाने पर, कोई [[अर्धसमूह बीजगणित]] बना सकता है <math>\Complex[S]</math> एस का, सवलन द्वारा दिए गए गुणन के साथ। यदि कोई लेता है, उदाहरण के लिए, <math>S = \N^d</math>, फिर गुणा पर <math>\Complex[S]</math> उच्च आयाम के लिए कॉची गुणनफल का सामान्यीकरण है।
 ==टिप्पणियाँ==
 {{reflist}}
 ==संदर्भ==
 *{{Citation
@@ Line 281: / Line 253: @@
   | year = 2014
 }}.
 ==बाहरी संबंध==
 *{{Cite web
@@ Line 295: / Line 265: @@
   | title = From MathWorld – A Wolfram Web Resource
   | url = http://mathworld.wolfram.com/CauchyProduct.html
-}}.[[Category: ऑगस्टिन-लुई कॉची]] [[Category: वास्तविक विश्लेषण]] [[Category: जटिल विश्लेषण]] [[Category: अनुक्रम और श्रृंखला]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
+}}.
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 03/07/2023]]
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परिभाषाएँ

दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल